全等三角形判定一(预习)
全等三角形的判定(一)
14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。
2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。
数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。
问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。
情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。
【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。
【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。
“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。
【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。
2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。
教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。
全等三角形(预习课)
第十二章全等三角形12.1全等三角形全等形的概念【笔记】形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.【例1】如图，下列选项中与原图全等的是（）【例2】由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片图案___________全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸和七寸照片_______全等图形（填“是”或“不是”）全等三角形的对应元素的确定【笔记】对应元素的确定方法：(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C 和∠F是对应角；(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边，②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角；(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．【例1】如图，BOD AOC ∆≅∆,C ，D 是对应点，下列结论中错误的是：（ ）是对应边与是对应边与是对应角与是对应角与OD OC D OB OC C BOD AOC B B A A ....∠∠∠∠【例2】如图，沿直线BD 对折，≅∆∆∆ABC CBD ABD 重合，则和_________,AB的对应边是__________，BD 的对应边是___________，的对应角是ADB ∠_______.全等三角形的性质【笔记】对应边相等，对应角相等．对应边上的中线相等，对应边上高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相 等、面积也相等．【例1】如图，已知点A ，D ，B ，F 在同一条直线上，△ABC ≌△FDE ，AB ＝8 cm ，BD ＝6 cm.求FB 的长．【例2】如图，△OCA ≌△OBD ，点C 和点B ，点A 和点D 是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.【例3】 若△ABC 与△DEF 全等，点A 和点E ，点B 和点D 分别是对应点，则下列结论错误的是( )A ．BC ＝EFB ．∠B ＝∠DC ．∠C ＝∠FD ．AC ＝EF12.2全等三角形的判定全等三角形的判定（一）SSS判定两个三角形全等的事实-------“边边边” 【笔记】1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.2. 证明书写格式：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′， AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′. ⎧⎪⎨⎪⎩【例1】满足下列条件的两个三角形不一定全等的是 A.有一边相等的两个三角形全等B.有一腰和底边对应相等的两个三角形全等C.周长相等的两个三角形D.斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形【例2】如图，在ABC ∆和FED ∆中，AC=FD ，BC=ED 要利用“SSS ”来判定ABC ∆和FED ∆全等时，下面的4个条件中，①AE=FB ②AB=FE ③AE=BE ④BF=BE 可利用的是：A.①或②B.②或③C.③或①D.①或④【例3】如图，AD=BC ，DC=AB ，AE=CF ，直接根据“SSS ”找出图中的一对全等三角形为：________【例4】如图，AB=AC ，BE=CD ，要使ACD ABE ∆≅∆，依据“SSS ”，则还需添加条件__________1、如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )2、如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F 在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件是( )A．AD＝FB B．DE＝BDC．BF＝DB D．以上都不对全等三角形的判定（SSS）的简单应用【例1】已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 求证：∠BAC＝∠DAE.1、如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，且B ，D ，E 三点共线。
全等三角形 全等三角形的判定(一)
全等三角形全等三角形的判定（一）一、知识概述1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．如果两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，互相重合的顶点叫做对应顶点．全等三角形用符号“≌”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子．如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DFE．读作“△ABC全等于△DFE”．2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．如图，若△ABC≌△DFE，则AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等)3、全等三角形的判定方法方法一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．方法二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．二、重难点知识1、常见的全等三角形的基本图型（1）平移全等型（如图）；（2）对称全等型（如图）；（3）旋转全等型（如图）．2、判定方法一中的角是两边的夹角，方法二中的边是两角的夹边．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.说明一个结论不成立只需举一个反例即可。
如图在△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=AD.∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能重合，故△ABC与△ABD不全等.所以应与两边及夹角对应相等的两个三角形全等区别开来，不能混为一谈。
