2017-2018北京市海淀区学年高二下学期期中考试数学理试题-Word版含答案
北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题
…………外………………内……绝密★启用前北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标为（ ）． A ． 1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．已知直线()1:3210l a x y -++=，直线2:30l ax y +-=，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ）．A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．方程20mx ny +=与221(0)mx ny m n +=>>的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）．A ．B ．…………○………………○……C．D．5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴端点为1A，2A，短轴端点为1B，2B，焦距为2，若112B A B为等边三角形，则椭圆的方程为（）．A．22162x y+=B．222213xy+=C．223314xy+=D．2211612x y+=6．已知圆C与y轴相切于点()0,2，x轴正半轴．．．截圆C所得线段的长度为圆C的圆心坐标为（）．A．()2B．(2,C．()4,2D．()2,47．已知椭圆22:12xC y+=，直线:l y x=+C上的点到直线l的最大距离为（）．A．B．C．D．8．曲线C是平面内与定点()2,0F和定直线2x=-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为)21，其中，所有正确结论为（）．A．①②B．①④C．①②③D．①②④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知命题:p x R∀∈，210x x-+>，则:p⌝__________．10．经过点()0,1和点()1,3的直线l与圆()()222:12(0)C x y r r-+-=>相切，则直线l方程为__________；r=__________．11．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，()00,A x y是C上一点，54AF x=，则x=__________．12．已知长方形ABCD，4AB=，3BC=，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．13．(2017·天津卷改编)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________.14．设F是椭圆2212516x y+=的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点()1,2,3,iP i=，使1FP，2FP，3FP，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为__________．三、解答题15．已知直线l经过点()2,4P，直线1:10l x y--=．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求直线l方程．（Ⅱ）若1l l⊥，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，求AOB（O为坐标原点）的面积．16．已知定点()2,4M及抛物线2:2(0)C y px p=>，抛物线C的焦点为F且准线l恰好经过圆22:20K x x y++=的圆心K．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程．装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………（Ⅱ）过点F 作MK 的平行线交抛物线C 于A 、B 两点，求AB 的长． 17．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()， )的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程．（Ⅱ）设直线()1y k x =+与C 交于A ， B 两点， k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？18．如图，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b-=>组成，其中0a b >>，点1F ， 2F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点3F ， 4F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， ()22,0F ， ()36,0F -． （Ⅰ）求曲线Γ的方程．（Ⅱ）若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点A 、B ，求1ABF 面积的最大值．参考答案1．C【解析】根据题意，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，且21p =，∴124p =．∴抛物线2y x =的焦点坐标是1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭， 本题选择C 选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要确定已经把抛物线方程化为标准方程.2．B【解析】所以2a =，故选B. 3．A【解析】若12l l ⊥，则()312a a --⨯-=-，即2320a a -+=，解得1a =或2a =， 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件， 本题选择A 选项. 4．A【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示椭圆或双曲线， 当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在y 轴的椭圆，无符合条件的选项；当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示双曲线， 本题选择A 选项. 5．B【解析】∵112B A B 为等边三角形，∴a =，又1c =， 222a b c =+，解得232a =， 212b =， 21c =，则椭圆的方程为2213122x y +=， 即222213x y +=， 本题选择B 选项. 6．A【解析】设圆心为(),a b ，由于圆于y 轴相切于()0,2，故2b =． 又x 轴正半轴截圆C所得线段的长度为由对称性可得a =C的圆心坐标为()2， 本题选择A 选项. 7．B【解析】设椭圆平行于直线y x =+的切线为y x m =+，代入椭圆方程得2234220x mx m ++-=，则()221612220m m ∆=--=，解得m =则切线方程为y x =由于y x =+y x =+y x =C 上的点到直线l 的最大距离，max d ==， 本题选择B 选项.点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．8．D【解析】设动点的坐标为(),x y24x +=．①当0x =时， 0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；24x +=中的y 用y -代替，该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；③令0x =，则0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③错误；24x +=，∴20y =≥，解得x -≤，∴若点M 在曲线C 上，则)4212MF x ==≥=+，故④正确．综上所述，所有正确的结论为①②④， 本题选择D 选项.9．0x R ∃∈， 20010x x -+≤【解析】对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故0:p x R ⌝∃∈， 20010x x -+≤．10． 210x y -+=5【解析】∵直线l 经过()0,1和()1,3， ∴31210l k -==-， ∴直线l 的方程为()120y x -=-，即210x y -+=，∵直线l 与圆()()222:12(0)C x y r r -+-=>相切，∴圆心()1,2到直线210x y -+=的距离， d r ===．即r =. 11．4【解析】根据抛物线的定义可得， A 到焦点F 的距离等于其到准线1x =-的距离，故00514x x +=． 解得04x =．12【解析】试题分析：因为点C 在椭圆上，根据椭圆的定义，，24c =，所以椭考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于中档题．解决问题时先分析椭圆的的焦点，求出椭圆的焦距4AB =，因为有点在椭圆上，利用椭圆的定13．【解析】设点 ，因为该双曲线的离心率为 ，所以，①又经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，② 联立①②，解得 ． 又 ，即 ③， 联立①③，解得 ， ， 故双曲线的方程为．点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．14．22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】椭圆中5a =， 4b =， 3c =，若这个等差数列是增数列，则0d >， 112a PF a c =≥-=， 10108a P F a c =≤+=， ∴10196a a d -=≤，解得23d ≤， ∴203d <≤． 同理，若这个等差数列是减数列，则203d -≤<． 故d 的取值范围是22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．15．(Ⅰ) 20x y -=．(Ⅱ)18. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的点斜式方程可得直线l 方程是20x y -=．(Ⅱ)由题意可得直线l 的方程为60x y +-=，则()6,0A ， ()0,6B ，故166182AOBS=⨯⨯=． 试题解析：（Ⅰ）直线l 的斜率是2，且经过点()2,4P ，则由点斜式可得： 直线l 的方程为()422y x -=-，即20x y -=． （Ⅱ）若直线1l l ⊥，则111l l k k =-=-， ∴直线l 的方程为()42y x -=--，即60x y +-=，令0x =，则6y =，令0y =，则6x =，故()6,0A ， ()0,6B ，166182AOBS=⨯⨯=． 16．(Ⅰ) 24y x =．(Ⅱ) 254. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得圆心()1,0K -，抛物线的准线l 恰好经过点()1,0k -，则2p =．抛物线C 的标准方程为24y x =． (Ⅱ)由题意可知43MK k =，直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线可得241740x x -+=，则12174x x +=，由弦长公式有12254AB x x p =++=． 