线性代数作业本答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数第 6 册答案
华东理工大学线性代数 作业簿（第六册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________4.3 向量空间1．设*A 为6阶方阵A 的伴随矩阵，则当A 的秩为2时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为______,而当A 的秩为5时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为 . 解：6；5.2. 设*A 为n (2)n >阶方阵A 的伴随矩阵，设对任意的n 维向量x 均有*0A x =,则齐次方程组0=Ax 的基础解系中所含向量个数k 满足( )(A) k n = ； (B) 1k =； (C) 0k =； (D) 1k >. 解：D.3.设A 为n 阶矩阵，若3)(-=n A r ，且321,,ααα为0=Ax 的三个线性无关的解向量，则下列各组中为0=Ax 的基础解系是（ ）. (A)133221,,αααααα--- ； (B) 323123,,αααααα--+； (C) 12220,,ααα+； (D) 123132,,αααα+-. 解：B.4. 设 1V = []123123,,0,,1,2,3T i x x x x x x x x R i ⎫⎧⎪=++=∈=⎨⎬⎪⎩⎭，2V = []123123,,1,,1,2,3T i x x x x x x x x R i ⎫⎧⎪=++=-∈=⎨⎬⎪⎩⎭,问R 3的这两个子集，对R 3的线性运算是否构成向量空间，为什么？ 解：按向量空间理论，只需验证每个子集对3R 的线性运算是否满足封闭性.先看1V ，[]Tx x x x 321,,=∀，[]Ty y y y 321,,=∈1V ，及常数k ，有[]Ty x y x y x y x 332211,,+++=+及00)()()()()(321321332211=+=+++++=+++++y y y x x x y x y x y x 即对加法满足封闭性；而[]Tkx kx kx kx 321,,=，及)(321321x x x k kx kx kx ++=++=0亦即对数乘满足封闭性，故1V 构成向量空间.再看2V ，2,V y x ∈∀，有[]Ty x y x y x y x 332211,,+++=+，但112233123123()()()()()112x y x y x y x x x y y y +++++=+++++=--=-即2V y x ∉+，亦即对加法不满足封闭性，故2V 不构成向量空间.5．试求由，，3α生成的向量空间V =span （，，3α）的一个基及V 的维数dim V ，其中[]11,2,3,0Tα=-，[]21,1,5,2T α=--，[]30,1,2,2Tα=-.1α2α1α2α解：由于V 是向量组321,,ααα的生成子空间，故V 的基及维数完全等价于向量组321,,ααα的最大无关组及秩.由[]123110110110110231011011011,,~~~352352022000022022022000ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦知可取21,αα为V 的一个基，且dim V =2.6. 已知一个四维向量组[]11,3,2,1Tα=-，[]20,1,5,2Tα=-，[]33,8,1,5Tα=-，[]41,6,17,5T α=--，（1）求，，3α，4α的一个最大无关组及秩；（2）将其余向量用这个最大无关组来线性表示；解：构造矩阵[]4321,,,αααα并进行初等行变换，由[]4321,,,αααα=103110311031318601130113~~25117055150000125502260000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 知（1） 秩为2，可取21,αα为一个最大无关组；（2） 由初等行变换的结果矩阵1031011300000000⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭，知1α2α3124123,3αααααα=+=-.7. 求下列齐次线性方程组的基础解系（1）123413412313424300307730x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩；（2）02)1(121=+++-+-n n x x x n nx .解：（1）由214311010110120~3110000170730000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()r A =3<4，知方程组有非零解，且基础解系中含有4-()r A =1个线性无关解向量.解为1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,即知基础解系为[]1,2,1,0Tξ=-.解：（2）显然方程组有非零解，且基础解系中含1n -个线性无关解向量，由解为1212)1(------=n n x x n nx x ，即知基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-21000,,10010,0001121 n n n ηηη.8. 设A 是n 阶方阵，试证)()(1+=n n A r A r .证：我们通过证明001==+x A x A n n 与是同解方程组来说明问题.显然，0n A x =的解都是10n A x +=的解，下证10n A x +=的解x 是0n A x =的解.否则，若0≠x A n ，考虑向量组21,,,,n x Ax A x A x -,n A x ,若0112210=+++++--x A k x A k x A k Ax k x k n n n n （*） 在上式两边左乘n A ，利用1220,n n n A x A x A x ++==== 得00n k A x =，而0≠x A n ，故必有0k =0，此时，（*）式变为011221=++++--x A k x A k x A k Ax k n n n n ，再用x A n 1-左乘上式两端，必得01=k ，依次类推，最终必有01210======-n n k k k k k ，这说明n +1个向量2,,,x Ax A x ,1,n n A x A x -是线性无关的，而这显然与“n +1个n 维向量必线性相关”矛盾，故说明假设错误，即只有0=x A n .综合上述，知001==+x A x A n n 与同解，进而有)()(1+=n n A r A r . 4.4线性方程组解的结构1．填空题(1) 已知非齐次线性方程组b Ax =有通解表达式[][]2,3,6,50,5,5,3,(),TTx t t R =-+∈则()=A r .解：3.(2) 设A 是3阶方阵, ()2r A =,且A 中每行元素之和均为零,则齐次线性方程组0Ax =的通解为 . 解：(),,,Tx c c c c R =∈.(3) 已知123,,ξξξ为非齐次线性方程组的三个解，又()123,0,1Tξξ+=,()32,1,0ξ=-且()2r A =，则Ax b =的通解为 . 解：()()1,2,12,1,0,TTx c c R =--+-∈. 2.设123,,ααα为Ax b =的解，则（ ）是0Ax =的解. （A ）123ααα++；（B ）123235ααα+-； （C ）123ααα+-；（D ）123ααα--.解：B.3．