概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案汇编

至少应取多大？
解：因均匀分布最大顺序统计量
X(n)
的密度函数为
pn (x)
=
nx n−1 θn
Ι 0< x<θ
，
∫ 则α = P{X ∈W | H0} = P{X (n) ≤ 2.5 |θ = 3} =
2.5 0
nx n−1 3n
dx
=
xn 3n
2.5
=
2.5n 3n
0
= ⎜⎛ 5 ⎟⎞n ， ⎝6⎠
则Φ (2c) = 0.975，2c = 1.96，故 c = 0.98；
故 β = P{X ∉W | H1} = P{| X − 6 | < 0.98 | µ = 6.5} = P{−1.48 < X − 6.5 < 0.48 | µ = 6.5}
=
⎧ P⎨− 2.96
<
X
− 6.5
<
⎫ 0.96⎬
第七章 假设检验
习题 7.1
1． 设 X1 , …, X n 是来自 N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题 H0：µ = 2 vs H1：µ = 3，
若检验由拒绝域为W = {x ≥ 2.6} 确定．
（1）当 n = 20 时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当 n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为
拒绝域取为W = {| x − 6 | ≥ c}，试求 c 使得检验的显著性水平为 0.05，并求该检验在µ = 6.5 处犯第二 类错误的概率．
1
解：因α = P{X ∈W | H0} = P{| X
− 6 | ≥ c | µ = 6} = P⎪⎨⎧ X − µ ⎪⎩ 2 16
≥ 2
c 16
= 2c⎪⎬⎫ = 2[1 − Φ(2c)] = 0.05 ， ⎪⎭
α
=
P{X
∈W
|
H0} =
P{X
≥
2.6 |
µ
=
2} =
⎧ P⎨
⎩
X 1
−µ n
≥
2.6 1
−2 20
=
⎫ 2.68⎬
⎭
=1−
Φ(2.68)
=
0.0037 ，
犯第二类错误的概率为
β
=
P{X
∉W
|
H1}
=
P{X
<
2.6 |
µ
=
3} =
⎧ P⎨
⎩
X 1
−µ n
<
2.6 − 3 1 20
=
⎫ −1.79⎬
当原假设不真时，则犯了第二类错误． 若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；
当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误． 6． 设 X1 , …, X20 是来自 0-1 总体 b (1, p) 的样本，考虑如下检验问题
H0：p = 0.2 vs H1：p ≠ 0.2，
∑ ∑ 取拒绝域为W
⎭
=
Φ(−1.79)
=
0.0367
；
（2）因
β
=
P{X
<
2.6
|
µ
=
3}
=
⎧ P⎨
X
−
µ
<
2.6
−
3
=
−0.4
⎫ n ⎬ = Φ(−0.4
n ) ≤ 0.01 ，
⎩1 n 1 n
⎭
则 Φ(0.4 n ) ≥ 0.99 ， 0.4 n ≥ 2.33 ，n ≥ 33.93，故 n 至少为 34；
（3） α
要使得α ≤ 0.05，即 ⎜⎛ 5 ⎟⎞n ≤ 0.05 ， n ≥ ln 0.05 = 16.43 ，
⎝6⎠
ln(5 / 6)
故 n 至少为 17． 5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，
则又有可能犯哪一类错误？ 答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；
=
P{X
≥
2.6 |
µ
=
2} =
⎧ P⎨
X
−
µ
≥
2.6
−
2
=
0.6
⎫ n ⎬ = 1− Φ(0.6
n) →0
(n → ∞) ，
⎩1 n 1 n
⎭
β
=
P{X
<
2.6
|
µ
=
3}
=
⎧ P⎨

−
µ
<
2.6
−
3
=
−0.4
⎫ n ⎬ = Φ(−0.4
n) → 0
(n → ∞) ．
⎩1 n 1 n
⎭
2． 设 X1 , …, X10 是来自 0-1 总体 b (1, p) 的样本，考虑如下检验问题 H0：p = 0.2 vs H1：p = 0.4，
⎩ i=1
Xi ∈W
p
⎫ ⎬ ⎭
=
1
−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
⎟⎟⎠⎞
p
k
(1
−
p ) 20−k
，
∑ ∑ 故
g (0)
=1−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
⎟⎟⎠⎞
×
0k
×120−k
=1，
g (0.1)
=1−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
⎟⎟⎠⎞
×
0.1k
× 0.920−k
=
0.3941 ，
∑ ∑ g(0.2)
4
∑ β = P{X ∉W | H1} = P{X < 0.5 | p = 0.4} = P{10X < 5 | p = 0.4} = C1k0 ⋅ 0.4k ⋅ 0.610−k = 0.6331 ． k =0
3． 设 X1 , …, X16 是来自正态总体 N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题 H0：µ = 6 vs H1：µ ≠ 6，
=
Φ(0.96)
−
Φ(−2.96)
=
0.83 ．
⎩
2 16
⎭
4． 设总体为均匀分布 U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3，
拒绝域取为W = {x(n) ≤ 2.5} ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过 0.05，n
取拒绝域为W = {x ≥ 0.5} ，求该检验犯两类错误的概率．
10
∑ 解：因 X ~ b (1, p)，有 X i = 10 X ~ b(10, p) ， i=1
10
∑ 则α = P{X ∈W | H0} = P{X ≥ 0.5 | p = 0.2} = P{10 X ≥ 5 | p = 0.2} = C1k0 ⋅ 0.2k ⋅ 0.810−k = 0.0328 ， k =5
=1−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
⎟⎟⎠⎞
×
0.2k
× 0.820−k
=
0.1559
，
g (0.3)
=1−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
⎟⎟⎠⎞
×
0.3k
× 0.720−k
=
0.3996 ，
2
∑ ∑ g(0.4)
=1−
k
6 =2
⎜⎜⎝⎛
20 k
=
⎧ 20 ⎨ ⎩ i=1
xi
≥
20
7或
i=1
xi
≤
⎫ 1⎬
⎭
，
（1）求 p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1 的势并由此画出势函数的图； （2）求在 p = 0.05 时犯第二类错误的概率．
∑ ∑ ∑ 解：（1）因 X ~ b (1, p)，有
20 i=1
Xi
⎧ 20 ~ b(20, p) ，势函数 g( p) = P⎨