试题解析：（Ⅰ）由已知圆22:20K x x y ++=的圆心()1,0K -， ∵抛物线22y px =的准线l 恰好经过点()1,0k -， ∴12p-=-， 2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． （Ⅱ）由已知()404213MK k -==--，∴直线AB 过点()1,0，且斜率为43， ∴直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线得 241740x x -+=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12174x x +=， 故121725244AB x x p =++=+=． 点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．(Ⅰ) 2214x y +=．(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的定义可得C 的方程是2214x y +=；(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程有()2222418440k x k x k +++-=，结合韦达定理可得2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+，则2122341k y y k -=+，结合直线垂直的充要条件有2121224041k x x y y k -+==+，则2k =±．然后由弦长公式可得AB =试题解析：（Ⅰ）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以()0，)为焦点，以长半轴为2的椭圆，∴c = 2a =，1b ==． 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）联立()221{ 14y k x x y =++=，消去y ，整理得： ()2222418440k x k x k +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+， ()()()22121212122311141k y y k x k x k x x x x k -=+⋅+=+++=+， 若OA OB ⊥，则222121222244340414141k k k x x y y k k k ---+=+==+++， 解得2k =±． ∴123217x x +=-， 121217x x =．17AB ===． 故当2k =±时， OA OB ⊥，此时AB =． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(Ⅰ) ()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>．(Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得2220{ 16a b ==，则曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． (Ⅱ)由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ．联立直线方程与二次方程可得()225448640m y my +++=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854my y m +=-+， 1226454y y m =+，据此可得面积函数218254S m=⨯⨯+，换元后结合均值不等式的结论可得1ABF 面积的最大． 试题解析：（Ⅰ）()22,0F ， ()36,0F -，∴222236{ 4a b a b +=-=，解得2220{ 16a b ==， 故曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ． 设直线1l 的方程为6(0)x my m =+>，联立得()225448640m y my +++=， ()()2248464540m m ∆=-⨯⨯+>，化简得21m >．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854m y y m +=-+， 1226454y y m =+，∴12y y -=1ABF的面积218254S m=⨯⨯+，令0t =>，则221m t =+，∴4S t t=≤+，当且仅当32t =，即m = ∴1ABF．。
2017-2018年北京市清华附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
，命题 q：∀ x∈R，x2＞0，则下
B． （￢p）∨q
C． （￢p）∧（￢q） D ． p ∧（￢ q ） ）
5． （5 分）已知 a，b 为非零实数，z=a+bi，“z2 为纯虚数”是“a=b”的（ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6． （5 分）已知 A，B 为圆 x2+（y﹣1）2=4 上关于点 P（1，2）对称的两点，则 直线 AB 的方程为（ A．x+y﹣3=0 ） C．x+3y﹣7=0 D．3x﹣y﹣1=0
2． （5 分）下列函数既是奇函数又存在零点的是（ A．y=sinx B．y= C．y=cosx
3． （5 分）若 A（1，0） ，B（﹣3，m） ，若直线 AB 的斜率为﹣ ，则 m=（ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
4． （5 分）已知命题 p：∃ x0∈R+，x+ =2 列命题为真命题的是（ A．p∧q ）
D．{﹣2，0，1}
【解答】解：∵集合 A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞0}， ∴A∩B={﹣2，1}． 故选：C． 2． （5 分）下列函数既是奇函数又存在零点的是（ A．y=sinx B．y= C．y=cosx ） D．y=lnx
【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y=sinx，是奇函数，当 sinx=0 时，解可得 x=kπ+ 意； 对于 B，y= ，是奇函数，但不存在零点，不符合题意； 对于 C，y=cosx，不是奇函数，不符合题意； 对于 D，y=lnx，为对数函数，不是奇函数，不符合题意； 故选：A． 3． （5 分）若 A（1，0） ，B（﹣3，m） ，若直线 AB 的斜率为﹣ ，则 m=（ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 ） ，存在零点，符合题
2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数．则“函数y＝f（x）在R上单调递增”是“f'（x）＞0在R上恒成立”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2 4．（5分）函数y＝x cos x的导数为（）A．y′＝cos x﹣x sin x B．y′＝cos x+x sin xC．y′＝x cos x﹣sin x D．y′＝x cos x+sin x5．（5分）设f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）6．（5分）若复数z＝（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x＝2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（5分）函数f（x）＝（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y＝sin x B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3 10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，若对于区间[﹣3，2]上任意的x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．0B．10C．18D．2011．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）12．（5分）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A．4B．6C．32D．128二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1+i，则z2＝．14．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f （2018）+f'（2018）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x+a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝l处有极值10，则（a，b）＝．17．（5分）对于函数f（x）＝（2x﹣x2）e x①（﹣，）是f（x）的单调递减区间；②f（﹣）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；③f（x）没有最大值，也没有最小值；④f（x）有最大值，没有最小值．其中判断正确的是．18．（5分）若函数e x f（x）（e＝2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：①f（x）＝（x＞1）②f（x）＝x2③f（x）＝cos x④f（x）＝2﹣x中具有M性质的是．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（I）求f（x）的单调减区间；（II）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．（15分）设f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x＝1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．22．（15分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线垂直，求a的值；（Ⅱ）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值．2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝故选：D．2．（5分）函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数．则“函数y＝f（x）在R上单调递增”是“f'（x）＞0在R上恒成立”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝x3，在R上单调递增，但f′（x）＝3x2≥0，则f'（x）＞0在R上恒成错误，即充分性不成立，若f'（x）＞0在R上恒成立，则由函数单调性的性质知函数y＝f（x）在R上单调递增，即必要性成立，即“函数y＝f（x）在R上单调递增”是“f'（x）＞0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．故选：A．4．（5分）函数y＝x cos x的导数为（）A．y′＝cos x﹣x sin x B．y′＝cos x+x sin xC．y′＝x cos x﹣sin x D．y′＝x cos x+sin x【解答】解：根据（μv）′＝μ′v+μv′可得y′＝x′cos x+x（cos x）′＝cos x﹣x sin x故选：A．5．（5分）设f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【解答】先求其定义域为（0，+∞），，借助分子函数y＝2（x+1）•（x﹣2）的图象，只考虑x＞0上，容易知道当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故所求增区间为（2，+∞）．