已知非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，又已知该非齐次线性方程组的三个解向量为[]11,1,2,3Tx =--，[]23,2,0,4Tx =-，[]31,5,3,1Tx =-，试求该方程组的通解.解：由方程组未知数个数为4及系数矩阵的秩为2，知其对应的齐次线性方程组的基础解系中只含两个线性无关解向量，再由“非齐次线性方程组两个解的差必为对应的齐次线性方程组的解”，以及[]122,3,2,7Tx x -=---，[]130,4,5,2Tx x -=-线性无关.知非齐次线性方程组的通解等于它自身的一个特解加上它对应的齐次线性方程组的通解，即通解 1112213()()x c x x c x x ξ=+-+-[][][]()1212112323270452,,,,,,,,,,TTTc c c c R =--+---+-∈.4.设非齐次线性方程b Ax =的系数矩阵的秩53()2r A ⨯=，21,ηη是该方程组的两个解，且有[]122,1,1Tηη+=-，[]12356,0,5Tηη+=-，求该方程组的通解.解：依题意，非齐次线性方程组Ax =b 对应的齐次线性方程组的基础解系中只含3-()r A =1个解向量，按照非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组两者解的结构及相互关系，可取b Ax =+为)(2121ηη的一个特解，可取121211(35)()82ηηηη+-+为对应的齐次线性方程组的基础解系，则Ax =b 的通解为121212111()(35)()282c ηηηηηηη⎡⎤=+++-+⎢⎥⎣⎦117111,,,,()22428TTc c R ⎡⎤⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.5. 已知向量0η，1η， ，r n -η为A n m ⨯b x =的n -r +1个线性无关解，且()r A =r . 试证:(1)1η-0η，2η-0η， ，r n -η-0η为0=Ax 的一个基础解系；（2）Ax b =的通解可由0η，1η， ，r n -η线性表示，且系数和为1.证：(1)依题意，只要证明01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 是Ax =0的线性无关的解向量即可，而它们是Ax =0的解向量很显然，故下证01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 线性无关.考虑1k （01ηη-）+2k （02ηη-）+ +r n k -（0ηη--r n ）=0，即-（1k +2k + +r n k -）0η+1k 1η+2k 2η+ +r n k -r n -η=0， 由0η，1η，2η， ，r n -η线性无关，知必有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++0k 0k 0k 0)k k (k -r-n 21r -n 21 故而01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 线性无关. 证：(2) 由解的结构知Ax b =的通解为1k （01ηη-）+2k （02ηη-）+ +r n k -（0ηη--r n ）+0η =[1-（1k +2k + +r n k -）]0η+1k 1η+2k 2η+ +r n k -r n -η 且其系数和为1.4.5向量的内积1.将向量组[]11,1,1Tα=,[]22,0,0Tα=,[]T0,1,13=α规范正交化.解：利用施密特正交化公式，即得[]111,1,1Tβα==；[][]2122111,14221,1,12,0,0,,,3333TT T αββαβββ<>⎡⎤=-=-=--⎢⎥<>⎣⎦；313233121122,,110,,,,22Tαβαββαββββββ<><>⎡⎤=--=-⎢⎥<><>⎣⎦.再进行单位化，即得]]]3121231231,1,1,2,1,1,0,1,1.T T Tβββεεεβββ====--==-2．已知，，3α为n 维规范正交向量组，且1β=2+2+ λ1α2α1α2α3α，2β=2-2λ+λ3α，问λ为何值时，向量1β，2β正交？当它们正交时，求出1β，2β.解：正交即内积为零，为使1212,,0ββββ<>=正交，必有，也即1212,T ββββ<>==123123(22)(22)T ααλααλαλα++-+2112131122232442442T T T T T T ααααλααλααλααλαα=++---2221233332244(2)0T T T λααλααλααλλλ+++=-+=-=(注意，化简过程中利用了321,,ααα为规范正交向量组)，故当2λ=时，.,21正交ββ此时，11232123222,242,βαααβααα=++=-+ 于是12ββ========3.已知两个正交单位向量1184(,,),999T α=-- 2814(,,),999T α=--试求列向量3α使得以123,,ααα为列向量组成的矩阵Q 是正交矩阵.解：依题意，所求的向量3α应该满足，132330,0,1T T ααααα===.设向量3123(,,)x x x α=, 由13230,0T Tαααα==有123123(1/9)(8/9)(4/9)0;(8/9)(1/9)(4/9)0.x x x x x x --=⎧⎨-+-=⎩解得: 132344,77x x x x =-=- 1α2α再利用222231231x x x α=++=得: 379x =±于是所求的向量为3447(,,),999T α=--或者3447(,,).999T α=-。
《线性代数》作业参考答案
《线性代数》作业参考答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．B 9 ．A 10．C 11．D 12．B 二、填空题1．相等2．;kn k m C C ⋅3．n 个线性无关的特征向量； 4．不变 5．t=-3 6．B AP P =-17．n n n λλλ 212)1()1(--8．1=k 9．1≠λ且2≠λ 10．2，-211．k=75-12．04321=+++a a a a13. -9 ； 14. 3 ； 15. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-03100302100201410001A 16. 81； 17. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212424212299； 18. 2；三、证明题1．证：由题设A 是三阶方阵，41=A ， 223131111)41(1)41()41(4121)2(A A A A A A A A A ==⋅===⋅-=-----*-。
2．证：由0432=--E A A ，即：E A A 432=-E E A A 4)3(=- E E A A =-)4341( 即A 可逆，且E A A 43411-=-。
3．证：由题设：E A A AA TT== E B B BB TT==所以2()()T T T T TA B BB A BA A B B A A B B A A A A B +=+=+=⋅+=-+即：0)1(2=++B A A 只有0=+B A 证毕。
4．因r n i A b A i -===,,2,1,0,0 γγ，则,b A i =η因此r n -ηηηη,,,,210 是方程组(*)的线性无关解。
设,0221100=++++--r n r n ηληληληλ 则,0)(2211010=+++++++---r n r n r n γλγλγληλλλ 两边左乘A 得，,0)(10=+++-b r n λλλ 有,010=+++-r n λλλ 于是,02211=+++--r n r n ηληληλ 可得r n -ηηηη,,,,210 线性无关。
