空间直角坐标系中直线方程
直角坐标方程百度百科
直角坐标方程百度百科直角坐标系是解决平面几何问题时经常使用的一个坐标系，它利用竖直和水平的轴线，将平面分为四个象限。
直角坐标方程则是用直角坐标系表示的方程。
下面将介绍直角坐标方程的定义、特点以及在图形方程中的应用。
定义直角坐标方程是在直角坐标系中表示的方程，其形式为：F(x, y) = 0其中，F(x, y) 是含有变量 x 和 y 的多项式函数，这个函数的值等于零时代表方程的解。
直角坐标系中的点 (x, y) 是满足该方程的点。
特点直角坐标方程的特点如下：1.可以表示各种图形：直角坐标方程可以表示直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等各种图形。
通过适当选择 F(x, y)，可以实现对不同图形的描述。
2.坐标轴交点为特殊点：直角坐标方程中的坐标轴交点是方程的解，通常用来确定图形的位置和性质。
3.方程次数表示图形复杂度：直角坐标方程中多项式函数的次数决定了图形的复杂度。
次数较低的方程通常表示简单的图形，而次数较高的方程则表示更复杂的图形。
应用举例直线直线可以通过直角坐标方程表示为：ax + by + c = 0其中，a、b、c 是常数，表示直线方程的系数。
例如，方程2x + 3y - 6 = 0表示一条直线，其斜率为 -2/3，截距为 2。
圆圆可以通过直角坐标方程表示为：x^2 + y^2 - r^2 = 0其中，r 表示圆的半径。
例如，方程x^2 + y^2 - 4 = 0表示以原点为中心，半径为 2 的圆。
椭圆椭圆可以通过直角坐标方程表示为：x2/a2 + y2/b2 - 1 = 0其中，a 和 b 表示椭圆在 x 和 y 轴上的半轴长度。
例如，方程x^2/4 + y^2/9 - 1 = 0表示一个以原点为中心，x 轴半轴为 2，y 轴半轴为 3 的椭圆。
双曲线双曲线可以通过直角坐标方程表示为：x2/a2 - y2/b2 - 1 = 0其中，a 和 b 表示双曲线在 x 和 y 轴上的半轴长度。
例如，方程x^2/4 - y^2/9 - 1 = 0表示一个以原点为中心，x 轴半轴为 2，y 轴半轴为 3 的双曲线。
直角坐标方程式
直角坐标方程式直角坐标方程式是描述平面上各点位置的一种数学表达式。
它由X轴和Y轴的交点作为原点，以直角坐标系为基准建立起来。
本文将介绍直角坐标方程式的基本概念、表示方法以及在几何学和物理学中的应用。
基本概念直角坐标方程式表示平面上任意一点的位置。
在直角坐标系中，X轴和Y轴相交于原点O，并形成一个直角。
以原点O为基准，我们可以通过沿着X轴正方向和Y轴正方向移动来表示点在平面上的位置。
在直角坐标方程式中，X轴被标记为横轴，Y轴被标记为纵轴。
表示方法在直角坐标方程式中，我们通常使用X和Y表示平面上的点。
对于一个点P(x, y)，其中x表示点P到Y轴的距离，而y表示点P到X轴的距离。
这样，我们可以用一个有序对(x, y)来表示点P的位置。
直线的直角坐标方程式直线是直角坐标方程式中最常见的一个应用。
直线可以由一个方程式或者多个方程式表示，具体取决于直线的性质。
下面介绍几种常见的情况：水平直线水平直线与X轴平行，因此在直角坐标系中，它的Y坐标是固定的，而X坐标可以取任意值。
对于一条水平直线，它的方程式可以表示为Y = b，其中b是直线与Y轴的交点的Y坐标。
垂直直线垂直直线与Y轴平行，因此在直角坐标系中，它的X坐标是固定的，而Y坐标可以取任意值。
对于一条垂直直线，它的方程式可以表示为X = a，其中a是直线与X轴的交点的X坐标。
斜率为正的直线如果直线的斜率为正，那么它从左下方向向右上方倾斜。
对于这种情况，直线的方程式可以表示为Y = mX + b，其中m是斜率，b是直线与Y轴的交点的Y坐标。
斜率为负的直线如果直线的斜率为负，那么它从左上方向向右下方倾斜。
对于这种情况，直线的方程式可以表示为Y = mX + b，其中m是斜率，b是直线与Y轴的交点的Y坐标。
应用领域直角坐标方程式在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以使用直角坐标方程式来描述平面上的图形，如直线、圆、椭圆等。
在物理学中，直角坐标方程式可以用来描述运动的轨迹、电磁场的分布等。
空间直角坐标系及空间向量的线性运算
? ?
y
?
?
y1 ? y2 , 2
? ??
z
?
z1 ? z2 . 2
3.空间向量的有关概念
名称
空间向量
单位向量 零向量 相等向量 相反向量 共线向量 (或平行向量) 共面向量
定义 在空间中,具有 大小和方向 的量叫做空间向量,向量的 大小叫做向量的 长度或模 .
长度(或模)为 1 的向量 长度(或模)为 0 的向量
因为 A(1,2,2), 所以点 A 到平面 yOz 的距离为|1|=1.
