文科数学试卷及答案

萨二中2015-2016学年度第一学期高三年级12月月考
文科数学试题
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1. 设命题p:∃n∈N,n 2>2 n,则¬p为()
A. ∀n∈N,n 2>2 n
B. ∃n∈N,n 2≤2 n
C. ∀n∈N,n 2≤2 n
D. ∃n∈N,n 2=2 n
2. 已知全集，
则（）
A. B. C. D.
3. 已知，则向量的夹角为（）
A. B. C. D.
4. ＝( )
A. －
B. －
C.
D.
5. 已知等比数列的前三项依次为（）
A. B. C. D.
6. 已知满
足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
7. 设0<x<y<a<1，则有（）
A. log a(xy)<0
B. 0<log a(xy)<1
C. 1<log a(xy)<2
D. log a(xy)>2
8. 函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图，，则f(0)=（）
A. B. C. D.
9. 棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体，其中
一个几何体的三视图如图，那么该几何体的体积是（）
A. 14
B. 4
C.
D. 3
10. 已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，
有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m
⊥β；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，，则m∥α．
其中真命题的序号是（）
A. ①③
B.①④
C.②③
D.②④
11. 将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点
( ，0)，则ω的最小值是（）
A. B. 1 C. D. 2
12. 侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为 （ ） A.
B. 2πa 2
C.
D. 3πa 2
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13. 不等式
<4的解集为 .
14. 已知
的最小值是____________．
()()()15a 3,4,b 9,,c 4,,a //b,a c
a-b a+c ______.
x y ===⊥
、已知则2与的夹角为 16. 以下五个命题中，正确命题是____________． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若a ，b ，c 为空间中不重合的三条直线，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ③对于四面体ABCD ，任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ④对于四面体ABCD ，相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线； ⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥． 三、解答题(本大题共6小题，共80分)
17. (本小题满分10分) 在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长;(2)求sin 2C 的值.
18. (本小题满分12分) 已知等差数列{a n }满足：a 5=9，a 2+a 6=14． (1)求{a n }的通项公式； (2)若
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
19 (本小题满分12分) 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，
关于x的不等式x 2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
(Ⅰ)求角C的最大值；
(Ⅱ)若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．
20. (本小题满分12分) 已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，AA 1=4，点D
是AB的中点，．
(1)求证：AC⊥BC 1
(2)求证：AC 1∥平面CDB 1
(3)求三棱锥A 1-B 1CD的体积．
21. (本小题满分12分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、
F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD．
(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面
PAB⊥平面PCD．
22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)=x 2-2lnx，h(x)=x 2-x+a．
(Ⅰ)求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)设函数k(x)=f(x)-h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，
求实数a的取值范围．
萨二中12月份月考文科数学试题参考答案：
1.C
2. D
3. B
4. D
5. C
6. B
7. D 8. C 9. B 10. A 11. D 12. D
13.{x|-1<x<2}14. 4 15. 3
4
16. ①③④
17.(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,
所以BC=.
(2)由正弦定理知,=,
所以sin C=·sin A==.
因为AB<BC,所以C为锐角,则cos C===.
因此sin 2C=2sin C·cos C=2××=.
评析: 本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.
18. 解：(1)设{a n}的首项为a 1，公差为d，
则由a 5=9，a 2+a 6=14，得…(2分)
解得…(4分)
所以{a n}的通项公式a n=2n-1．…(6分)
(2)由(1)知 a n=2n-1，所以．…(8分)
…(10分)
= …(12分)
19.解：(Ⅰ)∵不等式x 2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴，即，
即，
故，∴角C的最大值为60°．
(Ⅱ)当C=60°时，，∴ab=6，
由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=(a+b) 2-2ab-2abcosC，
∴，
∴．
20.(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC 1⊥面ABC，∴CC 1⊥AC，CC 1∩BC=C，
∴AC⊥面BCC 1∴AC⊥BC 1．
(2)证明：设B
1C交BC 1于点E，则E为BC 1的中点，连接
DE，则DE为△ABC 1的中位线，
则在△ABC 1中，DE∥AC 1，又DE⊂面CDB 1，则AC 1∥面B 1CD．
(3)在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F，
由面ABB 1A 1⊥面ABC知，CF⊥面ABB 1A 1，∴．
而，
，
∴
21.证明：(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，
故在△CPA中，EF∥PA，…(2分)
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD…(6分)
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA
又，
所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…(12分)
22. 解：(Ⅰ)∵，令f′(x)=0，∵x＞0∴x=
所以f(x)的极小值为1，无极大值．(7分)
(Ⅱ)∵
x (0，1) 1 (1，+∞)
f′(x) _ 0 +
f(x) 减 1 增
，
若k′(x)=0，则x=2
当x∈[1，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，3]时，f′(x)＞0．
故k(x)在x∈[1，2)上递减，在x∈(2，3]上递增．(10分)
∴．所以实数a的取值范围是：(2-2ln2，3-2ln3](15分)。