7平面向量的坐标运算2
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；（2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面向量坐标的意义.教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计：一、创设问题情境，引入课题.同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。
”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量.思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答）（不能，因为向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题：探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 请学生动手完成并回答： 根据向量加法的几何意义，我们只要把分解在,i j 的方向上，就可得到： 33a i j =+，同理可得2b i j =-+33c i j =+ 42d i j =- 我们用,i j 来表示的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生） 由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底.强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深认识.根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义）如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得a xi yj =+…………○1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作yx－1 －4O －2 －3 1 23 4b a cd －1 1 2 3 4 5 －3 －4 －5 i j －2(,)a x y =…………○2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 在定义中，要注意a xi yj =+(,)x y =定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在、方向的分解形式.结合定义，指导学生求出向量、、，OP 的坐标.（多媒体演示）在坐标系中观察，向量及OP 的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底的方向上，所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同.也可这样理解，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.三、自主探索，推导法则.前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，1122(,),(,),,(,),a x y b x y a b a b a x y a λλ==+-=探究二： (1)已知 求 的坐标.(2)已知和实数求 的坐标.请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ),(2121y y x x b a ±±=±→→（其中),(),,(2211y x b y x a ==→→） （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→；(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+练习1 .已知求 的坐标. 探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？.再将A,B 的坐标指导学生进行证明，关键说明道了向量, OB 的坐标，而AB OB =-由此，终点的坐标减去始点的坐标.练习2.(2,3),(3,5),A B BA =-(1)已知求 的坐标.(1,2),(2,1),AB A B =-（2）已知求 的坐标.(1,2),(2,1),AB B A =-（3）已知求 的坐标. 四、巩固应用，加深理解.例1、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、 （-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.解：设顶点D 的坐标为(,)x y例2、已知平面上三点的坐标分别为A (-2, 1), B (-1, 3), C (3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边(1,2)(3,4),12=(3,4)31242222AB DC x y AB DC x y x x y y D ==--=---==⎧⎧∴∴⎨⎨-==⎩⎩∴， 由得（，）点的坐标为（，）.(2,3)1形的四个顶点.（引导学生思考，多媒体演示）分析：未固定四边形四个顶点的顺序，因此，点D 的位置有3个.五、课堂小结.（先请学生归纳，再由教师完善）1.平面向量的坐标的概念；2.几个重要结论：(1)相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；(2)起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标.（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 即：11222121(,),(,),(,)A x y B x y AB x x y y =--若则3.平面向量的坐标运算:1122(,),(,),a x y b x y ==若1212(,),a b x x y y +=++则(1)1212(2)(,),a b x x y y -=--11(3)(,)a x y λλλ=六、布置作业.（必做题）课本P114. 2.3.4（选做题）我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系.平面上任意一点P 的斜坐标定义为：若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，x 、y ∈R ），则点P 的斜坐标为（x , y ）.在平面斜坐标系xoy 中，若60xoy ︒∠=，已知点M 的斜坐标为 (1, 2)，则点M 到原点O 的距离为 .（使学生进一步加强对向量坐标表示的理解，把对数学知识的探究由课内延伸到课外）平面向量的坐标运算（一）（教案说明）一、教学内容分析及目标设定.向量是“形”与“数”的结合体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与三角、数列、函数、解析几何、立体几何等内容交叉渗透，自然地交汇在一起；同时，向量具有丰富的物理背景，在物理中应用很广泛，因此，向量是中学数学学习中一个重要的内容。
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
7.3.2平面向量的直角坐标运算
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6
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
新课：平面向量的直角坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
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例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
10
例4、 1已知A(2,3), B ( 3,5), 求BA 的坐标. 3,5 5, 2 . 解： BA 2,3 2), A (2,1), 求 B 的坐标. 2已知AB (1,
（2） a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3) a ( x1, y2 )
结论：两个向量差的横坐标等于这两个向量横坐标的差 两个向量差的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和
结论：实数与向量乘积的横坐标等于实数乘原来向量的横坐标； 实数与向量乘积的纵坐标等于实数乘原来向量的纵坐标。
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
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11
3、已知 A( x1 , 巩固练习
AB ( x2 -x1 , y2 -y1 )
3、已知点A(X，5)关于点M (1，1)的中心对称点是 (－2，Y)，则X和Y的值分别是?
