人教数学八上精品教案12.3 第2课时 角平分线的判定1
12.3 角的平分线的性质(第2课时)八年级上册人教版
素养目标
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法 并应用其解题. 1. 理解角平分线判定定理.
探究新知
素养考点 角平分线的判定的应用
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距
离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上 截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置
链接中考 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF， CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) . ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
八年级数学上册高效课堂(人教版)12.3.2角的平分线的判定(第二课时)优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如建筑设计中角的平分线应用，引入新课。
2.提出问题：如何判断一个线段是角的平分线呢？引发学生思考，激发学习兴趣。
3.引导学生回顾已学的角平分线的判定方法，结合几何画板软件动态展示，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.学生通过自主学习、探究学习，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学知识的实用性和趣味性，增强学习数学的兴趣。
2.学生在探究角的平分线的过程中，培养勇于尝试、坚持不懈的精神，增强自信心。
3.学生通过小组合作，学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的团队合作精神。
（一）情景创设
1.利用现实生活中的实例，创设有趣、富有挑战性的问题情景，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.利用几何画板软件，动态展示角的平分线与角的两边垂直的性质，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.设计具有层次性的问题，引导学生从不同角度、不同层次去观察、思考问题，培养学生全面考虑问题的习惯。
这些亮点体现了本节课的人性化教学理念，关注学生的个体差异，培养学生的自主学习能力、团队协作能力和问题解决能力。在教学过程中，教师运用了多种教学方法和手段，使学生在轻松、愉快的氛围中学习，提高了学习效果。
在教学案例中，我以一个现实生活中的问题为导入：在画一个等边三角形的一个内角平分线时，如何判断这个线段确实是该角的平分线呢？这个问题引发了学生的思考，激发了他们的学习兴趣。接着，我引导学生通过观察、操作、猜测、推理、交流等环节，探索角的平分线的判定方法。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现角的平分线与角的两边垂直的性质。通过几何画板软件的动态展示，让学生直观地感受到角平分线与角的两边垂直的性质，从而加深对知识的理解。同时，我还设计了一系列的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案
§12．3 角的平分线的性质〔二〕教学目标〔一〕教学知识点：角的平分线的性质〔二〕能力训练要求1．会表达角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上〞．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．〔三〕情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．教学重点：角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．教学方法：探索、归纳的方法．教学过程一．创设情境，引入新课[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？二．导入新课角平分线的性质即角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如下图的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．问题1：你能用文字语言表达所画图形的性质吗？问题2：〔出示投影片〕能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞这句话．请填下表：学生通过讨论作出以下概括：事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由事项推出的事项：PD=PE．【师】如何证明？请同学们试一试。
证明：略〔详见课本P49页〕。
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？〔出示投影〕问题3：根据下表中的图形和事项，猜测由事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：于是，我们得到角平分线的性质的逆定理：【师】在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【师】你能证明吗？请同学们试一试。
下面请同学们思考一个问题．思考：如下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路穿插处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？分析：1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？讨论结果展示：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：作法：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以假设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．三．随堂练习1．课本P50页练习．第1、2题。
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。
12.3 角的平分线的性质(1) 人教版八年级数学上学期教案
放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容，这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。
角的平分线是数学中的一个重要概念，它在几何学习中有着广泛的应用。
本节内容主要介绍了角的平分线的性质，包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线垂直于角的对边等。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。
但是，学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些几何问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。
2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示角的平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些有关角的平分线的问题，学生通过合作解决问题，巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
4.巩固（10分钟）教师给出一些有关角的平分线的问题，学生独立解答，教师进行讲解和指导，帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
5.拓展（10分钟）教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题，学生进行思考和讨论，通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。