三、典型例题分析例1、如下图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数.分析：根据全等三角的对应角相等的性质，并结合三角形的内角和进行计算求解.例2、如图（1），等腰△ABC与等腰△DEC共点于C，且∠BCA=∠ECD，连结BE、AD，若BC=AC，EC=DC，求证：BE=AD，若将等腰△DEC绕点C旋转至图（2）、（3）、（4）情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（1）（2）（3）（4）分析：先结合图形（1）证明结论BE=AD成立，是运用边角边公理证明的，比较（2）、（3）、（4）和（1）的关系，图形的位置变了，仔细观察，什么变了，什么没变，可以发现△EDC绕C旋转过程中，虽然∠BCE和∠ACD的大小变了，但它们总是相等的，所以△BCE≌△ACD，从而结论成立.例3、如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC.（1）若D是AE上任意一点，求证：△ABD≌△ACD.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试证明你的猜想.例4、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长.例5、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．1、全等三角形是（）A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的两个三角形2、如下图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3、已知线段BC交AD于O点，连接AB、CD，且△OAB≌△OCD，则AB与CD（）A．不一定相等B．一定平行C．一定相等且平行D．一定相等可能平行4、下列说法中错误的是（）A．两个全等三角形的面积相等B．面积不相等的两个三角形不全等C．不全等的两个三角形面积可能相等D．面积相等的两个三角形全等5、如下图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店中去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去6、如图所示，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，∠1=110°，∠BAE=60°，那么∠CAE=（）A．20°B．30°C．40°D．50°7、如图，已知AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（）A．∠B=∠C B．∠D=∠E C．∠1=∠2 D．∠CAD=∠DAC8、△ABC≌△DEF，若满足以下条件一定全等的是（）A．AB=DE，∠B=∠E，AC=DF B．AB=DF，∠A=∠D，AC=DEC．BC=EF，∠B=∠E，AB=DF D．AB=DF，∠A=∠F，BC=EF9、在△ABC与△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，AB=4，∠D=40°，∠E=80°，EF=4，则△ABC和△DEF（）A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．以上都不对10、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD=CD.∠A=120°，则∠C=（）A．30°B．60°C．90°D．45°B 卷二、解答题11、如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=5cm，（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由.12、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：（1）△ABC≌△DEF（2）∠CBF=∠FEC13、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证；AC⊥CE.14、如下图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=AB.（1）△ABE与△ADF全等吗？请说明理由.（2）阅读下面的材料：如图2，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度可以变到△ECD的位置.如图3，以BC所在的直线为轴把△ABC旋转180°可以变到△DBC的位置.如图4，以点A为中心，把△ABC旋转180°可以变到△AED的位置.像这样，其中一个三角形是另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变图形的位置，不改变图形大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.（3）回答下列问题：①在图1中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种变换方法，使△ABE变到△ADF的位置；②指出图1中线段BE与DF之间的关系，并说明理由.15、（2003年青海）此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类做，多做的题目不记分.（A类）已知：如图（1）所示，AB=AC，AD=AE，那么∠B=∠C.（B类）已知：如图（2）所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，那么OB=OC.（C类）如图（3）所示，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出推理过程.。
全等三角形判定一(预习)
全等三角形判定一(预习)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11.什么叫全等三角形2.全等三角形有什么性质探索三角形全等的条件（1）只给定一个条件画三角形①只给一边：画出几个三角形，其中一边长为3cm .②只给一角：画出几个三角形，其中一个内角等于30 .结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（2）给出两个条件画三角形①给出两边：画出两个三角形，两边长分别为24cm cm ，.知识回顾探索问题1全等三角形判定②给出两角：画出两个三角形，两个内角分别为4560︒︒，.③给出一边和一角:画出两个三角形，一边长为3cm ，一个内角为60︒.结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（3）给出三个条件画三角形①给出三角：画出两个等边三角形.结论：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.②给出三边：ABC △三边分别为345cm cm cm ，，你会用刻度尺和圆规画这样的ABC △吗 画法：FE DC BAODCBA1、画线段3AB cm =。
2、以A 为圆心，以4cm 为半径画圆弧；以B 为圆心，以5cm 为半径画圆弧，两弧交于点C3、连结AC BC ，ABC △就是所求的三角形想一想，能画出几个这样的三角形他们全等吗为什么有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成 “边边边” 或“ SSS ” 用 数学语言表述：在ABC △和DEF 中 AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABC DEF SSS ≌△△判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
