平面向量的基本定理及坐标运算
高一数学平面向量的基本定理及坐标表示
探究（一）：平面向量的坐标运算
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线
性运算性质，向量a＋b，a－b，λa （λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
向量a，b（b≠0）共线
yC
B
b
a
D
A
O
x
思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点， 如何用向量方法求点P的坐标？
y
P
P2
P1 P P
O
x
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，
且
，那么点P的坐标有何计算
y Aa
O
x
探究（二）：平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0）， 那么a，b满足什么关系？
a＝λb. 思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向 量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量 的坐标应满足什么关系？反之成立吗？
26平面向量基本定理及坐标运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行的向量， 那 么该平面内的任一向量 a， 存在唯一 的一对实数 a1， a2，使 a＝ a1e1＋a2e2 . 其中， 不共线的向量 e1， 2 叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组 基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2 叫做向 量 a 关于基底{e1，e2}的分解式． (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做 把向量正交分解．
→ → → → → → → → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 → → → → → ＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． → ＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM ∴OM ＝3c＋OC → → → → → → → → → ＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN ∴M(0, 20)．又∵CN ＝ON－OC＝－2b， → → → → → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， → → → ＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN ∴N(9, 2)．∴MN ＝(9，－18)．
高中平面向量的坐标运算
第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示【知识网络】1.平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=a ，不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。
2.平面向量的坐标表示：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，在平面 直角坐标系中分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面上一个向 量a ，有且只有一对实数y x 、，使得j i a y x +=，则有序实数对),(y x 叫做a 的坐标，记作a=),(y x .3.平面向量的坐标运算：),(),,(2221y x y x ==b a ；（1）),(2121y y x x ++=+b a ；),(2121y y x x --=-b a ； （2）2121y y x x ⋅+⋅=⋅b a ；（3）),(11y x =a λ，2221x x +=a知识点一：平面向量的共线【典例精析】例1、设两个非零向量21e e 和不共线.(1)如果21212128,23,e e e e e e --=+=-=，求证：D C A 、、三点共线； （2）如果D C A ke e e e e e 、、且,2,32,212121-=-=+=三点共线，求k 的值.【变式训练】1.设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；知识点二：向量的平面坐标【典例精析】例1、已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设=a ，=b ，CA =c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n.(3)若CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标.例2、平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k;(2)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .例3、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31.求证：∥.例4、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标。
平面向量基本定理及坐标表示
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
[熟记常用结论] 1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐 标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3. 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2 －y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx21＝yy12.( × ) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )
题组二 教材改编 2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x，6－y)， 即14＝＝65－－yx，， 解得yx＝＝51.，
边上一点，B→C＝3E→C，F 为 AE 的中点，则B→F＝( )
A.23A→B－13A→D C．－23A→B＋13A→D
B.13A→B－23A→D D．－13A→B＋23A→D
解析：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，
平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的坐标运算公式推导用已知向量表示未知向量
一、共面向量基本定理1.如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
（x，y不全为零）2.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
3.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。
4.平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。
5.当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。
（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。
二、平面向量的坐标运算AB+BC=AC；ABAC=CB；(λμ)a=λ(μa)；(λ+μ)a= λa+μa；a·a=|a|²；a·b=b·a等。
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
三、向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣²≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ四、基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
五、用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
《平面向量》第2讲 向量的基本定理和坐标运算
向量的基本定理与坐标运算
一、坐标运算
【例题1】已知在□ABCD中，AC 为一条对角线，
＝(2,4)， AC ＝(1,3)，则向量 BD 的 AB
坐标为________.
[训练1]向量a＝(2,4)，b＝(1,3)，则3a+b＝_____.
一、坐标运算
[训练2]已知A(2,3)，B(6,-3).二、平面 Nhomakorabea量基本定理
[例题3].已知向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， 求满足 c＝ma ＋nb 的实数m，n.
[训练3].已知向量e1 ，e2不共线， 要使a= e1+2e2 ， b= 2e1+λe2能成为平面内所有向量的一组基底， 则实数λ的取值范围是 .
二、平面向量基本定理
即：物理学上力的合成与分解.
3. 两个向量平行与垂直的向量表示.
若 AD AB AC ，则x =_____，y =_____.
例题与训练
【训练2】给定两个长度为1的平面向量 OA, OB ，它们 的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动． 若 OC xOA yOB , 则x+y的最大值是 ____.
小结
1. 坐标运算.
2. 平面向量的基本定理.
[例题2]如图,平面内有三个向量 OA， OB ， OC ，其中
OA与 OB的夹角为 OA 与 OB 的夹角为120°，
30°，且
OA OB 1, OC 2 3
，
若 OC OA OB , 则λ＋μ的值为____．
例题与训练
【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
① 线段AB的中点坐标为 . .
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平面向量的基本定理及坐标运算
【考纲要求】
1、了解平面向量的基本定理及其意义.
2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】
一、平面向量基本定理
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标.
规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。
三、平面向量的坐标运算
1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++.
2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --.
3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ.
5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ⇔-=（斜乘相减等于零）
6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件
1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景）
2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件
1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ=
2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是
(1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈.
特别地，当12
λμ==时，P 是AB 中点。
六、温馨提示
1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过
程中应注意使用数形结合的思想方法。
2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
【例题精讲】
例1：如图所示，已知ABC ∆中()8,7A 、()5,3B 、()3,4C ，M 、N 是AB 、CD 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求DF .
例2：已知()2,1=，()2,3-=，当k 为何值时，k +与3-平行平地时它们是同向还是反向
平面向量的基本定理及坐标运算 【基础精练】
1．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是（ ） A ．(－4，12) B ．(4，－1
2
) C ．(－8，1)
D ．(8，1)
2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．(－1，－32) C ．(1，3
2
)
D ．(8，－1)
3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )
A ．(2，72)
B ．(2，－1
2
) C ．(3，2)
D ．(1，3)
4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(1
2
，1＋sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于
（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
5．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，
若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2
b
的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．直角坐标系xOy中，AB→＝(2,1)，AC→＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是( )
A．1 B．2 C．3
D．4
7．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，若b、为一组基底，则＝_____.
8．已知向量＝(3，1)，＝(1，3)，＝(k，7)，若(－)∥，则k＝________. 9．若向量＝(1，2)，＝(x，1)，＝＋2，＝2－且∥，则x＝__________.
10．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(2cosα，2sinα)(α∈R)，实数m、n满足m a＋n b＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为__________．
11．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若点A、B、C构成以∠A为直角的直角三角形，求m的值．
【拓展提高】
1．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|＋|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：∥.。