(正)线性代数练习册答案
第一章 行列式知识点：全排列及逆序数，n 阶行列式的定义，对换 行列式的性质行列式按行（列）展开 克拉默法则及其相关理论克拉默法则解线性方程组 学习目标：1.理解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算方法.2.掌握二、三阶行列式的计算法.3.掌握行列式的性质，会计算简单的n 阶行列式.4.掌握Gramer 法则及其相关理论.5.掌握应用Gramer 法则解线性方程组的方法.1-1 二阶、三阶行列式一、填空题1. 2537=2. 22a ab b=_____ 3. 12531002= _____ 4.000213xx x =- 1．1- 2 . ()ab b a - 3. 6 4. 22x -1－2 逆序数与n 行列式的定义一． 填空题1.排列 5371246的逆序数为 .2. 排列1,3,,(21),2,4,,2n n - 的逆序数为 .3.六阶行列式中，132536415462a a a a a a 的符号为 . 1. 10 2.(1)2-n n 3. 负 1-3 行列式的性质与计算一、利用行列式的性质计算下列各行列式：1021002041.199200397301300600 12322102100204210042141.1992003971200310012330130060013000130c c c c--=--=--13232054541000531005005313r r r r -+--=-==--0002.0000000000x y x y x x y y x 111100000000000000000002.(1)00000000000000000000000(1)n n n n n nx y x y y x y x y xy x y x x x y x y x y x y yxx x y x y +--+=+-=+-3.123423413412412312341123410234123423411034113413.101034121041214124123101231123c c c c c +++÷21323142411234123420113011310101600222004801110004r r r r r r r r r r -----=----+-----二、试将下列式化为三角形行列式求值：2512371459274612----- 4321133141322442251215221522371417340216259272957113461216420121522152215220120012001209011300330033202163603r r r r c c r r r rr r c c r r ----+-----↔------------+---↔==-+-三、用降阶法计算下列行列式：2240413531232051-----21312240200035541354355248323123348321120512211c c c c ----+--=--------1323710527102105322701051c c c c --------=-=---四、计算下列行列式：2100...01210...00121...00012 0..................0000 (2)解： 12112100...01100...01210...00210 (00)121 0121 0220012...00012...0....................................0000...20000...2n n n n n D D D ----=-=-11221321n n n n D D D D D D ---⇒-=-==-=-=111n D D n n ⇒=+-=+1-5 Cramer 法则一、利用Cramer 法则解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DD x .二、问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式为 λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第一章 复习题一、选择题（选项不唯一）1． ()111213111213212223131323313132332122232220;222222a a a a a a D a a a M D a a a D a a a a a a ==≠==；那么A 2MB 2MC 8MD 8M --2． ()11121311111213212223121212223131323331313233423D=1D 423;D 423a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==-=-；那么A 8B 12C 24D 24--3． 下列n 阶行列式的值必为零的是()()A 行列式主对角线的元素全为零 ()B 三角形行列式主对角线有一个元素为零 ()C 行列式零元素的个数多于n 个 ()D 行列式非零元素的个数小于n 个4．如果()()()()()3040 50A 0B 1C 1D 3x ky z y z kx y z k k k k +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩===-=-有非零解，则1. D2. B3. B,D4. C,D 二、填空题1．3421536215________2809230092=行列式2．已知4阶方阵A ，其中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们的余子式的值分别为3，-2，1，1，则行列式A =3．若,a b 均为整数，而000,10001ab ba -=-则a=_____;b=_______ 4．ij 123456784A 23486789若阶行列式为；为其代数余子式，13233343210412_______A A A A +++=则1. 122460002. 5 3 0；0 4. 0 三.计算下列行列式1.5042112141201111- 32222142542542542542112111211.1(1)5410014120504123223211112032r r r r r r ++--=-----+ 232154(1)723r r +--=- 2. 22211 (12)2 (23)3......3.....................n n nn n n21212111......111 (12)2 (21)2......22.2333......313......3....................................1......nn n n n n n n n n n n ---=⨯⨯⨯1!()!(1)!2!1!i j nn j i n n ≤<≤=-=-∏3.123111111111111111(0,1,2,,)111111i na a a a i n a +++≠=+解：112233111111111111111110111111111101111111111011011111111110nnn a a a a a a a a ++++++=+++各行减去第一行得行列式：11121223131111111111111000010000000001110000000010000001000ni in nnna a a a c c c a a a a a a a =+--=+++--∑111(1)nni i i i a a ===+∑∏四、证明题1.