浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷(word版含答案)
金华十校2020年4月高三模拟考试
数学试卷
参考公式:
如果事件A ､B 互斥,那么P(A+B)= P(A)+ P(B)
如果事件A ､B 相互独立,那么P(A·B)=P(A) ·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)n k n n k k P k C p p -=-(k =0,1,2,…,n) 台体的体积公式：1122
1(),3S V
S S S =++其中12,S S 表示台体的上､下底面积,h 表示棱台的高. 柱体的体积公式：V
Sn =.其中S 表示柱体的底面积,n h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13
V sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式：24S R π=.
球的体积公式：343
V R π=.其中R 表示球的半径. 选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x ≤2},则A ∩B=
A. {x|1<x<2}
B.{x|1<x ≤2}
C. {x|-1<x ≤2}
D. {x|-1≤x<2} 2.若复数
21ai i +-(a ∈R )是纯虚数(i 是虚数单位),则a 的值为 A. -2 B. -1 C.1 D.2
3. 若x,y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩
„„…,则z=x+2y 的最大值是
A.8
B.6
C.4
D.2 4.设a ∈R ,则“a>2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x 的图象可能是
6. 已知在三棱柱111ABC A B C -中,M,N 分别为11,AC B C 的中点,E,F 分别为1,BC B B 的中点,则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为
A.平行､平行
B.异面､平行
C.平行､相交
D.异面､相交
7. 口袋中有相同的黑色小球n 个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n 表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是
A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))
B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)
C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)
D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)
3. 已知函数21,0()ln ,
0,ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是 A.当a=0, m ∈R 时,有且只有1个
B.当a>0,m ≤-1时,都有3个
C.当a<0,m<-1时,都有4个
D.当a<0,-1<m<0时,都有4个
9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则
.,2A παββγ<+> .,2B παββγ<+<
.,2C π
αββγ>+> .,2D π
αββγ>+<
10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,
(2),n n n a a a a a +-==-- A.当a=4时,a 10>210
B.当2a =时,a 10>2
C.当13a =时,a 10>210
D.当165
a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)
二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡
11. 若双曲线2
21x y a
-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.
13.已知a ∈R ,若二项式(1)n
x 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.
14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠c+ bcosA- acosB=2acosA,则b a
=_____内角B 的取值范围是_____. 15.已知椭圆22
:1,97
x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.
16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||
⋅⋅b c b c 的最小值是___. 17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32
f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______. 三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
18. (本题满分14 分)
已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()]
[()] 4.2f x f x π++= (I)求实数a 的值;
(II)设0,2a π<<
且2()(),23
f f παα⋅+=求sin2α.
19. (本小题满分15分) 6,MB =
如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡
( I )证明:MB ⊥AC;
(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡
20. (本小题满分15分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,
,a S a 14成等比数列.
(I )求数列{}n a 的通项公式;
(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L
21.(本小题满分15分)
如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >
(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标
(II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.
22. (本小题满分15分)
已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R .
(I)若1,2a =
证明: f(x)≥0; (II)若11()x
xe
f x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。
金华十校2020年4月高三模拟考试 数学
金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P B P A =++如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =++ 其中12,S S 表示台体的上、下底面积，h 表示棱台的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)(2)0},{|12}A x x x B x x =+-<=<，则A ∩B = A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x -<≤D ．{|12}x x -≤<2．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数（ i 是虚数单位），则a 的值为 A ．-2B ．-1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件,4,2,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩则2z x y =+的最大值是A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a >2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是6．已知在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，EF 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n =3时取出黑球的数目，η表示当n =4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是A ．()(),()()E E D D ξηξη<<B ．()(),()()E E D D ξηξη><C ．()(),()()E ED D ξηξη<>D ．()(),()()E E D D ξηξη>>8．已知函数21,0,()ln ,0,ax x f x x x ⎧+=⎨>⎩下列关于函数() ()y f x m =+的零点个数的判断，正确的是A ．当a =0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a >0，m ≤-1时，都有3个C ．当a <0，m <-1时，都有4个D ．当a <0，-1<m <0时，都有4个9．设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记WM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ则A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．设a ∈R ，数列{a n }满足()311,2n n n a a a a a +==--，则 A ．当4a =时，10102a >B ．当2a =时，102a >C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x y a -=的一渐近线方程是x +2y =0，则a = ▲ ；离心率是▲ 。
金华十校2024年4月高三模拟考试数学答案
金华十校2024年4月高三模拟考试评分标准与参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得60三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 60° 13．12− 14．2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1)因为两次点数之和等于7有以下基本事件：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个，所以61()366P A ==，又1()2P B =， …………………………………………… 2分而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是(1,6),(3,4), (5,2)共3个，所以()313612P AB ==. …………………………………………………………… 4分 故()()()P AB P A P B =，所以事件 A ，B 是独立事件. ……………………… 6分 (2)设每位参与这个活动的顾客获得的积分为X ，则X 可取6,9,12,15，()33512566216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131575966216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22315151266216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33311156216P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭……………… 10分所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………… 13分 16. 解：(1)若a =1，()sin cos cos ,0,2f x x x x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈，22()cos sin sin f x x x x '=−−22sin sin 1x x =−−+(sin 1)(2sin 1)x x =−+−.…… 3分当0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭∈时，()0f x '>，f (x )单调递增；当,62x ππ⎛⎫⎪⎝⎭∈时，()0f x '<，f (x )单调递减； …………………………………… 7分又3364f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0)1f =，02fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33()0,4f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈,即f (x )的值域为330,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………… 8分(2)22()cos sin sin f x x x a x '=−−212sin sin x a x =−−. ……………………… 9分f (x )存在极值点，则()f x '=0在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈上有解，即12sin sin a x x =−有解. 令t =sin x ，则a 12t t=−在(0,1)t ∈上有解. ………………………………………… 13分因为函数12y t t=−在区间(0,1)上单调递减，所以(1,)a −+∞∈. ………………… 15分17. 证明：分别取,AB BC 中点,D E ，连接,CD AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心..