《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案

工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）

[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]

疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。祝各位考试顺利！ 一. 解答下列问题:

1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):

a) 对 e = 2.718281828459045…,取*

x = 2.71828

( 答: 6 位 (因为它是按四舍五入来的) )

b) 数学家祖冲之取 113355

作为π的近似值.

( 答: 7 位 ( 按定义式

621113355

10

1415929.31415926.3-⨯≤-=-ΛΛπ 推得 ) ) c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 5 位, 1 位, 7 位。

2) 简述下名词:

a) 截断误差 (不超过60字) (见书P.5)

答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算

的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差

b) 舍入误差 (不超过60字) (见书P.6)

答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，

这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。

c) 算法数值稳定性 (不超过60字) (见书P.9)

答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被

积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3

x 时的相对误差约等于x 的相对

误差的3倍。 (参考书P.7例1.2.3)

4) 计算球体积3

3

4r V

π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对

误差的允许范围。 (见书P.7例1.2.3) 注意，有两种解法，任选其一。

5） 计算下式

3418

)

1(3)1(7)1(5)1(22

345+-+---+---=x x x x x x P

）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?

( 参考书P.43习题1.9(1)及其答案 )

6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨

⎧=-==-Λ

,2,1,1102

10n y y y n n

如果取

*

041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算

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到

10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？

( 本题略 ) 二. 插值问题: 1) 设函数

)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值

为

54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多

项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式

)(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数

)(x l i 为 _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L 为 （F ） ,而插值

余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。 A. 4≤

B. 5,,2,1,)

(Λ==i f x P i i

C. 5

D. 4

E. 5,,2,1,)

(5

,1Λ=--=

∏

≠=i x x x x x l i j j j

i j i

F. i i i f x l x L )()

(5

1

∑==

G.

,

)()(!

515)

5(x f ωξ其中

ξ在54321,,,,x x x x x 与x 之间,

)())(()

(5215x x x x x x x ---=Λω

2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1） 、B （1，2） 、C （2，3） 的

插值多项式。

( 方法一. 见P.46 例2.1.1

方法二. 利用Lagrange 插值公式 方法三. 画图并根据定理分析 )

方法一：

方法二：

方法三：

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3） 求函数

x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

( 见习题2.4 及答案

. )

4 ) 由函数值表:

x : 1 2 3

x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068

求1

.2-e

的近似值.

( 解略 ) 5) 利用插值方法推导 x i j

i j

x n

i n

i j j =--∑∏=≠=][

,0 (本题略) 三. 拟合问题:

1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) .

( 见教材P. 98 )

2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义

是什么?

( 答: 在最小二乘意义下误差最小 )