全等三角形判定(一)
11．2 三角形全等的判定（一）
【学习目标】 1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS 判定定理。
2 、会应用判定定理SSS 进行简单的推理判定两个三角形全等
3、会作一个角等于已知角.
【学习重点】：三角形全等的条件．
【学习难点】：寻求三角形全等的条件．
【学习过程】：《课前预习案》
一、自主学习
1、复习：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？ 如图，△ABC ≌△DCB 那么 相等的边是：
相等的角是：
2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）
已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ a ．作图方法：
b ．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现 ，•这说明这些三角形都是 的．
c ．归纳：三边对应相等的两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”．
d 、用数学语言表述：
在△ABC 和'''A B C ∆中, ∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌
( )
用上面的规律可以判断两个三角形 ． “SSS ”是证明三角形全等的一个依据．
C 'B 'A 'C B A
D C B A
C
O A B 二、合作探究
1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．
求证：△ABD ≌△ACD ．
证明：∵D 是BC ∴ = ∴在△ 和△ 中
AB=
BD=
AD=
∴△ABD △ACD( )
温馨提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A 、写出在哪两个三角形中，
B 、摆出三个条件用大括号括起来，
C 、写出全等结论。
2、如图，OA ＝OB ，AC ＝BC. 求证：∠AOC ＝∠BOC.
3、如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”
证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的
AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有一个条件：______________________，怎样才能得到这个条件？
F D C B E A
4、尺规作图。
已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB
三、课堂巩固练习.
1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌ ADE。
2、已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC
3、如图，AB=AC，DB=DC，说说∠B=∠C的理由。
A
D
C 四、三角形的稳定性：生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它
的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．。
12.2三角形全等的判定(1)
(1)三角形的两个角分别是30°、50°．
(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．
(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
重点：三角形全等条件的探索过程．
难点三角形全等条件的探索过程．
教法学法：讨论、自主合作
教具学具：多媒体
教学过程（前置情况、重难点、关键、实验、练习题及双边活动情况）：
一、复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
五、巩固练习
教科书第37页的思考及练习．
六、布置作业
华东师大版：全等三角形的判定一
全等三角形的判定一1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B＝AB，''A C＝AC，''B C＝BC，则△ABC△△'''A B C.二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝''A B，△A＝△'A，AC ＝''A C，则△ABC△△'''A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，△B＝△B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.教学目标学习内容知识梳理类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：△BAD ＝△CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABD△△ACE （SSS ）△△BAD ＝△CAE （全等三角形对应角相等）.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：△CAD ＝△DBC.证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 △△ACD△△BDC （SSS ）△△CAD ＝△DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，△ADB ＝△EDC ，BD ＝CD ．△△ABD△△ECD ．△AB ＝CE ．△AC ＋CE ＞AE ，△AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．例3、已知，如图：在△ABC 中，△B ＝2△C ，AD△BC ，求证：AB ＝CD －BD ． 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE例题讲解△ AD△BC ，△△ADB ＝△ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ．△△ABD△△AED （SAS ）．△AB ＝AE ，△B ＝△AED ．又△△B ＝2△C ＝△AED ＝△C ＋△EAC ．△△C ＝△EAC ．△AE ＝EC ．△AB ＝AE ＝EC ＝CD—DE ＝CD—BD ． 【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分△BAD ，CE△AB 于E ，并且AE ＝21（AB ＋AD ），求证：△B ＋△D ＝180°.证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，△CE△AB ，△△CEB ＝△CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩△△CBE△△CFE （SAS ）△△B ＝△CFE△AE ＝21（AB ＋AD ），△2AE ＝ AB ＋AD △AD ＝2AE －AB△AE ＝AF ＋EF ，△AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）△△AFC△△ADC （SAS ）△△AFC ＝△D△△AFC ＋△CFE ＝180°，△B ＝△CFE.A E D CB△△AFC ＋△B ＝180°，△B ＋△D ＝180°.类型三、全等三角形判定的实际应用例4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB△CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？证明：△AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上 一、选择题 1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：△AD△BC ；△AD 平分△BAC ；△△B ＝△C ；△△ABC 是等边三角形.其中正确的是（ ）.A.△△B. △△C. △△△D. △△2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：△；△ 和的面积相等；△；△ △，其中正确的有（ ）．A.1个B.2个AD ABC ∆E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ∆ACD ∆//BF CE BDF ∆CDE ∆综合题库C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若△AEB＝120°，△ADB＝30°，则△BCF ＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°C.AB＝5，AC＝6，△A＝45°D. △A＝30°，△B＝60°，△C＝90°6. 如图，在△ABC中，△A＝50°，△B＝△C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则△DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，△ABD＝25°，△AOB＝82°，则△DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC△AFB，还需要条件.10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE△AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若△ABC＝54°，则△E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得12. 把两根钢条','AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，△ABC＝△EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B ＝∠C, BD ＝CE, CD ＝BF 。
1.2.1直角三角形全等的判定(1)
1.2 直角三角形全等的判定（一）
学习目标
1、用“斜边、直角边”法判定两个直角三角形全等.