因为AA 1= A 1B ，CA = CB 得1,CD AB A D AB ⊥⊥，所以AB ⊥平面1ACD ， 则AB ⊥A 1O ① ……………………………………………………………… 3分 取B 1C 1中点E 1，连接A 1E 1，E 1E ，则四边形AA 1E 1E 是平行四边形， 因为侧面BB 1C 1C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，所以BC ⊥平面11AA E E ，则1BC AO ⊥ ② ………………………………… 6分 由①②可得，1AO ⊥平面ABC ，所以三棱锥A 1−ABC 是正三棱锥.……………… 8分(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为22，底面积为3，所以高1263A O =.以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立ABCA 1C 1B 1DEO zy x空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,33AB C A ⎛− ⎝⎭. …………………………… 11分设平面AA 1B 1B 的法向量n 1，因为()AB =−，1AA ⎛= ⎝⎭，则11100AB AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n可取)1=n . ……………………………………………… 13分又11AC AA AC ⎛=+=− ⎝⎭ 直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为θ，所以112sin cos ,3AC θ===n .…………………………………………… 15分 18. 解：(1)由题：p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ； …………………………… 3分 (2)设1l x ty =−：，1122(,),(,)M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则216(1)0t =−>△，且12124,4,y y t y y +=⎧⎨=⎩ ……………………………… 5分又11:(1)1y n AM y n x x −−=−−，令1x =−得112()(1,)1y n P n x −−−−，同理可得222()(1,)1y n Q n x −−−−， ……………………………………… 7分所以121212122()2()2()2()21122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦1221122()(2)2()(2)2(2)(2)y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−212122212124(24)()8882202()444ty y nt y y n n nt n n t y y t y y t −+++−=−=−=−++−，故||||BP BQ =； …………………………………………… 10分(3)解法一：由(2)可得：122122()2()||||22y n y n S PQ ty ty −−==−=−− 13分111|||2|22S MN d nt ===⋅−， ………… 15分 由122S S =得：212t −=，解得t =所以直线l的方程为10x ±+=. ………………………………………… 17分解法二：11221||||sin |(1)(1)|||||21||||4||||sin 2AM AN MAN S x x AM AN S AP AQ AP AQ PAQ ⋅⋅∠−−⋅===⋅⋅⋅∠，………… 14分所以2211212122|(2)(2)||2()4|144S ty ty t y y t y y t S −−−++===− ……………… 15分 由122S S =得：212t −=，解得t =所以直线l的方程为10x ±+=. ………………………………………… 17分19. 解：(1)因为194=2×30+1×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(194)= 2+1+0+1+2=6， 195=0×30+2×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(194)= 0+2+0+1+2=5， 196=1×30+2×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(196)= 1+2+0+1+2=6，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调” ……………………………………… 4分(2)先证引理：对于任意的非负整数t ，在pt ，pt +1，pt +2，…，pt +(p −1)中有且仅有一个数对p “协调”.证明如下:设pt =b 0p 0+b 1p 1+b 2p 2+…+b k p k ，由于pt 是p 的倍数，所以b 0=0， 所以pt +j = jp 0+b 1p 1+b 2p 2+…+b k p k ，即pt +j 对于p 0这一项的系数为j (0≤j ≤p −1)， 所以W p (pt +j )=(b 1+b 2+…+b k )+j (0≤j ≤p −1)，根据整除原理可知，在W p (pt +j ) (0≤j ≤p −1)中有且仅有一个数能被p 整除，所以在pt ，pt +1，pt +2，…，pt +(p −1)中有且仅有一个数对p “协调”. …………… 11分接下来把以上p 2个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：222222222222212(1)12(21)(1)(1)1(1)2(1)p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++−++++++−+−+−++−++−根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”. ………………………………………………………… 13分(3)继续考虑p 2n ，p 2n +1，p 2n +2，…，p 2n +(p 2−1)这p 2个数（分成p 组，每组p 个数）：222222222222212(1)12(21)(1)(1)1(1)2(1)p np n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++−++++++−+−+−++−++−由(2)的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”.证明如下: 设某一列第一个数为2p n t +(01,01)n p t p −−≤≤≤≤，则20120p n t tp p np +=++，所以2()p W p n t n t +=+，同理当01s p −≤≤时，2()p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p −≤≤时，集合2{|01}p n sp t s p ++−≤≤中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”.注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ， 所以p 个数对p “协调”的数之和为：2321()(121)(121)(1)2p n p p p p np p p ⋅++++−++++−⋅=+−，进一步，前p 2个对p “协调”的非负整数之和为：22132301(1)(1)[(1)]222p n p p p p np p p p −=−−+−=⋅+∑522p p −=.…………………… 17分。
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(4月份)
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，{|12}B x x =<„，则(A B =I ) A ．{|12}x x << B ．{|12}x x <„C ．{|12}x x -<„D ．{|12}x x -<„2．（4分）若复数2()1aia R i+∈-是纯虚数(i 是虚数单位），则a 的值为( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（4分）若x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，则2z x y =+的最大值是( )A ．8B ．6C ．4D ．24．（4分）设a R ∈，则“2a >”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）在下面四个[x π∈-，]π的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面11ABB A 的位置关系分别为( ) A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．（4分）口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当3n =时取出黑球的数目，η表示当4n =时取出黑球的数目．则下列结论成立的是()A ．()()E E ξη<，()()D D ξη<B ．()()E E ξη>，()()D D ξη<C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη>，()()D D ξη>8．（4分）已知函数21,0(),0,ax x f x lnx x ⎧+=⎨>⎩„，下列关于函数(())y f f x m =+的零点个数的判断，正确的是( )A ．当0a =，m R ∈时，有且只有1个B ．当0a >，1m -„时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个9．（4分）设三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ，则( ) A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．（4分）设a R ∈，数列{}n a 满足1a a =，31(2)n n n a a a +=--，则( ) A ．当4a =时，10102a > B ．当2a =时，102a > C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．（6分）若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是20x y +=，则a = ；离心率是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ，休积是 ．13．（6分）已知a R ∈，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n = ，含x 项的系数是 ．14．（6分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，2A π≠，cos cos 2cos c b A a B a A +-=，则ba= 内角B 的取值范围是 ．15．（4分）已知椭圆22:197x yC+=，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且FAB BFO∠=∠，则直线1的斜率为．16．（4分）已知非零平面向量ar，br，cr，满足2a b a=rr rg，32c a b=+rr r，则||||b cb cr rgr rg的最小值是．17．（4分）设a，b R∈，若函数3221()(1)32f x ax bx a x=++-在区间[1-，1]上单调递增，则a b+的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数()sin cos(0)f x x a x a=+>满足22[()][()]42f x f xπ++=．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设02πα<<，且2()()23f fπαα+=g，求sin2α．19．（15分）如图，在四棱锥C ABNM-中，四边形ABNM的边长均为2，ABC∆为正三角形，6MB=，MB NC⊥，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB AC⊥；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．（15分）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知：5223a a=+且2a9S14a成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{}nb满足2112n n nb S s++=+，求证：121nb b b n++⋯+<+．21．（15分）如图，已知抛物线22(0)x py p=>的焦点为(0,1)F，过F的两条动直线AB，CD。
浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题及答案
浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量，，且，则（ ）(),2a x = ()1,2b =- a b ⊥a =A ．B ．4C ．D ．2．已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（ ）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A ．6B ．7C ．8D ．93．已知，则的值为（ ）()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++3a A ．B ．0C ．1D ．21-4．若复数，则的最大值为（ ）23i i i i n z =+++⋅⋅⋅+*N n ∈zA ．1B C D ．25．已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差{}n a *1,N n b ∈{}n b a {}n b 数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为R O AB αB BCD △αR 的正三角形，线段分别与球面交于点，那么三棱锥的体积是,AC AD ,M N A OMN -（ ）A B C D 33337．设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在()2e =-+xf x ax ax R a ∈e 2.718= 两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（ ）m n ()0f m <()0f n <a A ．B ．24e e ,212⎛⎤ ⎥⎝⎦34e e ,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．32e e ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦24e e ,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线222x y c +=2C交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为、，若椭圆1k 2k 1C 12k k ⋅的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．452二、多选题9．已知 ，，则（ ）1sin cos 5θθ+=()0,πθ∈A ． B ． 12sin cos 25θθ=-sin cos 1225θθ-=C ． D ．7sin cos 5θθ-=4tan 3θ=-10．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运动，1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 并且总是保持，则下列结论正确的是（ ）1AP BD ⊥A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段上1BC C ．平面1BD ⊥11A C DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为11BCC B ⎫⎪⎪⎭11．设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A ，B 两点，则以1F 2F 22143x y +=l 1F 下说法正确的是（ ）A ．的周长为定值8B ．的面积最大值为2ABF △2ABF △C ．的最小值为8D ．存在直线l 使得的重心为2212AF AF +2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭12．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，{}n a ()1*111,e cos ,n a n n n a a a n S ++==-∈N n 则（ ）A ．B ．1n n a a +>211n n n a a a ++<+C ．D ．n a ≤n S <三、填空题13．已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件()0,0O ()3,0A l P 2PA PO =的其中一条直线的方程__________．l 14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学()98,100X N 成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,()2~,X N μσ则，.()0.6826P X μσμσ-<<+=(22)0.9544P X μσμσ-<<+=15．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，ABCD αA 4AB =BC =，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的AB BC αABCD α正切值为______．16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，M 为的111ABC A B C 2CA CB ==AB =13AA =AB(1)证明：平面；1//AC 1B CM (2)求点A 到平面的距离.1B CM 18．记为数列的前项和，已知.n S {}n a n 1111,2n n n n S S a a a +=-=-(1)求的通项公式；{}n a (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.2n an b ={}n b n n T 21n T -19．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球1-或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的12概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．1213(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．记的内角的对边分别为.已知.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos tan A B C ==(1)求；2A C +(2)证明：.25c b a >>21．已知抛物线，圆是上的一点.21:C x y =222:(4)1,C x y P +-=1C (1)设是上的一点，求的最小值；Q 2C PQ (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.P 2C 1C ,A B P PA PB =P 22．已知函数.()()11ln ,2f x x g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭(1)证明：当时，；1x ≥()()f x g x ≤(2)设为正实数且.,a b a b（i ）若；b a a b =e >（ii ）若，证明：.1a b +=b a a b a b a b +<+参考答案：1．D【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得.x 【详解】由，可得，a b ⊥220x -+⨯=所以，，4x =()2,2a =||a ===故选：D.2．C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.3．B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.()()()()5551111x x x x x =--+--【详解】因为，展开式第项()()()()5551111x x x x x =--+--()51x -1r +，当时，，当时，55155C (1)C (1)r r r rr r r T x x --+=-=-3r =33235C (1)10x x x ⋅-=-2r =，故，即.22335C (1)10x x -=333310100a x x x -+==30a =故选：B 4．B【分析】分、、、四种情()*4N n k k =∈()41N n k k =+∈()42N n k k =+∈43n k =+()N k ∈况讨论，分别求出，即可得到，从而得解.z z 【详解】解：因为，，，，，1i i =2i 1=-3i i =-41i = ，，，，，且，41i i k +=42i 1k +=-43i i k +=-4i 1k =N k ∈234i i i i 0+++=所以当，时，则，4n k =()*N k ∈0z =0z =当，时，则，41n k =+()N k ∈i z =1z =当，时42n k =+()N k ∈1i z =-+=当，时，则，43n k =+()N k ∈1z =-1z =所以的最大值为z 故选：B 5．C【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.【详解】设等比数列的公比为，若是等比数列，则为常数，{}n a q {}n b a 1111111n n n n n nb b b b b b a a q q a a q+++---==由为常数，所以是等差数列；211n n q b b +≠⇒-{}n b 若是等差数列，设的公差为，则为常数，所以是{}n b {}n b d 1111111n n n n n nb b b b d b b a a q q q a a q+++---==={}n b a 等比数列.综上，“是等比数列”是“是等差数列”的充要条件.{}n b a {}n b 故选：C 6．A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出的面AOP 积及三棱锥的体积.【详解】连接，因为为直径，,,,BM MN OM ON AB 所以，在Rt 中，，BM AM ⊥ABC Rt BCM RtACB 所以，即，BC CMAC BC=2CB CM AC=⋅其中，所以，AC ==,CM AM ==易证，所以，AMN ACD ∽4455MN CD R ==取的中点的中点，连接，MN ,P CD Q AQ 则必过点，于是，AQ P ()2122ABQ S R ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭又，14,25AO AB AP AQ ==所以1114sin sin 2225AOP S AO AP OAP AB AQ OAP∠∠⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 141sin 252AB AQ AOP ∠⎛⎫=⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭，2214142525ABQ S R ⎫=⨯=⨯⨯=⎪⎪⎭于是.23114335A OMNAOP V S MN R -⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故选：A 7．A【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构1x >2e xa x x >-造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得()2e =-+xf x ax ax (1)e>0f =,m n ，则，()()00,f m f n <<1,1m n >>当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，1x >2e ()0x f x a x x <⇔>-2e xa x x>-令，求导得：，由得，由2e (),1x g x x x x =>-222(31e ()())x x x x g x x -+'=-()0g x '<1x <<得()0g x '>x >因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，()g x )+∞23<<则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两2e (2)2a g >=322e e e e (3)(2)6232g g ==⋅<=个，于是得，所以实数的取值范围是.4e (4)12a g ≤=a 24e e 212a <≤故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.8．D【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到22221x y a b +=22221x y s t-=，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得2225b a =222252x y a +=222x y c +=A到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合,,B C P :CP y x ⎫=⎪⎪⎭A 得到，，得到双曲线方程，联立2222232s t a b b +=-=222b s =22t b =222221x y b b-=，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭,Q 12,k k 得到乘积.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，22221x y a b +=22221x y s t -=则，22222a b s t c -=+=由，c a =2235a c =因为，所以，222c a b =-2225b a =故椭圆方程为，222252x y a +=联立可得：，，222x y c +=22222223253236x c b b b b =-=-=2223b y =则，A ⎫⎪⎪⎭由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于轴对称，x则，，,B ⎫⎪⎪⎭,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，故,0P ⎫⎪⎪⎭CP k =直线，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭代入中得，①，A ⎫⎪⎪⎭22221x y s t -=222252163b b s t -=又②，22222225322s t a b b b b +=-=-=②①结合得到或，2252b s =222b s =因为，显然，故，所以，2252a b =s a <222b s =2222322b t b b =-=故双曲线方程为，222221x y b b-=联立与得：，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭222221x y b b -=2297056x b -=设，()11,Qx y 则，解得：，217569b =-⋅1x =故1y ⎫==⎪⎪⎭所以，,Q 所以，其中2k ==1k =故.124k k ==故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，12,e e P 122F PF θ∠=则；2212sin cos 1e e θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②若点是椭圆与双曲线的一()00,P x y ()22122:10x y C a b a b +=>>()2222210,0:x y C m n m n -=>>个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.()00,P x y 1C 2C 9．ACD【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A ：因为所以1sin cos ,5θθ+=21(sin cos )12sin cos ,25θθθθ+=+=即，所以A 正确;12sin cos 25θθ=-对于B 、C ：因为，且，249(sin cos )12sin cos ,25θθθθ-=-=()0,πθ∈12sin cos 025θθ=-<所以，即，所以所以B 错误，C 正确;sin 0cos 0θθ><，sin θcos θ0->7sin cos ,5θθ-=对于D ：联立，解得所以，所以D 正确.1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩43sin ,cos ,55θθ==-4tan 3θ=-故选：ACD.10．