安徽省九年级下学期数学第一次月考试卷(可编辑修改word版)
2014--2015学年度安徽省怀宁县金拱初中九年级(沪科版)数学第一次月考试题及答案
2014--2015学年度安徽省怀宁县金拱初中九年级（沪科版）数学第一次月考试题一．选择题（每题4分，满分40分）1.抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为( ) A （-2，7） B （-2，-25） C （2，7） D （2，-9） 2．抛物线y=a(x+1)(x-3)(a ≠0）的对称轴是（ ） A ．x=1 B ．x=-1 C ．x= - 3 D ．x=33..二次函数c bx x y ++-=2的图像的最高点是(-1,-3)，则b ，c 的值是（ ） A.b ＝2，c ＝4 B.b ＝2，c ＝－4 C.b=-2 ，c=4 D.b= -2,c= -4.4.若M(-1,y 1),N(1,y 2),P(2,y 3)三点都在函数y=kx(k<0)的图像上，则y 1,y 2,y 3的大小关系为（ ）A y 1>y 2>y 3 B. y 1>y 3 >y 2 C. y 3 >y 1>y 2 D. y 3> y 2> y 15.把抛物线y=12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式为（ ）A.y=12 (x+3)2+2B.y=12 (x-3)2+2C.y=12 (x-2)2+3D.y=12 (x+3)2-26. 在同一坐标系中，一次函数y=kx-1与函数y=kx的图象形状大致是( )7.对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(-2，-1)在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 8.给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③xy 1=；④2x y =．0<x 时，y 随x 的增大而减小的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是( )①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大A ．1B ．2C ．3D ．410.如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③ a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（ ）x … 2- 1- 01 2 … y … 0 4 6 6 4 …x y O x yO O xyO xyABCDA. ①②③B. ①③④C.①②④D.②③④二．填空题（每题5分，满分20分） 11.写一个开口向上，对称轴为x=1，且与y 轴的交点坐标为(0，2)的抛物线的解析式 ． 12.已知函数12++=x kx y 的图象与x 轴只有一个交点，则k=___________.13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y 1=的图象与一次函数y 2=kx+b 的图象交于A 、B 两点．若y 1＜y 2，则x 的取值范围是________________.14.如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数xky =的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF 的边长为 . 三．（每小题8分，满分16分）15.已知y=y 1+y 2,y 1与x 成反比例，y 2与x 成正比例，并且当x=2时y=7，当x=3时，y=8，求y 与x 的函数解析式.16.抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A(- 1，0),B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，- 3).(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）求△BCM 的面积与△ABC 的面积的比. 四．（每小题8分，满分16分） 17.如图，二次函数32++-=mx x y 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B,且△AOB 的面积为6.（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标.第14题 第13题第10题18.如图，在平面直角坐标系中，过点M(0，2)的直线与x 轴平行，且直线分别与反比例函数6y x x =（>0）和0y x x =<（）k的图象交于点P 、点Q . ⑴ 求点P 的坐标；⑵ 若△POQ 的面积为8 ，求k 的值 .五．（每小题10分，满分20分）19.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案 方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.20.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x 2+400x 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 可近似地用反比例函数y=（k ＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x=5时，y=45，求k 的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．Q yo x P M六.（本题满分12分）21.某体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表： 卖出价格x （元/件） 50 51 52 53 …… 销售量p （件） 500 490 480 470 ……（1）以x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的数据，在如图所示的直角坐标系中描出相应的点，观察连结各点所得的图形，判断p 与x 的函数关系式；（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x （元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入－买入支出）； （3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？七.（本题满分12分）22.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A 、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A 、B 两组材料的温度分别为y A ℃、y B ℃，y A 、y B 与x 的函数关系式分别为y A =kx+b ，y B =（x ﹣60）2+m （部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A 、y B 关于x 的函数关系式；（2）当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ （3）在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？八.（本题满分14分）23、已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出抛物线的函数关系式；并求出对称轴方程。