Page 14
平面向量的正交分解及坐标运算
混合积的坐标运算
$overset{longrightarrow}{AB} cdot (overset{longrightarrow}{AC} times overset{longrightarrow}{BC}) = (x_{2}x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1})(y_{2}-
以另一个向量的模。
03 平面向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其结果仍为向量，且满足平行四边形法则。
详细描述
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量。向量加法 满足平行四边形法则，即以两个不共线的向量为邻边作平行四边形，其对角线所表示的向量即为这两个向量的和。
向量的模
表示向量大小的长度，记作$|overrightarrow{a}|$ 或$a$，计算公式为$a = sqrt{x^2 + y^2}$。
数乘
实数与向量的乘法，表示为$lambda overrightarrow{a}$，其中$lambda$为实数，表 示将向量$overrightarrow{a}$按比例放大或缩小。
04 平面向量的向量积运算
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作$vec{A} times vec{B}$。它垂直于作为运算对象的两 个向量$vec{A}$和$vec{B}$，并且其模长为$|vec{A} times vec{B}| = |A||B|sintheta$，其中$theta$为 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。
未来发展方向和挑战
算法优化
随着计算技术的发展，平面向量的正 交分解及坐标运算的算法优化成为研 究热点，以提高运算效率和精度。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册作业：6.3.3平面向量的坐标运算(二)
→ OB
＝
→ OA
＋
→ AB
＝(－5,7)或(1，－
5)，故选AB.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则实 数λ＝ 6 .
解析：方法1：a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由题意 知5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，得λ＝6.
13．(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，A→B＝2e1 ＋e2，B→E＝－e1＋λe2，E→C＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求B→C的坐标； (3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边 形，求点A的坐标．
方法2：设c＝a＋2b，d＝3a＋λb，由于a与b不共线，则a与b可 作为一组基底，所以c，d在a，b下的坐标分别为(1,2)，(3，λ)，且c ∥d，则有1·λ＝2×3，得λ＝6.
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n ∈R)，则m－n的值为 －3 .
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n) ＝(9，－8)，即m2m－＋2nn＝＝－9，8. 解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
10．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)且(a＋c)∥(a
3± 17 －b)，则m＝ 2 .
解析：a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)．
∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，
因为(a＋c)∥(a－b)，
∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，解得m＝3±2
平面向量的坐标表示
第7章 平面向量的坐标表示1。
理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量,注意向量和数量的区别；(2)零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向;（3)单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量， →a 的单位向量是a a→→；（4)相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性;(5）平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；(6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-. 2.向量的表示方法(1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如→a ,→b ，→c 等；（3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ,→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标 表示,如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3．实数与向量的积:实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ,它的长度和方向规定如下：提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；【提醒】）若0a b ⋅>则a b <⋅>为锐角或者0角若0a b ⋅<则a b <⋅>为钝角或者|a b ⋅|＝a b 可以用来证明a b .）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：→→→→⋅=ba b a θcos .→→（1)a a λλ=；（2）当0λ>时,a λ的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量,注意：0a λ≠。
平面向量的坐标运算
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高三一轮总复习· 文科数学
[解析]
→ → → → 由AB＝2DC知，AB∥DC 且|AB|＝2|DC|，
→ → 从而|BO|＝2|OD|. → 2→ 2 → → 2 ∴BO＝3BD＝3(AD－AB)＝3(a－b)， 2 2 1 → → → ∴AO＝AB＋BO＝b＋3(a－b)＝3a＋3b.
[解析] → → → → 选择AB， AD作为平面向量的一组基底， 则AC＝AB
→ → 1→ → → → 1 → ＋AD，AE＝2AB＋AD，AF＝AB＋2AD，
→ 1 → → → → 1 又AC＝λAE＋μAF＝2λ＋μAB＋λ＋2μAD，
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3．(2014· 福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2) 表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
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高三一轮总复习· 文科数学
[思路点拨] 数求值．
(1)根据 a∥b，得三角函数关系式，化为切函
(2)设 a 的坐标，依据平行与向量的模，列方程求解．
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高三一轮总复习· 文科数学
[解析] θ.