想一想：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立： 如图，在AOB △和DOC △中（已知） （已知） （已知）∴AOB DOC ≌△△()SSS【例】如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是中线求证：ABD ACD ≌△△ 新知学习________AO DO BO CO =⎧⎪⎨⎪=⎩分析：要证明ABD ACD ≌△△，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
三角形全等的判定1(SAS)
6
5
③
2.在下列图中找出全等三角形，并把它 们用直线连起来.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
范例学习
例1:
已知：如图，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
课的内容
• 1，确定一个三角形形状需要几个元素 • 2，判断两个三角形全等至少需要几个条件 • 3，利用SAS判断三角形全等
复习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD， 对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ， 对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
B
C
归纳总结，继续探究
• 确定一个三角形的形状，大小需要三个元 素，确定三角形形状，大小的条件能否作 为判断三角形全等的条件呢？
操作:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边长为4cm：
②只给一个角为60°：
可以发现只给一个 条件画出的三角形 不能保证一定全等
60°
60°
A D
B
C
E
F
在人工湖的岸边有A、B两点，难以直 接量出A、B两点间的距离。你能设计一种 量出A、B两点之间距离的方案吗？
A
B
C
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难 以直接量出A、B两点间的距离。你能设计 一种量出A、B两点之间距离的方案吗？
《全等三角形的判定》练习(含答案)
全等三角形的判定一、选择题1.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①和②【答案】C ．【解析】解带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C ．2.如图，已知：∠A=∠D ，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠E=∠B B ．ED=BC C ．AB=EFD ．AF=CD【答案】D ．【解析】添加AF=CD ，∵AF=CD ，∴AF+FC=CD+FC ，∴AC=FD ，在△ABC 和△DEF 中12A DAC DF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故选D ．3.下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．正确的说法个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】①不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；②正确，符合判定方法SSS ；③正确，符合判定方法AAS ；④不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS ．所以正确的说法有两个．故选B ．4.在△ABC 和△A ˊB ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，在下面判断中错误的是（ ）A ．若添加条件AC=A ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′B ．若添加条件BC=B ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′C ．若添加条件∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′D ．若添加条件∠C=∠C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′【答案】B.【解析】A ，正确，符合SAS 判定；B ，不正确，因为边BC 与B ′C ′不是∠A 与∠A ′的一边，所以不能推出两三角形全等；C ，正确，符合AAS 判定；D ，正确，符合ASA 判定；故选B ．5.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°，AB 上一点D 使AD=BC ，过点D 作DE ∥BC 且DE=AB ，连接EC ，则∠DCE 的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．45°【答案】B.【解析】如图所示，连接AE ．∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE，∵DE∥BC，∴∠DAE=∠ADE=∠B，∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE 与△CBA 中，DAE ACB AD BCADE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE 是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180﹣40°）÷2=70°．故选B ．6.如图：AB=AC ，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．2.5【答案】B.【解析】在△ABE 与△ACF 中，∵A AAB AC B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△ACF（ASA ），∴AC=AB=5∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B.二、填空题.7.如图，AB=AC ，要使△ABE≌△ACD，依据ASA ，应添加的一个条件是 ．【答案】∠C=∠B ．【解析】添加∠C=∠B，在△ACD 和△ABE 中，A AAB AC C B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，8.如图，AB∥CF，E 为DF 中点，AB=20，CF=15，则BD= 5 ．【答案】5.【解析】∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E 是DF 的中点，∴DE=EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFC DE EFAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∵AB=20，CF=15，∴BD=AB﹣AD=20﹣15=5．9.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．【答案】5. 【解析】∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB 和△ACB 中，1=2AB ABABD ABC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADB≌△ACB（ASA ），∴BD=BC=5．10.如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，可以在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC=CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，其中用到的数学原理是： .【答案】ASA ，全等三角形对应边相等 ．【解析】∵AB⊥MN，DE⊥MN，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴DE=AB．