三角函数解题技巧与公式已整理技巧归纳以与练习题
三角函数的和差化积化和差与倍角公式与半角公式与积化和差练习题
三角函数的和差化积化和差与倍角公式与半角公式与积化和差练习题三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的和差化积化和差、倍角公式与半角公式以及积化和差的相关内容，并附带练习题供读者加深理解。
一、和差化积化和差在三角函数中，和差化积化和差是一种常用的运算技巧。
它可以将两个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的积（或商），或者将一个三角函数的积（或商）转化为两个三角函数的和（或差）。
以和差化积为例，设有两个角A和B，则有以下公式：1. 正弦函数的和差化积化和差公式：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB2. 余弦函数的和差化积化和差公式：cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB3. 正切函数的和差化积化和差公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA * tanB)根据以上公式，我们可以灵活地将一个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的积（或商），从而简化运算。
二、倍角公式与半角公式倍角公式与半角公式是三角函数中常见的公式，它们用于计算一个角的两倍角或一半角的三角函数值。
1. 倍角公式：对于角A，有以下倍角公式：sin(2A) = 2 * sinA * cosAcos(2A) = cos²A - sin²A = 2 * cos²A - 1 = 1 - 2 * sin²Atan(2A) = (2 * tanA) / (1 - tan²A)倍角公式在求解三角函数的近似值、简化复杂运算等方面起到了重要的作用。
2. 半角公式：对于角A，有以下半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = sinA / (1 + cosA)半角公式常用于将复杂的三角函数运算转化为简单的形式。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
解题利器初中数学解题技巧助你攻克三角函数像题
解题利器初中数学解题技巧助你攻克三角函数像题在初中数学学习中，三角函数像题一直是让很多同学感到头疼和困惑的难题。
然而，只要掌握了解题的技巧和方法，就能够轻松地攻克这类题目。
本文将介绍一些解题利器——初中数学解题技巧，帮助你在解决三角函数像题时事半功倍。
一、了解三角函数基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念做一个了解。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是角度的函数。
在解题过程中，需要了解三角函数的定义、性质以及与三角关系的联系。
二、化简与变形解决三角函数像题的第一个关键是化简与变形。
有时候，我们需要将复杂的三角函数式子化简为简单的形式，这样可以更好地处理和观察。
化简的方法可以包括使用三角函数的基本关系和恒等式，以及运用一些代换和等价变形的技巧。
例如，针对一个复杂的三角函数式子，我们可以尝试使用和差化积公式、平方公式等进行变形，将其转化为更简单的形式，便于后续的计算和推导。
三、重要公式和恒等式的运用掌握重要公式和恒等式的运用是解决三角函数像题的重要技巧之一。
在解题过程中，经常会用到和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
举个例子，当遇到一个三角函数表达式中含有两个角度之和或差的形式时，可以尝试使用和差化积公式进行展开，将其转化为更易处理的形式。
四、符号的判断在解题中，符号的判断是非常重要的。
对于三角函数的正负号，可以根据角度所在的象限来判断。
一般来说，正弦函数在第一、二象限为正，余弦函数在第一、四象限为正，正切函数在第一、三象限为正。
但是要注意特殊情况和特殊角度的判断。
五、角度的转化在解题过程中，有时候需要将角度的单位转化为弧度或者角度制，这就需要掌握角度的转化方法。
一般来说，角度转化为弧度可以乘以π/180，弧度转化为角度可以乘以180/π。
六、案例分析与解题技巧通过真实的解题案例和技巧的分享，可以更好地帮助初中生掌握解决三角函数像题的方法。
这里给出一个案例：例题：已知sinθ = 1/2，求θ的取值。
三角函数题型归纳总结及方法
三角函数题型归纳总结及方法
三角函数是数学中的一类非常重要的函数，它们涉及的角度和边长的关系在很多实际问题中都有应用。
以下是对三角函数题型及方法的归纳总结:
1.角度和边长的关系:
在直角三角形中，三个内角和等于180度，并且-个角正弦值的平方等于余弦值的平方和。
这是三角函数的基础，也是解决许多问题的关键。
2.三角函数的定义:
三角函数是以角度为自变量，角度的正弦值、余弦值、正切值等为因变量的函数。
这些函数都可以用级数展开式来表示，而展开式又可以表示成多项式和幂级数的形式。
3.同角三角函数之间的关系:
在一个角度下，正弦值、余弦值和正切值之间有一定的关系，这些关系式可以用于简化问题或推导其他公式。
4.三角函数的恒等式:
恒等式是数学中非常有用的工具，它们可以帮助我们在不改变量的条件下推导出新的关系式。
三角函数也有一系列恒等式，如和差恒等式、积化和差恒等式等。
5.三角函数的图像:
图像是理解函数性质的重要工具。
对于三角函数，图像可以用来研究函数的周期性、最值、对称性等性质。
6.三角函数的应用:
三角函数在很多实际问题中都有应用，如物体运动轨迹的计算、振动问题的研究、电磁波的传播等。
解决三角函数问题的常用方法包括:
1.利用角度和边长的关系推导公式;
2.利用同角三角函数之间的关系简化问题;
3.利用恒等式推导新的关系式;
4.利用图像研究函数性质;
5.利用三角函数解决实际问题。
制表：审核：批准：。
三角函数经典题型总结
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
三角函数解题技巧
一、基本技巧：直接运用正、余弦定理解三角形1)运用余弦定理：已知三边; 已知两边+一角2)运用正弦定理：已知两角+一边；已知两边+一角3)涉及多个三角形，可以从公共边、公共角、互补角、互余角、角平分线找思路二、秒杀技巧1：利用a=2RsinA将边换成角思路：通过正弦定理、三角形内角性质、诱导公式等进行边角互化，即消元化成目标角三、秒杀技巧2：b+c、bc、b2+c2的关系四、与三角形面积有关的问题有边有角就统一三角关系消孤角三边平方用余弦正切变比或诱导若条件中有边也有角，那么常见的处理方式就是统一形式，就用“正弦定理”进行“边化角”或者“角化边”，即统一成角或者边的形式。
注意：不到万不得已不建议用余弦定理进行边角互化！【分析】：已知条件中有边有角，所以利用正弦定理进行边角互化。
所以是“边化角”。
统一条件形式后，再进行化简即可。
三角关系消孤角若条件是三角关系，那么优先利用诱导公式对孤角进行消元！那么，什么是孤角呢？就是条件中，单独作为一项的角。
【分析】：已知条件是三角关系，且∠B是孤角，所以利用诱导公式消去∠B，进行化简，可求∠A，再利用正弦定理求∠C。
三边平方用余弦若已知条件中是三边平方或乘积形式，那么往余弦定理形式靠拢。
注意：若果是三角正弦的平方或乘积，可以优先进行“角化边”，再用余弦定理。
【分析】：已知条件有三边平方，所以变形后利用余弦定理进行求解。
根据条件形式，明显是利用有∠C的面积公式和余弦定理。
正切变比或诱导若条件中出现了正切，那么优先考虑利用切化弦，或者利用三角形内正切的诱导公式进行化简。
【分析】：已知条件有正切，优先考虑化为正弦比余弦，再进行化简。
高中数学解题技巧之三角函数求解
高中数学解题技巧之三角函数求解在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，涉及到许多与角度相关的问题。
在解题过程中，我们经常会遇到需要求解三角函数的值或方程的问题。
本文将介绍一些解决这类问题的技巧和方法，并通过具体的题目来说明考点和解题思路。
一、求解三角函数的值1. 利用特殊角的值：我们可以利用特殊角的值来求解一些常见的三角函数。
例如，对于正弦函数，我们知道sin(0°)=0，sin(30°)=1/2，sin(45°)=√2/2，sin(60°)=√3/2，sin(90°)=1。