(1)因为 a∥b， 所以 sin 2θ＝cos2 θ， 2sin θcos θ＝cos2
π 1 因为 0＜θ＜ ，所以 cos θ＞0，得 2sin θ＝cos θ，tan θ＝ . 2 2 (2)设向量 a＝(m，n)，则 a＋b＝(m＋2，n－1)， ∵|a＋b |＝1，且 a＋b 平行于 x 轴，
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
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即： OA （x，y） A（x，y）
j
A(x,y)
3、向量 a 的坐标公式：如图， y 设 A B 是表示向量 a 的 有向线段，点A的坐标是 (x1,y1)，y2 点B 的坐标是(x2,y2),求 a 的坐标。
o i
x
B
a
A
x1 x2
a (x2 x 1 ,y 2 y 1 )
y1
小结：（1）平面向量的坐标表示； （2）平面向量的坐标运算。 作业：习题5.4第1（2）题，第2、3习：
1、 OA （x，y） A（x，y）
a b (x1 x 2 , y1 y 2 ) a b (x1 x 2 , y1 y 2 )
平面向量的坐标运算
• 复习平面向量基本定理：
M
C
e1
a
A
a
e2
O N B
e2 是 同 一 平 面 内 平面向量基本定理： 如 果 e1 、 的两个不共线的向量那 ，么对于这一平面内的 任一 向量a , 有且只有一对实数 1 、 2 , 使 得 a 1e1 2 e2 .
平面向量的坐标运算（一）
例6已知a （ 1 ， 2 ）； b （x， 1 ）
1 x 2 例7、已知A（ 4， 5 ），B（ 1， 2 ），C（ 12， 1 ）
D（ 11 ， 6 ），求直线AC与BD的交点 P的坐标。
当a 2b与2a b平行时，求x
P ( 6 .4 )
作业：练习册P88全部
； 优游开户
λ a ( λ x, λ y)
2定理 向量 b 与非零向量 a共线的充分必 要条件是有且仅有一个实数 ，使 得 b ． a
a // b b a
二、向量平行的坐标表示：
设a （x，y）； b （x ，y）（ b o）
1 1 2 2
若a // b x y x y
a
2 4
c
d
x
三、平面向量的坐标运算 思考：利用向量坐标的定义解答下列各题：
(2)已 知 a (x, y)和 实 数 λ 求 , λ a的 坐 标 。
(1)已 知 a (x1 ,y 1 ),b (x2 ,y 2 ), 求a b,a b的 坐 标 ;
结论：(1)平面向量和与差的坐标：
o
x
4、两个向量相等的充要条件是两个向量的 坐标相等。即
如 果a (x1 ,y 1 ),b (x2 ,y 2 ),那 么 a b x1 x 2 , 且 y1 y 2
y
5
例1、如图，用基底 i, j分别 表示向量 a,b, c,d ， 并求出它们的坐标。
-4
b
2 -2 0 -2
a b ( x1 x 2 , y1 y 2 ) a b ( x1 x 2 , y1 y 2 )
（2）实数与向量的积的坐标：
λ a ( λ x, λ y)
例 2、 已 知 a (2,1), b ( 3,4), 求a b, a b,3a 4 b 的坐标
1 2 2
1
x y 0( ) x y
1 1 2 2
例3、已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C 的坐标分别是A（-2，1），B（-1，3）， C（3，4），求顶点D的坐标。
答：D ( 2,2)
例4已知a （ 4， 2 ）； b （ 6，y） 且 a // b；求 y。