故选：C．6．（5分）若复数z＝（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x＝2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“z是纯虚数”的充要条件为即x＝±2∵x＝±2成立推不出x＝2成立；反之若x＝2成立则x＝±2成立∴“z是纯虚数”是“x＝2”的必要不充分条件故选：B．7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：D．8．（5分）函数f（x）＝（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数f（x）＝（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x ＝0的实数根的个数，即log2x＝（）x，令f（x）＝log2x，g（x）＝（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）＝（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．9．（5分）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y＝sin x B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【解答】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sin x时，y′＝cos x，满足条件；当y＝lnx时，y′＝＞0恒成立，不满足条件；当y＝e x时，y′＝e x＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，若对于区间[﹣3，2]上任意的x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．0B．10C．18D．20【解答】解：f′（x）＝3（x2﹣1）；∴x∈[﹣3，﹣1）时，f′（x）＞0，x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x＝﹣1时，f（x）有极大值2，x＝1时，f（x）有极小值﹣2，且f（﹣3）＝﹣18，f（2）＝2；∴f（x）的最小值为﹣18，最大值为2；∴|f（x1）﹣f（x2）|≤20；∴t≥20；∴t的最小值是20．故选：D．11．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．12．（5分）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A．4B．6C．32D．128【解答】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1+i，则z2＝﹣2i．【解答】解：由zi＝1+i，得，则z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．故答案为：﹣2i．14．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f （2018）+f'（2018）＝﹣2011．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f′（2018）＝﹣1，将x＝2018代入切线方程y＝﹣x+8，得f（2018）＝﹣2018+8＝﹣2010，则f（2018）+f'（2018）＝﹣2011；故答案为：﹣2011．15．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【解答】解：∵函数f（x）＝e x﹣x+a，∴f′（x）＝e x﹣1，f′（x）＝e x﹣1＝0，x＝0，f′（x）＝e x﹣1＞0，x＞0，f′（x）＝e x﹣1＜0，x＜0，∴函数f（x）＝e x﹣x+a在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，x＝0，f（x）取得极小值＝f（0）＝1﹣0+a＝a+1，∵函数f（x）＝e x﹣x+a，∴a+1≤0，即a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]16．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝l处有极值10，则（a，b）＝（4，﹣11）．【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）＝3+2a+b＝0①，f（1）＝1+a+b+a2＝10②，联立①②解得或，当a＝﹣3，b＝3时，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x＝1不为极值点，不合题意；经检验，a＝4，b＝﹣11符合题意，则（a，b）＝（4，﹣11）故答案为：（4，﹣11）．17．（5分）对于函数f（x）＝（2x﹣x2）e x①（﹣，）是f（x）的单调递减区间；②f（﹣）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；③f（x）没有最大值，也没有最小值；④f（x）有最大值，没有最小值．其中判断正确的是②③．【解答】解：函数f（x）＝（2x﹣x2）e x导数为f′（x）＝（2﹣x2）e x，由f′（x）＞0，可得﹣＜x＜；由f′（x）＜0，可得x＜﹣或x＞；可得f（x）的增区间为（﹣，），减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；f（x）的极小值为f（﹣），极大值为f（），f（x）无最小值，且无最大值，则①④错误，②③正确．故答案为：②③18．（5分）若函数e x f（x）（e＝2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：①f（x）＝（x＞1）②f（x）＝x2③f（x）＝cos x④f（x）＝2﹣x中具有M性质的是①④．【解答】解：根据题意，设g（x）＝e x f（x），依次分析所给的函数，对于①，f（x）＝，则g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，当x＞1时，有g′（x）＞0，则函数g（x）在f（x）的定义域上单调递增，函数f（x）具有M性质；对于②，f（x）＝x2，则g（x）＝e x•x2，其导数g′（x）＝e x•x2+e x•2x＝e x（x2+2x），而x∈R，当﹣2＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上为减函数，函数f（x）不具有M性质；对于③，f（x）＝cos x，则g（x）＝e x•cos x，其导数g′（x）＝e x•cos x﹣e x•sin x ＝e x•（cos x﹣sin x），而x∈R，g′（x）＞0不恒成立，即g（x）在在f（x）的定义域上单调递增不成立，函数f（x）不具有M性质；对于④，f（x）＝2﹣x，g（x）＝e x•2﹣x＝＝（）x，＞1，则g（x）为增函数，函数g（x）在f（x）的定义域上单调递增，函数f（x）具有M性质；则具有M性质的函数为①④；故答案为：①④．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（I）求f（x）的单调减区间；（II）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f'（x）＝﹣3x2+6x+9．令f'（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）＝8+12﹣18+a＝2+a，f（2）＝﹣8+12+18+a＝22+a，所以f（2）＞f（﹣2），因为在（﹣1，3）上f'（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f （x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有22+a＝20，解得a＝﹣2．故f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2．因此f（﹣1）＝1+3﹣9﹣2＝﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．20．（15分）设f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）因f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）＝2a（x﹣5）+，（x ＞0），令x＝1，得f（1）＝16a，f′（1）＝6﹣8a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a＝（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a＝8a﹣6，∴a＝．（2）由（1）得f（x）＝（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）＝（x﹣5）+＝，令f′（x）＝0，得x＝2或x＝3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x＝2时取得极大值f（2）＝+6ln2，在x＝3时取得极小值f（3）＝2+6ln3．21．（15分）已知函数f（x）＝ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x＝1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）由题意知f（1）＝﹣3﹣c，因此b﹣c＝﹣3﹣c，从而b＝﹣3又对f（x）求导得＝x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）＝0，因此a+4b＝0，解得a＝12（2）由（I）知f'（x）＝48x3lnx（x＞0），令f'（x）＝0，解得x＝1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（3）由（II）知，f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪22．（15分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线垂直，求a的值；（Ⅱ）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导函数为＝．[（2分）]依题意，有f'（1）＝e•（a+1）＝e，[（4分）]解得a＝0．[（5分）]（Ⅱ）由及e x＞0知，f'（x）与同号．令，[（6分）]则．[（8分）]所以对任意x∈（0，+∞），有g'（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）单调递增．[（9分）]因为a∈（0，ln2），所以g（1）＝a+1＞0，，故存在，使得g（x0）＝0．[（11分）]f（x）与f'（x）在区间上的情况如下：所以f（x）在区间上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增．所以f（x）存在极小值f（x0）．[（13分）]。
