高中疑难课程视频资料212 指数函数及其性质
高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)
2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。
人教A版高中数学必修一第二章2.1.2指数函数的图像及性质 1.2-第2课时
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
因为 t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 所以 y＝23t(t≤1)，所以 y≥23. 所以这个函数的值域为y|y≥23， 所以原函数的值域为y|y≥23.
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
函数 y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理方法 (1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定， 一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
3．函数 y＝121－x的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
解析：选 A．定义域为 R.设 u＝1－x，则 y＝12u.
因为 u＝1－x 在 R 上为减函数，
又因为 y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数，
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)重视数学语言的规范和准确 对于函数的单调性、奇偶性的表述要注意语言的规范性、准确 性．如本例中证明函数 f(x)在 R 上是单调增函数，必须严格按 照增函数的定义证明，同时要特别注意与 0 的比较．
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．下列判断正确的是( A．2.52.5＞2.53 C．π2＜π 2
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
比较幂值大小的三种类型及处理方法源自栏目 导引第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1.试比较下列各组数的大小： (1)20.3，12－0.4，80.2； (2)1.30.3，0.82，－343.
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》word教材分析1
《指数函数及其性质》一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书••数学（1）》（人教A版）$2.1.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。
作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，也为今后研究其他函数提供了方法和模式。
指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
（二）课时划分指数函数的教学在中共分三个课时完成。
指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用（1），指数函数及其性质的应用（2）。
这是第一课时“指数函数的图象及其性质”。
“指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
二、学情分析（一）有利因素通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能层面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。
（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
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§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
2.1.2指数函数及其性质
R
(0, )
递增
y>1 0<y≤1
y
1
Ox (0,1)
递减
0<y<1 y≥1
反思故事： 指数函数的增减性告诉我们一个道理： 1.01的365次方=37.78343433289 >>>1； 1的365次方=1； 0.99的365次方= 0.02551796445229 <<<1； 1.01=1+0.01，也就是每天进步一点，1.01的365次方也就是
(3)若a＝1，则y＝ax＝1是一个常数函数．
(3) 课堂练习： 例1.下列函数是指数函数?请放入集合A中．
⑴ y＝10x；
⑵ y＝10x＋1；
⑶ y＝10x＋1； ⑷ y＝2·10x；
⑸ y＝(－10) x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)；
集合A：⑴ y＝10x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)
2.讲 授 新 课
1. 指数函数的定义 一般地，形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义
域是R.
系数为1
y＝1 ·ax 自变量
常数
讲授新课
2 对常数a的限制条件： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x=0时，ax无意义; 当x<0时，ax无意义.
(2)若a＜0，则ax没有意义．
3.指数函数的图象和性质：
几何画板
结论:
(1) 定义域： R
值域： (0, ) 定点：(0,1)
(2) a＞1时，指数函数单调递增 0＜a＜1时，指数函数单调递减．
课堂小结
1. 指数函数的概念； 2. 指数函数的图象和性质．
2-1-2-第1课时 指数函数及其性质
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
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[解析]
①考察指数函数 y＝1.7x，由于底数 1.7>1，∴指
数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵2.5<3，∴1.72.5<1.73. ②考察函数 y＝0.8x，由于 0<0.8<1， ∴指数函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2. ③由指数函数的性质得 1．70.3>1.70＝1， ∴1.70.3>0.93.1. 0.93.1<0.90＝1，
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
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5.运用指数函数的图象与性质解答下列各题． (1)指数函数y＝a
x
2 3 的图象过点－1，2，则a＝ 3
＋
.
(2)无论a取何正数(a≠1)，y＝ax 1的图象都过定点 (－1,1)． (3)函数y＝2x 1的定义域为R，值域为 (0，＋∞) ． (4)函数y＝ 2x－1的定义域为[0，＋∞)．
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
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提问：y＝2x与y＝3x这类函数的解析式有何共同特征？
答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在 指数位置． (若用a代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围 扩展到实数集则得到„„)
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
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当a>1，x<0时，y∈ (0,1) ． 当0<a<1，x>0时，y∈ (0,1) ． 当0<a<1，x<0时，y∈ (1，＋∞) ． 指出下列哪些数大于1，哪些数小于1? 4
§2.1.2指数函数及其性质
思 考
思考：为何规定 a 0且a 1？
高中数学必修 ①
x 当 x 0 时 , a 等于0 当a 0时, x 当x 0时,a 无意义 1 1 x 当a 0时, 如y (2) x , x ... ...时， 2 4 函数值在实数范围内不存在!