安徽省蚌埠市怀远实验教育集团2022-2023学年九年级下学期数学第一次月考试题(含答案解析)
安徽省蚌埠市怀远实验教育集团2022-2023学年九年级下学期数学第一次月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知a b =25，则a b b +的值为()．A ．25B ．35C ．75D ．233．函数y ＝1k x+的图象中，在每个象限内y 随x 增大而增大，则k 可能为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．14．已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（）A ．60°B ．30°C ．90°D ．120°5．如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．a<0B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-6．如图，AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交O 于点E ．若AC =，4DE =，则BC 的长是（）A ．1B C ．2D ．47．如图，四边形ABCD 内接于O ，连接BD ．若 AC BC=，50BDC ∠=︒，则ADC ∠的度数是（）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°8．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，点D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A ．B ．3CD ．29．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，BF 、DE 相交于点G ，过点E 作EH CD ∥，交BF 于点H ，则线段GH 的长度是（）A ．56B ．1C ．54D ．5310．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D二、填空题11．已知二次函数()211my m x -=+的图象开口向下，则m 的值是______．12．如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．13．如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，△AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为_____．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1，1)在抛物线y =x 2+2bx +c 上（1）c =______(用含b 的式子表示)；（2）若将该抛物线向右平移t 个单位(t ≥32)，平移后的抛物线仍经过A (-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为_______．三、解答题15()113tan 3020222π-︒⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．16．一个二次函数，当=1x -时，函数的最小值为2，它的图象经过点()16，，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的一元二次方程20x x m +-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）二次函数2y x x m =+-的部分图象如图所示，求一元二次方程20x x m +-=的解．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是(2,1)A -，(1,2)B -，(3,3)C -．（1）将ABC 绕点O 顺时针旋转90︒得到111A B C △，请画出111A B C △，并求出点C 经过的路径长；（2）以A 为位似中心，将ABC 放大2倍得到222A B C △，请直接写出2B 的坐标．19．如图，三角形花园ABC 紧邻湖泊，四边形ABDE 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C 在点A 的正东方向，200AC =米．点E 在点A 的正北方向．点B ，D 在点C 的正北方向，100BD =米．点B 在点A 的北偏东30︒，点D 在点E 的北偏东45︒．(1)求步道DE 的长度（精确到个位）；(2)点D 处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B 到达点D ，也可以经过点E 到达点D ．请计算说明他走哪一条路较近？ 1.4≈ 1.7≈）20．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AB 是直径，点C 是 BD的中点，延长AD 交BC 的延长线于点E ．(1)求证：CE CD =；(2)若3AB =，BC =，求AD 的长．21．如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与x 轴、y 轴分别相交于C 、B 两点，与反比例函数()0,0my m x x=≠>的图象相交于点A ，1OB =，tan 2OBC ∠=，:1:2BC CA =．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 是线段AB 上任意一点，过点D 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点E ，连接BE ．当BDE 面积最大时，求点D 的坐标．22．如图， ABC 是⊙O 的内接三角形，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，AE 是⊙O 的直径，连接EC（1）求证：ACF B ∠=∠；（2）若AB BC =，AD BC ⊥于点D ，4FC =，2FA =，求AD AE 的值23．