二次根式单元 易错题难题提高题检测

一、选择题

1．下列计算正确的是（ ）

A =

B ．2=

C ．(2

6

=

D ==

2．,a ==b a 、b 可以表示为 （ ） A ．

10

a b

+ B ．

10

-b a

C ．

10

ab D ．

b a

3．)

5=（ ）

A ．5+

B ．5+

C ．5+

D ．4．下列各式中，正确的是（ ）

A 2=±

B =

C 3=-

D 2=

5．下列各式计算正确的是（ ）

A ．6

23

212

6()b a b a b a

---?=

B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy

C =

D ．2x ?3x 5=6x 6

6．化简 ）

A

B

C D

7．已知a 满足2018a -a ，则a －2 0182＝( ) A ．0

B ．1

C ．2 018

D ．2 019

8．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=

B ．a 1=

C ．a 1≤

D ．a=0a=1或

9．下列各式成立的是（ ）

A 2

B 5=-

C x

D 6=-

10．2的结果是（ ） A ．±3

B ．﹣3

C ．3

D ．9

二、填空题

11．若m

m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．

12．计算（π-3）02-2

11(223)-4

--22

--（）

的结果为_____． 13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．

⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为

234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；

⑵根据以上规律写出n a 的表达式．

14．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 15．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“

”表示算数平

方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.

16．化简二次根式2a 1

a

+-

_____. 17．已知：5+2

2可用含x 2=_____．

18．已知实数m 、n 、p 满足等式

33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．

19．4102541025-+++=_______．

20．

化简(3+-的结果为_________.

三、解答题

21．

2

-+

1

【分析】

先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.

【详解】

2

-+

=1)2(3

+?

=12

1.

【点睛】

此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.

22．若x，y为实数，且y

1

2

．求

x

y

y

x

+

+2－

x

y

y

x

+

-2的值．

【分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x=

1

4

，此时y=

1

2

．即可代入求解．

【详解】

解：要使y有意义，必须

140

410

x

x

-≥

?

?

-≤

?

，即

1

4

1

4

x

x

?

≤

??

?

?≥

??

∴x＝

1

4

．当x＝

1

4

时，y＝

1

2

．

又∵

x

y

y

x

+

+2－

x

y

y

x

+

-2

＝

－

|

∵x＝1

4

，y＝

1

2

，∴

x

y

＜

y

x

．

∴

+

当x＝1

4

，y＝

1

2

时，原式＝

．

【点睛】

（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

23．先阅读材料，再回答问题：

因为

)

111

=

1

=

；因为

1

=

，所以=

1

=

=

（1

=

，=；

（2

???+的值．

【答案】（1

2）9

【分析】

（1

）仿照例子，由

1

+=

的值；由

1

+=

1

的值；

（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案．

【详解】

解：（1

）因为

1

-=

；

因为

1

=

（2

???+

1=+???

1=

1019=-=．

【点睛】

本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．

24．x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析. 【解析】 试题分析：

先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义. 试题解析：

原式22

x x =

=--

=

= 要使原式有意义,则x ＞2.

所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝2

25．小明在解决问题：已知

2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：

∵

=2 ∴a ﹣2=

∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1

∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1

（2）若

，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5．

【解析】

试题分析：

（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得

1

===.

(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2

(1)

a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.

解：（1）原式=1)++

+?

（2）∵1

a===，

解法一：∵22

(1)11)2

a-=-=，

∴2212

a a

-+=，即221

a a

-=

∴原式=2

4(2)14115

a a

-+=?+=

解法二∴原式=2

4(211)1

a a

-+-+

2

4(1)3

a

=--

2

11)3

=--

4235

=?-=

点睛：（1

得22

=-=-

a b，去掉根号，实现分母有理化.

（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.

26．先化简，再求值：a，其中

【答案】2a-1，

【分析】

先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可．

【详解】

解：1

a=-

∴原式=1

a a

--=21

a-

当1

a=-

∴原式=(211-

=1-【点睛】

此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键．

27．计算：0(3)|1|π-+．

【答案】【分析】

根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】

解：原式11=+=

【点睛】

本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．

28．计算：

（1 （2）（

)()

2

2

21-

【答案】2）1443 【分析】

(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】

解：(1)原式＝23223323，

(2)原式(34)(12

431)1124311443，

故答案为：1443． 【点睛】

本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D 解析：D 【解析】

5=

=，

=，(2

4312=?=，选项D 正确．

2．C

解析：C 【分析】

化简即可． 【详解】

10

ab

． 故选C ． 【点睛】

的形式． 3．B

解析：B 【分析】

根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】

)