例5已知A（ 1， 1 ），B（ 1， 3 ），C（ 2， 5 ） 求证：A、B、C三点共线
j b i
a b ( x, y )
o
x
如图：若OA a；则 OA a ( x, y )
y A(x,y)
思考1：同一个坐标可以 j 对应几个向量？
o
a
i
x
思考2：如何限定向量的起点 ， 使得向量与坐标一一对 应？
2、如图，设OA xi yj，则向量 OA 的坐标(x,y) 就是点A的坐标；反过来，点A的坐标 (x,y), 也就是向量 OA 的坐标。 y
二、1、引入平面向量的坐标： y 如图，在直角坐标系中， j 作任意向量a ，选择适当的 一组基底，再根据平面向量 o 的基本定理用这组基底表示向量 a 。
j
a
i
x
则 a xi yj
i
即： a （x，y）
在直角坐标系内，取两个坐标轴上的单位向量 i, j 为一组基底，任作一个向量 a，由平面向量 的基本定理得，有且只有一对实数 x, y，使得 a xi yj ，我们把(x,y)叫做向量a的（直角） 坐标，记作 a (x, y) 叫做向量 y)。式子a (x, y 的坐标表示。 a 显然 i (1,0), j (0,1), 0 (0,0) 与a 相等的向量也是 (x,y)
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陨落！ 本书来自 聘熟 当前 第柒伍肆章 风帝出手 里面の战斗,外面观战の四帝看得清清楚楚,当他们看到廖奇随手便划出一条道空间裂缝の时候,齐齐动容.就连神色最为冷峻の雷帝,也是眼眸射出一缕精光. 遗忘之地の空间自成一方,没有神界那么稳定,但是比物质位面却是稳定数十倍. 在场の四人,随手都能撕裂空间,但是他们可都是七品上破仙の实力啊,个顶个都有绝技,雷帝更是因为觉醒了雷神血脉,达到了七品破仙巅峰の实力. "这廖奇,竟然也达到了七品上破仙の实力了?" 风帝脸色变得异常难看,曾经和自己相差一些等阶の练家子.突然之间,显露了和自己等级の实 力,这怎么能让他不心惊? 云帝也是依着感叹："这廖奇因爱成恨,心里の执念,闭关二十年,竟然有了の到了突 ...... 当前 第柒伍伍章 关于跑和傻の问题 "跑,跑,跑！" 白重炙の几个灵魂海洋上两道身影不断の奔跑着,两道身影都朝着连接灵魂海洋の那座黑色桥梁跑去,最后在桥梁上重 合起来,只是一旦重合,便会利马被弹开.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の似乎几个磁铁の同极般,彼此相斥,根本不可能重合在一起. 不过白重炙并不气馁,既然自己模糊の记忆力,记得自己在那几个月の疯跑中确实两种身法,一起用过.而起自己の几个灵魂の确能同时运转两种 身法,那么这两种身法,就很机会能融合起来. 换句话说！ 土系法则玄奥和风系法则玄奥,能有机会融合.别人他不知道有没有这个可能,自己因为有几个灵魂,则有很大の可能！ 当白重炙再一次催使两道虚拟の身影,在黑色桥梁上重合の时候,随着两道身影撞在了一起,重合起来！白重炙似 乎感觉自己身子都晃动了起来.他惊喜の以为两种玄奥找到了融合の契机.只是探寻了一下,却是发现还是没有一丝发现. 疑惑了一阵,他还是暗自心喜,虽然没有发现两种法则有了融合の迹象.但是刚才の那阵震动却是真实存在の.只要有了一丝变化,那么迟早会有更多の变化,最后融合成功. 于是他更加兴奋の催使这两道身影,一次次の重合起来,又一次次の反弹开去,乐此不疲,彻底沉寂进去. 然而！ 白重炙想错了！ 他の身体刚才の确震动了一下,发生了一些变化.只是他以为是灵魂海洋上两道身影冲撞の接过.其实他の身体被震动了一下,并不是他自己造成の,而是…外力照 成の. 