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m 2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y （元/m 2）与种植面积x （m 2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m 2．(1)当x ≤100时，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m 2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w （元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合,即可解题．【详解】解：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．2．C【分析】根据比例的性质计算即可；【详解】∵a b =25，∴52755++==a b b ；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．3．A【分析】根据反比例函数的性质列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数y ＝1k x+的图象中，在每个象限内y 随x 增大而增大，∴k +1＜0，解得k ＜﹣1．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．4．A【分析】根据弧长公式即可求出扇形的圆心角度数．【详解】解：∵180n r l π=∴1801802606l n r πππ⋅===°故选：A【点睛】本题考查了弧长公式，利用弧长公式求该弧所对的圆心角，必须熟记公式，并能熟练运用．5．D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确∵(), 10B -∴A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当<2x -时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．6．C【分析】由垂径定理可知，点D 是AC 的中点，则OD 是ABC 的中位线，所以12OD BC =，设OD x =，则2BC x =，则4OE x =-，82AB x =-，在Rt ABC △中，由勾股定理可得222AB AC BC =+，代入求出x 的值即可得出结论．【详解】解：AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵OD AC ⊥，∴点D 是AC 的中点，∴OD 是ABC 的中位线，∴∥OD BC ，且12OD BC =，设OD x =，则2BC x =，∵4DE =，∴4OE DE OD x =-=-，∴282AB OE x ==-，在Rt ABC △中，由勾股定理可得，222AB AC BC =+，∴()(()222822x x -=+，解得1x =．∴22BC x ==．故选：C ．【点睛】本题主要考查中位线的性质与判定，垂径定理，勾股定理等知识，设出参数，根据勾股定理得出方程是解题关键．7．B【分析】连接OA ，OB ，OC ，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据 AC BC=得到∠AOC ，从而得到∠ABC ，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.【详解】解：连接OA ，OB ，OC ，∵50BDC ∠=︒，∴∠BOC=2∠BDC=100°，∵ AC BC=，∴∠BOC=∠AOC=100°，∴∠ABC=12∠AOC=50°，∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角.8．C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得ADCD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，∴1tan 2BC A AC ∠==∴2AC BC ==由勾股定理得,5AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∵1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∴11,,23DE DE AE BE ==∴11,,23DE AE DE BE ==∴1123AE BE =∴32BE AE =∵5,AE BE +=∴352AE AE +=∴2,AE =∴1DE =,在R t A D E ∆中,222AD AE DE =+∴AD ==∵AD CD AC +==∴CD AC AD =-=故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．9．A【分析】根据矩形的性质得出6490DC AB BC AD C ====∠=︒，，，求出132DF CF DC ===，122CE BE BC ===，求出FH BH =，根据勾股定理求出BF ，求出152FH BH ==，根据三角形的中位线求出EH ，根据相似三角形的判定得出EHG DFG ，根据相似三角形的性质得出EH GH DF FG =，再求出答案即可．【详解】解析： 四边形ABCD 是矩形，6AB =，4=AD ，6DC AB ∴==，4BC AD ==，90C ∠=︒，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，132DF CF DC ∴===，122CE BE BC ===，EH CD ∥ ，FH BH ∴=，BE CE = ，1322EH CF ∴==．由勾股定理得：5BF ==，1522BH FH BF ∴===，EH CD ∥ ，EHG DFG ∴ △△，EH GH DF FG∴=，32532GH GH ∴=-，解得：56GH =，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．10．A【分析】根据对称性得到动点M 的轨迹是在以A 圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．【详解】解：连接AM ，如图所示：∵点B 和M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴M 在以A 圆心，3为半径的圆上，∴当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，∵在矩形ABCD 中，AC 5=，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．11．【分析】根据二次函数的定义可得212m -=及开口向下时10+<m 即可解答．【详解】解：根据题意得：21012m m +<⎧⎨-=⎩解得：m =故答案为【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．