2、证明直角三角形全等的HL 判定定理. 学习重点
直角三角形HL 全等判定定理. 学习难点
通过HL 全等判定定理来解决实际问题，体会数学的应用. 学习过程 一、自学质疑：
操作与思考：如图Rt △ABC,画Rt △A ，B ，C ，，使斜边AB= A ，B ，，直角边AC= A ，C ，，这两个三角形全等吗？
二、互动交流： HL 定理： 已知： 求证： 证明：
三、精讲点拨：
1、证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。
2、如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别是D 、E, BE 、CD 相交于点O ，如果AB=AC ，哪么图中有几对全等的直角三角形？取其中的一对予以证明。
四、巩固迁移
1、已知：如图，AB=CD,AE⊥BD,CF ⊥BD,垂足分别为E、F，且BF=DE. 求证：∠ABD= ∠CDB.。
三角形全等的判定(一)
授课时间： 年 月 日 课题：三角形全等的判定（一） 备课教师： 杨国林 授课教师： 姓名： 审批人： 导学案编号：2016 8ss11010013一、导 课：在学生已经学习了全等三角形的概念和性质的基础上，探究三角形全等的条件设计意图及调整改明确教学目标、重难点二、课堂目标： 1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．开始上课： 三、共同探索(一)．回顾思考： 1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边． (二)、新课1. 回忆前面研究过的全等三角形． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角． 图中相等的边是：AB=A ′B 、BC=B ′C ′、AC=A ′C ． 相等的角是：∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、∠C=∠C ′．2.已知三角形△ABC 你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？阅读教材P35-36归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”．书写格式: 在△ABC 和△A 1B 1C 1中____________________________________________________________________ ∴ △ABC ≌△A 1B 1C 1（SSS ）C 1B 1CABA 13. 小组合作学习（1）如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ． 证明：∵D 是BC 的中点∴__________________________ 在△ABD 和△ACD 中(AB ACBD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩公共边)∴△___________≌△_____________ ( ) 4、用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．D CB A五、强化训练【A】组1．三边对应相等的两个三角形________(可简写成“________”或“________”)．2．三角形的三边的长度确定了，这个三角形的________和________就完全确定了．知识点1：用“SSS”判定三角形全等1．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，则下列结论正确的是()A．△AEF≌△ACD B．△ADF≌△ADBC．△ABC≌△ADE D．△AEF≌△CDF2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以直接判定()A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3．如图，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“边边边”可证明________≌________或________≌________. 【B】组4．如图，AF＝CD，AB＝ED，EF＝BC，那么△ABC≌△DEF的理由是________．5．如图，已知AB＝CD，若根据“SSS”证得△ABC≌△CDA，需要添加一个条件是________．6．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来；(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明．【C】组7．如图，已知AB＝AC，DB＝EC，AD＝AE，∠1＝25°，则∠2＝________.。
《三角形全等的判定(一)》磨课计划
《三角形全等的判定（一）》磨课计划磨课计划讨论记录：合作学习中如何做到：1、提高“小组合作学习”的时效性。
2、解决教学过程中存在的许多不足，如后进生在小组合作学习的热情不高，优生吃不饱现象，部分学生在小组合作时浮于表面、流于形式等。
3、把握好教师的主导作用，既不能过于干预学生思考讨论，又不能游离于学生之外。
张俊芳：课堂上营造一个宽松和谐的学习氛围，充分调动学生学习的积极性、主动性。
让全体同学在感觉说错了也不要紧的情况下大胆发言。
张新华：得关注后进生，多鼓励、多表扬。
同时充分调动学生的学习积极性，激发学生学习兴趣，还要培养学生善于发现、分析、解决和运用数学的能力。
崔宝卫：发现后进生的优点就把优点放大，增加后进生的信心。
多给后进生一些关爱，让他们觉得老师和同学们都关注真自己。
赵庆山：在小组合作探讨的问题选择上需要关注学生之间存在的差异，关注学困生，提供不同的学生都可以发挥的空间，有不同的要求和指导。
利光辉：可以用较为简单的问题，让后进生来回答，增强自信。
发动全班同学多帮助后进生。
李芹：在教学活动中，我们要明确学生是课堂的主角，是活动的参与者，在一定程度上还是活动的组织者和设计者，在小组合作学习中，学生为主体教师为辅。
秦成娟：教师要大胆放手给学生，让他们多说、多练、多发表意见和建议，要多鼓励基础薄弱、参与不积极、思维不敏捷的学生多发言黄学利：为了使合作学习收到实效，而不是“形式化”，“合作时间”的安排也很关键。
然而在教学和研究中，我们经常发现有的教师为了完成教学内容，担心时间不够，结果刚开始的小组合作讨论，学生刚进入角色，便让学生汇报，成了简单的教师“导”，学生“演”，当然结果也就成了“导”不明，“演”不精。
每次合作学习，教师都一定要留给学生充足的时间，让每个小组的成员都有独立思考的余地，有交流的尝试。
张俊芳：自主学习的中心在学生，在于学生之间的互动和交往，教师在教学中应发挥主导作用，要敢于放手给学生。
三角形全等的判定 (1)