11.如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的一对全等三角形为 ．（写出一对即可）【答案】△ABC ≌△ADC.【解析】△ABC≌△ADC，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，在△ABC 与△ADC 中，BAC DCA AC CADAC BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△ADC（ASA ），∴AB=DC，BC=DA ，在△ABO 与△CDO 中，BAO DCO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CDO（AAS ），同理可得：△BCO≌△DAO，三、解答题12.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD ．【答案】证明见解析．【解析】∵∠EBC=∠FCB，∠EBC+∠ABE=180°，∠FCB+∠FCD=180°，∴∠ABE=∠FCD，在△ABE 与△FCD 中，A F AB FCABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△FCD（ASA ），∴BE=CD．13.如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF∥AB，AE=EC ．求证：AD=CF ．【答案】答案见解析.【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE．在△ADE 和△CFE 中，A ACF ADE CFE AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFE（AAS ）．∴AD=CF．14. 如图，锐角△ABC 中，∠BAC=60°，O 是BC 边上的一点，连接AO ，以AO 为边向两侧作等边△AOD 和等边△AOE，分别与边AB ，AC 交于点F ，G ．求证：AF=AG ．【答案】答案见解析.【解析】∵△AOD 和△AOE 是等边三角形，∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO ，∠OAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO， 在△AFO 和△AGE 中， FAO EAG AO AEAOF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFO≌△AGE（ASA ）， ∴AF=AG．。
初中数学人教版八年级上册：第3讲 全等三角形(一)预习讲义
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有等边三角形都是全等三角形
⑶如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝
D 度．
【例 2】⑴如图：△ABC≌△DBF，∠B 的对应角是
，∠C 的对应角是
，∠BAC 的对应
角是
；AB 的对应边是
，AC 的对应边是
A
B
C
知识点
典型范例
三边分别相等的两个三角形全等（可以简 写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC 和△DEF 中，
AB＝DE BC＝EF
E
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
典例精练
【例 3】如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D 是 BC 的中点，
ALeabharlann ∴．在△ABD 与△ACD 中，
_______ ∵ _______
AB = AC
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）
3
【例 4】如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【例 5】如图，已知 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝DC，AC＝DB，能得到∠A＝∠D 吗？为什么？
，BC 的对应边是
．
⑵如图，△ABC≌△CDA，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边及对应角．
⑶如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点．写出这两个三角形中相等的
边和角．
A
C B
B O
D
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
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1.什么叫全等三角形2.全等三角形有什么性质探索三角形全等的条件 （1）只给定一个条件画三角形①只给一边：画出几个三角形，其中一边长为3cm .②只给一角：画出几个三角形，其中一个内角等于30 .?结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（2）给出两个条件画三角形①给出两边：画出两个三角形，两边长分别为24cm cm ，."知识回顾{探索问题1全等三角形判定（一）②给出两角：画出两个三角形，两个内角分别为4560︒︒，.③给出一边和一角:画出两个三角形，一边长为3cm ，一个内角为60︒.）结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（3）给出三个条件画三角形①给出三角：画出两个等边三角形.结论：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.②给出三边：ABC △三边分别为345cm cm cm ，， ;你会用刻度尺和圆规画这样的ABC △吗 画法：1、画线段3AB cm =。
2、以A 为圆心，以4cm 为半径画圆弧；以B 为圆心，以5cm 为半径画圆弧，两弧交于点C3、连结AC BC ，ABC △就是所求的三角形.想一想，能画出几个这样的三角形他们全等吗为什么FE DC BAODCBA有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成 “边边边” 或“ SSS ” 用 数学语言表述： 在ABC △和DEF 中 AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABC DEF SSS ≌△△判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
…想一想：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在AOB △和DOC △中（已知） （已知） （已知）∴AOB DOC ≌△△()SSS【例】如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是中线求证：ABD ACD ≌△△》分析：要证明ABD ACD ≌△△，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
证明：在ABD △和ACD △中 AB ACBD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABD ACD ≌△△ ()SSS 结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
DCBA新知学习________AO DO BO CO =⎧⎪⎨⎪=⎩证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： .a 写出在哪两个三角形中}.b 摆出三个条件用大括号括起来.c 写出全等结论【例1】如图，D F ，是线段BC 上的两点，AB EC AF ED ==，要使ABF ECD ≌△△还需要条件 _________________【例2】如图，AB CD AC BD ABC ==，，△和DCB △是否全等试说明理由。