12【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊥AB∵60A ∠=︒∴∠BOC =2∠A =120°∵OB =OC∴∠OBC =30°又75B ∠=︒∴∠ABO =45°在Rt △OBD 中，OB =1∴BD ==2∵OD ⊥AB∴BD =AD =2∴AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键13．6【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解．【详解】解： D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==，解得：m ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数中k 的几何意义，关键是利用AOB ∆的面积转化为三角形AOC 的面积．14．2b 716##0.4375【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可；（2）根据（1）所求，将点A 和t 代入表达式得到b 、t 的关系，根据t 的取值范围，求出b 的范围，进而即可求解．【详解】解：（1）将点A (-1，1)代入y =x 2+2bx +c 得()()21121b c=-+⋅-+化简得，2c b =，故答案是：2b ；（2）由（1）222y x bx b=++平移后得，()()222y x t b x t b=-+-+将点A (-1，1)代入()()222y x t b x t b=-+-+得，()()211212t b t b=--+--+化简得，()022t t b =+-记得12220t b t =-=，（舍去）将22t b =-代入()()222y x t b x t b=-+-+得()()2222222y x b b x b b=+-++-+化简得，()24242y x b x b =+-+-∵22t b =-，t ≥32∴74b ≥∴平移后抛物线的项点纵坐标为：()()()224142421141b b b ⨯⨯---=--+⨯当74b =时，平移后抛物线的项点纵坐标有最大值为：716，故答案是：716．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的相关知识结合不等式并灵活应用是解题的关键．151-【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【详解】解：原式3123=⨯-121=-=．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．()212y x =++【分析】设抛物线顶点式，然后将()16，代入解析式求解．【详解】解：根据题意设()212y a x =++，把()16，代入()212y a x =++得642a =+，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为()212y x =++．【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．17．（1）14m >-；（2）11x =，22x =-【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m 的取值范围即可；（2）根据二次函数图象与x 轴的交点的横坐标就是当y =0时对应一元二次函数的解，故将x =1代入方程中求出m 值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．【详解】解：（1）由题知140m ∆=+>，∴14m >-．（2）由图知20x x m +-=的一个根为1，∴2110m +-=，∴2m =，即一元二次方程为220x x +-=，解得11x =，22x =-，∴一元二次方程20x x m +-=的解为11x =，22x =-．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．18．（1）作图见解析；2；（2）（4，1）．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1的位置，即可得到111A B C △，然后求出OC ，再利用弧长公式即可求出点C 经过的路径长；（2）直接利用位似图形的性质作出222A B C △，即可得出2B 的坐标．【详解】解：（1）111A B C △如图所示：由勾股定理得：OC ==则点C 经过的路径长为：901802π⋅⋅=；（2）222A B C △如图所示，则2B 的坐标为：（4，1）．【点睛】此题主要考查了旋转变换、位似变换、勾股定理以及弧长公式的应用，正确得出对应点位置是解题关键．19．(1)283DE =米；(2)经过点B 到达点D 较近．【分析】（1）过D 作DF AE ⊥于F ，由已知可得四边形ACDF 是矩形，则200DF AC ==米，根据点D 在点E 的北偏东45︒，即得DE 的长；（2）由30ABC ∠=︒，即得2400AB AC ==米，BC 的长，再分别求得AB BD +、AE DE +的长，即可得答案．【详解】（1）解：过D 作DF AE ⊥于F ，如图：由已知可得四边形ACDF 是矩形，∴200DF AC ==米，∵点D 在点E 的北偏东45︒，即45DEF ︒∠=，∴DEF 是等腰直角三角形，∴283DE ==≈（米）；（2）解：由（1）知DEF 是等腰直角三角形，283DE =米，∴200EF DF ==米，∵点B 在点A 的北偏东30︒，即30EAB ∠=︒，∴30ABC ∠=︒，∵200AC =米，∴2400AB AC ==米，BC ==，∵100BD =米，∴经过点B 到达点D 路程为400100500AB BD +=+=（米），100)CD BC BD =+=（米），∴100)AF CD ==+（米），∴100)200100)AE AF EF =-=+-=-（米），∴经过点E 到达点D 路程为100529AE DE +=+≈（米），∵529500>，∴经过点B 到达点D 较近．【点睛】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是掌握含30︒、45︒角的直角三角形三边的关系．20．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接AC ，根据圆周角推论得90ACB ACE ∠=∠=︒，根据点C 是 BD的中点得CAE CAB ∠=∠，CD CB =，用ASA 证明ACE ACB ≌，即可得；（2）根据题意和全等三角形的性质得3AE AB ==，根据四边形ABCD 内接于圆O 和角之间的关系得CDE ABE ∠=∠，即可得ΔΔEDC EBA ∽，根据相似三角形的性质得DE CD BE AB=，即可得【详解】（1）证明：如图所示，连接AC，AB 为直径，90ACB ACE ∴∠=∠=︒，又 点C 是 BD的中点CAE CAB ∴∠=∠，CD CB =，在ACE △和ACB △中，ACE ACB AB AC CAE CAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ΔΔACE ACB ASA ∴≅，CE CB ∴=，CE CD ∴=；（2）解：ΔΔACE ACB ≅ ，3AB =，3AE AB ∴==，又 四边形ABCD 内接于圆O ，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，又180ADC CDE ∠+∠=︒ ，CDE ABE ∴∠=∠，又E E ∠=∠ ，ΔΔEDC EBA ∴∽，∴DE CD BE AB=，=解得：2DE =，1AD AE DE ∴=-=．