BC【分析】对A ，由面面平行说明；1113P AA D AA D V S CD -=⋅对B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C ，P 三点共线；1B 对C ，由向量法证，再由线线垂直证平面；1111,DA BD DC BD ⊥⊥1BD ⊥11A C D 对D ，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点P 到平面11BCC B 11BCC B ∥1AA D 1AA D 的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，1AA D 所以，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =--()11,0,1B C =-- 因为，所以，所以，即，所以，1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x (),0,CP x x = 所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，，，，，，()11,0,1A ()10,1,1C ()11,0,1DA = ()10,1,1DC = ()11,1,1BD =--由，111111110,0,DA BD DC BD DA BD DC BD ⋅=⋅=⇒⊥⊥因为，，平面，所以平面，C 正确；11DA DC D ⋂=1DA 1DC ⊂11A C D 1BD ⊥11A C D 对于D ，，，平面的一个法向量为．()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m = 设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．01x ≤≤sin θ≤≤故选：BC ．11．ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A ，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C ，设直线的l 方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心1x my =-2ABF △2ABF △进而判断BD.【详解】由椭圆，可得，22143x y +=2,1a b c ===所以为，故A 正确；2ABF △121248AF AF BF BF a +++==因为，所以，当且仅当取等号，124AF AF +=()221122282AF AF AF AF +≥+=12AF AF =故C 正确；由题可设直线的方程为，由，l 1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2234690m y my +--=设，则，()()1122,,,A x y B xy 12122269,3434m y y y y m m +==-++所以1y-==所以的面积为，2ABF △12112S F F y =-令，，t =1t ≥221m t =-所以，212121313t S t t t ===++因为，由对勾函数的性质可知，1t ≥134t t+≥所以，当，即取等号，故B 错误；2121231313t S t t t===≤++1t =0m =由上可知122634my y m +=+所以，又，()212122268223434m x x m y y m m +=+-=-=-++()21,0F 所以的重心为，2ABF △221821,33434m m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令，解得，221811334621344m m m ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨⎪=⎪+⎩2m =所以当直线的方程为时的重心为，故D 正确.l 21x y =-2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD.12．ACD【分析】A 选项，先构造函数，并研究其单调性，利用()()e cos >0=-xf x x x ()e 1>0>+x x x 进行放缩，利用数学归纳法可证明；B 选项，构造函数，判断其单调性即可；()()2e cos >0=---xf x x x x x C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；D 选项，结合C 选项结论对进行放缩即可证明.n a 【详解】设函数，则，故在上单调()()e cos >0=-xf x x x ()e sin 0x f x x '=+>()f x ()0,∞+递增.用数学归纳法下证.01n a <≤当时，有；1n =1011a <=≤假设当时，有，n k =01k a <≤由于，()()()1001e cos e 1+-=≤=<=<k k f a f f a 所以根据在上单调递增可知，()f x ()0,∞+101+<≤k a 即当时，有.1n k =+101+<≤k a 综上可知，.101+<≤k a 对于A ，令，()e 1,>0=--xg x x x 因为，故在上单调递增，故，()e 10xg x '=->()g x ()0,∞+()()00g x g >=即，即.e 1>0--x x ()e 1>0>+xx x ，故A 正确.11111e cos 1cos +++++=->+->n a n n n n n a a a a a 对于B ，令，，()2e cos ,>0=---x h x x x x x ()e sin 12x h x x x '=+--令，()()m x h x '=()e cos 2xm x x '=+-令，则>0，所以，即在上单调递增，()()n x m x '=()e sin xn x x '=-()n x ()m x '()0,∞+所以，所以即 在上单调递增，()()00m x m '>='()m x ()h x '()0,∞+所以，所以在上单调递增，()()00h x h ''>=()h x ()0,∞+所以，即，即.()()00h x h >=2e cos >0---x x x x 2e cos >-+x x x x 故，故选项B 错误；()12111e cos *++++=->+n a n n n n a a a a对于C ，可用数学归纳法证明：.n a ≤当时，有1n =1110=≤=<a假设当时，有，n k =)0∈<k a k *N若1+k a则由可知()*21111++=>>+>+>k k k k a a a与假设k a ≤1+≤k a故，故C 正确.n a ≤对于D ，当时，，1n ≥2==<=n a故D 正确.112==<==∑∑nnk k k n S a 故选：ACD.【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：（1）可以利用数学归纳法来进行证明；（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.13．（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）1x =l ()2214x y ++=【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆(),P x y 2PA PO =P P 心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.()1,0C -2r =l C【详解】设点，由可得，(),P x y 2PA PO ==整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，()2214x y ++=P ()1,0C -2r =直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，l P 2PA PO =l C 所以，直线的方程可为.l 1x =故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.1x =l ()2214x y ++=14．1500【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.()1080.1587P ξ≥=【详解】因为考试的成绩服从正态分布，X ()98,100N 根据，，则，98μ=10σ=1089810μσ=+=+得，()10.68261080.15872P ξ-≥==即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．945015.87%1500⨯≈故答案为：1500.15【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过B D αE F AE AF几何关系可得到，，过作满足，过2BE DF AF ===AE =EF BD ==A l //l EF E做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出EP l P BP BPE ∠PE =解【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，B D αE F AE AF 由，所以，,,DF BE αα⊥⊥,AE AF α⊂,DF AF BE AE ⊥⊥因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，AB BC α//BC AD =BC AD所以，，得，30BAE ∠=︒45DAF ∠=︒2BE DF AF ===AE =因为所以，,,DF BE αα⊥⊥//DF BE 又，所以四边形是平行四边形，2BE DF ==DFEB所以，因为，所以，所以//BD EF ,BD EF αα⊄⊂BD α∥EF BD ==过作满足，则即为矩形与平面的交线，A l //l EF l ABCD α过做垂直于点，连接，则即为所求，E EP l P BP BPE ∠在中，AEF △cos FAE ∠==由可得，22cos sin 1,0πFAE FAE FAE ∠+∠=<∠<sin FAE ∠=所以，解得11222AEF S FAE EP =⨯⨯∠= PE =所以矩形与平面所成角的正切值为.ABCD αtan BEBPE PE∠==.16．330【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.m 2m n =22C n 不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，x 此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有()1,2,,2i A i n = i k 2221C ni n i k ==∑i A 个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.2C ik )2201C C 0==221C i nk i =∑下求最小值.221C i nk i =∑若在中，有.122,,,n k k k 2j i k k -≥则令，其余且，**1,1i i j j k k k k =+=-*(12j i k k l n =≤≤,)l i j ≠，**2222222211C 11C C C C C C C i j i j i j ijk k k k k k i j k k k k +-+-=+-=-+--≤-故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.221C i nk i =∑不妨设有个个，则有y ,2a n y -1a +()()()222121,n ya n y a C n n +-+==-整理有.()1122y a n n -=--由于，故.由等式两边对应相等可知，，121y n ≤≤-()0,12yn∈1,a n y n =-=即调整后有个个.此时的值为，n 1,n n -n 221C i nk i =∑2(1)n n -则，()()32211(1)3C n n n n x n n -+≤--=故友好组个数的最大值为，即.()()113n n n -+()()2224m m m -+下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜122,,,n A A A 2n 1i n ≤≤i A ；当时，队胜，下标均是在模的意义下.12,,i i i n A A A +++ 12n i n +≤≤i A 121,,,i i i n A A A +++- 2n 综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加m ()()2224m m m -+单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33017．(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，1BC 1B C N MN 则有为的中点，M 为的中点，N 1BC AB 所以，1//AC MN 且平面，平面，1AC ⊄1B CM MN ⊂1B CM 所以平面.1//AC 1B CM （2）连接,因为，所以,1AB 2CA CB ==CM A B ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABC CM ⊂ABC所以，,所以平面,1AA CM ⊥1AB AA A ⋂=CM ⊥11ABB A 又因为平面,所以,1MB ⊂11ABB A 1CM MB ⊥又，所以是等腰直角三角形，222CA CB AB +=ABC,112CM AB MB ====所以1112CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△设点A 到平面的距离为，1B CM d 因为,所以,11A B CM B ACM V V --=111133B CM ACM S d S AA⨯⨯=⨯⨯ 所以11ACM B CM S AA d S ⨯== 18．