2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 角的平分线的判定教学设计
第2课时角的平分线的判定教学步骤师生活动拓展：(1)几何画板动态演示角平分线的判定定理：提出这些概念，学生只教学目标课题12.3第2课时角的平分线的判定授课人素养目标探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.教学重点探索并证明角平分线的判定定理及其运用教学难点区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课引入设计意图结合实际情境提出问题，为引入角平分线的判定定理做铺垫.【情境引入】思考如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？聪明的你是否已经猜想到，集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上呢？这是为什么呢？让我们赶快进入新课，你的疑问就能迎刃而解了.【教学建议】学习了角的平分线的性质之后，学生可能会猜想到答案，无形中将要学的判定定理与性质定理建立了联系，对进入新课的学习起到了推动作用.活动二：合作交流，新知探究设计意图使学生经历探索证明角的平分线的判定定理的过程，感受知识的产生可以来自于数学本身.学会区别角的判定定理与性质定理，并运用判定定理解决问题.探究点1角的平分线的判定问题1：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？答：新结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.问题2：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论.答：这个结论成立.证明过程如下：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E，且PD=PE.求证：点P 在∠AOB 的平分线上.证明：如图，经过点P 作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，OP=OP,PD=PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).∴∠AOC=∠BOC.∴点P 在∠AOB 的平分线上.概念引入：【教学建议】衔接活动一的思路继续引导，通过逆向思维将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，并引导学生利用三角形全等证明这个结论，这就得到了角的平分线的判定定理.这个过程中结合了推理证明，可使学生进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.角平分线的实质是符合某种条件的动点的集合，因此利用教具、投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能直观显示其形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，发挥学习的主动性.角的平分线的性质定理和判定定理是互逆定理，教学中不必对学生(2)角的平分线的性质及判定的关系：特别提醒：角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆.问题3：根据上述结论，请找到活动一中集贸市场的具体位置.答：集贸市场应建在S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷200＝2.5个单位长度的位置，如图中点P 所示.【对应训练】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF 相交于点D.若BD＝CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD 是∠BAC 的平分线.需认识到这两个定理的条件和结论是相反的，体会互逆的特点并能够加以区别即可.【教学建议】学过角的平分线的判定定理后，自然对于活动一的问题进行了解释，这里要注意比例尺的换算不要出错．教师可引导学生交流探讨，完成后续设置的练习，有利于进一步加强学生对于新知的理解和应用.设计意图使学生经历探究三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等的过程，为运用这个结论打好理论基础.探究点2三角形三条角平分线的关系例1(教材P50例题)如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.证明：过点P 作PD ，PE ，PF 分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足分别为D ，E ，F.∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD ＝PE.同理PE ＝PF.∴PD ＝PE ＝PF.即点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.问题：想一想，点P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？答：由于点P 在∠A 的内部，而且PD ＝PF ，所以点P 在∠A 的平分线上．这说明三角形的三条角平分线交于一点.归纳总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.【对应训练】教材P50练习第2题.【教学建议】学生自主完成例1的解题过程，教师进行点评，并提出后面的问题，这也是这个探究点的核心意义——证明了三角形三条角平分线交于一点，这里隐含将三角形的面积与周长之间建立联系．在第十一章学生曾经画图猜想过三角形三条角平分线的特点，在这里就综合利用了角的平分线的性质和判定定理对这个猜想进行了严格证明，体现了数学证明的逻辑性与严密性．九年级上册中还将进一步说明这个交点的意义：它是三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心.教学步骤师生活动内一点，DE⊥AB，DF⊥AC＝CD.“随堂小练”册子相应课时随堂训练.师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：角的平分线的判定定理是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的判定定理解题吗？【作业布置】1.教材P51～52习题12.3第1，3，7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．第2课时角的平分线的判定1.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.三角形三内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．解题大招一与角的平分线的判定有关的计算角的平分线的判定定理为得到角平分线又增加了一种思路，可利用角的平分线的判定定理对说理过程进行简化，不必再通过证三角形全等来进行说明．而三角形三条角平分线交于一点在本课时通过角的平分线的判定定理进行了严格证明，过这个交点分别对三角形三条边作垂线，可得到三条相等的垂线段(设长为h)，从而可利用面积法得到三角形的面积S 与周长C 之间的关系：S ＝12Ch.例1如图，AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，若AB ＝AD ，∠BCD ＝60°，求∠DAC 的度数．解：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，且AB ＝AD ，∴CA 平分∠BCD.∴∠ACD ＝12∠BCD ＝12×60°＝30°.又∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝90°－∠ACD ＝90°－30°＝60°.例2如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，AP ，BD 交于点O ，过点O 作OM ⊥AC 于点M.若OM ＝4，△ABC 的周长为32，求△ABC 的面积．解：如图，连接OC ，过点O 分别作OE ⊥AB 于点E ，ON ⊥BC 于点N.