动能定理和圆周运动相结合[专题]
动能定理在圆周运动中的应用
引入 回忆动能定理的应用
解:设物体阻力所做的功为W，对物体由A运动到B用动能定理 得：
1 2 mgh W mvB 0 2
W 32 J
即阻力所做的功为-32J。
水平圆周运动
【例2】如图2所示：质量为m的小球用细绳经过光滑小孔牵 引在光滑水平面上做圆周运动，当拉力为F时，小球的转动半径 为R，当拉力增大到6F时，物体以转动半径R/2做圆周运动。则 小球的转动半径从R到R/2过程中，拉力对小球做的功为（ ）: A、0 B、FR C、2.5FR D、5FR
2 mv A mg R 2 mvB mg N r
（2）
小球在半径为r的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： （3）
联立(1)(2)(3)式可得： mg 9 W ( r 5R) 2 2
竖直圆周运动
所以，小球克服轨道阻力所做的功为：
mg 9 W克 = - W (5 R r ) 2 2
2 mv 2 6F R 2
mv F R
2 1
引入 水平圆周运动
解:小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能定理可得：
1 1 2 2 W mv 2 mv1 (1) 2 2 半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv1 (2) F R 半径为R/2的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv 2 6F (3) R 2
跟踪演练
【跟踪演练】质量为m的小球被系在轻绳的一端，在 竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示，运动过 程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨 道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做 圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程 中小球克服空气阻力所做的功为( ) A.mgR/4 B.mgR/3 C.mgR/2 D．mgR
动能定理与圆周运动
动能定理与圆周运动一、动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能量。
2.表达式：E=mv*v/23.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1J=lkgm/s*s4.物理量特点(1)具有瞬时性，是状态量。
(2)具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。
(3)是标量，没有方向，≥0。
5.对动能的理解(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。
(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态（或某一时刻的速度）相对应。
(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
6.动能变化量物体动能的变化量是末动能与初动能之差。
二、动能定理1.动能定理的内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2.动能定理的表达式（1）W=Ek1-Ek2说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。
（物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系即若合外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少。
）（2）实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果。
3.动能定理的适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。
三、圆周运动1.圆周运动圆周运动是曲线运动的一种，也是我们高中阶段的一种重要的运动，圆周运动就是轨迹为圆的一种运动，那么这就意味着对于一个圆周运动来说，它的速度是不断地变化的，不管它的大小有没有发生改变，只要是方向发生改变，它的速度就发生了改变，因为速度是一个矢量。
这个点以后再说，圆周运动分为两种匀速圆周运动，和变速圆周运动，其中匀速圆周运动的意思是圆周运动的速率没有发生改变，并不是速度没有发生改变，所以匀速圆周运动的全称是匀速率圆周运动。
2.向心力在匀速圆周运动的实践和探索中，人们发现了一点，就是做匀速圆周运动的物体会受到一个始终和速度方向垂直的力。
动能定理和竖直面内的圆周运动
动能定理与竖直面内的圆周运动在高中物理中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。
相关内容是学生普遍感觉比较难以理解、难以处理的。
竖直面内的圆周运动（不含带电粒子在匀强磁场中的运动问题）运动过程看似复杂，运动速度大小和方向随时随刻在发生变化，但是在高中物理中通常只研究两个特殊位置——最高点和最低点．．．．．．．。
对于最高点的考查，我们暂且把竖直面内的圆周运动归纳为两类模型——有支撑模型和无支撑模型。
有支撑（球与轻杆连接、球在圆形管道内运动等） 无支撑（球与轻绳连接、球在圆形轨道内运动等）模型图过最高点的临界条件恰好能通过最高点时，小球只受重力作用，即重力充当向心力：Rvm mg 20=解得：所以临界条件为：gR v ≥注：、“安全通过最高点”等。
【例1】如图是某游乐园过山车轨道的一部分，其中圆形轨道的半径为R ，其中B 点为圆形轨道的最高点，那么其通过B 点的速度不得少于多少？（已知重力加速度为g ）【解】假设过山车恰好能通过B 点，且过山车的质量为m.那么：解得：而对于最低点．．．的考查，一般将弹力与速度结合考查，分为两种情况： 情况一：已知弹力求速度。
情况二：已知速度求弹力。
【例2】如图所示，半径为R 的半圆形轨道竖直放置，左右两端高度相同，质量为m 的小球从端点A 由静止开始运动，通过最低点B 时对轨道压力为2mg ，求小球经过B 点时速度的大小。
【解】对于最低点受力分析结合牛顿第二定律得：代入数据解得：那么，我们有没有办法知道竖直面内最高点或最低点中其中一个点的运动或受力情况，求另外一个点运动或受B A轻杆 轻绳C≥v gRv =0Rvm mg 2=gRv =0R v m mg F B N 2-=gRv B =力情况呢？下面我们就来看这样的一个例子：【例3】如图所示，半径为R 的光滑圆形过得竖直放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于圆形轨道，小球通过最高点是恰好对轨道没有相互作用力，不考虑空气阻力的影响，则小球通过最低点时对轨道的作用力是多少？【分析】本题中小球从最高点运动到最低点的过程中，由于忽略空气阻力的影响，则小球除最高点外受到了竖直向下的重力、轨道对它的随时与轨道切向方向垂直支持力的作用，所以小球从最高点到最低的过程中，只有重力做功，因此我们就知道该过程中的总功就等于重力所做的功，所以本题可以通过动能定理求出到达最低点的速度，然后再根据圆周运动与牛顿运动定律求出作用力。