(1)n a n =(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据12n n S n a +=11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出；n a n =（2）利用等比数列前n 项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数21n T -【详解】（1）由有，即，112n n n n S S a a +-=-11112n n n n n S a S a a +++--=-1112n n n n S S a a ++-=又，故，11a =111S a =所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，即，12n n S n a +=12n n n S a +=故，两式相减得，即，1122n n n S a +++=112122n n n n n a a a ++++=-1122n n n n a a ++=所以，11111n n a a a n n +====+因此的通项公式为.{}n a n a n =（2）由（1）及，有，所以，2n a n b =2n n b =2212242n nn T -=-=-又，011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++ 因为均为正整数，所以存在正整数使得，11C ,C ,,C n n n n - k 431n k =+故，221224231n nn T k -=-=-=-所以除以3的余数为2.21n T -19．(1)分布列见解析；期望为112(2)79192【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：，，()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭甲的得分X 的可能取值为，1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为：X 1-01p1671214.()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，21-轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，3111464P ⎛⎫==⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，1-2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.1714979646432192192P =+++=20．(1)；3π2(2)证明见解析.【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得sin cos A B =π2A B =±π2A B +≠，再代入计算即可；π2A B =+2A C +（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，换元后构造新函数，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=()()32222110f x x x x x =+---<<求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与12cos 25A -<<商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，sin cos A B =π2A B =±tan C 所以，即，所以，π2C ≠π2A B +≠π2A B =+所以.()π3π22π2π22A C A A B A A A ⎡⎤⎛⎫+=+--=+---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由，3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭得，()222221cos cos sin 22sin cos 1sin cos 22cos 12cos 1A A A A A A A A A -=⋅==--故，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=令，则，()cos 10A x x =-<<()()32222110f x x x x x =+---<<，()()()26422311f x x x x x '=+-=-+当时，；当时，；1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-()1,0-又，所以，120,025f f ⎛⎫⎛⎫->-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 25A -<<，sin cos tan A B C <==<12sin 25B -<<可得，所以.π6B C <<b c <而，故.sin sin 2tan sin cos 5b B B B a A B ===>>25b a >所以.25c b a >>【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从322cos 2cos 2cos 10A A A +--=而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定cos A 理边角互化证明边的关系.21．1(2)或235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）设，圆心，半径为，2(,)P t t 2(0,4)C 1，=所以当时，有最小值t =2PC所以的最小值；PQ 1（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，k 所以切线的方程为：，()220y t k x t kx y t kt -=-⇒-+-=由圆的切线性质可知：，()()()()22222124410t k t t k t ⇒-+-+--=*设，()()22112212,,,,,A x x B x x x x t ≠，是方程的两个不相等实根，2112220x k ty x x k t kx y t kt =-⎧⎧=⇒⎨⎨=--+-=⎩⎩12,k k *因此，即，且，210t -≠()2122241t t k k t -+=-PA PB =所以由圆的切线性质知：，2AB PC ⊥()()22222221212212444411211t t x x t t t x x t x x t t t t ⎡⎤-----⎢⎥⋅=-⇒+⋅=-⇒-⋅=---⎢⎥⎣⎦，2235t t ⇒=⇒=所以的坐标为或.P 235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22．(1)证明见解析(2)（i ）证明见解析（ii ）证明见解析【分析】（1）构造并利用导数研究其在单调性，即可证结论；11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭[1,)+∞（2）（i ）问题化为，设且，利用0,0,,y x x y x y x y >>=≠e>x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，构造研究其值域范围，即可证结论；y x x y =1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ii ）设，令研究其单调性可得，再构造1012b a <<<<()ln 1x f x x =-01b a b a <<<研究单调性得，最后构造研究()ln (01)xh x x x=<<ln ln b a a a b b >()()1x x x a b b x a ϕ-=+≤≤单调性比较函数值大小即可证结论.【详解】（1）令且，则，11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x ≥222111(1)()1022x h x x x x -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'所以在上递减，故，即，()h x [1,)+∞()(1)0h x h ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭所以时.1x ≥()()f x g x ≤（2）（i ）设，0,0,,y x x y x y x y >>=≠e >不妨设，且，则，x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111[1]y y n y y n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111n n y y y n n +⎛⎫⇒+=⇒=+ ⎪⎝⎭11111n n y x n n +⎛⎫⎛⎫⇒=+⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211n n +⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭设，则，.()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()11ln ln 12f n n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()111ln 1212f n f n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎭'⎝设，则.()()111ln 1212g n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭()()221111[]2(1)1g n n n n n =+-'++22102(1)n n =>+于是，在内单调递增，当趋向于时，趋向于，故.()g n ()0,∞+n +∞()g n 0()0gn <由得：，则在内单调递减，当趋向于时，趋向于()0f n >()0f n '<()f n ()0,∞+n +∞()f n e ，故.()e f n >.e >（ii ）证明：，其中，b a a b a b a b +<<+0,0,1a b a b >>+=由对称性知：不妨设，令，此时，1012b a <<<<()ln 1xf x x =-()211ln (1)x x f x x --'+=令且，则，即递减，11ln y x x=-+01x <<221110x y x x x -=-=<'y 所以，即，故，则单调递增，1|0x y y =>=1ln 1x x>-()0f x '>()f x 则，于是，()()ln ln ln ln 11a b a b a bf a f b a b a b b a>⇒>⇔>⇔>--01b a b a <<<令，此时，单调递增，()ln (01)x h x x x=<<()21ln 0xh x x '-=>()h x则ln ln ln ln ()()a b baa b ab a b a a b bh b h a a b a b⇔⇔>11ln ln ln ln a b b a a a b b a a b b --⇔>⇔>令，此时，()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<()1ln ln x xx a a b b ϕ--'=令，则，()1ln ln x x x a a b b μ-=-()212(ln )(ln )0x x x a a b b μ-=+>'所以递增，即递增，则，()x μ()x ϕ'()min ()ln ln 0b ax b a a b b ϕϕ''==->于是，单调递增，则.()0x ϕ'>()x ϕ()()12b a a bb a a b a b ϕϕϕ⎛⎫<<⇔+<<+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：第二问，（i ）注意令且，结合得到x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x x y =为关键；（ii ）依次构造函数证明、，最后构造1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01b a b a <<<ln ln b a a a b b >证结论.()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<。
【选考专题】浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试卷
【选考专题】浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试卷一、选择题（本大题共 20 小题，每小题2分．共 40 分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）2020年1月29日，在古巴南部海域（19.46°N，78.79°W）发生7.7级地震，震源深度10千米。
完成1、2题。
1.此次地震A. 震源位于地壳B.地处海沟附近C. 肯定引发海啸D. 位于生长边界2.可以用于监测地震发生的地理信息技术是A. GLSB. RSC.GPSD. VR马来西亚沙巴傍晚时分落日的红霞壮美而灿烂，被誉为世界三大最佳日落观赏地之一。
读沙巴地理位置示意图，完成3、4题。
3.沙巴日落时漫天红霞的成因是大气对太阳辐射的A. 反射B.折射C. 散射D. 吸收4.甲地的农业地域类型A. 以大种植园和农场为主B. 专业化和商品化程度低C. 橄榄等农作物广泛种植D. 多采用谷物和牧草轮作如图为南极长城站1986-2019年平均气温及线性变化趋势图。
完成5、6题。
5.1986-2019年南极长城站的气温变化特点是A. 持续升高B.均温最高出现在2018年C. 波动上升D. 2019均温比1986高0.6℃6.图示气温变化给全球带来的影响最不可能的是A. 全球各地降水减少B. 扩大某些疫病流行C.高山冰川普遍退缩D. 改变原有生态系统浙江某地推广早芋和晚稻轮作模式，利用地膜覆盖使毛芋上市时间和水稻育秧时间提前。
完成7、8题。
7.稻芋轮作模式得以实现的主导因素是A. 光照B.热量C. 市场D. 技术8.稻芋轮作模式的生态效益有A. 增加就业岗位B.提高农民经济收入C. 保持土壤肥力D. 增加土地复种指数如图是口罩生产工艺流程图。
完成9-10题。
9.影响口罩生产量的主要因素是A. 市场B.原料C. 技术D. 劳动力10.无纺布卷料生产厂与口罩加工厂之间的地域联系方式属于A. 商贸联系B.科技联系C. 信息联系D. 生产协作联系读某一区域同面积的松林、草地、红砂岩和泥装的反射波讲曲线。
金华十校 2020 年 4 月高三模拟考试数学试题(含答案)
∵ bn
1
(n
2 1)2
1 (n 1)4
1
(n
1 1)2
2
1
1 (n 1)2
1
1 n(n 1)
1
1 n
1 (n 1)
，
故 b1 b2
bn
n
1
1 n 1
n
1 .…………………………………………………
21．解：(Ⅰ)由题意得抛物线方程 x2=4y, …………………………………………………
，
点
D
到
AB
的距离
d2
|
k1x4 y4 1| 1 k12
(k1
x 4
1
y4 k12
1)
.