１．三角形全等的判定一（SSS ）1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？2、如图，AB=AC ，BD=CD ，求证：∠1=∠2．3．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ．4.若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。
5.点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，则AB 和DE 有怎样的位置关系？请证明。
6．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证∠A =∠D ．7.如图，已知AC ，BD 相交于O ，AB=DC ，AC=DB ，说明∠A=∠D.8．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
ADCBFED BA9．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.10.已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD. ⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ； ⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.11.如图，△ABC 中，AD=AE ， BE=CD ，AB=AC ，说明△ABD ≌△ACE12.如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．13.如图,ABC ∆≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE于G, ∠AED=105°∠CAD=10°∠B=25°求∠DFB 、∠DGB 的度数.14.．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．２．三角形全等的判定二（SAS ）1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
全等三角形判定专题一( 证明题 )
全等三角形判定专题一（证明题）1、如图，AC=AD，BC=BD，求证：AB平分∠CAD．2如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．∠A=∠D=90°；求证：AB∥DE．3、如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．4如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB 于E，请说明AE=BE．5、一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．6、已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC．7、如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．8、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．9、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．10、已知：如图，点E、F在AD上，且AF=DE，∠B=∠C，AB∥DC．求证：AB=DC．11已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB=BC．求证：△ABF≌△CBD．12、如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．（1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数．、13、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？14、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C．求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．15、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．16：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。
三角形全等的判定(1)
活动 3 问题 你如何验证你的结论呢?（请每两 个同学一组合作，先任意画一个三角 形， 然后再画一个三角形使其与前三角 形的三边对应相等， 并将所画的三角形 裁剪下来与前三角形重叠， 看看有什么 结果． ）
提醒学生注 意： 已知三边画三角 形是一种重要的作 图， 在几何中用途很 多， 所以这种画图方 法一定要掌握．
2
活动 5 问题 你如何进一步验证你的结论呢 ? （请每两个同学一组合作， 先任意画一 个三角形， 然后再画一个三角形使其与 前三角形有两边和这两边的夹角对应 相等， 并将所画的三角形裁剪下来与前 三角形重叠，看看有什么结果． ）
在此活动中教 通过观察和 师应关注学生： 实验我们得到一 做一个角等于已知 个规律： 角的方法的进一步 两边和它们 掌握． 的夹角对应相等 的两个三角形全 教 师 进 一 步 引 等（可以简写成 导学生推出“SAS” “ 边 角 边 ” 或 的结论． “SAS” ） ．
活动 6 问题 如果两边对应相等，其夹角不相 等，而是一边的对角对应相等，这样的 两个三角形全等吗？
教师： 通过学生 结论： 两边及 讨论及几何画板的 一边的对角对应 演示使学生认识到： 相等的两个三角 两边及一边的对角 形不一定全等． 对应相等的两个三 角形不一定全等．
活动 7 练习 1．如图，在△ABC 和△DEF 中， 使学生逐步掌 AB ＝ DE 、 AC ＝ DF 请 你 添 加 条 握“SSS”“SAS” 、 件 ，使△ABC≌ △DEF． 公理． 培养学生分析问题 的能力．
11.2
三角形全等的判定（1）
教学任务分析
1．经历探索三角形全等的条件的过程． 知识技能 2．掌握探究问题的一般方法． 3．初步掌握运用 SSS、SAS 判定两个三角形全等． 使学生经历探索三角形全等的条件的过程， 体验用操作、 数学思考 归纳得出数学结论的过程． 会运用 SSS、SAS 条件证明两个三角形全等，并体会多 解决问题 种方法证明结论． 1．通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交 流的意识和大胆猜想的良好思维品质，以及发现问题的 情感态度 能力． 2．使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识， 并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中． 通过观察和实验获得 SSS、SAS，会运用 SSS、SAS 条件证明两个三 角形全等． 认识两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等． 直尺、圆规、三角板、量角器、剪刀、硬纸片．