证明111122110...0001...00... 000...1...n n n n nn n x x x a x a x a xa a a a x a ------=++++-+证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的x 倍加到前一列上去，得到原行列式等于121112111111111010...00001...00 000...01 (100)10(1)(...) (00)1n n n nn n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a --+--------+++++++--=-++++=++++-第一章 自测题一、填空题1.若,n ij D a a ==则ij D a =-=2.1110110110110111= 3.设1234577733324523332246523A =，则313233A A A ++= ，3435A A += 4.00010020002007000200800000001D ==1.(1)na - 2. 3- 3. 0 ； 0 4. 2008!二、选择题1.三阶行列式3103100204199200395301300600D =的值为（ ） A. 0 B. 1 C.2000 D.10002. ()02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩当时，仅有零解()()()()A 0B 1C 2D 2k k k k ≠≠-≠-≠3.设四阶行列式4a b c d cb d aD d b c a a b d c=，,,,a b c d 各不相同，则14243444A A A A +++= A.0 B.abcd C.2abc D.2abd 4.方程组12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有非零解，则λ=A. 1B.1±C.0D.-15.设1x ，2x ，3x 是方程30x px p ++=的三个根，则行列式123312231x x x x x x x x x = A. 0 B.p C.2p D.3p1.C2.D3.A4. B5. A三、计算题（每小题10分，共30分）1.5231011171018111D -=-.解： 23234352315534554011100101(1)7117101710182281118212c c D c c ++--==----+- 123274059409010382242224c c c c ++=-=-=()()()()()()11111......1......2................1 (1)1......1nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始，做相同的变换，得原行列式等于：()()1111111......11.....................()!(1)!2!1!()1......()1......j i n i j n n n nnna n a n ax x n n a n a n a a n a n a -≤<≤+----+==-=---+--+∏第二章 矩阵及其运算知识点：矩阵的概念，矩阵的运算 逆矩阵，矩阵分块法 学习目标：1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质.2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律，对矩阵的乘法应重点讲解.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件及求逆的方法、矩阵分块法.2-1 矩阵的运算一．设矩阵111111A -⎛⎫=⎪-⎝⎭， 123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，求2,23A B A B +-。
线代作业纸答案
第一章 行列式一、填空1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a .3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号.4.在函数xx x xxx f 21112)(---=中，3x 的系数是2-. 5. =cbac ba222111))()((b c a c a b ---.6.设210132113---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+33231342A A A 37.二、选择1. 四阶行列式a b a b b a b a 4433221100000000的值等于（ D ） （A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+（C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a --2.设1211123111211)(xxx x x f -=，则x 3的系数为 （ C ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 33522514414.行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值为 （ D ） （A ）0 （B ）22)1()1(-+x x （C ）2x （D ）4x三、计算 1.2605232112131412- 21r r +=====26052321260514120=（因有两行相同）2.ef cfbfde cd bdaeac ab--- 123r ar d r f÷=====÷÷ec b e c b e c b adf ---123c bc c c e ÷=====÷÷111111111---abcdef 2131r r r r +=====+abcdef abcdef 4020200111=- 3.d c ba100110011001--- 12r ar +=====d cb a ab 100110011010---+1c =====dc a ab 101101--+32 c dc +=====010111-+-+cd c ad a ab 3r =====cdad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明1.322)(11122b a b b a ab ab a -=+证 1112222b b a a b aba +1323c c c c -=====-1002)(22222b b a b a b b ab b a ----122c c -=====120)(222b b a b b ab b a --- 3)(b a -=2.