2017-2018年北京市首师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．34．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=，∴B＜A，∴B∴B=45°故选：C．2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（1﹣2i）（m﹣2i）=（m﹣4）﹣（2m+2）i，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点的坐标为（m﹣4，﹣2m﹣2）．当m＞4时，m﹣4＞0，此时﹣2m﹣2＜0，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点不可能是第一象限．故选：A．3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．3【解答】解：∵=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1），又⊥，∴2×（﹣1）+（k﹣1）=0∴k=3故选：D．4．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选：C．5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知AB=，BC==2，AC==，由余弦定理得cos∠ABC==．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：在△ABC中，∵a=2bcosC，由余弦定理可得a=2b•，化简可得b2=c2，b=c，故三角形为等腰三角形，故选：A．7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=∴货轮航行的速度v=海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4【解答】解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则在方向上正射影为：cosθ=•====故答案为：11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=7．【解答】解：由题意可得=1×3cos120°=﹣，∴|5|=====7．故答案为：7．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①利用三角形中大角对大边，可得A＞B 等价于a＞b，故正确；②利用正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，故正确；③由cosA＜cosB，利用余弦函数的单调性可得A＞B，sinA＞sinB，故正确；④取A=120°，B=30°，可验证A＞B，不能得到tanA＞tanB，故不正确．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6] ．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2﹣a2x的导数为f′（x）=3x2+2ax﹣a2，在区间（0，1）上为减函数，可得f′（x）≤0在（0，1）恒成立，即有﹣a2≤0，3+2a﹣a2≤0，解得a≥3或a≤﹣1；在区间（2，+∞）上为增函数，即f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可得3x2+2ax﹣a2≥0，即（3x﹣a）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，若a≤﹣1，可得2≥﹣a，即有﹣2≤a≤﹣1；若a≥3，可得2≥a，解得3≤a≤6，综上可得a的范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6]，故答案为：[﹣2，﹣1]∪[3，6]．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故答案为：（0，+∞）．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．【解答】解：（I）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，由，解得，c=6．（II）由锐角△ABC中，可得，由余弦定理可得：，解得：a=4．由正弦定理：，即．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=（x＞0），当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，∴x=1时，f（x）有最小值为1，当x=e时，f（x）有最大值为．∴函数f（x）在[1，e]上的值域为[1，]；（2）∵f′（x）=﹣+=，且a≠0，令f'（x）=0，得到x=，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜﹣，即a∈（﹣∞，﹣）；当a＞0时，①若e≤，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立；②若1＜＜e，即1＞a＞时，则有），∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g （x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f （x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．。
北京市2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(一)
北京市2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（一）（文科）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．“a＞2”是“对数函数f（x）=log a x为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）=的值域为（）A．（e，+∞）B．（﹣∞，e）C．（﹣∞，﹣e）D．（﹣e，+∞）6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{3，4，5}9．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，，则函数y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．C．D．10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11．=______．12．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=______．13．观察下列不等式：=1，=，=，=3，=，…，依此规律，第n个等式为______．14．若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是______．15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f （x）=______，不等式f（x+2）＜5的解集是______．16．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是______；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=______（用数值作答）．三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2﹣bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=﹣1．（1）求b，c的值；（2）当x∈[0，3]时，求f（x）的取值范围．（3）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=x2﹣a2x+a（a≥0）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x++lnx，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数．参考答案一、单项选择题1．D 2．C．3．B．4．A．5．B．6．B．7．B．8．B．9．A 10．B．二.填空题11．解：=．故答案为：﹣1+．12．解：∵x＞0，a＞0，∴f（x）=4x+≥2=4，当且仅当4x=即x=时取得等号．∴，解得a=36．故答案为：36．13．解：观察下列不等式：=1=，=，=，=3=，=，…，依此规律，可得第n个等式为=，故答案为：=．14．解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+2×2=6，故答案为：6．15．解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣x）=x2+4x=f（x），即当x＜0时，f（x）=x2+4x，当x≥0时，由f（x）=x2﹣4x=5，解得x=5或x=﹣1（舍去），则根据对称性可得，当x＜0时，f（﹣5）=5，作出函数f（x）的图象如图：则不等式f（x+2）＜5等价为﹣5＜x+2＜5，即﹣7＜x＜3，则不等式的解集为（﹣7，3），故答案为：x2+4x，（﹣7，3），16．解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6 ∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．三、解答题17．解：（1）由＞0，可得1＜x＜2，∴A={x|1＜x＜2}；由2x﹣a≥0，可得x≥，∴B={x|x≥}；（2）∵A⊆B，∴≤1，∴a≤2．18．解：（1）∵f（x）的对称轴为x=1且f（0）=﹣1，∴=1，f（0）=c=﹣1，∴b=2，c=﹣1；（2）由（1）得：f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴x∈[0，3]时，最小值为﹣2，最大值为f（3）=2，∴f（x）的取值范围为[﹣2，2]；（3）f（log2k）＞f（2）=﹣1，∴log2k＞2或log2k＜0，∴k＞4或0＜k＜1．19．解：（1）a=1，∴f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2﹣，∴函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=；（2）f（x）=x2﹣a2x+ a=（x﹣）2﹣，若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，∴﹣＞0，∴0≤a＜．20．解：（1）a=1时，f（x）=x++lnx，（x＞0），f′（x）=1﹣+，f′（1）=1，f（1）=2，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，整理得：x﹣y+1=0；（2）f′（x）=1﹣+=，若f（x）在区间（1，4）内单调递增，则x2+x﹣a≥0在（1，4）恒成立，即a≤x2+x在（1，4）恒成立，而y=x2+x的最小值是2，故a≤2；（3）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣+﹣x=，（x＞0），令h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0），讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数，即讨论h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0）的零点个数，即讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数，令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），m′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，∴m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴m（x）max=m（1）=1，x→0时，m（x）→0，x→+∞时，m（x）→﹣∞，如图示：，结合图象：a＞1时，g（x）无零点，a=1或a≤0时，g（x）1个零点，0＜a＜1时，g（x）2个零点．。