12.2三角形全等的判定(一)(SSS、SAS)(原卷版)
八年级上册数学《第十二章 全等三角形》1.2.2 三角形全等的判定（一）“边边边”与“边角边”◆利用“SSS ”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE BC =EF CA =FD∴△ABC ≌△DEF (SSS).◆利用“SAS ”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF∴△ABC ≌△DEF (SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.【例题1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，则由“SSS ”可以判定（ ）A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACDC．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对【变式1-1】如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需添加的一个条件可以是（ ）A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对【变式1-2】下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（ ）A．B．C ．D ．【变式1-3】如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC ＝EF ，AD ＝FB ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AC ∥EFB ．∠E ＝∠C C ．∠ABC ＝∠FDED ．AB ＝DF【变式1-4】如图，已知∠1＝∠2，若用“SAS ”证明△BDA ≌△ACB ，还需加上条件（ ）A ．AD ＝BCB ．BD ＝AC C ．∠D ＝∠C D ．OA ＝OB【例题2】如图，已知点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且AB ＝AE ，AC ＝AD ，BD ＝CE ．求证：△ABC ≌△AED．【变式2-1】（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．【变式2-2】如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．【变式2-3】（2023•永善县三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．【例题3】11．（2018秋•庆云县校级月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是 ．【变式3-1】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB ．求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ′；（4）过点D '画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．小聪作法正确的理由是（ ）A ．由SSS 可得△O ′C ′D′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBB ．由SAS 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBC ．由ASA 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBD ．由“等边对等角”可得∠A ′O ′B ′＝∠AOB【变式3-2】（2023春•白银期中）已知∠AOB ，点C 是OB 边上的一点．用尺规作图画出经过点C 与OA 平行的直线．【变式3-3】如图，以△ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ；连接AD 、CD ，若∠B ＝56°，则∠ADC 的大小为 度．【例题4】（2023•官渡区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，AF ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ．求证：△ABF ≌△DCE．【变式4-1】（2023•从化区二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，证明：△ABC≌△AED．【变式4-2】（2023•祥云县模拟）已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC，求证：△ABC≌△DEF．【变式4-3】（2023•乾安县四模）已知：如图，BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．【变式4-4】（2023•宁江区二模）如图，△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD ＝AB ，过点C 作CE ∥AB 且CE ＝BC ，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ，求证：△ABC ≌△DCE ．【变式4-5】（2023•五华区校级模拟）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ．求证：△ABC ≌△DEF ．【例题5】如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，∠B ＝∠C ，若BE ＝4，则CD ＝ ．【变式5-1】（2022春•成华区期末）如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 的中点，过点A 作直线BD 的垂线交BC 的延长线于点E ，若BC ＝4，则CE 的长为 ．【变式5-2】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B ＝∠E ，AB ＝DE ，BF ＝EC ，其中△ABC 的周长为24cm ，CF ＝3cm ，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm ．【变式5-3】（2023•青海一模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，若AB ＝9，AC ＝5，则△ABC 的中线AD 长的取值范围是（ ）A ．