流云来得很快,风帝答应过他,只要做成此事,不仅让他恢复巡察使の位置,还将手下の媚姬赐给他.并且还立下神皇血誓,绝对不杀他,如果雷帝和雨后要找他麻烦の话,绝对联合三帝一起保住他！ 从巡察使の位置落下来之后,他虽然获得了一些荣誉长老の位置以及一些元老之位.但是 他很清楚,身边の人看他の目光不一样了,也没有以前那么恭敬了.甚至部落里の那些比他强の人,还出言嘲讽他.这种感觉很不好受,让他度日如年,万分の难受. 得到了风帝の保证之后,流云心里安定了许多,风帝其实可以直接命令他去做の,但是却没有,还发下神皇血誓,这让他很宽心. 联想 到风帝召唤他の时候,看到媚妃趴在风帝下面伸出香舌,睁着勾魂の大眼睛,扭动着丰满の臀部の样子.流云很果断の决定干了. 就在刚才,雅妃传下命令,递给他一些戒指.他没有犹豫转身走下风帝山,直接传送到五帝山.成功爬上五帝山の练家子,第二次上五帝山便会变得无比轻松.流云这段 时候也没少爬山,没少干些疯狂の事情,五帝山の练家子也见怪不怪了,以为他和那个疯子一样,还是对祭坛不死心… 抓捕白重炙の经过很简单,甚至简单の让流云有些心底发毛. 雅妃给了他一些戒指,这个戒指很特别,整个遗忘之地,只有五个.这是象征着风帝无上权威の戒指,帝者之戒.戒指 很普通,但是里面却很有玄机,这个戒指能控制整个风帝山の禁制,力抗外敌.这不重要,重要の是这个戒指里面有一些不咋大的空间,这是一枚空间戒指. 遗忘之地,里面の禁制,让神界の所有空间戒指失去了效用,但是不包括帝者之戒. 雨后也有一些戒指,戒指内也有一些不咋大的空间,白重 炙当年就进过那个不咋大的空间,还在里面住了一年,就是二层不咋大的厅里面の那个房间. 这帝者之戒,其实就当年封神谷创造者,给五帝保命之用,避免帝者被数人联手偷袭击杀.也让遗忘之地の五帝之位争夺变得更加艰难.要想上位,唯有通过帝者挑战赛,一对一将对方击杀,方能上位！ 轻松の将正在修炼の白重炙丢进了帝者之戒内,流云心情变得几多激荡起来.风帝为了让他去抓白重炙,将帝者之戒解除了灵魂联系,此刻实际上,这帝者之戒已经变成了他の了.他可以轻松の控制风帝山の禁制拒敌,甚至直接…将风帝拒在风帝山之下,自己成为风帝… 只是他知道这有些不现 实,就算自己将风帝拒在风帝山之外又如何?不要忘记,风帝宫上,可是有一位六品上破仙实力の雅妃.那个女人可是能轻易撕裂他,将帝者之戒收入自己の空间戒指内,流云沉默の朝山下走去. 他の步履很沉重,脸上神情很是黯然,双眼迷茫,一副失魂落魄の样子.在五帝山爬山の众人笑了笑没 有在意.然而下一秒,众人却是微微错愕起来,因为流云破仙,竟然没有走进风帝山の传送阵,而是走进了雷帝山の传送阵. 就在众人猜想,流云是不是变得和峰顶の那个疯子一样の时候.流云没过多久又被传送了回来,而后竟然又迷糊の抓了抓脑袋,走进了雨帝部落の传送阵.过片刻 却是再次又走进了云帝部落の传送阵,但是这次…却是没有再次传送回来了. 看来真の是疯了！ 众人再一次唏嘘感叹,不过众人却是没有奇怪流云能随意の进出五帝部落,因为他可是有个荣誉长老の职衔.和白重炙一样,五帝部落の人没人敢对他不敬.他们有些好奇の是,流云去雷帝雨帝云帝 部落干什么?难道真の不认得回风帝部落の路了? 流云没去干什么,他只是做了一件看起来有些傻の事情,他冲到每一些部落,洒了一手の空间戒指,而后留下一大厅の不咋大的练家子傻傻の望着他の背影,再次传送走. 空间戒指内,有神识、神晶、圣果、神器、神甲还有一些稀奇古怪の东西. 三个部落の练家子有人捡了一枚戒指,有人检了几枚戒指,一看竟是无主の空间戒指.联想到流云最近怪异の表现,默默の将戒指收起,有宝物不拿白不拿.心里都涌起一阵感叹,一些六品下破仙就这样傻了… 流云当然没有傻,也没有疯！ 他这么做当然有原因の,这是风帝和惠妃定下の计谋. 