平面向量坐标运算
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。
本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。
二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。
同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。
在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。
在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。
在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。
4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。
在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。
在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。
四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。
希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
平面向量的坐标运算
a // b (b 0)的充要条件是 x1y2 x2 y1 0
(1) 消去时不能两式相除, 因为y1, 注意： y2 有可能为0. 可分 0与 = 0讨论．
1 8)， AC AB, 3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐 标，再根据向量 AC ， AB ， DA 和 CD 的关 系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想，对运 算能力要求较高．
例1.已知 a (4, 2), b (6, y)，且 a b ，
求 y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，求证;A、B、 C三点共线
例3 已知A( 1, 2), B(2,
1 DA BA, 求点C、D和向量CD 的坐标. 3
小结：
1 、本节课我们主要学习了平面向 量平行的坐标表示，要掌握平面向量平 行的充要条件的两种形式，会用平面向 量平行的充要条件的坐标形式证明三点 共线和两直线平行(重合)．
2 、向量平行 ( 共线 ) 充要条件的两 种表示形式： a // b(b 0) a b;
(2) 充要条件不能写成
y1 y2 , x1 x2
因为x1, x2有可能为0. (3) 向量平行(共线)充要条件的两种表 示形式： a // b(b 0) a b;
a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0.
请认真看教材P113例4、例5．
平面向量基本定理及坐标运算
答案
D
解析
→ ⊥AB →， →， → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点， 1 AB2所
在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设 B1(a,0)，B2(0，b)， O(x，y)， → ＝AB → ＋AB → ＝(a，b)，即 P(a，b)． 则AP 1 2 → |＝|OB → |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1. 由|OB 1 2 所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2，得(x－a) ＋(y－b) <4， 1 即 0≤1－x ＋1－y <4.
x2－x12＋y2－y12.
4．向量平行与垂直的条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
x1x2＋y1y2＝0 . a ± (3)a≠0，则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时，a⊥b⇔
→ ⊥AB → ，|OB → |＝|OB → |＝1，AP →＝ 5．(2013· 重庆)在平面上，AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1＋AB2.若|OP|<2，则|OA 5 A．(0， 2 ] 5 C．( 2 ， 2] 5 7 B．( 2 ， 2 ] 7 D．( 2 ， 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量，C 中 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α
内，D 中 λ1，λ2 是唯一的．
→ ＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对称中心为 O， 2．在▱ABCD 中，AD → 等于( 则CO ) 1 B．(－2，－5) 1 D．(2，5)
1 A．(－2，5) 1 C．(2，－5)
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
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ξ10向量的数量积.平移
一．知识精讲
1． 数量积的概念
（1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。
则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为<a,b>