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．21．(1)()120y x x=>(2)11,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC 长，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，则ACF BCO V V ∽，由相似比可得出CF 和AF 的长，进而可得出点A 的坐标，代入反比例函数可得出m 的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB 的解析式．设点D 的横坐标为t ，由此可表达点D ，E 的坐标，根据三角形的面积公式可表达BDE ∆的面积，根据二次函数的性质可得结论．【详解】（1）解：如图，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，AF y ∴∥轴，ACF BCO ∴V V ∽，:::1:2BC AC OB AF OC CF ∴===．1OB = ，tan 2OBC ∠=，2OC ∴=，2AF ∴=，4CF =，6OF OC CF ∴=+=，(6,2)A ∴．点A 在反比例函数(0,0)m y m x x=≠>的图象上，2612m ∴=⨯=．∴反比例函数的表达式为：12(0)y x x =>．（2）由题意可知，(0,1)B -，∴直线AB 的解析式为：112y x =-．设点D 的横坐标为t ，则1(,1)2D t t -，12(,)E t t ．12112ED t t ∴=-+．BDE ∴ 的面积为：1121(0)(1)22t t t --+211642t t =-++2125(1)44t =--+．104-< ，1t ∴=时，BDE 的面积的最大值为254，此时1(1,)2D -．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出BDE 的面积与t 函数关系式是解题的关键．22．（1）证明见详解；（2）18．【分析】（1）连接OC ，根据FC 是⊙O 的切线，AE 是⊙O 的直径，可得ACF ECO Ð=Ð，利用OE OC =，得到OEC ECO Ð=Ð，根据圆周角定理可得OEC B Ð=Ð，则可证得ACF B ∠=∠；（2）由（1）可知ACF B ∠=∠，易得AFC CFB V :V ，则有28FC FB FA ==,则可得6AB BC ==，并可求得3FA BC CA FC ==g ，连接BE ，易证ACD AEB V :V ，则有AD AC AB AE =，可得18AD AE AB AC ==g g ．【详解】解：（1）连接OC∵FC 是⊙O 的切线，AE 是⊙O 的直径，∴90OCF ACE Ð=Ð=o ，∴90ACF ACO ECO ACO Ð+Ð=Ð+Ð=o∴ACF ECOÐ=Ð又∵OE OC=∴OEC ECOÐ=Ð根据圆周角定理可得：OEC BÐ=Ð∴B ECO Ð=Ð，∴ACF B ∠=∠；（2）由（1）可知ACF B ∠=∠，∵AFC CFB∠=∠∴AFC CFBV :V ∴FC FA FB FC=∴2FC FB FA =,∵4FC =，2FA =，∴22482FC FB FA ===∴826AB FB AF =-=-=∴6AB BC ==又∵AFC CFB V :V 中，CA FA BC FC =∴2634FA BC CA FC ´===g ，如图示，连接BE∵ACD AEB ∠=∠，90ADC ABE Ð=Ð=o∴ACD AEBV :V ∴AD AC AB AE=∴6318AD AE AB AC ==´=g g ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．23．(1)()30(040)140401004y x y x x =<≤⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩＜；(2)①甲种花卉种植90m 2，乙种花卉种植270m 2时，种植的总费用w 最少，最少为5625元；②3040x ≤≤或60360x ≤≤．【分析】（1）根据函数图像分两种情况，40x ≤时y 为常数，0x 40≤≤10时y 为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；（2）①设甲种花卉种植面积为m ，则乙种花卉种植面积为360m -，根据乙的面积不低于甲的3倍可求出90m 30≤≤，利用总费用等于两种花卉费用之和，将m 分不同范围进行讨论列出总费用代数式，根据m 的范围解出最小值进行比较即可；②将x 按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可．【详解】（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积40x ≤m 2时，费用y 保持不变，为30（元/m 2），所以此区间的函数关系式为：30(040)y x ≤=<，当甲种花卉种植面积0x 40≤≤10m 2时，函数图像为直线，设函数关系式为：(0)y kx b x =+40≤≤10，∵当x =40时，y =30，当x =100时，y =15，代入函数关系式得：304015100k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：1,404k b =-=，∴140(0)4y x x =-+40≤≤10∴当100x ≤时，y 与x 的函数关系式应为：()30(040)140401004y x y x x =<≤⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩＜；（2）①设甲种花卉种植面积为30m m ≥（），则乙种花卉种植面积为360m -，∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，∴3603m m -≥，解得：90m ≤，∴m 的范围为：90m 30≤≤当3040m ≤≤时，3015(360)155400w m m m =+-=+，此时当m 最小时，w 最小，即当m =30时，w 有最小值153054005850⨯+=（元），当400m <≤9时，211(40)15(360)(50)602544w m m m m =-++-=--+，此时当m =90时，离对称轴m =50最远，w 最小，即当m =90时，w 有最小值21(9050)602556254--+=（元）∵5625<5850，∴当m =90时种植的总费用w 最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为360m -=270，故甲种花卉种植90m 2，乙种花卉种植270m 2时，种植的总费用w 最少，最少为5625元．②由以上解析可知：（1）当40x ≤时，总费用=155400154054006000x +⨯+=≤（元），（2）当40100x <≤时，总费用=21(50)60254x --+，令21(50)602560004x --+≤，解得：40x ≤或60x ≥，又∵40100x <≤，∴60100x ≤≤（3）当100360x <≤时，总费用=360155400⨯=（元），综上，在3040x ≤≤、60100x ≤≤和100360x <≤时种植总费用不会超过6000元，所以甲种花卉种植面积x 的取值范围为：3040x ≤≤或60360x ≤≤．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．。