内蒙古北京八中乌兰察布分校20172018学年高二下学期期末考试数学理试题含Word版含答案
百度文库 - 让每个人平等地提升自我乌兰察布分校2017-2018 学年第二学期期末考试 高二年级数学试题（理）（命题人:柴树山 审核人：徐岳 分值:150 时间：120 分钟）注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
（Ⅰ）卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为A.B.C. 2. 点 M 的直角坐标D. 化成极坐标为A.B.C.D.3. 已知随机变量 服从二项分布，且，，则 p 等于A.B.4. 在同一坐标系中，将曲线C. 变为曲线D. 的伸缩变换公式是A. 5. 已知：-1-B.C.D.，且，，则百度文库 - 让每个人平等地提升自我A.B.C.D.6. 在极坐标系中，点关于极点的对称点为A.B.C.D.7. 甲，乙，丙，丁，戊 5 人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有A. 72 种B. 54 种C. 36 种D. 24 种8. 已知点 P 的极坐标是 ，则过点 P 且平行极轴的直线方程是A.B.C.D.9. 某研究机构在对线性相关的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求的 y 关于 x 的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为A.B.C.D.10. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是11.-2-百度文库 - 让每个人平等地提升自我A.B.C.D.12. 已知抛物线的参数方程为，若斜 率为 1 的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为A.B.C. 8D. 413. 直线为参数 被曲线所截的弦长为A.B.C.D.（Ⅱ）卷 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）14. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论： 15. 从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ；16. 从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 ； 17. 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为-3-百度文库 - 让每个人平等地提升自我．18. 其中所有正确结论的序号是______ ． 19. 连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为______ ．20. 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是______ ．21. 化极坐标方程为直角坐标方程为______三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分）22. （10 分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是 ，乙胜的概率是 ，不会出现平局． 23. 如果两人赛 3 局，求甲恰好胜 2 局的概率和乙至少胜 1 局的概率； 24. 如果采用五局三胜制 若甲、乙任何一方先胜 3 局，则比赛结束，结果为先胜 3 局者获胜 ，求甲获胜的概率．25. （12 分）已知过点的直线 l 的参数方程是为参数 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程式为．26. Ⅰ 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；27. Ⅱ 若直线 l 与曲线 C 交于两点 A，B，且，求实数 m 的值28.29. （12 分）某届奥运会上，中国队以 26 金 18 银 26 铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查 结果只有“满意”和“不满意”两种 ，从被调查的学生中随机抽取了 50 人，具体的调查结果如表：-4-百度文库 - 让每个人平等地提升自我班号一班 二班 三班四班 五班 六班频数5911979满意人478566数(1) 在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满 意态度的概率； (2) 若从一班至二班的调查对象中随机选取 4 人进行追踪调查，记选中的 4 人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为 ，求随机变量 的分布列及 数学期望．20.（12 分）已知直线 l：为参数 ，曲线 ：为参 数 ．设 l 与 相交于 A，B 两点，求 ； 若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍， 得到曲线 ，设点 P 是曲线 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．21.（12 分）国际奥委会将于 2017 年 9 月 15 日在秘鲁利马召开 130 次会议决 定 2024 年第 33 届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市 因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运 会的态度，选了某小区的 100 位居民调查结果统计如下：-5-百度文库 - 让每个人平等地提升自我支持不支持合计年龄不大于 50 岁 ____________80年龄大于 50 岁 10____________合计______70100根据已知数据，把表格数据填写完整； 能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无 关？ 已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性，其中 2 位是女教师， 现从这 5 名女性中随机抽取 3 人，求至多有 1 位教师的概率．附：，，k22.（12 分）已知曲线 的参数方程是为参数 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是．Ⅰ 写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；Ⅱ 已知点 、 的极坐标分别是 、 ，直线与曲线 相交于 P、Q 两点，射线 OP 与曲线 相交于点 A，射线 OQ 与曲线 相交于点 B，求-6-百度文库 - 让每个人平等地提升自我的值．-7-百度文库 - 让每个人平等地提升自我答案和解析【答案】1. B2. D8. D9. A13.3. B4. C5. C6. C7. C10. A 11. C 12. A14.15.16.或17. 解： 甲恰好胜 2 局的概率；乙至少胜 1 局的概率；打 3 局：； 打 4 局：；打五局：因此甲获胜的概率为18. 解： Ⅰ 过点的直线 l 的参数方程是转化为直角坐标方程为： 曲线 C 的极坐标方程式为， ．转化为直角坐标方程为：．Ⅱ 直线 l 与曲线 C 交于两点 A，B，则：把为参数 ，代入曲线方程为参数 ． ，整理得：．由于，故：．解得： 或 -8-百度文库 - 让每个人平等地提升自我19. 解： 因为在被抽取的 50 人中，持满意态度的学生共 36 人，所以持满意态度的频率为 ， 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为 ．的所有可能取值为 0，1，2，3．；；；．的分布列为：0123P．20. 解： 的普通方程为， 的普通方程为，联立方程，解得交点坐标为，，所以；由已知曲线 ：为参数 ，设所求的点为，则 P 到直线 l 的距离，当，d 取得最小值．21. 20；60；10；20；3022. 解： Ⅰ 曲线 的参数方程是化为普通方程是；为参数 ，-9-百度文库 - 让每个人平等地提升自我化为极坐标方程是；又 曲线 的极坐标方程是，化为直角坐标方程是；Ⅱ 点 、 的极坐标分别是 、 ，直角坐标系下点，；直线 与圆 相交于 P、Q 两点，所得线段 PQ 是圆，，；又 A、B 是椭圆上的两点，在极坐标系下，设，，分别代入方程有，；解得，；的直径； 中，；即．【解析】1. 解：曲线的极坐标方程即，即，- 10 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我化简为，故选：B．曲线的极坐标方称即，即，化简可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．2. 【分析】本题考查了直角坐标化成极坐标的计算 要牢记，的关系 比较基础．【解答】解：点 M 的直角坐标由，，，，解得： ，，极坐标为故选 D．3. 解： 服从二项分布由，，可得 ， ．故选：B．根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．4. 解：将曲线经过伸缩变换变为即设伸缩变换公式是把伸缩变换关系式代入 式得：与 的系数对应相等得到：变换关系式为：故选：C - 11 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我首先设出伸缩变换关系式，然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个变量．5. 解：由题意， ， ，．故选：C．由题目条件，得随机变量 x 的均值和方差的值，利用，即可得出结论．本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．6. 解：关于极点的对称点为，关于极点的对称点为 ．故选：C．关于极点的对称点为．本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．7. 解：根据题意，先排丁、戊两人，有 2 种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有 3 个空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有种方法；若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有种方法，根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有种，故选：C．根据题意，先排丁、戊两人，有 2 种排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙两人相邻、不相邻两种情况讨论，可得甲、乙、丙的排法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，解题时注意甲乙两人可以相邻，还可以不相邻，需要分情况讨论，属于中档题．- 12 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我8. 解：把点 P 的极坐标 化为直角坐标为 ，故过点 P 且平行极轴的直线方程是 ，化为极坐标方程为，故选：D．把点 P 的极坐标化为直角坐标，求出过点 P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．9. 解：，，故，解得：，则，故 5 个点中落在回归直线下方的有 ， ，共 2 个，故所求概率是 ，故选：A．