答案:3 1
反思归纳
(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标
点、线、面 原点 x轴 y轴 z轴
坐标平面xOy 坐标平面yOz 坐标平面zOx
对称点坐标 (-x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (x,y,-z) (-x,y,z) (x,-y,z)
第六节 空间直角坐标系及空间向量的线性运算
备考方向明确
方向比努力更重要
复习目标
1.会确定空间点的坐标. 2.会求直线方向向量及平 面法向量. 3.会进行空间向量的几何 运算及代数运算. 4.会进行空间向量的数量 积及坐标运算.
学法指导
1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个 数组成的有序数组. 2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量 , 平面的法向量与平面上的任何直线都垂直 . 3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量 类似. 4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达 直线、平面位置关系.
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如 果中指指向 z轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
直角坐标方程的原理和应用
直角坐标方程的原理和应用一、直角坐标系简介直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它是由两条垂直于彼此的直线（通常称为x轴和y轴）组成的。
在直角坐标系中，每个点都可以通过两个数值来表示，第一个数值表示该点在x轴上的位置，第二个数值表示该点在y轴上的位置。
二、直角坐标方程的定义直角坐标方程是用来描述平面上的点、直线、曲线等物体的数学方程。
直角坐标方程通常由一或多个未知数和常数构成，通过将这些未知数赋予特定的数值，可以得到相应的点、直线或曲线。
三、直角坐标方程的一般形式直角坐标方程的一般形式可以表示为：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个关于x和y的函数，通过使F(x, y)等于零，可以得到一个或多个满足方程的点。
四、直角坐标方程的应用直角坐标方程在数学和物理学中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：1. 直线方程直线是直角坐标系中最简单的几何形状之一，可以通过直线方程来描述。
直线方程的一般形式为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是常数，通过给A、B和C赋予不同的数值，可以得到不同位置和方向的直线。
2. 圆的方程圆是直角坐标系中的一种特殊的曲线，可以通过圆的方程来描述。
圆的方程的一般形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
通过给h、k和r赋予不同的数值，可以得到不同大小和位置的圆。
3. 椭圆的方程椭圆是直角坐标系中的另一种曲线，它比圆更为复杂。
椭圆的方程的一般形式为：(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
通过给h、k、a和b赋予不同的数值，可以得到不同形状和大小的椭圆。
4. 抛物线的方程抛物线是直角坐标系中的另一种常见曲线，它可以通过抛物线的方程来描述。
抛物线的方程的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是常数，通过给a、b和c赋予不同的数值，可以得到不同形状和位置的抛物线。
《解析几何》知识点总结：第2章-平面与直线
第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
第一节 空间直角坐标系
2.射线的方向叫做正向,其相 反方向则叫做负向.
z
5
4 3
2
1350 1 o
y
21131502 3 4 5
3 4
x5
3.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单 位长度为y轴（或z轴）的单位长度的
9
1、空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z， 那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
z (3)关于原点对称的点
M M/ (－1,2,－3)
3
o
1 2
x
y
M/
23
练 习3、 点 P (2，3 , 4) 关 于 坐 标 平 面xoy 的 对 称 点 是_________； 关 于 坐 标 平 面yoz 的 对 称 点 是_________； 关 于 坐 标 平 面zox 的 对 称 点 是_________， 关 于 坐 标x 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于 坐 标y 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于坐 标z 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于 坐 标 原 点O的 对 称 点 是___________。
24
例3、求点 M1 (4,1, 9) 到点 M2 (10, 1, 6) 的距离．
解： | M1M2 |
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(4 10)2 (1 1)2 (9 6)2
62 22 32 7.
直角坐标系与参数方程公式
直角坐标系与参数方程公式直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它利用两条相互垂直的坐标轴来确定任意一个点的位置。
与之相对应的是参数方程，它通过一组参数来描述曲线或平面上的点的位置。
本文将介绍直角坐标系和参数方程公式的基本概念、特点以及它们之间的转换关系。
直角坐标系直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的二维坐标系。
通常情况下，我们习惯将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
在直角坐标系中，任何一个点P都可以由一个有序数对（x，y）表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
而直角坐标系中的原点O则是x轴和y轴的交点。
直角坐标系可以用于描述平面上的点、线、曲线等。
例如，一条直线可以通过一个方程来表示：y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
一个圆可以通过方程x^2 + y^2 = r^2来表示，其中r为半径。
参数方程参数方程是由一组参数表示的曲线或平面上的点的位置。
与直角坐标系不同，参数方程将曲线的位置与参数的取值联系起来。
参数方程通常以参数t为变量，通过给定t的值，可以确定曲线上的一个点。
例如，一个简单的参数方程可以表示一条直线。
参数方程可以写成x = at + b，y = ct + d，其中a、b、c、d为常数，t的取值范围根据具体情况而定。
给定一个t的值，带入参数方程可以计算出对应的x和y的值。
不同的t值对应曲线上的不同点，当t遍历整个取值范围时，曲线被完整地描述出来。
直角坐标系与参数方程之间的转换直角坐标系和参数方程是可以互相转换的。
对于一个给定的曲线，可以通过直角坐标系的方程得到参数方程，也可以通过参数方程得到直角坐标系的方程。
从直角坐标系到参数方程假设有一个曲线的直角坐标系方程为y = f(x)，要将其转换为参数方程。
首先，我们需要选择一个参数，通常选择t作为参数。
然后，我们可以令x = t，代入直角坐标系方程，得到y = f(t)。
于是我们得到了参数方程x = t，y = f(t)。