安徽省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数R a ∈()22f x x x a =--x 2210ax x ++=为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个D. 与的取值有关a 【答案】A 【解析】【分析】由函数有四个零点，求出a 的范围，再利用判别式求方程的()22f x x x a =--2210ax x ++=实数根的个数.【详解】∵，()22f x x x a =--①当，即时，，∴，解得：. 20x a -≥2a x ≥()220f x x x a =-+=440a ∆=->1a <②当，即时，，∴，解得：，2x 00-<2a x <()220f x x x a =+-=440a ∆=+>1a >-∴，11a -<<当时，，只有三个零点，不合题意，0a =()()()2222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩∴且，11a -<<0a ≠∴关于x 的方程中，2210ax x ++=由时，方程为一元二次方程，， 0a ≠440a ∆=->方程有两个不相等的实数根. 故选：A.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）2i z =-iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的几何意义，求复数在复平面内对应的点所在象限 【详解】∵的实部是2，虚部是-1，2i z =-∴复数在复平面内对应的点为，在第四象限.2i z=-(2,1)-故选：D.3. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）M ABC A BC E AC 2EC AE =EM =A.B.1123AC AB +1162AC AB +C . D.1126AC AB + 1263AC AB + 【答案】B 【解析】和减法运算可得，结合条件,可得答EM EC CM =+ CB AB AC =-案.【详解】由，则2EC AE =23EC AC = 则 ()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B4. 已知单位向量，满足，且，则（ ）a b14a b ⋅= 2c a b =+ sin ,a c =A.B.C.D.38【答案】C【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求c a c ⋅夹角余弦值，再求解正弦值【详解】单位向量，满足，且，a b14a b ⋅= 2c a b =+ 所以c === ，()21922244a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+=所以. cos ,a c a c a c ⋅===⋅所以sin ,a c ==故选:C.5. 已知，记函数，且的最小正)()cos cos cos (0)a x x b x x ωωωωω==>，，，()f x a b =⋅()f x 周期是，则（ ） πω=A.B.C.D.1ω=2ω=12ω=23ω=【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. ()f x πω【详解】因为 ,cos ),(cos ,cos )(0)a x x b x x ωωωωω==>所以， ()()21π1cos +cos +1cos 2=sin 2++262f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故， 0ω> 2ππ2T ω==.1ω∴=故选：A.6. 已知，，则（ ） ()1sin 3αβ+=()1sin 4αβ-=tan tan αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. 2 D.2-12-12【分析】先利用三角公式求出，即可求得. tan α7tan β=【详解】∵()()11sin αβsin αβ34+=-=，11sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β34∴+=-=，∴， 71sin αcos βcos αsin β2424==，二者相除得：tan α7tan β=，则.tan α2tan β⎛⎫==⎪⎝⎭故选：C.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，ABC A A B C a b c ABC A S 2223163()c S b a =+-，则 tan B =A.B.C.D.23324334【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由， 2223163()c S b a =+-则， 22233316c a b S +-=即， 132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯所以，且， 3cos 4sin B B =cos 0B ≠所以. 3tan 4B =故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.8. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ） ABC A 578BC CA AB ===，，ABC A A.B.C.D.90︒120︒135︒150︒【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.180θ︒-【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是， 180θ︒-由余弦定理可得，，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯由为三角形内角，∴，θ60θ=︒则最大角与最小角的和是. 180120θ︒-=︒故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知向量，满足，，且，则（ ）a b 1a b ⋅= 1= b a b += A.B.2=a ()a ab ⊥- C. 