（2） 数量积的定义：已知两向量a,b 的夹角为θ
θcos 叫做
a 与b
的数量积，记为θ=⋅
（3）数量积的集合意义：数量积⋅等于的模与在
θ 的乘积
2． 数量积的性质：设是单位向量。
<θ>=,
(1)θ=⋅=⋅
(2)a 与b
同向时，=⋅；a 与b
反向的时候=⋅。
0=⊥
（3
）⋅
=
（4）
=
θcos （5
≤
3．运算律：（1）⋅=⋅ (交换律) （2）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅ (与实数的集合律) （3）⋅+⋅=+⋅)( （乘法对加法的分配律） 没有结合律，可见向量的数量积完全遵循多项式运算法则
4． 向量数量积的坐标运算。
设),().,(2211y x y x ==，则： （1）2121y y x x +=⋅ （2
21
2
1y x +=
（3）21
212
121cos y x y y x x ++=
θ （4）02121=+⇔⊥y y x x b a
5． 两点间的距离公式：设A ),(),,(2211y x B y x ，则221221)()(y y x x AB -+-=
平移公式描述的是平移前的点与平移后的对应点坐标与平移向量的坐标之间的关系。
平移前的点),(y x P 平移后的对应点,
P ),(,
,y x ，平移向量的坐标),(k h = 则
{
k
y y h x x +=+=,
,
二．基础知识
1.若)7,4(),3,2(-==，则a 在b 方向的投影为 （ ） A
3 B
5
13
C
5
65 D
65
2
1210==，且36)()3(51-=⋅，则与的夹角为 （ ） Ａ
60 Ｂ
120 Ｃ
135 Ｄ
150
3.设,,是任意的非零平面向量，互相不共线，则下列命题中是真命题的有（ ） ① 0)()(=⋅-⋅ ②
<③ )()(⋅-⋅不与垂直 ④
)23()23(=-⋅+ Ａ ①② Ｂ ②③ Ｃ ③④ Ｄ ②④
4．已知点A ),2,1(-
与)3,2(=
32=，则点B 的坐标为（ ） 5．已知)2,(λ=，)5,3(-=，若向量与的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）
Ａ
310>λ Ｂ310≥λ Ｃ 310<λ Ｄ 3
10
≤λ 6． 已知：函数2)2cos(33++-=πx y 按向量平移所的图形解析式为),(x f y = 当)(x f y = 奇函数时，向量可以等于：
A )2,(6--π
B )2,(12--π
C （2,6π）
D )2,(12π
-
三．典型例题分析：
例1：已知)2,3(),2,1(-==，当k 为何值时，（1）)3()k -⊥+
（2）)
(k +)3(-，平行时是同向还是反向？
变式1：已知：平面向量),2(),,2(),4,3(y x ==-=
，c a ⊥，求
⋅以及与的夹角
例2
60,,46>=<==b a
b -
变式2：已知,
==，求与+的夹角
例3：已知),,
(),1,3(2
3
21
=-=且存在实数k 和t ，使,)3(b t k t +-=-+=且⊥，
试求t
k 2
+的最小值
例4．设函数2
1)(--=
x x x f ，（1）试根据函数x y 1=的图象，并写出变化过程
（2）)(x f 的图象是中心对称图形吗？（3）指出)(x f 的单调区间
变式：将函数1
23--=x x y 的图象按向量平移后得到函数x k y =的图形，求和实数k
例5．将函数1)2sin(237+-=πx y 的图象，按向量平移后得到的图象关于原点对称 ，这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量；若不唯一，求出最简向量
四．规律总结：
1． 平面向量的数量积及集合意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量长度，夹角
是难点
2． 向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果是一个数量，
所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标运算。
3． 向量与的夹角（1）当与平移成有公共起点时，两向量所成的角才是夹角
（2）
1800≤≤θ（3）
cos<,=
22
2221
21
2
121y x y x y y x x +++
4.配方法：待定系数法，代入法是确定平移向量的重要方法
五：闯关训练
1．若平面向量与向量=（1，-2）的夹角是
180
53=，则=（ ） A （-3，6） B （3，-6） C （6，-3） D （-6，3） 2．若向量c 垂直与向量a 和b ，R u u ∈+=,(λλ且)0≠u λ，则 （ ） A || B ⊥ C 不平行与，也不垂直与 D 以上情况都有可能 3．已知，均为单位向量，它们的夹角为
60
= （ ） A
7 B 10 C 13 D 4
4． 给出下列命题：
① 若,02
2
=+ 则==
② 已知,, 是三个非零向量，若,=+
= ③ 在三角形ABC 中，a=5,b=8,c=7，则20=⋅ ④ 与
是共线向量=⋅⇔
其中正确的命题序号是_____________________
5．
,3,2==与的夹角为
45，求当向量λ+与+λ
的夹角为锐角时，λ的取值范围。
6．如图：以原点O 和A )2,5(为两个顶点作等腰直角三角形OAB 使
90=∠B 求点B 的坐标和向量的坐标。
7．已知：平面向量)1,3(-=，),(2
321
= 求证：⊥
（2） 若存在不同时为零的实数k 和t ，使t k t +-=-+=,)3(2 且⊥，试确定函数关系)(t f k =
（3） 根据（2）的结论确定函数)(t f k =的单调区间
8．已知：c bx ax y ++=2
的图象F 按)4,2(-=平移得到,
F ，已知A （0，8）
在,F 上，F 与,
F 的交点是B （),13
1-，试求F 对应的函数解析式。