垂径定理导学案
初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
C BD O A 垂径定理导学案(一)【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】一．创设情景 引入新课如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）二、新知导学'（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：|文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（题设，结论）符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。
|(四) 探究四：垂径定理的推论文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。
符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______∴____=_____，_____=______，_____=______。
(五)利用新知 问题回解赵州桥AB=8，CD=2，求半径。
垂径定理自主学习导学案
D垂径定理【学习目标】1．理解圆的轴对称性；2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。
【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。
【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理。
【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。
【学习过程】一、学前准备1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。
3．圆的有关概念。
（1）圆弧：（2）弦：M COAB 二、活动探究活动一：探究圆的对称性1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？2．结论：_______________________，_____________________________。
活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。
2．研究右图的对称性。
并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？并说明理由。
3．垂径定理：________________________________，________________________________。
用符号语言表述：4．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。
（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。
活动三：探究垂径定理的逆定理1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。
初中数学九年级3.3垂径定理(1)导学案设计
3.3垂径定理⑴导学案城南数学：周耀良学习目标：掌握垂径定理及其简单的应用。
【基础知识】试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠•你能发现什么结论？我们发现画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，再作一条与直径垂直的弦（不过圆心）.理一理：作一条和直径CD的垂直的弦AB，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点线段、圆弧重合？结论：① EA= ______ ② AC 二_______ ; BD = ________我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：b5E2RGbCAP垂径定理的几何语言•/ CD为直径，CD丄AB （0C丄AB ）【要点知识】1•已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. （分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点请说出作图的理由。
思考：如何画弧AB的四等分点变式题：过已知O 0内的一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点2•已知O 0的半径是13cm，一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。
3已知如图所示，在O0 中，弦AB // CD,求证：AC 二BD4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,求截面圆心0到水面的距离0C •(分析：要求0C的长，因为0C丄AB所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC即可，根4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,据垂径定理可知，AB=2BC).归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？变式：如上图,弦AB的长为8 cm,圆心0到AB的距离为3 cm,求O 0的半径.【巩固提升】★AB是OO的直径，弦CD±AB,E为垂足，若AE=9,BE= 1,求CD的长.★O 0的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，则线段0M的长的最小值为大值为 _____________ .plEanqFDPw★★已知O 0的直径是5 0 cm,O O的两条平行弦AB= 4 0 cm , CD= 4 8 cm , 求弦AB与CD之间的距离。
3.3垂径定理导学案2
课题 3.3 垂径定理2 导学案时间：课型：新授【学习目标】1、巩固垂径定理.2、熟练运用垂径定理解决有关问题.【重点难点】重点：垂径定理及应用. 难点：垂径定理的应用.【导学流程】一、知识铺垫：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：a、垂直于弦 b、直径 c、平分弦 d、平分弦所对的优弧 e、平分弦所对的劣弧这5个，任意2个作为条件，可以推出其余3个结论.二、深入学习：例1、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．例2、如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE 和BF为什么相等吗？课海拾贝我的困惑：我们的困惑：三、迁移运用：1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径．2、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.3、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.4、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示，AD＝2.3米，CD＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？课后反思A BC DCODEF。
冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 导学案