通过记忆这些特殊角的值，我们可以在解题过程中快速求解三角函数的值。
例题1：求解sin(150°)的值。
解析：由于150°可以表示为30°+120°，根据三角函数的和差公式，我们有sin(150°)=sin(30°+120°)=sin30°cos120°+cos30°sin120°=1/2*(-1/2)+√3/2*√3/2=-1/4+3/4=1/2。
2. 利用三角函数的周期性：三角函数具有周期性，即sin(x+360°)=sin(x)，cos(x+360°)=cos(x)。
因此，如果我们需要求解一个角度超过360°的三角函数的值，可以通过减去整数倍的360°来化简问题。
例题2：求解sin(420°)的值。
解析：由于420°可以表示为360°+60°，根据三角函数的周期性，我们有sin(420°)=sin(60°)=√3/2。
3. 利用三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
因此，如果我们需要求解一个负角的三角函数的值，可以通过利用奇偶性来化简问题。
新高考三角函数类题目解题技巧,掌握拿高分
新高考三角函数类题目解题技巧，把握拿高分数学高考阅卷评分实行懂多少知识给多少分的评分方法，叫做“分段评分”。
下面我给大家带来新高考三角函数类题目解题技巧，期望大家宠爱!三角变换与三角函数的性质问题答题模板1.解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2.构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
解三角形问题怎么答1.解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2.构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即依据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应留意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
2高考数学大题常见丢分缘由对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题;公式记忆不牢，考前肯定要生疏公式、定理、性质等;思维不严谨，不要忽视易错点;解题步骤不规范，肯定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避开“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论;计算能力差失分多，会做的肯定不能放过，不能一味求快，例如平面解析中的圆锥曲线问题就要求较强的运算能力;高考考生学数学心得捷径一少题海多精题“偷懒”的第一要任就在于削减复习的负荷量。
数学最大的负荷是永无止境的题海。
开学伊始，我便整理出一个大体的概念框架，并利用已有的做题经验对应框架进行知识点筛选，删除要求低的和已把握的，突出重点和难点。
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1 / 19浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：2 / 19由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。
A ．21B ．21-C ．41D ．41- 分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα 故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。
答案选A 。
例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。
由于3 / 19tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα 21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α=1-2 (sin αcos α)2 =1-2)21(2⨯ =211- =21 通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。
这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。
这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。
方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。
分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α； 解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk4 / 19 故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=? 分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α： 解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-=例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且 求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，5 / 19在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母y x sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得： 1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--y y y x x y x y x ππππππ 334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx yy y x x x “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。
而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，6 / 19 cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a b x b a ab a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(222222=+++b a b b a a 。
故可设：22sin b a a A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos b a bA +±= ∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=±无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ）A ．231+ B ．13- C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2sin 21cos sin 221cos sin =⋅=，再想办法把x 2cos 变成含x cso 2的式子：212cos cos 1cos 22cos 22+=⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅=7 / 19 x x 2sin 21232cos 23-+= 23)2sin 212cos 23(+-=x x 由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y 23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。
8 / 19例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。