求出样本点的中心，求出 的值，得到回归方程得到 5 个点中落在回归直线下方的有 ， ，共 2 个，求出概率即可． 本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．10. 解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图 1 和图 3 是正相关，相关系数大于 0， 图 2 和图 4 是负相关，相关系数小于 0，图 1 和图 2 的点相对更加集中，所以相关性要强，所以 接近于 1， 接近于 ，由此可得．故选：A 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数 的大小． 本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个 变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，- 13 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我相关系数越接近于 或 ，此题是基础题．11. 解：抛物线的参数方程为，普通方程为则直线方程为，代入抛物线方程得，设，，抛物线焦点为 ，且斜率为 1，根据抛物线的定义可知，故选 C． 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据 点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去 y，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求得答案． 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质 对学生基础知识的综合考查 关键 是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根与系数的 关系，利用弦长公式即可求得 值，从而解决问题．12. 【分析】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 直线为参数 ，消去参数 t 化为普通方程 曲线，利用，，到直线的距离，可得直线被曲线 C 所截的弦长． 【解答】解：直线为参数 ，消去参数化为：，可得直角坐标方程 求出圆心 ．曲线即，化为直角坐标方程：，配 方为：，可得圆心，半 径 ．- 14 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我圆心到直线的距离 故选 A．，可得直线被曲线 C 所截的弦长为．13. 解： 从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是，故正确；从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故正确；从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，每次取到红球的概率 ，至少有一次取到红球的概率为故答案为：．，故正确．所求概率为 ，计算即得结论；利用取到红球次数可知其方差 为；通过每次取到红球的概率 可知所求概率为．本题考查概率的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．14. 解：连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币，至少有一次出现正面向上的概率为反面，全部是恰有一次出现反面向上的概率为，故在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ，故答案为 ．至少有一次出现正面向上的概率为 全部是反面，恰有一次出现反面向上的概率为，再根据条件概率的计算公式求得结果．本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的 概率，条件概率的计算公式的应用，属于中 档题．- 15 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我15. 解：的直角坐标为： ，圆的直角坐标方程为：；显然，圆心坐标 ，半径为：2； 所以过 与圆相切的直线方程为： ，所以切线的极坐标方程是： 故答案为： 求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方 程即可． 本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想．16. 解：由极坐标方程可得 或，表示原点．由，化为．综上可知：所求直角坐标方程为或．由极坐标方程可得 或，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出． 本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，属于基础题．17. 先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果． 由于采用五局三胜制，则甲获胜包括甲以 3：0 获胜，以 3：1 获胜，以 3：2 获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果． 求一个事件的概率，关键是先判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计 算 正确理解概率加法公式和相互独立性事件的概率计算公式是解题的关键．18. Ⅰ 直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．Ⅱ 利用方程组求出一元二次 方程，利用根和系数的关系式求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系 数的关系的应用．19. 因为在被抽取的 50 人中，持满意态度的学生共 36 人，即可得出持满意态度的频率．的所有可能取值为 O，1， 2， 利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即 可得出． 本题考查了超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，- 16 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我属于中档题．20. 本题考查直线与圆的位置关系及直线与圆的参数方程与普通方程的互化，同时考查点到直线的距离公式及函数图象与性质．将直线 l 中的 x 与 y 代入到直线 中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出将直线的参数方程化为普通方程，曲线 任意点 P 的坐标，利用点到直线的距离公式 P 到直线的距离 d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离 d 的最小值即可．21. 解：支持不支持合计年龄不大于 50 岁206080年龄大于 50 岁101020合计3070100，所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关； 记 5 人为 abcde，其中 ab 表示教师，从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde 共 10 个，其中至多 1 位教师有 7 个基本事件：acd， ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是 ．根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表． 假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观 测值，把观测值同临界值进行比较得到结论． 列举法确定基本事件，即可求出概率． 本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联 表 中，注意数据的位置不要出错．22. Ⅰ 把曲线 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程；- 17 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程即可；Ⅱ 由点 是圆 的圆心得线段 PQ 是圆的直径，从而得；在极坐标系下，设，，分别代入椭圆方程中，求出 ， 的值，求和即得的值．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普 通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．- 18 -。
2017-2018年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(文科)和解析PDF
A．U→V→W
二、填空题共 6 小题． 9． （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则 z2= 10． （5 分）已知命题 p：∃ x∈R，log2（3x+1）≤0．则￢p 为 的真假为 （填“真”或“假”） ． ． ，并且￢p
11． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数．当 x＜0 时，f（x）=x2﹣4， 则不等式 f（x）＜0 的解集为 ．
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二（下）期中数学试卷（文科）
B．[﹣5，2]
C．[﹣4，3] ） B．logca＜logcb D．ca＞cb
D．[﹣2，5]
5． （5 分）若 a＞b＞0，0＜c＜1，则（ A．logac＜logbc C．ac＜bc
6． （5 分）“a≤0”是“函数 f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的 （ ） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14． （5 分）定义：函数 f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的差为 f（x） 在区间[a，b]上的极差，记作 d（a，b） ． ①若 f（x）=x2﹣2x+2，则 d（1，2）= ②若 ； ．
， 且d （1， 2） ≠|f （2） ﹣f （1） |， 则实数 m 的取值范围是
三、解答题共 4 小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15． （12 分）已知命题：“∀ x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式 x2﹣x﹣m＜0 成立” 是真命题．
北京市海定区101中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题及答案【word版】.doc
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2017-2018年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
是真命题． （1）求实数 m 的取值集合 B； （2）设不等式（x﹣3a） （x﹣a﹣2）＜0 的解集为 A，若 x∈A 是 x∈B 的充分不 必要条件，求实数 a 的取值范围． 16． （12 分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时， 都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于 65%或小 于 40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在 45%﹣55%时，病毒死亡较 快，现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共 300 个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对 湿度在 a%～b%时记为区间[a，b） ． 组号 1 2 3 4 5 6 7 8