5

=5+ 故选：B ． 【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

4．B

解析：B 【分析】

本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A 、B 、C 选项；利用立方根性质判断D 选项． 【详解】

A ，故该选项错误；

B ==

C 3=，故该选项错误；

D 1

1

2

23334=(2)2==，故该选项错误； 故选：B ． 【点睛】

本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．

5．D

解析：D 【分析】

依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果． 【详解】

A. 23

215

2

6()b a b a b a

---?=，故选项A 错误；

B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；

C 错误； D. 2x ?3x 5=6x 6，正确． 故选：

D ． 【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．C

解析：C 【解析】

根据二次根式有意义的条件可知﹣

1

x

＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x

. 故选C ．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可． 【详解】

解：等式2018a -＝a 成立，则a ≥2019，

∴，

，

∴a-2019=20182，

∴a-20182=2019．

故选D．

【点睛】

本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a的取值范围是解题的关键．

8．C

解析：C

【解析】

试题解析：∵a1，

a

∴1-a≥0，

a≤1，

故选C．

9．A

解析：A

【分析】

直接利用二次根式的性质化简求出即可．

【详解】

解：，正确，故选项A符合题意；

=，原选项计算错误，故选项B不符合题意；

=，原选项计算错误，故选项C不符合题意；

||x

D. =，原选项计算错误，故选项D不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解答此题的关键．10．C

解析：C

【分析】

根据二次根式的性质即可求出答案．

【详解】

原式＝3，

故选C．

【点睛】

本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

二、填空题 11．4030 【分析】

利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】 m== m==+1， ∴m3-m2-2017m+2015 =m2（m ﹣1）﹣2017m+2015

解析：4030 【分析】

利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】

m

m ），

∴m 3-m 2-2017m +2015 =m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015

= ）22017）+2015

=（2017+2015

﹣2 =4030. 故答案为4030. 【点睛】

本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.

12．﹣6 【解析】

根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．

解析：﹣6 【解析】

根据零指数幂的性质0

1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质

1

(0)p p a a a

-=

≠，可知（π-3）0-2

1-2

（）

=1﹣（3﹣）﹣

4×

2

﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．

13．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）． 【解析】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°． ∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，

解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）． 【解析】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．

∴在Rt △ABC 中，AC

AE ＝2，EH ＝，…，

即a 2a 3＝2，a 4＝ （2）a

n n 为正整数）．

14．【分析】

先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围． 【详解】 解： 为整数 为

故答案为：5． 【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用 解析：5

【分析】

)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=

32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围． 【详解】

解：

()230m m --≤

∴≤≤

m

23

+=

m a

∴=

a m

a

∴≤≤

32

<<

7528

∴<<

46

a

a为整数

a

∴为5

故答案为：5．

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出

围是解此题的关键．

15．a+3

【分析】

根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.

【详解】

解：根据题意可知图中的甲代表a,

∴图2所示题目（字母代表正数）翻

【分析】

根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.

【详解】

解：根据题意可知图中的甲代表a,

∴图2

∵a＞0+3.

=

a

a+3.

【点睛】

本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.

16．【解析】

根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==. 故答案为.

解析：

【解析】

根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知

=

故答案为

17．【解析】 ∵=， ∴== = -==﹣x3+x ， 故答案为：﹣x3+x.

解析：211166

x x -+ 【解析】

∵

x =

-

3

=

=

123

=

146

+

= -2

1116

?

?-???

?=31

116

6

-

+=﹣16x 3+11

6

x ，

故答案为：﹣

16x 3+11

6

x. 18．5 【解析】

试题解析：由题可知， ∴， ∴， ∴， ①②得，， 解方程组得， ∴．

故答案为：5.

解析：5 【解析】

试题解析：由题可知30

30

m n m n -+≥??

--≥?， ∴3m n +=，

0=， ∴35200m n p m n p +--=??

--=?①

②

，

①-②得2620m n +-=，31m n +=，

解方程组331m n m n +=??+=?得4

1

m n =??

=-?， ∴4(1)5p m n =-=--=．

故答案为：5.

19．【分析】

设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】

解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ．

故答案为：． 【点睛】 此题考查的是二

【分析】

t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】

t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，

则244t =+

8=+

8=+

81)=+

6=+

21)=

1t ∴=．

． 【点睛】

此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．

20．1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】 原式=. 故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

解析：1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】

原式=(2

23981-=-=.

故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无

27．无28．无