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证=++++++++++++2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c b b b b a a a a 433221c c c c c c -=====--5232125232125232125232122222++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a4332c c c c -=====-022122212221222122222=++++d d c cb b a a （因有两列相同）3.01111210100000100001a x a x a x a a a a a a xx x n n n n nn ++++=------证： 递推法，按第一列展开，建立递推公式1011)1(021-*---+=++x xa xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++又 n a D =1，于是=+1n D 0a xD n +011)(a a xD x n ++=+0112a x a D x n ++=-= =01111a x a x a D x n n n++++-- .0111a x a xa x a n n n n ++++=--五、计算1.x a a a x a aa x D n=解xa a a x aa a x D n =121[(1)]n r r r r x n a +++=====÷+-])1([a n x ++x a a ax a 111 12,,i c ac i n -======])1([a n x ++a x ax --111].)1([)(1a n x a x n -+-=-2.1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+，提示：利用范德蒙德行列式的结果 解 ：将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得nnnn a n a n a a n a n a D)1()(11111+--+--=+∏+≤<≤-=11).(n i j j i3.nnnnn d c d c b a b a D11112=，其中未写出的元素都是0解： n D 22222n nr r c c ↔=====↔)1(20-n n nn nD d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a即有递推公式n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a又111111112c b d a d c b a D -==，利用这些结果递推得n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(11111∏=-=-nk k k k k c b d a c b d a4.nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a解 12212332311000010001000100011n n n n na a a c c a a D c c a a a a -----=====---+111213121111121100010000010*******0011()(1)nn ni i nn i ia a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑5.问λ，μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为01211111μμλ=D 32r r -=====)1(01111--=λμμμλ故只有当0=μ或1=λ时，方程组才可能有非零解.当0=μ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0031321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此，当0=μ或1=λ时，方程组有非零解.第一章 练习题1.381141102---解： 利用对角线法则3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=D4-=2.yxyx x y x y y x y x+++解： 利用对角线法则)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++= 3.71100251020214214解： 12r r D ↔=====-711002510421420212131410r r r r -=====--711020215042702021---- 42r r ↔=====42702021507110221----3242157r r r r +=====+0459008517007110221= 4.4321532154215431543254321 解： 从最后一行开始，后行减去前行1114111411141114111154321----=D 12,,5i c c i -======005100501050015000143211----=D 51215i i c c =+=====∑00500050005000500043213----1875)5(34=-⨯=5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222解： D 414()r r r a b c d +=====÷+++1111)(33332222d c b a d c b a d c b a d c b a +++ 把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得333322221111)(d c b a d c b a d c b a d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=6.证明na a a 1011121)1(2132∑=-=ni in a a a a a ，其中 021≠n a a a 证： 化行列式为下三角形行列式D112,i inr r a i n -======n a a b * 0002n a a ba 32= 其中，∑=-=ni i a a b 211，于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D 7.=n D )det(a ij ，其中j i a ij -=解： 0321301221011210------=n n n n n n D n 11221n n n n r rr r r r ----=====--1111111111111210--------n n12n n c c c c +=====+.2)1()1(112001220132121----=---------n n n n n n n8.求满足下列方程的实数z y x ,,：11000100011=zy x zy x解： 将D 按第一行展开得，,0222=++z y x 解得.0===z y x9. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(3213.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为0λλλ----=111132421D 13r r ↔=====421132111-----λλλ 21312(1)r r r r λ-=====--2)1(4301210111λλλλλ--+-----2)1(43121λλλλ--+----=21c c +=====2331λλλλλ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ，并且当0=λ时，21-=x ，12=x ，13=x ；当2=λ时，21-=x ，32=x ，13=x ；当3=λ时，11-=x ，52=x ，23=x ；均是原方程组的非零解. 因此，当32,0或=λ时，方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算 （一）一．