∴S
1 2
|
AB
|
(d1
d2 )
2(k12
1)
k1 ( x3
x4 ) ( y4 1 k12
y3 )
2 1 k12 (k1 k2 )(x3 x4 ) 4 1 k12 16k22 16 16 (1 k12 )(k12 4k1 5) . …………………………………………………………… 11 分 设 f (x) (1 x2 ) (x2 4x 5), x 0
13d ),
且
S9≥0，
解得
ad1
1, 2
或
a1 d
11 5
2.
,
（舍去）；…………………………………………………
5分
5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn n2 ，代入 bn2Sn+1= Sn+1+2
从而可得 bn
1 2 .…………………………………………………………… (n 1)2
2022年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(4月份)+答案解析(附后)
2022年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.或2.已知复数，其中i是虚数单位，下列选项中正确的是( )A. 若z是纯虚数，则这个纯虚数为B. 若z为实数，则C. 若z在复平面内对应的点在第一象限，则D. 当时，3.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少？你的答案是( )A. B. 1 C. D.4.直线平面，直线平面，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若二项式的展开式中含有常数项，则n可以取( )A. 5B. 6C. 7D. 86.已知x，y满足不等式组，若中有最大值，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.7.已知函数，，，则图象为如图的函数可能是( )A.B.C.D. 8.三棱锥中，，，，，若三角形PAC 和PBC都是等腰直角三角形，则a ，b ，c 可能的不同取值有( )A. 1种 B. 2种C. 3种D. 至少4种9.设，，则有( )A. 存在，成立B. 任意，恒成立C. 任意，恒成立D. 存在成立10.已知数列、、满足，，，…，…，则下列有可能成立的是( ) A. 若为等比数列，则 B. 若为递增的等差数列，则 C. 若为等比数列，则 D. 若为递增的等差数列，则二、填空题：本题共7小题，共36分。
11.直线：的斜率为______，直线：，若，则______.12.香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示．则图2中两线段AD 与BC ，在图1的六面体中实际所成的角为______，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成如图3所示，则这个菱形的面积为______.13.口袋中有4个黑球、3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数，则______，______.14.已知函数，则函数的最大值为______，若函数在上为增函数，则的取值范围为______.15.2022年北京冬奥会大约招募了万名志愿者．5名金华籍志愿者被安排在运动场馆，每名志愿者只能去一个场馆，若可供安排的5个场馆中至少有3个要安排他们，则不同的安排种数有______.16.过双曲线的左焦点的直线l，在第一象限交双曲线的渐近线于点P，与圆相切于点若，则离心率e的值为______.17.已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为______.三、解答题：本题共5小题，共74分。
2020年浙江省金华十校4月高三模拟考试数学试卷
绝密★启用前金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x≤2},则A∩B=A. {x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C. {x|-1<x≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y满足约束条件42y xx yy⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a∈R,则“a>2”是“方程22220x y ax y++-+=的曲线是圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]xππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C-中,M,N分别为11,AC B C的中点,E,F分别为1,BC B B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln,0,ax xf xx x⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m∈R时,有且只有1个B.当a>0,m≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______.三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。
浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题(解析版)
浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题一、选择题.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2} C ．{x |﹣1＜x ≤2} D ．{x |﹣1≤x ＜2}2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）8．已知函数f(x)={ax 2+1，x ≤0lnx ，x ＞0，，下列关于函数y ＝f （f （x ））+m 的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）A ．α＜β，β+γ＞π2 B ．α＜β，β+γ＜π2 C ．α＞β，β+γ＞π2 D ．α＞β，β+γ＜π2 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当a =√2时，a 10＞2 C ．当a =13时，a 10＞210D ．当a =165时，a 10＞2 二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ ；离心率是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，休积是．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝，含x项的系数是．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba=内角B的取值范围是．15．已知椭圆C：x29+y27=1，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线1的斜率为．16．已知非零平面向量a→，b→，c→，满足a→•b→=a→2，3c→=2a→+b→，则b→⋅c→|b→|⋅|c→|的最小值是．17．设a，b∈R，若函数f(x)=23ax3+12bx2+(1−a)x在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．22．已知函数f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．（Ⅰ）若a=12，证明：f（x）≥0；（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：A ．2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵2+ai 1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a 2+2+a 2i 是纯虚数，∴{2−a =02+a ≠0，即a ＝2． 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解：作出不等式对应的平面区域： 由z ＝x +2y ，得y =−12x +z 2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点A 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大． 由{x +y =4x =y ，得A （2，2）， 此时z 的最大值为z ＝2+4＝6， 故选：B ．4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断．解：方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆，则有D 2+E 2﹣4F ＝a 2+4﹣8＞0，解之得a ＞2或a ＜﹣2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜﹣2”的充分不必要条件， 故选：A ．5．在下面四个x∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y＝|x|cos2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除AC，由f（π）＞0，可排除B，进而得出正确选项．解：f（﹣x）＝|﹣x|cos（﹣2x）＝|x|cos2x＝f（x），即f（x）为偶函数，可排除AC；又f（π）＝πcos2π＝π＞0，可排除B．故选：D．6．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B 的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为（）A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交【分析】推导出EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，从而平面PMN∥平面ABB1A1，由此得到直线MN与平面ABB1A1平行．解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．故选：B．7．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【分析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）＝2，D（ξ）=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（η）=167，D（η）=2449，从而求出E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=C31C64=15，P（ξ＝2）=C32C32C64=35，P（ξ＝3）=C31C64=15，∴E（ξ）=15+2×35+3×15=2，D（ξ）=15+15=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=C41C74=435，P（η＝2）=C42C32C74=1835，P（η＝3）=C43C31C74=1235，P（η＝4）=1C74=135，∴E（η）=435+2×1835+3×1235+4×135=167，D（η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3−167）2+135（4−167）2=2449，∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．8．已知函数f(x)={ax2+1，x≤0lnx，x＞0，，下列关于函数y＝f（f（x））+m的零点个数的判断，正确的是（）A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个【分析】分别画出a＝0，a＞0，a＜0时，y＝f（x）的图象，结合t＝f（x），f（t）+m ＝0的解的情况，数形结合可得所求零点个数．解：画出a＝0时，y＝f（x）的图象，可令t＝f（x），则f（t）+m＝0，即y＝f（t）和y＝﹣m的交点个数即为零点的个数．若m＝﹣1，则t≤0或t＝e，即0＜x≤1或x＝e e，即当a＝0，m∈R时，不只1个零点，故A错；当a＞0时，m≤﹣1时，可得t≤0或t＝e﹣m≥e，可得x的个数为1+2＝3个，即B正确；当a＜0，m＜﹣1或﹣1＜m＜0时，y＝f（x）的图象如右图：（y轴左边红色的和y轴右边的图象）．