5＜AD ＜9B ．4＜AD ＜9C ．2＜AD ＜14D ．2＜AD ＜7【例题6】如图，已知OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D＝35°，则∠OBC ＝（ ）A．95°B．120°C．50°D．105°【变式6-1】（2022春•福山区期中）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝76°，求∠BAC的度数．【变式6-2】（2023春•青羊区期末）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．【变式6-3】（2022秋•湟中区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE 并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【例题7】（2022秋•甘井子区校级月考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BF ＝CE，试判断AB和DE的关系，并说明理由．【变式7-1】（2023春•罗湖区校级期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，连接BC，BF，CE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【变式7-2】（2023春•萍乡期末）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，那么AC与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．【变式7-3】如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE＝DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【例题8】如图，AC ＝DC ，BC ＝EC ，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC ≌△DEC ．【变式8-1】如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E ，BF ＝CE ，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，若使△ABC ≌△DEF ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．【变式8-2】如图，AB ＝AE ，AC＝AD，要使△ABC ≌△AED ，应添加一个条件是 ．【变式8-3】问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，若 ．求证：△ABC ≌△DEF ．在①AC ＝DF ，②∠ABC ＝∠DEF ，③BE ＝CF 这三个条件中选择其中两个，补充在上面的问题中，并完成解答．【例题9】（2022春•包头期末）如图，已知点A ，C 在线段BD 两侧，AB ＝AD ，CB ＝CD ，线段AC ，BD 相交A 于点O ．下列结论：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC ⊥BD ；③AC 平分∠BAD ；④OB ＝OD ．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．【变式9-1】（2023•禅城区校级一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：△ABD≌△ACE；（2）证明：∠3＝∠1+∠2．【变式9-2】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF 平分∠DCE．求证：△DCF≌△ECF【变式9-3】（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，AD∥BC．（1）△ADE与△ACB是否全等？说明理由；（2）如果∠B＝30°，∠D＝40°，求∠BAE的度数．【变式9-4】（2022秋•自流井区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．【变式9-5】如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF．（1）若点E、F运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；（2）若点E、F运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？（3）若点E、F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由．。
三角形全等判定(一)边角边
A
在△ABD 与△ACD中,
AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD, ∴△ABD ≌△ACD
B D C
(S.A.S.)
试一试:
A
已知:如图，AB=AC,AD=AE.
求证: △ABE≌△ACD 证明：在△ABE和△ACD中 AB=AC（已知）
D
E
∠A=∠A（公共角）
AD=AE(已知)
B
C
∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)
用符号语言表达为： 在△ABC与△A`B`C`中
A
A′
AB=A`B` ∠B=∠B` BC=B`C`
B C B′
C′
∴△ABC≌△A`B`C`（S.A.S.）
例题:
如图,在△ ABC中,AB=AC,AD平分∠ BAC,
求证: △ABD ≌ △ACD 证明: ∵AD平分∠ BAC
∴ ∠ BAD= ∠ CAD
“边边角”是否能够判断两个三角形全等呢？ 下面我们来探讨一下!
边边角
以9cm，12cm为三角形的两边，长度为 9cm的边所对的角为45° ，情况又怎样？ 动手画一画，你发现了什么？
C F
A
45°
B
D
45°
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
1、根据题目条件,判断下面的三角形是否全等. (1) (2)
画法： 1.画∠MAN= 45° 2.在射线AM上截取AB= 12cm 3.在射线AN上截取AC=9cm 4.连接BC ∴△ABC就是所求的三角形
把你所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形进行比较，我们能发 现什么?
结论:三角形全等判定方法
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两 个三角形全等.简记S.A.S.(或边角边)