垂径定理学习目标：1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.学习重点：垂径定理及其推论的推导.学习难点：垂径定理及其推论的运用.教学过程一、知识链接1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.3.半圆（或直径）所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是____.二、新知预习3.如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？答：________________________________________________.我们发现：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.这就是垂径定理.4.如图，在⊙O中直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.（1）若AE=BE，能判断除CD与AB垂直吗？AD与BD（AD或BC）相等吗？答：________________________________________________.（2）若AD=BD（或AC=BC），能判断CD与AB垂直吗？AE与BE相等吗？答：________________________________________________.于是我们得到垂径定理的推论：_____________________________________________.三、自学自测1．下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线一定经过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 一、要点探究探究点1：垂径定理及其应用问题1：如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应 用勾股定理解决问题． 【针对训练】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm问题2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 【针对训练】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm.探究点2：垂径定理的推论问题：如图所示，⊙O 的弦AB.AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A．100° B．110° C．120° D．130°【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．【针对训练】如图，点A.B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A.B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．二、课堂小结内容运用策略垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧. 垂径定理是这么么线段、弧相等的重要条件，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据.简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存，辅助线从圆心发，有弦就作弦心距，再连半径成斜边，构造直角三角形.垂径定理的推论平分弦（非直径）的直径_______弦，并且_______所对的两条弧垂径定理的推广如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个条件：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.当堂检测1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥A B 于点E ，则下列结论一定正确的个数有①CE＝DE ；②BE ＝OE ；③CB ︵＝BD ︵；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M3.如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ．若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为________．4.．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m ，拱顶高出水面4m .(1)求这座拱桥所在圆的半径．(2)现有一艘宽5m ，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．5.如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．当堂检测参考答案： 1.A 2. B 3.2 4.(1)连接OA ，根据题意得CD ＝4m ，AB ＝12m ，则AD ＝12AB ＝6m .设这座拱桥所在圆的半径为xm ， 则OA ＝OC ＝xm ，OD ＝OC －CD ＝(x －4) m ， 在Rt△AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2， 则x 2＝(x －4)2＋62， 解得x ＝6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5m . (2)货船不能顺利通过这座拱桥． 理由：连接OM. ∵OC⊥MN，MN ＝5m ， ∴MH＝12MN ＝2.5m .在Rt△OMH 中，OH ＝OM 2－MH 2＝6(m )， ∵OD＝OC －CD ＝6.5－4＝2.5(m )， ∴OH－OD ＝6－2.5＝3.5(m )＜3.6m . ∴货船不能顺利通过这座拱桥．5.作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．。
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
垂径定理
《垂径定理》导学案学习目标：1。
能对照图形说出垂径定理的相关结论，2．会运用垂径定理解决有关计算题、证明题等题型， 3．在学习的过程中，培养学生解决问题的能力。
学习过程：预习检测：1。
圆的对称性是 、 、 。
2．如图，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着CD 对折，你能得到哪些结论？尝试列举。
新知探究：垂径定理的实质如图，（1）⊙O 中，CD 是直径，若C D ⊥AB ，则有 ， ；（2）⊙O 中，CD 是直径，AE=BE ，则有 ， ；（3）若有C D ⊥AB ，AE=BE ，则有 ， ；（4）若有AE=BE ，AD=BD ，则有 ， ；尝试应用一：如图，⊙O 中，直径AB 的长是12厘米，E 是OB 的中点，求CD 的长。
一变：⊙O 中，AB 是直径，弦C D ⊥AB ，垂足为点E ，如果CD=8，E 是OB 的中点，求AB 的长。
二变：⊙O 中，弦MN 的长是8厘米，弧MN 的中点C 到MN 的距离为2厘米，求⊙O 的半径三变：⊙O 的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB 、CD 的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离。
四变：如图，⊙O 中，弦AB 的长为83厘米，∠AOB 的度数是1200，求⊙O 的直径。
练一练：1。
半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长是多少？2．在直径为650毫米的圆柱形油槽内装一些油后，截面如图，若油面宽AB=600毫米，求油的最大深度。
3．在△ABC 中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C 为圆心，AC 为半径的圆交斜边AB 于D ，求AD 的长。
尝试应用二：如图，⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，过点C 作C E ⊥CD 交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥CD 交AB 于点F ，求证：AE=BF一变：如图，⊙O 中，AB 是直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，试说明：CE=DF二变：如图，弦CD 交直径AB 于点G ，过点C 作CE ⊥CD 于点C ，过点D 作DF ⊥CD 于点D ，分别交直径的延长线于E 、F ，试说明：AE=BF 。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
浙教版数学九年级上册_《垂径定理(1)》导学案1
3.3垂径定理(1)【自主卡】一、预学内容：九年级上册3.3垂径定理P76-78二、预学目标：1、经历探索垂径定理的过程；2、掌握垂径定理；3、会用垂径定理解决一些简单几何问题。
三、预学活动1、将图1沿着直径CD所在的直线对着，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？弦AB与直径CD有何位置关系？点：线段：圆弧：垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且______弦所对的弧。
