教案—角的平分线的判定

角的平分线的判定
教学目标
1.掌握角平分线的判定．
2.熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．
预习反馈
阅读教材P50，完成下面内容．
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，且PC＝PD，∴OP平分∠AOB．
2.三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O，
∴点O也在∠BAC的平分线上．
又∵OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，
∴OP＝OM＝ON．
类型1 角的平分线的判定
例1(教材练习第2题变式)如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥CA，垂足分别为F，G，H.
∵点P在∠ABC的外角平分线上，∴PF＝PG.
∵点P在∠ACB的外角平分线上，
∴PG＝PH.∴PF＝PH.
∴点P在∠BAC的平分线上．
【跟踪训练1】如图，已知BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BE＝CF，BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF.
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
类型2 三角形三条角平分线的交点到三边的距离
例2 (教材补充例题)如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D.若PD＝5，△ACB的周长为20，求△ABC的面积．
解：作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，
由角平分线的性质可知：PD ＝PE ＝PF ＝5，
所以S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC ＋S △PBC ＝12PD ·AB ＋12PF ·AC ＋12PE ·BC ＝12PD ·(AB ＋AC ＋BC)＝12
×5×20＝50.
【跟踪训练2】 如图，直线l ，l ′，l ″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A ．1处
B ．2处
C ．3处
D ．4处
巩固训练
1.到三角形的三边距离相等的点是(B)
A.三角形三条高的交点
B.三角形三条内角平分线的交点
C.三角形三条中线的交点
D.以上均不对
2.如图，AD ⊥DC ，AB ⊥BC.若AB ＝AD ，∠DAB ＝120°，则∠ACB 的度数为(C)
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．75°
3.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(A)
A ．M 点
B ．N 点
C ．P 点
D ．Q 点
4.如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
解：(1)证明：作ME⊥AD于点E.
∵MC⊥DC，ME⊥DA，DM平分∠ADC，
∴ME＝MC.
∵M为BC的中点，
∴MB＝MC，∴ME＝MB.
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠BAD.
(2)DM⊥AM.理由如下：
∵DM平分∠CDA，AM平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠B＋∠C＝180°，
∴DC∥AB.
∴∠CDA＋∠BAD＝180°.
∴∠1＋∠3＝90°.
∴∠DMA＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM.
课堂小结
角的平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用辅助线之一．。