填空1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a A ，()123B b b b = ，则AB =111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；BA = 112233()a b a b a b ++；()T AB =112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；T T A B =()T BA ；T T B A = ()T AB . 2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121x A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，若BA AB =，则=x 1 ；=y 2 . 3. 设A 为3阶方阵，且2-=A ，则2A = 4 ；=-T A 2 16 ；*A = 4 .4. 设101A λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则kA =101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= 0 （零矩阵） . 6. 已知3A E =，则1A -=2A .二．选择1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） ACB E = （B ）CBA E = (C) BAC E = （D ）BCA E =2. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足0AB =，则必有 （ C ） （A ） 0A =或0B = （B ）0BA = (C) 0A =或0B = （D ）0A B +=3. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ） （A ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB . （B ）若A 、B 都是对称阵，则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆，则A 、B 都不可逆. （D ）若AB 可逆，则A 、B 都可逆.三．计算与证明1. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪⎝⎭，求32AB A -及T A B . 解：32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2. 13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵. 证明：已知：TA A =则 ()()TTTTTTTTB AB B B A B A B B AB === 从而 T B AB 也是对称阵.第二章 矩阵及其运算 （二）一．填空1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则 =C -1 .2. 设1200n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（120n a a a ≠）. 则1A -=1210101n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 为三阶可逆矩阵，且1123012001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则A *=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则=-*1)(A 10A ；=*-)(1A 10A .5.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a A =，b B =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O B A O C ，则=C (1)mnab -. 6．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5A A --=16- . 二．选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1-*=n AA （B ） A A =* （C ） nA A =*（D ） 1-*=A A2. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是 （ D ） （A ）BA AB = （B ）TTTB A AB =)( （C ）111)(---=B A AB （D ）BA AB =3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式0432=++E A A ，则()=+-1E A ( C )（A ）1A E -+ （B ）12E A +（C ） 12E A -- （D ）4A E +三．计算与证明1. 求下列方阵的逆阵（1） 5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. （2） 121342541-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭解：2A =, 故1A -存在 . 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭. 2. 解下列矩阵方程 (1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：125461321X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭解：1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭.(3) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：11010143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭210134102-⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭(4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦求.X 解：由,AX B X +=得 ()E A X B -=故 1().X E A B -=- 而 21331213311330()10E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭所以 2133213311330113112020.05311X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3. 设1P AP -=Λ, 其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭, 1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭, 求11A . 解：1P AP -=Λ故1A P P -=Λ所以11111A P P-=Λ3P = 1411P *⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1141113P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11111414103311021133A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 4. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=--E A A 22,证明：A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A . 解：由已知得：E E A A =-⋅)(21，故A 可逆，且)(211E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆，且)3(41)2(1E A E A --=+-.5. 设0kA =(k 为正整数),证明121()k E A E A A A ---=++++证明: 由 0kA =有 21()()k E A A A E A -++++-2121k k k E A A A A A A A --=++++----E =因此 121()k E A E A A A ---=++++第二章 练习题1.设A 为4阶方阵，1,3A =求134A A *--. 解：111,3A A A A *--==11111343433A A A A A *----∴-=⋅-=-41311(3)81A =-=⋅243.= 2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130210005A ，求1-A .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2211A O O A A51111-=-A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-132********122A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71737271 ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---717307271000511221111A OO A A 3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ，解矩阵方程E AXA =*（其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵）. 解：计算得1-=A ，并且A 可逆 因为E E A AA -==*，故由已知E AXA =*得A EA A AXA ==*所以A AX =-解得E X -=解：A BA BA A 61=-- A BA E A6)(1=--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=--123)(611E AB 4. 设三阶矩阵A ，B 满足关系式BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131A ，求B .5. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=-+E A A 2, 证明：A 及E A -都可逆，并求1-A 及1)(--E A .解：由已知得：E E A A =+⋅)(，故A 可逆，且E A A +=-1 又E E A E A -=+-)2)((, 故E A -可逆，且)2()(1E A E A +-=-- .6．设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A 及4A . 解： 34432022O A O ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 7．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭．解 ： 将1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭分块为1234C C CC ⎛⎫⎪⎝⎭其中 1C 为s n ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵,4C 为n s ⨯矩阵则n n s s O A B O ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E ==ns E O O E ⎛⎫⎪⎝⎭由此得到1334411122n s AC E C A AC O C OBC O C O BC E C B --⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩（A 、B 均可逆）故 111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（一）一、填空1. 设A 为n 阶方阵，若有n 阶初等方阵s P P P ,,21，使 ),(),(21B E E A P P P s = ,则=-1As P P P 21 .2. 设A 是34⨯矩阵，且A 的秩)(A R =2，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020201B ,则=)(AB R 2 .8. 设x 为n 维列向量，1=x x T，令Txx E H 2-=，证明H 是对称阵，且T HH E =. 证明：因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T=-=-=-=2)(2)2(，所以H 是对称阵.又 ==2H HHT4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-443. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2，则其伴随矩阵*A 的秩为)(*A R = 0 .二．选择1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则A 、B 的秩的关系为（ A ）(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0三．计算与证明1.把矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---8701111121324321 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000031100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=520321,102123111B A 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-13122018971B A X 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323513123A 的逆阵1-A .解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210212112332671A4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A 的秩.解：秩为25.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，求k 为何值时可使)(A R 等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----)2)(1(300)1(3)1(20321~k k k k k A （1） 当1=k 时，R(A)=1 （2） 当2-=k 时，R(A)=2（3） 当1≠k 且2-≠k 时，R(A)=3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（二）1.