∵AP 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，AP ，BD 交于点O ，∴点O 是△ABC 三条角平分线的交点，∴OE ＝ON ＝OM ＝4.S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＋S △AOB＝12AC·OM ＋12BC·ON ＋12AB·OE ＝12OM·(AC ＋BC ＋AB)＝12×4×32＝64.解题大招二角的平分线的判定定理的实际应用在确定到三角形三边距离相等的点的位置时，易受到“三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等”的思维定式的影响，误认为这样的点只有一个，且存在于三角形内部．事实上，若题中不存在限制条件，这样的点还有3个，它们是三角形相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线的交点．例3如图，三条公路l 1，l 2，l 3两两相交于A ，B ，C 三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可选择的地方有多少处？请画出图形并在图中标示出来．分析：解：可选择的地方有4处．如图：(1)作出△ABC 两个内角的平分线，取其交点为O 1；(2)分别作出△ABC 相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线，取其交点分别为O 2，O 3，O 4.故可选择的地方有4处，即点O 1，O 2，O 3，O 4.解题大招三角的平分线的性质与判定的综合应用与角的平分线有关的常见的添加辅助线的方法：若OP 为∠AOB 的平分线或要证OP 为∠AOB 的平分线，则可以用下面的方法：例4如图，CB ＝CD ，∠D ＋∠ABC ＝180°，CE ⊥AD 于点E.(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE ＝10，DE ＝4，求AB 的长．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 的延长线于点F.∵CE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠DEC ＝∠F ＝90°.∵∠D ＋∠ABC ＝180°，∠CBF ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠CBF.在△CDE 和△CBF ∠DEC ＝∠F ，∠D ＝∠CBF ，CD ＝CB ，∴△CDE ≌△CBF(AAS )，∴CE ＝CF.又CE ⊥AD ，CF ⊥AF ，∴AC 平分∠DAB.(2)解：由(1)可得△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝DE ＝4.在Rt △ACE 和Rt △ACF AC ＝AC ，CE ＝CF ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF(HL )，∴AF ＝AE ＝10，∴AB ＝AF －BF ＝10－4＝6.培优点与角的平分线的判定定理有关的探究题例(类比探究)如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，AD ，CE 是△ABC 的角平分线，AD ，CE 相交于点F.(1)请你判断并写出DF 与EF 之间的数量关系，并说明理由．(2)如图②，如果∠ACB 不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．分析：解：(1)DF ＝EF.理由如下：如图①，过点F 分别作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AB 于点N ，连接BF ，则∠DMF ＝∠ENF ＝90°.∵△ABC 的三条角平分线交于一点，AD ，CE 是△ABC 的角平分线，∴BF 平分∠ABC.∴FM ＝FN.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°，∴∠CDA ＝90°－∠DAC ＝75°.又∠ACE ＝12∠ACB ＝45°，∴∠NEF ＝∠BAC ＋∠ACE ＝30°＋45°＝75°，∴∠NEF ＝∠MDF.在△DMF 和△ENF ∠MDF ＝∠NEF ，∠DMF ＝∠ENF ，FM ＝FN ，∴△DMF ≌△ENF(AAS )，∴DF ＝EF.(2)DF＝EF仍然成立．证明如下：如图②，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，连接BF，则∠DMF＝∠ENF＝∠BNF＝90°.∵△ABC的三条角平分线交于一点，AD，CE是△ABC的角平分线，∴BF平分∠ABC.∴FM＝FN.由双内角平分线模型可知∠AFC＝90°＋12∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠DFE＝∠AFC＝120°.又∠MFN＝360°－∠DMF－∠BNF－∠ABC＝360°－90°－90°－60°＝120°，∴∠MFN＝∠DFE.∴∠MFN－∠DFN＝∠DFE－∠DFN，即∠DFM＝∠EFN.在△DMF和△ENF DMF＝∠ENF，＝FN，DFM＝∠EFN，∴△DMF≌△ENF(ASA)，∴DF＝EF.。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教版数学八年级上册
第2课时 角平分线的判定
1．掌握角平分线的判定定理．(重点)
2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)
一、情境导入
中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、合作探究
探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定
如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是
∠BAC 的平分线．
解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．
证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF
是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，
BD ＝CD ，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；
二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【类型二】角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题
如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的
平分线．
解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
探究点二：三角形的内角平分线
【类型一】利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，
则∠BOC的度数为( )
A ．110°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，
BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12
∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB
＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选A.
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【类型二】 三角形内角平分线的应用
已知：如图，直线l
1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要
求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P 1、P 2、P 3、P 4，共4处．
(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的
性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．。