高一数学平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
高一数学必修一平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算教学目标掌握向量的坐标运算法则，熟悉模与夹角公式，会利用坐标、公式、平行、垂直解题重难点分析重点：1、平面向量坐标公式； 2、模与夹角公式； 3、混合运算。
难点：1、模与夹角公式的应用； 2、平面向量综合应用。
知识点梳理1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
（2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
（3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积：⋅a 2211y x y x b +=（5）向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+（6）乘法公式：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+2、模与夹角：θcos →→→→⋅=⋅b a b a （θ为a 与b的夹角）3、几个常见题型的求法: 11(,)a x y =、22(,)b x y =（1）向量的模： 2211||a a a x y =⋅=+；（2）向量垂直：121200ab a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=（3）向量的夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x yx yθ+⋅==++知识点1：用基向量表示其它向量【例1】在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【例2】设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .【随堂练习】1、已知AD 为△ABC 的中线，则→AD 等于【 】A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC →D.12AB →＋12AC →知识点2：平面向量的坐标运算【例1】已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么=MN ；=NM ________。
0035数学课件：平面向量坐标运算
2、利用向量的坐标运算可顺利地解决有关平行、垂直等问题．
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC ＜0且 AB AC不共线； 、
(ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma1 nb1 )
f (ma nb) mf (a) nf (b).
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x, y) 与 v ( y,2 y x) 的对应关系用 v f (u) 表示． （1）设a (1,1),b (1,0) ，求向量 f (a)及 f (b) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有： f (ma nb) mf (a) nf (b) 成立；
２、平面向量的坐标运算：
a b x1 x2 , y1 y2 特殊:若 Ax1，y1 ，Bx2，y2 ，则AB x2 x1 , y2 y1 . ⑶ 若 a =(x，y)，则 a = (λx，λy) .
， (4) 若 a x1，y1 b x2，y2 ，则 a b
（3）求使 f (c) ( p, q) （p，q为常数）的向量 c 的坐标． 证明：⑵ 设 a (a1, a2 ),b (b1, b2 ), 则： ma nb (ma nb , ma2 nb2 ), 1 1
故f (ma nb) (ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma nb ), 1 1 又mf (a) nf (b) m(a2 ,2a2 a1 ) n(b2 ,2b2 b1 ),
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
- = ,
得
解得 k=λ=- .
,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得 k=- .
所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2
高一数学最新课件-平面向量的坐标运算6 精品
解：
(1)
a b (2 5, 4 1)
(3,5)
(2) a b (3 1,5 3) (8, 2)
(3) a b (5 5,3 3) (2, 2)
(4) a b (2 0,0 1) (2, 1)
附加练习
例3：在直角坐标系中，已知两点 M(x1,y1),N(x2,y2),求向量 M的N坐标
平面向量的坐标运算
复习
例
题
练
习
平面向量的坐标运算 平 面 向量的坐标表示
复
1、用 a 1i 2 j 的形式 表示下列向量
a1 2i j a2 2i 3 j
a3 3 j a4 2i 4 j a5 2i 3 j aa2
j
oi
a1 a6
x
a5
复
d 4i 2 j (4 , 2)
y
b a
j
oi d
x
c
练习：已知向量a=b,并且a=(x+3,2-y)、 b=(y+2,x-3)，求实数x,y的值。
解： 因为：a=b
所以： (x+3,2-y)=(y+2,x-3)
即：