当a 1 时，函数值y恒等于1，没有研究的必要！
高中数学必修 ①
课后作业
69页
第 6、7题
x
2.指数函数的性质：
（1）定义域： , ； 值域 ：
（2）函数的特殊值：x 0, y 1 0 a 1 时，在R上单调减 （3）函数的单调性： a 1 时，在R上单调增
0,
高中数学必修 ①
课堂小结
3.指数比较大小的方法：
作差法、作商法 构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同 底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要 注意分类讨论。 ◆方法指导:利用数形结合的方法研究函数性质是一种直观而 形象的方法，记忆指数函数性质时注意联想它的图像！
1 3
1 3
即f (x)
x 3
f 0 1, f 1 , f 3
1
课堂练习
回顾问题一
③
高中数学必修 ①
< 2 2 ___
2
3
④
0.5
2
1.73
___ > 0.5
2.52
分析： 由a 2 1知， f x 2x 在R上为增函数，
高中数学必修 ①
应 用
x f ( x ) a a 0且a 1 的图 例：已知指数函数
像经过点 3， ，求 f (0), f (1), f (3)的值
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y
y 3x y 2x
1 1
0
y=ax
x
(a>1)
0
1
1
0x
x
y=ax (0<a<1)
函数
归纳
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
指
图
数
象
函
数 定义域
R
性 质 一 览 表
性 质
值域 定点
(0, ) 没有最值
（0，1 ） 没有奇偶性
在R上是增函数 在R上是减函数
单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
（√ ）
（6）y 42x , x R
（√ ）
2、若y=(a-3)(a 2)x是指数函数， 则a=-----------
3、已知f(x)是指数函数，其图 像经过点（3,8），求f(1),f(-3)
二、指数函数的图像和性质
1、在方格纸上画出：y 2x , y 1 x , y 3x , y 1 x 的图像，并分析函数图象有哪些2特 点？ 3
物质，每经过一年剩留量约为原来的84%，
则这种物质经过x年后的剩留量是多少？
分析：
设该物质经过x年后的剩留量为y
若设该物质原有量为1
则经过一年剩留量为: y 10.84% 经过二年剩留量为:y 10.84%0.84% 0.842
经过三年剩留量为:y 10.84%0.84%0.84% 0.843
…… 即经过x年后的剩留量是
(3)4|x|1 1 2
(4)a2x1 a4x3 0（a 0, 且a 1)
变式练习： 1.求函数y ax 1(a 0且a 1)的定义域.
例题4：最值问题
ax (a 0, a 1)
三、指数型函数的定义域值域
例2：求下列函数的定义域和值域
1
（1）y 3x1 1 (2)y = 2x-2
x为何值时，y1 y2 ?
指数函数的奇偶性的应用
•
例题5.(1)若 数，则a=(
)
f（x）
a
1 4x 1
2.1.2 指数函数及其性质 第一课时
导入新课（第1课时）
问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2 个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以 后,得到的细胞个数y与x有怎样的关系？
第1次： 2个
21
第2次：4个 22
第3次：8个 23
…………
……
第x次：y 2x
导入新课
问题2 一种放射性物质不断衰减为其它
是增函数，则实数a的取值范围是
（2）若指数函数 y (a 2)x在R
上是减函数，则实数a的取值范 围是
(2).曲线C1,C2,C3,C4 分别是指数函 数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx,和的图象, 则a,b,c,d与1及0的大小关系是
0<b<a<1<d<c
（3）指数型函数图象恒过定点问题
画函数图象的步骤： 列表 描点
连线
列表：
x
-2
y 2x 1
4
y
1 2
x
4
y 3x 1
y
Hale Waihona Puke 1 3x9
9
-1 0
11
2
21 11
3
31
1
2
24
1
1
2
4
39
1
1
3
9
描点、连线
y 1 x 2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
1
0
1
关于y轴对称
x
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
口诀
左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点.
一、函数的图像问题
(1)指数函数① f(x)=mx② g(x)=nx满足不 等式1>n>m>0,则它们的图象是 ( C )
练习：
• （1）若指数函数 y (a 2)x 在R上
(3)y ( 3 )|x| 4
(4)y 3 2x2
(5)y 4x 32x 3
练习：
求下列函数的定义域、值域：
1
(1) y 32 x
(3) y ( 1)x2 4x 4
(5).y=4x +2x -3
(2) y ( 1 ) x1 2
(4) y 3x 1
例4 已知 y1 a3x1， y2 a2x (a 0, a 1)，
例1：（1）函数y ax3的图像恒 过定点为_____ （2）函数y ax 3的图像 恒过定点______ _ (3)函数y a2x1 3的图像恒过 定点为_______ （a 0且a 1)
2.1.2 指数函数及其性质 第2课时
二、指数函数的单调性的应用
例2：比较下列各题中两个值的大小
7
5.06 4
5.060
2
0.19 3
0.190
比较指数幂大小的方法： ①同底异指：构造函数法(一个), 利 用函数的单调性,若底数是参变量要注 意分类讨论。
②异底同指:构造函数法(多个),利用函 数图象在y轴左右两侧的特点。
③异底异指:寻求中间量
例题3：解下列不等式
（1）3x1 32x1
(2)(1 )2x1 27 3
（1）1.72.5 与1.73 （2）0.8-0.1 与0.8-0.2
（3）1.70.3 与0.93.1 （4）（1）13与（1）13
2
3
变式练习：将（4）32
,2
2
3，（-
2）3，（3）12
3
3
4
用“”号连接
练习：
(1) 用“＞”或“＜”填空：
3
1 5 4
1 0 4
5
46 3
4 0 3
注意 ：
（1）ax为一个整体，前面系数为1； （2）a>0,且 a≠1 ; （3）自变量x在幂指数的位置且为单个x；
思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1?
为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1
（1）若a
0,
当 当
x 0时, x 0时,
ax 0. ax无意义.
（2）若a < 0,如y = (-2)x,这时对于x = 1，1 在实数范围 24
内的函数值不存在.
(3) 若a=1时，函数值y=1，没有研究的必要 .
练习
判断下列哪些函数是指数函数.
（1）y x2, x R
（×）
（2）y 2 4x , x R
（×）
（3）y (4)x，x R
（ ×）
（4）y (2a 1)x (a 1 , a 1), x R （√ ）
2
（5）y x , x R
y 0.84x
问题探究
y 2x
y 0.84x
思考:（1）这两个解析式有什么共同特征？
（2)如果将数字2，0.84换成字母a，结果是什么？
分析：
两个解析式都具有 y a x 的形式，其中自变量x是
指数，底数a是一个大于0且不等于1的变量。
一、指数函数的概念
定义：形如y ax(a 0且a 1)的函数称为指数函数； 其中x是自变量，函数的定义域为R.