空间直角坐标系(人教A版)
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系
(-1,-3,-5)
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(1,0,0)
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
O
2
x
3
y
例题讲解
P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，
z
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
z
(0,3,4)
在Oyz平面内的射影坐标为____________
(2,0,4)
在Oxz平面内的射影坐标为____________
P
(2,3,0)
在Oxy平面内的射影坐标为____________
4
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
作=(如图),
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
2
6
3
A(6,3,2)(x, y Nhomakorabea z)，使=xԦ
Ԧ +yԦ+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐
Ԧ
标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x,
Ԧ
y, z).
以坐标原点O为起点的向量 的坐标和终点A的坐标相同。
=(6,3,2)
序实数对(即它的坐标)表示，在空间直角坐标系中是否
也有类似的表示？
新知2.1：空间点和向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一
1.3.1空间直角坐标系课件2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
A.1
B
)
B.2
C.3
D.4
[解析] 在①中,OP的坐标为 1,2,3 ,故①正确;
在②中,点P关于x轴对称的点的坐标为 1, −2, −3 ,故②错误;
在③中,点P关于原点对称的点的坐标为 −1, −2, −3 ,故③错误;
在④中,点P关于Oxy平面对称的点的坐标为 1,2, −3 ,故④正确.故选B.
= x, y, z
直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作___________.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） x, y, z 既可以表示向量,也可以表示点.( √ )
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组 x, y, z 表示,符号 x, y, z 具有双
1 1
1
, ,−
2 2
2
所以EF =
因为CG =
.
1
CD,所以GC
4
=
1
DC，
4
又因为H为C1 G的中点,所以GH =
1 1
8 2
GH = 0, ,
.
1
GC1
2
=
1
(GC +
2
CC1 ) =
1
DC
8
+
1
DD1 ,所以
2
课中探究
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
课中探究
探究点三 空间中点的对称问题
课中探究
探究点二 求空间向量的坐标
例2
如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体
OABC − O′A′B′C′，且OA = 6，OC = 8，OO′ = 5.
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得
空间直角坐标系教案
【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。
空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。
其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。
二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。
✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。
情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。
（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。
（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。
三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。
教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。
四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。
1.3.1空间直角坐标系(教学教学设计)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
- 提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解空间直角坐标系的基本概念和性质。
- 实践活动法：设计小组讨论，让学生在实际操作中加深对坐标系的理解。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学抽象能力。他们能够通过例题解析和实际问题解决，运用逻辑推理方法，掌握空间直角坐标系的运算规则和解题方法。然而，空间想象能力是学生在学习空间直角坐标系时面临的一大挑战。空间直角坐标系是一个三维的概念，学生需要具备良好的空间想象能力，才能更好地理解和运用空间直角坐标系。
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
其中，r表示点P到原点O的距离。
4. 坐标点的坐标应用
①坐标应用的定义：坐标应用是指在空间直角坐标系中，利用坐标点的坐标值进行实际应用的过程。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解空间直角坐标系的基本概念和性质，掌握其在数学中的应用。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据空间直角坐标系的性质和应用，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕空间直角坐标系的概念和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
高一数学人教版A版必修二课件：4.3.1 空间直角坐标系
答案
1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个 空间直角坐标系Oxyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴，通过 每 两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正 方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
解析答案
5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
类型一 求空间点的坐标 例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5， |AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.
4.3.《空间直角坐标系》课件(新人教A版必修2)
思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成，设想：空间直角 坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间 直角坐标系？ z 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴 ∠xOy=135° ∠yOz=90°
O
y
x
思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？
OABC D A B C 是长方体．以O为原点，分别以 如图， 射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向，，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标 O xyz， 其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz平面、zOx平面．
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的 横坐标、纵坐标的含义如何？
(x,y)
|x| |y|
y
O
x
思考2：怎样确定空间中点M的坐标？
设点M是空间的一个定点，过点M分别作 垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、 y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐 标分别是x，y和zz ，那么点M就对应唯一确定 的有序实数组（x，y，z）．
设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间直角坐标系？ C1 思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？ D1 思考4：什么是右手直角坐标系？ A1 B1
思考5：怎样确定空间中点
O A B
C
M的坐标？
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示，它是一维坐标；平面上的 点M的坐标用一对有序实数（x，y） 表示，它是二维坐标.设想：对于空 间中的点的坐标，需要几个实数表 示？ (x,y) y
高中数学人教A版 选择性必修一第一章 1.3.1 空间直角坐标系
2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正方 向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
思考 空间直角坐标系有什么作用？ 答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置 关系解析化.
知识点二 空间一点的坐标
由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 因为 CG＝14CD，G，C 均在 y 轴上，
故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG，可得 DK＝78，HK＝21， 故 H 点坐标为0，78，12. (答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12).
A(x，y，z) ，其中 x 叫做点A的横坐标， y 叫做点A的纵坐标， z 叫做点A的竖
坐标.
思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0). y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0). z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).
反思 感悟
(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y， 即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即 为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
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空间直角坐标系（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）与点B（-1，-1，-1）关于( )对称．
A.x轴
B.y轴
C.z轴
D.原点
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则点E的坐标为( )
A. B.
C. D.
4.设点P（a，b，c）关于原点的对称点为，则=( )
A. B.
C. D.
5.设点P在x轴上，它到的距离为到点的距离的2倍，则点P的坐标为( )
A.（0，1，0）或（0，0，1）
B.（0，-1，0）或（0，0，1）
C.（1，0，0）或（0，-1，0）
D.（1，0，0）或（-1，0，0）
6.已知A（x，5-x，2x-1），B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时，x的值为( )
A.19
B.
C. D.
7.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体，的中点E与AB的中点F的距离为( )
A. B.
C.a
D.
8.如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，|AB|＝4，O是AB的中点，平面PAB⊥平面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O且平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，E为线段PD的中点，则点E的坐标是( )
A. B.
C. D.
9.点P（x，y，z）满足，则点P在( )
A.以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上
B.以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上
C.以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上
D.无法确定
10.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B.
C. D.。