动能定理和圆周运动相结合(专题)
动能定理和圆周运动相结合（专题） 例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? 变式训练1-1如图所示，质量为m 的小球用不可伸长的细线悬于O 点，细线长为L ，在O 点正下方P 处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子作圆周运动。
那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？例题2如图所示，小球自斜面顶端A 由静止滑下，在斜面底端B 进入半径为R 的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C ，已知A 、B 两点间高度差为3R ，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。
例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
求：⑴释放点距A 点的竖直高度；⑵落点C与A 点的水平距离。
变式训练3-1半径R=1m 的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m ，如图所示，有一质量m=1.0kg 的小滑块自圆轨道最高点A 由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B 时速度为4m/s ，滑块最终落在地面上，试求:(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题4如图，光滑的水平面AB 与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC 竖直，圆轨道半径为R 一个质量为m 的物体放在A 处，AB=2R ，物体在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，当物体运动到B 点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C 水平抛出，求水平力变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C 点，而是在C 点平抛，落地点D 点距B 点的水平位移为4R ，求水平力。
变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B 点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C ，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A ，试求滑块在AB 段运动过程中的加速度。
2020年高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练及答案解析
高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练1.(2015·全国卷Ⅰ，17)如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。
一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。
质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。
用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。
则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离【答案】：C【解析】：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2，从P 点到N 点根据动能定理可得mgR －W ＝3mgR 2－mgR ，即克服摩擦力做功W ＝mgR2。
质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2R ，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝12mgR －W ′，由于W ′＜mgR 2，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C 正确。
2.如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。
质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR 【答案】 C【解析】 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN －mg ＝m v2R ，FN ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －Wf ＝12mv2，解得Wf ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确。
高中物理必修二 第四章 专题强化13 动能定理的应用(二)
道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角.MN是一段粗糙的 水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部 分光滑.最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光 滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接.取重 力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运 动员简化为一个质点.
答案 0.15 m
设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零. 从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得： FL－fL－mgh＝0 其中f＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
FL－fL 1.5－1.0×1.5 所以 h＝ mg ＝ 0.5×10 m＝0.15 m
√A.小球通过圆轨道最高点时的速度大小为 2gR
B.小球在轨道最低点的动能为2D.小球在轨道最低点对轨道压力的大小为6mg
123456789
小球经过圆轨道最高点时，由牛顿第三定律知轨 道对小球的支持力为 mg，根据牛顿第二定律有 mg＋mg＝mvR2，解得 v＝ 2gR，故 A 正确； 小球自弧形轨道下滑至圆轨道最高点的过程，根据动能定理有 mg(h －2R)＝12mv2，解得 h＝3R，故 C 正确.