8． （5 分）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执 行下一项任务．现有三项任务 U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间 （单位：s）依次为 a，b，c，其中 a＜b＜c．一项任务的“相对等待时间”定义 为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时 间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务 “ 相对等待时间 ” 之和最小的是 （ ） B．V→W→U C．W→U→V D．U→W→V
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18． （14 分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数 f（x）满足： ①对于任意的 x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞） ，都有 f（xy）=f（x）+f（y） ； ②当 x＞1 时，f（x）＞0，且 f（2）=1． （1）求 f（1） ，f（﹣1）的值，并判断函数 f（x）的奇偶性； （2）判断函数 f（x）在（0，+∞）上的单调性； （3）求函数 f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值．
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试卷理及答案【word版】.doc
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________． A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =u u u rr，1AB b =u u u rr，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =u u u r __________；（2）1AC =u u u r__________．【答案】（1）1122a b +r r ．（2）111222a b c ++r r r． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =u u u r r ，1AD a =u u u r r， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r r r r r ． （2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ，∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ，∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =u u u r ，1(1,1,1)AC =u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u r， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-r，∴1||1sin |cos ,|2||||AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r rr u u ur r ， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则110AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r ，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-u r，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-r，∴cos ,m n <>===u r r故二面角111B AD C --的大小为．5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系） （2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112． 【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭．A1D1C1B1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C的方程221yxn+=，O为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n=__________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =． （2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b =2c =，故其离心率e 2c a==．（4）由（3）知，双曲线C 的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上．（1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________；（4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x轴，y 轴，原点对称． （3）4+ （4． 【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214yx +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=，此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a=，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e=0e1<<，故e=4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C条件，且5n=，直线l过曲线C的上焦点1F，与椭圆交于点A、B．（1）下面的三个问题中，直线l分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为1，求线段AB的长．②OA OB⊥，求直线l的方程．③当AOB△面积最大时，求直线l的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB ===．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l 的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴线段||AB2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k ++=+≥，∵14S ==≤，当且仅当221611k k +=+，即k =时，取等号，∴AOB △，此时直线l的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标． 【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则2004y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x=， ∴04y ==， 故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=，164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值）①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． 我选择问题__________，研究过程如下： 【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ， 则(,)m n 在反射光线上，则1121212022nm m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩，∴反射光线过点(9,4)， 又∵点(4,4)P 在反射光线上， ∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射， 反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点， 则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又204y x =代入上式化简得20(2)0ky -=，∴02k y =，∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ，则02002112224nm y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：42002006828y y m y n y⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又∵反射光线过00(,)M x y ， ∴反射光线所在直线方程为0y y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。
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海淀区高二年级第二学期期中考试 数 学 （理科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13i的虚部为 （ ） A. 3i B. 1 C. 3 D. 3 2. 10dxx （ ） A. 0 B. 12 C. 1 D. 12 3. 若复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1iz，则12zz
（ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
4. 若,,abc均为正实数，则三个数111,,abcbca这三个数中不小于2的数 （ ） A.可以不存在 B.至少有1个 C. 至少有2个 D. 至多有2个
5. 定义在R上的函数()fx和()gx，其各自导函数()fx和()gx
的图象如图所示，则函数()()()Fxfxgx极值点的情况是（ ） A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点
6. 函数()lnfxx与函数2()gxaxa的图象在点(10)，的切线相同，则实数a的值为（ ）
A. 1 B. 12 C. 12 D. 12或12
7. 函数(21)xyex的大致图象是 （ ） 8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件： （1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”; （3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。 试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9. 在复平面内，复数1ii对应的点的坐标为 .