由﹣m＞0，且﹣m≠1，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．9．设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A．α＜β，β+γ＞π2B．α＜β，β+γ＜π2C．α＞β，β+γ＞π2D．α＞β，β+γ＜π2【分析】由最小角定理得α＞β，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，推导出γ＞∠BVA，由VA⊥平面ABC，得β＝∠VMA，推导出γ＞∠MVA，从而β+γ＞π2．解：设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，由最小角定理得α＞β，排除A和B，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，∴tanγ=tan∠BNA=AB AN，而tan∠BVA=ABAV，AN＜AV，∴tan∠BNA＞tan∠BVA，∴γ＞∠BVA，∵VA⊥平面ABC，∴β＝∠VMA，∴β+∠MVA=π2，∵tan∠MVA=AMAV，AB＞AM，∴tan∠MVA，∴γ＞∠MVA，∴β+γ＞π2．故选：C．10．设a∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n﹣（a n﹣2）3，则（）A．当a＝4时，a10＞210B．当a=√2时，a10＞2C．当a=13时，a10＞210D．当a=165时，a10＞2【分析】令b n＝a n﹣2，则b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，分别取a=√2和a=165，利用函数的单调性推导出B，D错误；令g（x）＝x3﹣x，则g′（x）＝3x2﹣1，g（x）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a＝4时，利用函数的单调性推导出A错；当a=13时，利用函数的单调性推导出C正确．解：令b n＝a n﹣2，即b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，由f′（x）＞0，得−√33＜x＜√33，由f′（x）＜0，得x＜−√33或x＞√33，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，当a =√2时，b 1=√2−2＜−√33，0＞b 2＝18﹣13√2＞−√33，由数学归纳法得到−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，当a =165时，b 1=65，0＞b 2=−66125＞−√33， 由数学归纳法知−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，故B ，D 错误；令g （x ）＝x 3﹣x ，则g ′（x ）＝3x 2﹣1，由g ′（x ）＞0，得x ＜−√33或x ＞√33，由g ′（x ）＜0，得−√33＜x ＜√33，∴g （x ）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a ＝4时，|b 1|＝2，|b 2|＝6，由题意得|b n |≥2，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞2×39＞210，∵b 2与b 10同号，则A 错； 当a =13时，|b 1|=53，|b 2|=8027， 由题意知|b n |≥53，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 2与b 10同号，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞8027⋅38＞210，故C 正确． 故选：C ．二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ 4 ；离心率是√52． 【分析】由题意双曲线的方程和渐近线的方程求出a ，进而求出双曲线的离心率．解：由双曲线x 2a−y 2=1的方程可得渐近线的方程为：y =√a ，而由题意可得√a=12，所以a ＝4， 离心率e =√4+1√4=√52，故答案分别为：4，√52． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 16+6√2 ，休积是 6 ．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为三棱柱， 如图所示：所以该几何体的表面积为：S =2×3+2×3+2√2×3+2×12×2×2=16+6√2．该几何体的体积为：V=12×2×2×3=6．故答案为：16+6√2；6．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝4，含x项的系数是24或96．【分析】二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，可得2n＝16，解得n．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a．利用通项公式即可得出．解：二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，∴2n＝16，解得n＝4．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a＝2，或﹣4．a＝2时，T3=∁42(2√x)2=24x，a＝﹣4时，T3=∁42(−4√x)2=96x，含x项的系数是24或96．故答案为：4，24或96．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba =√22内角B的取值范围是（0，π4）．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin B cos A=√2sin A cos A，结合A≠π2，可得2sin B=√2sin A，由正弦定理可得ba=√22，kd sin B=√2sinA2，且b＜a，B为锐角，即可求解范围B．解：∵c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，∴由正弦定理可得：sin C+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，∵sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，可得2sin B cos A=√2sin A cos A，∵A ≠π2，∴可得2sin B =√2sin A ，由正弦定理可得2b =√2a ，可得b a=√22，∵sin B =√2sinA 2∈（0，√22），且b ＜a ，B 为锐角，∴B ∈（0，π4）．故答案为：√22，（0，π4）．15．已知椭圆C ：x 29+y 27=1，F 为其左焦点，过原点O 的直线1交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线1的斜率为 −√73．【分析】先设点A 的坐标，再把需要的线的斜率表示出，利用到角公式解出点的坐标，从而求出斜率．解：设A （x 0，y 0 ），则B （﹣x 0，﹣y 0），x 0＜0，y 0＞0且x 029+y 027=1．∵F 为其左焦点，∴F （−√2，0），tan ∠BFO =0−x 0+2，直线AB 的斜率k 1=yx 0．经分析直线AF 的斜率必存在，设为k 2=y 0x0+√2．又由到角公式可得：tan ∠FAB =k 1−k 21+k 1k 2=√2y 0x 02+2x 0+y 02．又∠FAB ＝∠BFO ，∴√2y 0x 2+√2x +y 2=0−x +√2． ∴x 02+2√2x 0+y 02=2，又x 029+y 027=1，x 0∈（﹣3，0），可解得：x 0=−3√22，y 0=√142，∴直线l 的斜率为y 0x 0=−√73．故答案为：−√73．16．已知非零平面向量a →，b →，c →，满足a →•b →=a →2，3c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →|⋅|c →|的最小值是 √32．【分析】根据已知条件可以得出向量a →，b →，c →之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将向量b →，c →的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题．解：由a →•b →=a →2得|a →||b →|cosθ=|a →|2（θ是a →，b →的夹角）．∴|b →|cosθ=|a →|，所以不妨设a →=(1，0)，b →=(1，tanθ)(θ是零角或锐角)，（∵求得是比值，所以为了简化计算，在不影响结果前提下设a →=(1，0)．）∴c →=23a →+13b →=(1，13tanθ)．再令t ＝tan θ∈[0，+∞）．则b →⋅c→|b →|⋅|c →|=1+13t 2√1+t 2√1+9t 2=√(1+t )(1+19t )(1+13t 2)2 对于分母，再令m ＝t 2≥0，则分母可化为：y =√1+49m1+23m+19m2=√1+4923+19m+1m．∵23+19m +1m≥23+2√19m ×1m=43，（当且仅当m ＝3时取等号）∴上式≤√1+4943=3．∴b →⋅c→|b →|⋅|c →|≥12√3=√32． 故答案为：√32．17．设a ，b ∈R ，若函数f(x)=23ax 3+12bx 2+(1−a)x 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b的最大值为 2 ．【分析】求导得f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，依题意，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2﹣1＝x ，可得a +b ≤2，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当a +b ＝2时，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，综合即可得出结论．解：f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，∵函数f （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[﹣1，1]上恒成立，亦即（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 令2x 2﹣1＝x ，解得x ＝1或x =−12，将x =−12代入可得−12a −12b +1≥0，即a +b ≤2，则a +b 的最大值为2，下面证明a +b ＝2可以取到，令g （x ）＝f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，则g ′（x ）＝4ax +b ，且g(x)≥0，g(−12)=0，则g′(−12)=−2a +b =0，解得a =23，b =43，当a =23，b =43时，g(x)=f′(x)=43x 2+43x +13=13(2x +1)2≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，故a +b ＝2可以取到， 综上，a +b 的最大值为2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．【分析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得a的值．（Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得cos（2α+π6）的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sin（2α+π6）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]的值．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0），∴f（x+π2）＝sin（x+π2）+a cos（x+π2）＝cos x﹣a sin x，∵满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4，即（sin x+a cos x）2+（cos x﹣a sin x）2＝4，即1+a2＝4，故a=√3．（Ⅱ）设0＜a＜π2，且f(α)⋅f(α+π2)=23=（sinα+√3cosα）•（cosα−√3sinα）＝sinαcosα−√3sin2α+√3cos2α﹣3sinαcosα＝﹣2sinαcosα+√3cos2α=√3cos2α﹣sin2α＝2cos（2α+π6）∴cos（2α+π6）=13．