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的解.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-134334C2.求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x 的解.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112C3.设有⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x ，问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷解？并在有无穷解时求其解. 解：)10()1(2λλ--=A（1）1≠λ且10≠λ时，有唯一解；（2）10=λ时，无解；（3）1=λ时，无穷解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00110201221C C第三章 练习题1.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是（1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010000010000011001012.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013解：秩为2，01113≠-（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123解：秩为3，087312123≠----3.非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=-+=+-22223212321321x x x x x x x x x λλ，当λ取何值时有解？并求出它的通解.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---)1)(2(000)1(2330121~λλλλB (1)当2-=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111C(2)当1=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111C4.设A 为n m ⨯矩阵，证明：（1）方程m E AX =有解的充分必要条件是m A R =)(； （2）方程n E YA = 有解的充分必要条件是n A R =)(. 解：（1）m E AX =有解),()(E A R A R =⇔（必要性）显然，m A R ≤)(；另一方面，m E A R ≥),(，故m A R =)( （充分性）m E A R A R m ≤≤=),()(（2）方程n E YA =有解⇔方程n TT E Y A =有解⇔n A R T =)(（由1）⇔n A R =)(5. 设A 为n m ⨯矩阵，证明：若AY AX =，且n A R =)(，则Y X = 证明：Θ=-)(Y X A因为n A R =)(，所以方程Θ=-)(Y X A 只有零解，即Θ=-Y X ,即Y X =6.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α及非零行向量T β，使TA βα⋅=. 证明：（充分）1)()(=≤αR A R ,另一方面TA βα⋅=，α和Tβ又都是非零向量，故1)(≥A R ，因此1)(=A R（必要）由于1)(=A R 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ1~A ,所以()TQ P Q P A αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ=0010011 7.已知三阶矩阵0≠B ，且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：)(0302022321321321*⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+x x x x x x x x x λ（1） 求λ的值； （2） 证明0=B .解：（1）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11312221λA ，由题设0,0=≠AB B ,知0)1(5=--=λA故1=λ（2）由1=λ，知2)(=A R ,由0=AB ，知3)()(≤+B R A R ,故1)(≤B R又已知1)(≥B R ，因此1)(=B R 从而0=B第四章 向量组的线性相关性（一）一、选择1．若向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则 （ C ） （A ）α必可由δγβ,,线性表示；（B ）β必可由δγα,,线性表示； (C) δ必可由γβα,,线性表示； (D) β必不可由δγα,,线性表示。
线性代数练习册第一章部分答案(本)
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或 或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0
线性代数作业及参考答案
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
线性代数习题册参考解答
第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( -n n 。
【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列；（2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。
■2、用行列式定义计算xx x x x f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。
含4x 2；含有3x （4，4）的元素乘积项，而10=+，故3x 的系数为1-36116120311022516113110612022516011301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D933003110225123242-=--=--r r r r 。
■4、求84443633224211124=D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===120100001000010111112014,3,2==-=r r k k 。
■5、求x x x D n -=111mD n n c c c nn=+++ (21mm m x ni i c x c nk k k ---=∑=-=101001)(1,,3,2111))((-=--=∑n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D100111110211=+，其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的ka 1（n k ,,3,2 =）可得： n ni inni in a a a a a a a a D2112111)1(00000001111∑∑==+-=-=。