答案 3 m/s
在A点，由平抛运动规律得： vA＝cosv053°＝53v0 小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得 mg(R＋Rcos θ)＝12mvA2－12mv02 联立解得：v0＝3 m/s；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道 上摩擦力对小球做的功. 答案 －4 J
若小球恰好能通过最高点 C，在最高点 C 处有 mg＝mRvC2， 小球从桌面运动到 C 点的过程中，由动能定理得 Wf＝12mvC2－12mv02 代入数据解得Wf＝－4 J.
动能定理在圆周运动中的应用课件
学习目标
理解动能定理的基本 原理。
能够运用动能定理解 决实际问题，提高分 析和解决问题的能力。
掌握动能定理在圆周 运动中的具体应用。
02
动能定理基础
动能定理的公式和定义
公式
E_k = 1/2mv^2 （其中E_k表示动能，m表示质量，v表示速 度）
定义
动能定理描述了物体运动过程中动能的变化与其所受合外力 做功之间的关系。
动能定理适用于直线运动和曲线运动，包括圆周运动。
03
动能定理在圆周运动中的 应用
圆周运动的定义和特性
定义
圆周运动是指物体绕着某一点做圆周轨迹的旋转运动。
特性
具有周期性、方向性、速度和加速度不断变化等特性。
动能定理在圆周运动中的具体应用
01
02
03
动能定理的表述
动能定理指出，合外力对 物体所做的功等于物体动 能的变化量。
动能定理的理解和解释
动能定理表明，一个物体所受合 外力对其做的功等于其动能的变
化量。
动能定理适用于任何形式的力， 包括重力、弹力、摩擦力等。
动能定理是联系力与运动的重要 桥梁，是解决动力学问题的重要
工具。
动能定理的适用范围
动能定理适用于宏观低速的物体运动，即速度远小于光速的情况。 动能定理不适用于微观粒子（如电子、光子）的运动，因为需要考虑量子效应。
向心力和离心力在生活中的应用
车辆转弯时，路面侧向会给车轮施加 向心力，使车辆顺利转弯。
洗衣机脱水时，离心力使水分被甩出， 达到脱水效果。
旋转木马、摩天轮等游乐设施利用离 心力使乘客获得刺激体验。
05
动能定理在圆周运动中的 深入理解
动能定理与向心力和离心力的关系
2020年高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练及答案解析
高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练1.(2015·全国卷Ⅰ，17)如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。
一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。
质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。
用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。
则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离【答案】：C【解析】：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2，从P 点到N 点根据动能定理可得mgR －W ＝3mgR 2－mgR ，即克服摩擦力做功W ＝mgR2。
质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2R ，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝12mgR －W ′，由于W ′＜mgR 2，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C 正确。
2.如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。
质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR 【答案】 C【解析】 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN －mg ＝m v2R ，FN ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －Wf ＝12mv2，解得Wf ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确。
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7.12动能定理和圆周运动相结合<专题）
例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动?
变式训练1-1如图所示，质量为m 的小球用不可伸长的细线悬于O 点，细线长为L ，在O 点正下方P 处有一钉子，将小球拉至
与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子
作圆周运动.那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？
nqc9qTHrShb5E2RGbCAP 例题2课本80页第2题
变式训练2-1如图所示，小球自斜面顶端A 由静止滑下，在斜面底端B 进入半径为R 的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨
道的最高点C ，已知A 、B 两点间高度差为3R ，试求
整个过程中摩擦力对小球所做的
功.nqc9qTHrShp1EanqFDPw 例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一
个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A
点进入圆轨道并恰能到达B 点.求：
nqc9qTHrShDXDiTa9E3d ⑴释放点距A 点的竖直高度；
⑵落点C 与A 点的水平距离
.
变式训练3-1半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量
m=1.0kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑
下，经过水平轨迹末端B时速度为4m/s，滑块最
终落在地面上，试求: nqc9qTHrShRTCrpUDGiT
(1>不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？
(2>滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？
例题4如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力nqc9qTHrSh5PCzVD7HxA
变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力.nqc9qTHrShjLBHrnAILg
变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.nqc9qTHrShxHAQX74J0X
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
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