10. 设函数(),()fxgx在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据： x 1 2 3 4
()fx 2 3 4 1
()fx 3 4 2 1 ()gx 3 1 4 2 ()gx 2 4 1 3 则曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程是 ;函数(())fgx在2x处的导数值是 ． 11. 如图，()1sinfxx，则阴影部分面积是 . 12. 如图，函数()fx的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)
四个点，试用“，，”填
空：
（1） (4)(2)2ff______(12)(8)4ff；
（2）(6)f______(10)f. 13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ．
14. 函数elnxfxax（其中aR）
① aR，使得直线eyx为函数fx的一条切线； ② 对0a，函数fx的导函数fx无零点； ③ 对0a，函数fx总存在零点； 则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）
三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）
已知函数32()392fxxxx
（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间； （Ⅱ）求函数)(xf在区间[2,2]上的最小值.
16．（本小题满分10分） 已知数列{}na满足11a，111nnaann，*nN.
（Ⅰ）求234,,aaa； （Ⅱ）猜想数列{}na的通项公式，并用数学归纳法证明．
17．（本小题满分12分） 已知函数()(1)lnafxxaxx，其中aR. （Ⅰ）求证/；当1a时，函数()yfx没有极值点； （Ⅱ）求函数()yfx的单调增区间． 18．（本小题满分12分）
设(1)() Intxfxetx，(0)t
（Ⅰ）若1t，证明1x是函数()fx的极小值点； （Ⅱ）求证：()0fx.
海淀区高二年级第二学期期中参考答案 数 学（理科） 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.A 二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分) 9. (1,1) 10. 31yx；12 11. 2 12. (1) ； (2)
13. 1122nnabababab= 14. ①②③ 三、解答题: 本大题共4小题，共44分. 15．解：（Ⅰ）解：'2()369fxxx ………………………………（2分）
)3)(1(3)32(3 2xxxx 令'()0fx，得11x.；32x ……………………………（3分） 当x变化时，)(xf,'()fx在区间(,)上的变化状态如下： x 1, 1 3,1 3 ,3
'()fx 0 0
)(xf ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
…………………………………（6分）
所以)(xf的单调递增区间是1,，,3； 单调递减区间是3,1. ………………………………（7分） … （Ⅱ）因为(2)0f，(2)20f， ………………………（9分）
再结合)(xf的单调性可知， 函数)(xf在区间[2,2]上的最小值为20. ………………（10分）
16．（Ⅰ）由题意11a，212aa，3231aa，4322aa 解得：221a，332a，4
23a
……………………（3分） （Ⅱ）猜想：对任意的*nN，1nann ………………………（4分）
① 当1n时，由11111a,猜想成立. ………………………（5分） ② 假设当kn （k N*）时，猜想成立，即 1kkak ……………………（6分）
则由111kkaakk，得 kkak11 ………………………（9分）
即当1kn时，猜想成立 由①、②可知，对任意的*nN，猜想成立，
即数列{}na的通项公式为1nann ……………………（10分）
17.（Ⅰ）证明：函数()yfx的定义域是,0． ………………（1分） 当1a时，1()2Infxxxx 函数'221()1fxxx ………………（3分）
2212xxx
0122x
x， ………………（5分）
所以函数()yfx在定义域,0上单调递增. 所以当1a时，函数()yfx没有极值点. ……………（6分） （Ⅱ）'21()1aafxxx， ,0x ………………（7分） 221xaxax
21xaxx
.
令'()0fx，得axx21,1 .………………（8分） ① 0a时， 由'()0fx可得1x， 所以函数()yfx的增区间是,1； ………………（9分） ② 当10a时， 由'()0fx可得ax0，或1x，
所以函数()yfx的增区间是a,0，,1； ……………（10分） ③ 当1a时， 由'()0fx可得10x，或ax，
所以函数()yfx的增区间是1,0，,a； ………………（11分） ④ 当1a时， 由（Ⅰ）可知函数()yfx在定义域,0上单调递增. ………………（12分）
综上所述，当0a时，函数()yfx的增区间是,1； 当10a时，所以函数)(xfy的增区间是),0(a，),1(； 当1a时，函数()yfx在定义域,0上单调递增； 当1a时，所以函数()yfx的增区间是1,0，,a.
18．解： （Ⅰ）函数()fx的定义域为(0,)， ………………（ 1分）
若1t，则1()lnxfxex，'11()xfxex． ………………（2分）
因为'(1)0f， ………………（3分） 且10x时，xeex1101，即'()0fx，所以()fx在)1,0(上单调递减； ………………（4分） 1x时，xeex1101，即'()0fx，所以()fx在),1(上单调递增；
………………（5分） 所以1x是函数)(xf的极小值点； ………………（6分） （Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)，0t.
'(1)(1)1()()txtxtfxtetexx． ………………（7分）
令(1)1()txgxex，则'(1)21()0txgxtex，故()gx单调递增． ………………（8分） 又(1)0g， ………………（9分） 当1x时，()gx＞0，因而'()fx＞0，()fx单增，即()fx的单调递增区间为(1,)；
当01x时，()gx＜0，因而'()fx＜0，()fx单减，即()fx的单调递减区间为(0,1)． ………………（11分） 所以,0x时，()(1)10fxf成立. ………………（12分）