【例3】)【例4】如图，在四边形ABCD 中,AB CD AD BC ==，求证：A C ∠=∠FEDCBADCBADCBA基础演练【例5】已知:如图,点B E C F 、、、在同一直线上,AB DE AC DF BE CF ===，， 求证:A D ∠=∠【例6】?【例7】已知:如图A C D F ，，，四点在同一直线上，AB DE BC EF AF DC ===，， 求证:AB DE ∥【例8】已知:如图,AC AD BC BD ==，求证:C D ∠=∠;已知两边一角对应相等，两个三角形全等吗 如图所示，此时应该有两种情况：FEDCBAFEDCBADCBA探究问题2①角夹在两条边的中间，形成两边夹一角 ②角不夹在两边的中间，形成两边一对角．（1）按下列条件画一个三角形：已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．步骤：1、画一线段AB .使它等于4cm ； @2、画45MAB ∠=︒；3、在射线AM 上截取3AC =；4、连结BC ．ABC △即为所求．并且所做三角形是唯一的．（2）利用SAS 证明全等如图，在ABC △和'''A B C △中，已知'''''AB A B B B BC B C =∠=∠=，，．要证明两个三角形全等,可以通过平移重合来实现.∵''AB A B =，移动ABC △，使A 与点'A 、点B 与点'B 重合； 】∵'B B ∠=∠，使B ∠与'B ∠的另一边BC 与''B C 重叠在一起；∵''BC B C =，点C 与点'C 重合.∴ABC △与'''A B C △重合，'''ABC A B C ≌△△．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为SAS （或边角边）．【例】如图：在ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD ≌△△．%证明：∵AD 平分BAC ∠ （已知）∴BAD CAD ∠=∠ （角平分线的定义） 在ABD △与ACD △中， AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACD ≌△△ ()SAS（3）已知两边和及其中一边的对角的问题探究如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．如图：4543A AB cm BC BD cm ∠=︒===，，，ABC △与ABD △明显不全等， 由此可见已知两边及其中一边的对角对应相等时，不能判定两个三角形全等。
|DCBA【例9】填空：(1)如图，已知AD BC AD BC =∥，，要用边角边公理证明ABC CDA ≌△△，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD BC =(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________!(2)如图，已知12AB AC AD AE ==∠=∠，，，要用边角边公理证明ABD ACE ≌△△，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是____________还需要一个条件_______________【例10】已知：如图AB AC =，E F 、分别是AB AC 、的中点 求证：ABE ACF ≌△△【例11】已知：如图，AD BC ∥，CB AD =求证：ADC CBA ≌△△. DCBA21EDC BAFE CBA基础演练【例12】已知： 如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，DB AC =，DF AE =，AD EA ⊥，AD FD ⊥，垂足分别A D ，、求证: EAB FDC ≌△△【例13】已知：如图AB DE AB DE AF DC ==∥，， 请问图中有那几对全等三角形请任选一对给予证明．【例14】已知：如图，AC AB =，AE AD =，21∠=∠求证：ABD ACE ≌△△．【例15】已知：如图AC 和BD 相交于点O ，OC OA =，OD OB =。
DCBAFEDCB AFEDCBACB A求证：AB DC ∥.【例16】已知：如图，DBA CAB ∠=∠，BD AC =.求证: C D ∠=∠【例17】已知：如图AC 和BD 相交于点O ,DC AB =,AC BD =.求证:B C ∠=∠【例18】已知：如图D E ，分别是ABC △的边AB AC ，的中点,点F 在DE 的延长线上,且DE EF =．求证：BD FC =；AB CF ∥\【例19】已知:如图AB AC BE CE ==，，AE 的延长线交BC 于D ． 求证:BD CD =．ODCBAODCBA ODCB AF ED CBA【例20】已知:如图AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，，. 求证:BD CE =$【例21】已知：如图ABC △和ECD △都是等边三角形，且B C D ，，在一条直线上. 求证：BE AD =…【习题1】如图：所示．AD EF BC ，，相交于O 点，且AO OD =，BO OC =，EO OF =．求证：AEB DFC ≌△△．ED CBAEDCBAEDC B AE课后练习【习题2】（2010年北京中考）已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD FD AD ⊥⊥，，AE DF AB DC ==，．求证：ACE DBF ∠=∠}【习题3】（2010年海淀一模）如图，OAB △和COD △均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，连接AC BD 、． 求证：AC BD =【习题4】（2010门头沟一模）已知：如图，E 为BC 上一点AC BD AC BE BC BD ==∥，，．求证：AB DE =O FE DCBAFDEC B A ODCBAED CBA【习题5】、【习题6】(2010密云一模)已知：如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别是AB AD 、上的点，且AE AF =．求证：CE CF =【习题7】（2010宣武一模）已知：如图，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于E ，BF AG⊥于F ．（1）求证：ABF DAE ≌△△；（2）求证：AF EF FB =+．【习题8】如图，在线段BE 、DF 上有一点A C 、，使得 AE CF =，AB CD =，AD BC =求证：E F ∠=∠..【习题9】已知：如图，在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是ACB ∠的平分线．求证：BC AC AD =+.FEDCBAFEDCBAED CBA【习题10】已知：如图，过∆ABC 的顶点A ，在A ∠内任引一射线，过B C 、作此射线的垂线BP CQ 和。
设M 为BC 的中点。
求证：MP MQ =.【习题11】（2010丰台一模）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA CB =．E F 、分别是直线CD 上两点， 且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F 、在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若9090BCA α∠=︒∠=︒，，则EFAF -（填“>”，“<”或“=”）； ②如图②，若0180BCA ︒<∠<︒，若使①中的结论任然成立，则α∠与BCA ∠应满足的关系式 （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 与BE AF 、三条线段的数量关系，并给予证明．DCB A MQPCBA DMQ CBA FEDCBAFEDCBFEDCBA图①图②图③。