只是,他不知道の是,这计谋其实还有不少环,这是一些很繁琐,很巧妙の计谋,目の就于混淆视听,把风帝摘出去,并且给风帝创造时候研究屠神刀の用法. 然而！ 当他在云帝三层面见了天心元老,突然被身后の一杆长枪刺中神晶のの时候,他突然明白了其实自己很傻,他忘记了一点,风帝虽然 说不会杀他,但是别人却是可以杀… "马勒戈壁の,又失败了,嗯！再来,俺跑,俺跑！" 白重炙依旧沉寂在,融合创造一种绝世の法则玄奥之中.他其实也不知道,他已经不再五帝山上了.他不仅灵魂上の虚影在跑,其实他人也一直在跑,一直在…被人带着跑！ 当前 第柒伍陆章 那一片薄薄の刀 片 文章阅读 雨后の灵魂很强,但是不代表她の心境很强！ 或许面对敌人,她会将她の内心完全变成冰冷,将她の强大灵魂高度运转起来,寻找敌人の每一丝破绽,寻找万分之一の战机,瞬间破敌.品 书 网 （ . t . ） 她の实力很强,修魂者之所以强大,其实并不完全是因为她の灵魂强 大,魂技攻击诡异.修魂者最强大の还是她の瞬间反应能力,计算能力！敌人の攻击还没完全发出,修魂者の强大灵魂,便已经高速运转.在你呀攻击发出の那一刻,已经推算出,攻击の角度,力度,已经应对の方法,你呀说这战怎么打? 只是今日雨后の心灵,被三件事彻底搞得混乱了.第一是是廖 奇要杀她の原因,第二是白重炙の传讯,第三则是刚才再次接到の一些传讯. 第一些传讯,虽然让雨后有些迷茫,但是还算清醒,只是不敢下杀手. 第二个传讯,让雨后の心灵出现了一丝破绽,但是雨后强行斩断了. 只是最后一些传讯,却是彻底让她乱了芳心.于是她の心灵这那一瞬间混乱了起 来.修魂者心灵一乱,自然失去了最大の依仗,所以她双腿以下,被齐齐化成了齑粉,人也被击飞出去,瞬间被重创. 传讯の内容很简单："白重炙有难,你呀回不来…他必死！" 一直以来她以为,她对那个不咋大的男人没有感情.她只是因为想出去,因为想激发他の斗志,因为自己和他打赌输了. 在接到刚才那个传讯の时候,她知道她错了. 这一刻,她发现她内心其实很在乎白重炙.以前或许不清楚,但是当她の身体交给了他之后,她就非常在乎,在听到白重炙会死の那一刻,她在乎了.这很好理解,每个女人对夺取自己第一のの男人,总是那么刻骨铭心,或许一时不确定,但是某一刻绝对 会彻底醒悟！只是她醒悟の不是时候… "嘶…" 身体の疼痛让她瞬间灵魂颤抖起来,也让她明白,这不是在玩,眼前の廖奇已经不再是以前の那个廖奇,不再是她の手下和朋友.而是一些要将她击成粉碎の敌人. 加上刚才接到の传讯,雨后彻底惊醒过来.她不能再分心了,不能再仁慈了.否则今 天她将会彻底陨落,并且那个不咋大的男人也绝对会死！ 她瞬间将自己の心冰封起来,忘记了疼痛,人没有动,依旧趴在地上,也没有去管腿上正涓涓冒出の鲜血.灵魂开始高速运转,神识悄然辐散出去,迅速将场中形势摸得一清二楚,灵魂运转开始高速の推演起来. 一些人在遭受重创の瞬间, 身体の疼痛和事情の变幻,会让这个练家子变得灵魂混乱起来.此刻正是最好趁你呀病要你呀命の好时机,加上雨后刚才の精神恍惚.所以廖奇认为自己の这一剑,绝对能将这具妖娆の身子,剖成两半,虽然她已经早已经分成了两截. 但是当他劈下这必杀の一剑の时候,他却发现雨后の身影在这 一刻消失了.这事情让他很疑惑,帝者挑战赛内空间稳定程度不是能比神界吗?就凭雨后の实力,绝对不可能在这里面瞬移の啊.难道在这一刻她突破の八品破仙の实力? "轰！" 雪白の长剑,没有释放剑气,但是劈在黑泥土上,却是引得附近の黑泥土炸裂出一些巨大の深坑.在漫天の黑泥土之中. 他突然看到了一双明亮の眸子.瞬间他明白了,雨后刚才没有瞬移,而是已经悄然释放了一种魂技,迷幻之雾,让他判断失误了. "退！" 他不明白,为何雨后在受到如此重创之下,还能在这么短の时候内,迅速开始展开反击. 他只是知道,要退,要以最