∵0＜α＜π2，∴2α+π6∈（π6，7π6），∴sin（2α+π6）=√1−cos2(2α+π6)=2√23．故sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]＝sin（2α+π6）cosπ6−cos（2α+π6）sinπ6=2√23×√32−13⋅12=2√6−16．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AN，由题意可得MB⊥AN，结合MB⊥NC，利用线面存在着的判定可得MB⊥平面NAC，则MB⊥AC；（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，证明MG与EF相交，记交点为O，则O 为MG与EF的中点．则直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF．记F到平面MBC的距离为h，利用等体积法求得h，则sinθ=ℎOF=√155．【解答】（Ⅰ）证明：连接AN，∵四边形ABNM的边长均为2，∴MB⊥AN，∵MB⊥NC，且AN∩NC＝N，∴MB⊥平面NAC，∵AC⊂平面NAC，∴MB⊥AC；（Ⅱ）解：取BC的中点G，连接FG，NG，MG，显然FG∥MN，且FG=12MN，即FG∥ME，FG＝ME，∴MG与EF相交，记交点为O，则O为MG与EF的中点．∴直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由（Ⅰ）知，MB⊥AC，又△ABC为正三角形，∴BF⊥AC，且BF=√3．∵MB∩BF＝B，∴AC⊥平面MBF，则MF⊥AC，得MF=√3．∵MB=√6，∴MF⊥BF，得OF=12EF=12√3+1=1．记F到平面MBC的距离为h，∵MF⊥BF，MF⊥AC，且AC∩BF＝F，∴MF⊥平面ABC，V M−BCF=13S△BCF⋅MF=13⋅12⋅1⋅√3⋅√3=12．在△MBC中，∵MC＝BC＝2，MB=√6，∴S△MBC=√152．∴V F−MBC=13S△MBC⋅h=13⋅√152⋅h=12，得h=√155．故sinθ=ℎOF=√155．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意9a 1+36d ≥0，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得S n ＝n 2，求得b n ，并推得b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝2a 2+3可得a 1+4d ＝2（a 1+d ）+3， 又a 2，√S 9，a 14成等比数列，可得S 9＝a 2a 14， 即9a 1+36d ＝（a 1+d ）（a 1+13d ），且9a 1+36d ≥0， 解得a 1＝1，d ＝2，或a 1=−115，d =25（舍去）， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S n =12（1+2n ﹣1）n ＝n 2，由b n 2S n +1＝S n +1+2，可得b n =√1+2(n+1)2，由b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√n 2(n+1)2+(n+1)2+n 2n 2(n+1)2 =√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，故b 1+b 2+…+b n ＜n +（1−12+12−13+⋯+1n −1n+1） ＝n +1−1n+1＜n +1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）抛物线方程为x2＝4y，设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，直线y＝kx+t代入抛物线方程，当t＝1时，得x1x2，x3x4，当t＝3时，得x2x4，进而可得x1x3值为−43，写出直线AC方程，令x＝0得y=−x1x34=13，进而得出结论．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，设直线l的方程是y＝kx+1，联立抛物线方程，由韦达定理可得，|AB|＝|y1+1+y2+1|＝4（k12+1），再求出点C到AB的距离d1点D到AB的距离d2，S=12|AB|（d1+d2），化简得S＝16√(1+k12)(k12−4k1+5)，设f（x）＝（1+x2）（x2﹣4x+5），x＞0，求导，分析单调性，进而得出S min．解：（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为x2＝4y，设直线y＝kx+t代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，当t＝1时，得x1x2＝﹣4，x3x4＝﹣4，当t＝3时，x2x4＝﹣12，所以x 1x 3=−4x 2•−4x 4=−43，直线AC 方程是y ﹣y 1=x 1+x 34(x −x 1)， 令x ＝0得y =−x 1x 34=13， 故直线AC 与y 轴交点坐标是（0，13）．（Ⅱ）F （0，1）设直线l 的方程是y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），x 3＞x 4， 则{x 1+x 2=4k 1x 1x 2=−4，{x 3+x 4=4k 2x 3x 4=−4， |AB |＝|y 1+1+y 2+1|＝|k 1x 1+k 1x 2+4|＝4（k 12+1）， 点C 到AB 的距离d 1=133√1+k 1=133√1+k 1，点D 到AB 的距离d 2=144√1+k 1=144√1+k 1，S =12|AB |（d 1+d 2）＝2（k 12+1）•13443√1+k 12=2√1+k 12•（k 1﹣k 2）（x 3﹣x 4）＝4√1+k 12√16k 22+16=16√(1+k 12)(k 12−4k 1+5)， 设f （x ）＝（1+x 2）（x 2﹣4x +5），x ＞0 则f ′（x ）＝4（x 3﹣3x 2+3x ﹣1）＝4（x ﹣1）3，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以在（0，+∞）内f （x ）最小值f （1）＝4． 故当k 1＝1，k 2＝﹣1时，S min ＝32．22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣xlnx ．其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）若a =12，证明：f （x ）≥0；（Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求f （x ）的范围，可证；（II ）由已知代入整理可得，ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，构造函数m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x =1x −1e x−1，x ＞1，然后结合导数分别分析函数的特征性质，可求．【解答】证：（I ）函数f （x ）的定义域（0，+∞），f （x ）=12x 3−12x ﹣xlnx ＝x（12x 2−12−lnx ）， 令g （x ）=12x 2−12−lnx ，则g′(x)=x −1x =x 2−1x，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故g （x ）≥g （1）＝0， 又x ＞0，所以f （x ）≥0；解：（II ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）＝1﹣（ax 3﹣ax ﹣xlnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，则e 1﹣x ≥1x−（ax 2﹣a ﹣lnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立， 即ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，令m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x=1x −1ex−1，x ＞1， 由e x ﹣1＞x （x ＞1）可得n （x ）＞0，∵m′(x)=2ax −1x =2ax 2−1x，（i ）当a ≤0时，m ′（x ）＜0，m （x ）在∈（1，+∞）上单调递减，故m （x ）＜m （1）＝0，此时m （x ）≥n （x ）不成立，（ii ）当a ＞0时，由m ′（x ）＝0可得x =√12a，x =−√12a（舍），当√12a ＞1即0＜a ＜12时，m （x ）在（1，√12a ）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，∴m （√12a）＜m （1）＝0，则在（1，√12a）m （x ）≥n （x ）不成立，当√12a≤1即a ≥12时，m （x ）在（1，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，令F （x ）＝m （x ）﹣n （x ）＝a （x 2﹣1）﹣lnx −1x+1e x−1，则F （x ）≥12(x 2−1)−lnx −1x +1e x−1，令G （x ）=12(x 2−1)−lnx −1x+1e x−1，即F （x ）≥G （x ），∵G′(x)=x −1x +1x 2−1e x−1≥x −1x +1x 2−1=(x+1)(x−1)2x 2＞0，故G （x ）在（1，+∞）上单调递增，G （x ）＞G （1）＝0，则F （x ）≥G （x ）＞0，综上，a 的范围[12，+∞）．。
2020年浙江省金华十校4月高三模拟考试数学试卷(word版含答案)
金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷参考公式:如果事件A ､B 互斥,那么P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件A ､B 相互独立,那么P(A·B)=P(A) ·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)n k n n k k P k C p p -=-(k =0,1,2,…,n)台体的体积公式：11221(),3S V S S S =++其中12,S S 表示台体的上､下底面积,h 表示棱台的高. 柱体的体积公式：V Sn =.其中S 表示柱体的底面积,n h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13V sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式：24S R π=.球的体积公式：343VR π=.其中R 表示球的半径. 选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x ≤2},则A ∩B= A. {x|1<x<2}B.{x|1<x ≤2}C. {x|-1<x ≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a ∈R )是纯虚数(i 是虚数单位),则a 的值为 A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y 的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a ∈R ,则“a>2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x 的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C -中,M,N 分别为11,AC B C 的中点,E,F 分别为1,BC B B 的中点,则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n 个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n 表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln ,0,ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m ∈R 时,有且只有1个B.当a>0,m ≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠c+ bcosA- acosB=2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______. 三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。