垂径定理 优秀教学设计(教案)
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理优秀教案
垂径定理【教学目标】一、教学知识点。
（一）圆的轴对称性。
（二）垂径定理及其逆定理。
（三）运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。
二、能力训练要求。
（一）经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
（二）培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
三、情感与价值观要求。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】垂径定理及其逆定理。
【教学难点】垂径定理及其逆定理的证明。
【教学方法】指导探索和自主探索相结合。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性。
二、讲授新课。
下面我们一起来按下面的步骤做一做：（一）在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
（二）得到一条折痕CD．（三）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
（四）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图。
[师]老师和大家一起动手。
（教师叙述步骤，师生共同操作）[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。
[师]很好。
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
[师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合。
[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB。
因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM。
又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合。
垂径定理教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理一等奖教学设计2篇
第1篇教材分析本节课是九上《圆的基本性质》的学习内容，是学生在学习了圆的基本概念之后，研究的圆的第一个重要性质——垂径定理。
该定理是以圆的轴对称性为认识起点，在观察、猜想、操作的基础上探究得到的。
揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化。
垂径定理及其推论是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为与圆相关的计算和作图提供了方法和依据。
本课还重视圆的知识与三角形知识之间的转化，为后续的学习和探究奠定了基础。
学情分析本节课的授课对象是九年级的学生，经过两年的几何学习，有一定的合情说理能力。
通过本章前一部分的学习，掌握了圆的一些概念，已经历“探索、发现、猜想、证明”的过程，同时在以前的数学学习过程中，学生也有过很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作交流的能力。
学习目标1．初步掌握垂径定理，会简单运用垂径定理解决相关数学问题。
2．经历垂径定理的探究过程，进一步体验“观察-猜想-实验-证明”的方法。
3．会把相关实际问题抽象为数学问题并加以解决，积累数学建模活动的基本经验。
重点难点学习重点：探究垂径定理并证明，能初步运用垂径定理解决相关数学问题。
学习难点：垂径定理的导出有一定难度，以及如何运用垂径定理分析和解决问题。
学习过程（一）探索垂径定理1．动一动：观察圆形纸片，老师找不到圆心了，不用工具只用折叠的办法，你能帮助找到圆心吗？2．想一想：两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？【教师评价】圆是一个轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
【设计意图】本节课首先通过动一动，想一想，观察得到圆具有轴对称性。
3．已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足是点E.图中有哪些相等的线段和弧（半圆除外）？4．已知：如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，垂足是点E。
求证：AE=BE，=，=。
图片【教师评价】在运用等腰三角形“三线合一”和圆的轴对称性来证明结论之后，特别指出当遇到“弦恰为直径”这一特殊情况时，无法构造等腰三角形，需另外证明。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入：利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。
提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”2. 自主探究：3. 小组交流：4. 例题讲解：利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：六、板书设计板书垂径定理板书内容：1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案：垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
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O
（图 5） 。 C
Ņ O B
。
〖变式二〗如图 6，在⊙O 中，半径 OC⊥AB，垂足为 E， 。 （图 6） 思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
O D B
（图 7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？
证法一：连结 OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。 证法二：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本 P77 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。 注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图 7 中，若 AC=2，AB=10，则圆环的面积是 〖变式一〗若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式二〗若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式三〗将图 7 变成图 8（三个同心圆） ，你可以 证明哪些线段相等？ 〖例 3〗（选讲）如图 9，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， Ń AC＝3，BC＝ 6 2 ，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交 斜边 AB 于 D，求 AD 的长。 （答案：2） 略解：过点 C 作 CE⊥AB 于 E，先用勾股定理求得
2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理” 。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图 4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适 用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 ୂ Ɂ C ୂ
ୂ A E ୂ D (a)AB⊥CD 于 E
A O ୂ
ୂ E
O
B
B
ୂ
D (b)E 是 AB 中点
ୂ
ୂ
(c)OC⊥AB 于 E （图 4）
(d)OE⊥AB 于 E
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。 四、例题示范，变式练习 1．运用定理进行计算。 〖例 1〗如图 5，在⊙O 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm， A ୂ B 求⊙O 的半径。 分析：因为已知“圆心 O 到 AB 的距离为 3cm” ，所以要作 辅助线 OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结 OA。 解：（略）学生口述，教师板书。 〖变式一〗在图 5 中，若⊙O 的半径为 10cm，OE=6cm，则 AB= 思考一：若圆的半径为 R，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为 d， 则 R、a、d 三者之间的关系式是 若 CE=2cm，AB=8cm，则⊙O 的半径= 2．运用定理进行证明 〖例 2〗已知：如图 7，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。 求证：AC＝BD。 （证明△OAC≌△OBD 或证明△OAD≌△OBC） ②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）
二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图 2(a)，弦 AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如图 2(b)，将弦 AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图 2(b)中，若将⊙O 沿直径 AB 对折，两部分是否重合？ ୂ C
ୂ ୂ ୂ A ୂ B
C ୂ ୂ
A D
ୂ
B A
O ୂ (b) （图 3）
ୂ
E
D (c)
B
(a) （图 2） 2．实验验证：
(b)
(a)
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用 电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图 3(a)，AB、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图 3(b)，当 AB⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图 3(c)，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相 等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图 3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
AE BD ⌒ ⌒ （板书） AC BC CD弦AB, 垂足为E ⌒ ⌒ AD BD CD是圆O的直径
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图 3(c)中沿直径 CD 对折，这条特殊直径两侧 的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE” ，可通过连结 OA、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等” ，就是要证明它们“能够完全重合” ，可利用圆的对称性证明。
垂径定理（第一课时）教学设计
【教学内容】§24.1.2 垂径定理（初三数学上册课本 P81~P83） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升） ，其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图） 。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保 存最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史， 被誉为“华北四宝之一” ，它的结构是当时世界桥 梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 1） ，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 ୂ 米，拱高（弧的中点到弦 AB 的距离， ୂ ୂ 也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的 A B D ⌒ 半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？ ﮡ ୂ ୂ ୂ †ୂ ƶ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图 1）