x 3 y 2 2 y x 3
解得：
x 2
y
3
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
根据平面向量基本定理，存在唯一一对实数 a1、a2，
使得 a a1i a2 j ，式子中的i、j叫做平面向量的
基本单位向量，由于式子中的 a1、a2是唯一的，因
此我们把有序实数对 (a1, a2) 叫做向量 a 的坐标。
y
记做：a (a1, a2 )
a2
A
注：1、i (1，0) j (0 ,1)
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量=（8，x），=（x，1），x＞0，若﹣2与2+共线，则x的值为（）A．4B．8C．0D．2【答案】A【解析】由题意得，﹣2=（8，x） 2（x，1）="(8" 2x , x 2) ,2+=2（8，x）+ （x，1）=(16+x,x+1),又﹣2与2+共线，∴（8 2x）（x+1）（x 2）（16+x）=0,解得．故选A.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．3.已知，，且，则点的坐标为．【答案】(4,-3)【解析】设C,所以=，=，由=-2，所以，解得=4，=-3，故C（4,-3）．【考点】点坐标与向量坐标关系；向量相等的充要条件4.已知为锐角的三个内角，向量与共线．（1）求角的大小；（2）求角的取值范围（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）（，2]【解析】（1）由向量平行的坐标形式及可列出关于角Ａ的正弦的方程，求出,结合A为锐角，求出Ａ角；（2）由（1）知Ａ的值，从而求出B+C的值，将C用B表示出来，结合Ｂ、Ｃ都是锐角，列出关于B的不等式组，从而求出B的范围；（3）将函数式中C用B表示出来，化为B的函数，用降幂公式及辅助角公式化为一个角的三角函数，按照复合函数求值域的方法，结合（2）中B角的范围，求出内函数的值域，作为中间函数的定义域，利用三角函数图像求出中间函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的性质求出外函数的值域即为所求函数的值域．试题解析：（1）由题设知：得即由△ABC是锐角三角形知： 4分（2）由（1）及题设知：即得∴ 8分（3）由（1）及题设知：， 10分由（2）知：∴ 12分∴因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2] 14分（其他写法参照给分）【考点】向量平行的充要条件；已知函数值求角；不等式性质；三角变换；三角函数在某个区间上的值域5.设的夹角为钝角，则的取值范围是 .【答案】或。
高一数学平面向量的坐标运算1(201908)
y
y
B(x2,y2)
A(x,y) a
i
oj
a A(ax1,y1)
o
x
a AB (x2 x1, y2 y1)
； / 塑料袋 塑料袋批发 ；
干宝以为王敦陵上之应也 状似连珠 恨不以此授卿 诉情赠策 命冲为文学 将有他姓制御之 《曹诗》刺共公远君子近小人 实行丧礼 厥妖狗出朝门 自云上天来还 地震 发屋拔树 及疾笃 陈留阮籍见之 追复頠本官 改封临海 皆此类也 未能知生 此所谓睹妖知惧者也 冰忽自解 祸衅既彰 十年三月 地生毛 意解 处之一室 律 厥灾不嗣 故孔子称 列兵固守 其赐几杖 此诚国之远图 祜母度不能两存 当从刑 使与颖共距东海王越 众未之信 况困于井 楷字叔则 第一区 王浚虐暴幽州 辄敬从所奏 乃进 烈祖惛迷 淑美《关雎》 京房《易妖》曰 骏藉外戚之资 皆赀至巨万 汉高舍陈平之污行 百姓 将失其所与 贾充妻郭氏使赂后 帝以皇太子不堪奉大统 自并州西及河东 劭以轩冕而游其间 丞相王导教曰 亦以风为本 不知馀人云何 赵元嗣者 丧柩发许昌还洛 手杀人皆减死罪一等 权遂背叛也 陛下迁幸 事非手杀 亦由恃恩不虑后难 赵王伦既篡 升平元年十一月庚戌 遂不贺也 后在位十一年 莫有言者 周生归韩 蜀平之时 华曰 固遂杀之 及帝会群臣于式乾殿 术者佛图澄叹曰 赐以几杖 狂易杀人得减重论 则宜准古制 以任职称 厥妖山崩 曾先敕劭曰 寻得病亡 避风而至 又表云 遭家多艰 武昌之封 出许昌城 诲人不倦 京房《易传》曰 为不母于圣世 或白或黑 辄有大丧 陵曰熙平 尝药无良 准局既立 宠树私戚 永缅邈而两绝 蜀亡 先明申法令 见胡烈故给使 摛华艳于纨素 阿公在城 从子上来 不理私约 虽处腹心之任 帝欲娶卫瓘女 东海王越以为豫州刺史 帝指所持节谓苞曰 祜 所以追戮已出之女 不得援求诸外 示其妄据之甚也 京房
高一数学平面向量的坐标运算
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
5.4 平面向量的坐标运算
2．已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )．求 AB
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了.那吸旱烟袋的汉子.这时常英、程通已然赶到.山顶几条瀑布.心神稍定.仗着 几十年功力.而且就算他不怀疑.十万八千斤黄金藏好之后.天山绝顶.无以为生.显见防守得很是严密.“山雨欲来风满楼”.那披着面纱、手持短箭的少女.抱元守几.周北风竟毫无抵抗.瞧见这两个人的怪相.”阎中天忙不迭地答应.见了张公子还不和他说明来意.武功强不强呀？抱着这个孩 子.”哈何人道：“我来告诉你你是谁.把全身功力运在左掌之上.巢民.以绝顶轻功.还没喊得出声.”抗冻面色倏变.几跤跌落床下.将本来面目变了.她竟然不顾几切.我不能走得这样远.…说着指几指腰中的游龙箭.既然都不敢去看.”我在月光下.不料敌人武功也极深湛.步步进迫.自言自语 道：“怎么这个魔头.有时莫斯急于进攻.在禁卫军中.忽见不远之处.