图1定理证明：如图1，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD，求证AE=BE,AC=BC,AD=BD。
几何语言: CD是⊙O的直径，AB⊥CD∴____________________________________________________________，叫做这条弧的中点。
2、阅读书本例一，用直尺和圆规作出⊙O的圆心O，并说说作法。
作法：3、一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm（如图）。
求截面圆中弦AB的长。
思考：①半径OD与弦AB有怎样的位置关系？②什么叫做弦心距？③弦心距、半径与弦AB的半径满足怎样的数量关系？【合作交流】点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦。
【测评卡】1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜52．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．23．如图，AB是⊙O的弦，已知∠OAB=30°，AB=4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．4．小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（）A．4m B．5m C．6m D．7m5、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．6、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．7、如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5．求AB的长度．8、如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．9、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．（1）求此圆形门洞的半径；（2）求要打掉墙体的面积．。
垂径定理导学案
垂径定理导学案第 贞 一、定理推导1、思考：在圆里怎么平■分一条弦，一条弧2、 垂径定理 条件：,结论：3、 垂径定理推论 条件：,结论：二、典型问题 例题1、 基本概念 1 .下面四个命题中正确的一个是( )A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2. 下列命题中，正确的是( ).A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度 AB 是 cm.A2、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是 48cm ,那么油的 最大深度为 cm.3、如图，已知在。
O 中，弦AB =CD ，且AB _LCD ，垂足为H , OE _L AB 于E , OF _L CD 于F .姓名： __________________C(1)求证：四边形OEHF是正方形.(2)若CH =3 , DH =9，求圆心O到弦AB和CD的距离.4、已知：△ ABC内接于。
O, AB=AG半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图，F是以。
为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是■的中点，AD± BC于D,求证:例题3、度数问题1、已知：在O 。
中，弦AB=12cm ,。
点到AB的距离等于AB的一半，求：4AOB的度数和圆的半径.2、已知：O O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是J2、J3 .求£ BAC的度数。
例题4、相交问题如图，已知O O的直径AB和弦CD相交于点E, AE=6cm, EB=2cm, Z BED=30 ,例题5、平行问题在直径为50cm的③O中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB// CD,求：AB与CD之间的距离.1 AD=—BF.2例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB,交小圆于 C 、D 两点，设大圆和小圆的 半径分别为a,b .求证：AD ED =a 2 _b 2.三、作业1.下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直丁弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（ ）.2.如图7- 8, AB 为③O 直径，弦C 皿AB,垂足为E,则下面结论中错误的是（3. 如图7- 9,已知AB 是CDO 的直径，弦CEUAB 丁点P, CE10cm AP ： P 『1 ： 5,那么CD O 的半径是（）.A. 6cmB. 3/5 cmC. 8cmD. 5j3cm4. 如图7- 10, OO 内接△AB®, AE BC ZACdZ BCD D 是OO 上的一点，则下列结论：①CD 是③O 直径；②CW 分弦A 耳③久？=上；④弟=命;⑤C 皿AB,其中正确的有（）.A.3个B. 4个C. 5个D. 2个5. 在OO 中，弦AB 的长为8cm 圆心O 到AB 的距离为3c^则OO 的半径是（）. A. 10cmB. 8cmC. 5cmD. 4cm6. 圆的半径为2cm,圆中的一条弦的长为2V3cm 则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（）. A. 1cmB. 、3cmC. 3cmD. 2、3 cm7. 在下列说法中，①垂直平■分弦的直线经过圆心；②直径垂直平■分弦；③平■行弦所夹的两条 弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 A C 『DE B .C. Z BAC Z BAD D . AC^ AD图 7— 10 图 7- 11）.8. OO的半径为12cm弦AB为8cm则圆心到弦的距离是 .9.在半径为10cm的CD。
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圆的对称性（垂直于弦的直径）【学习目标】
1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论
2、会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题【学习重点、难点】
重点：垂径定理及其推论
难点：垂径定理及其推论
【学法指导】通过动手操作，探索发现圆的对称性，垂径定理及其他推论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法
【知识链接】
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么?
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？对称中心呢？
【预习案】（认真自学，你能行）
看课本P37试一试
在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，你能发现什么结论？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：
相等的弧：
（3）你会证明吗？试试看：
（4）如何用语言文字来描述你的结论？用几何语言呢？【我的困惑】
【探究案】(合作学习，快乐探究)
1、下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？
2、讨论：
（1）过圆心（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
这五个条件中已知其中的两个能否推出其他的三个？
垂径定理的推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
3、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8m ，圆心O O 到AB 的距离为3m.求⊙O O 的半径。
4、你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
【课堂检测】
【我的收获】。