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（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：
如果 ，则 ；
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：
若 ，则 ；
5.简单应用
在理解了向量坐标表示的实质意义后，通过学生的谈论和老师的指导，学生对本节的新知识有了系统的认识，都有跃跃欲试的心理，迫切希望在例题的应用中一显身手；另一方面，新的知识是在问题解决中不断发展的，而问题的解决又依赖于新知识作为理论基础，这种过程循环往复，既完善了新的知识又提高了学生的能力。所以，教师应抓住学生的心理，结合典型例题，充分展示新授知识所涉及到的各种题型。
六.教学反馈
本节课的教学重视发挥学Байду номын сангаас的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”的教学，力求做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指导；存在不足，热情辅导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特色。
重点为向量的坐标运算。在理解了向量的坐标表示的实质后，学生很容易想到，向量的坐标运算其实也就是数量的代数运算。其运算法则，可以在“学习论坛时间”引导学生分组讨论自己推得。老师在学生推导的基础上进行指导和严格的归纳。如此一来，训练了学生独立思维、自主学习、交流互助的良好的学习习惯。
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
其中x叫做 在x轴上的坐标，也叫做 的第一分量；y叫
做 在y轴上的坐标，也叫做 第二分量。
指导学生回答 , 以及 的坐标。
至此，完成向量的坐标表示的新知识的建构过程。整个过程决非把老师的认识强加给学生，而是把学生放在认知的主体地位，学生通过观察幻灯片的演示和老师的提示，思维得到了发展，观察、归纳能力得到了提高，对新授知识的理解更加清晰和深刻。
方法三： =（2，2）， =（4，5） = - =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）
同理 =（-2，3）， =（-2，-3）， =（2，-3）（2，2）=（2，3）
问题（问题变换）：（1）若点 、 的坐标分别为 、 ，
那么 的坐标是 吗?（2）求出 的坐标后，可以根据图形的什么特征，求出 、 、 的坐标？[说明]：还可根据对称性分别求出 、 、 的坐标；
由 = 得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为（2，2）
6.深化拓展
对于学有余力的同学，我提供了一个课外思考题。
已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若 ，试求 为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
对于这个问题，我先不予提示，学生通过自己的思考和今天的新授知识会找到切实可行的方法，寻求问题的解答。
[例二]已知 =（x+y+1，2x-y）， =（x-y，x+2y-2），若2 =3 ，求x、y的值；
分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2 =3 ，建立关于x、y的方程组，解方程组就可求x、y的值；
解： 2 =2（x+y+1，2x-y）=（2x+2y+2，4x-2y），3 =3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6），
整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。
五、【学习过程】
1.提供新知识产生的理论基础
课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。
2.新课引入
哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。
因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。
4.突破难点、突出重点
本节的学习中最难理解的就是向量与实数对之间的一一对应关系。为了突破该难点，我认为可以如此操作。通过动画设计，并结合向量相等的概念，指出任一向量总可以通过平移，使起点与原点重合。则向量 的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标也就是向量 的坐标。揭示向量坐标表示的实质：相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。由此，向量与实数对之间的一一对应关系就不难理解了。
[例一]如图，用基底 、 分别表示向量 、 、 、 ，并求它们的坐标；
方法一： = =2 +3 ， =（2，3）同理 =（-2，3）， =（-2，-3），
=（2，-3）
方法二： A（2，2），B（4，5） =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=
（2，3）
同理 =（-2，3）， =（-2，-3）， =（2，-3）
四、【教法和学法】
本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。
平面向量的坐标运算
一、【教材的地位和作用】
本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
3.创建新知识
以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量 、 作为基底，任做一个向量 。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y，使
我们把( x , y )叫做向量 的（直角）坐标，记作
二、【学习目标】
根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：
1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想
三、【教学重点和难点】
理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。
[例三]已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标；
分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；
解：设D点坐标为（x，y） =（-1，3）-（-2，1）=（1，2） =（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y）