与的夹角为D. 与的夹角为a bπ3a bπ6【答案】AC 【解析】.【详解】因为，，a b += 1a b ⋅= 所以，即，解得，故A 正确；2227a a b b +⋅+=r rr r 22117a +⨯+=2=a 因为，，所以，故B 错误；1a b ⋅= 2= a ()2410a a b a a b ⋅-=-⋅=-≠ 因为，，，所以，又因为，所以与的夹角1a b ⋅= 2= a 1= b 1cos ,2a b a b a b ⋅==0,πa b ≤>≤ a b 为，故C 正确，D 错误． π3故选：AC.10. 关于复数（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ） 22cos sin 33z i ππ=+A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限 1z =z C.D.31z =210z z ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解【详解】 221cosisin 332z ππ=+=-+所以 1z ==故A 正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限 12z =-z 1,2⎛- ⎝故B 错误12z =-⇒2222111122222z ⎛⎫⎫⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⨯-+=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭222321111122222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21313i 14444=-=+=故C 正确21111022z z ++=---++=故D 正确 故选：ACD11. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0ϕπ<<（ ）A. 把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到该函数的图象22sin3y x =3πB. 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到该函数的2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32图象C. 当时，函数的图象与直线的所有交点的横坐标之和为 03x π<<()f x 1y =72πD. 该函数图象的对称中心为， ,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】BC 【解析】【分析】首先根据函数的图象求函数的解析式，再根据函数的图象变换以及函数性质判断选项. 【详解】由图象可知， ，得， 2A =244πππω⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭23ω=当时，，，解得， 4x π=22342k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以，()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .函数图象上的所有点，向左平移个单位，得22sin3y x =3π，故A 不正确； ()2222sin 2sin 3339y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭32，故B 正确；()22sin 33y x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C. ，得，得，或()22sin 133f x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭21sin 332x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭22336x k πππ+=+252336x k πππ+=+，，且， Z k ∈03x π<<解得：或，所以，故C 正确；1114x π=234x π=121137442x x πππ+=+=D.令，得， 233x k ππ+=322x k ππ=-+所以函数的对称中心是，，故D 不正确. ()f x 3,022k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故选：BC12. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） (0,)+∞A. B. C.D.||e x y =tan y x =cos y x =222xy +=【答案】AD 【解析】【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.【详解】A ：且上单调递增，满足题设； ||||e e x x -=(0,)+∞B ：为奇函数，不满足题意．tan y x =C ：在上有增有减，不满足题意； cos y x =(0,)+∞D ：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调22()2222x x-++=22t x =+(0,)+∞2t y =222xy +=(0,)+∞递增，满足题设. 故选：AD ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数（为虚数单位），则______. 32iz i+=i z =【解析】【分析】化简得到，得到模长. 12i z =-+【详解】，. 32212i iz i ii ++===-+-z =【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 14. 设函数（是常数，，）.若在区间上具有单调()()sin f x x ωϕ=+ωφ，0ω>π2ϕ<()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦性，且，则下列有关的命题正确的有___________.（把所有正确的命题序号()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()f x 都写上）①的最小正周期为2； ()f x ②在上具有单调性；()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，函数取得最值； 13x =()f x ④为奇函数； 56y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤是的图象一个对称中心. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+【答案】①③④⑤ 【解析】【分析】由在区间上具有单调性确定最小正周期的范围，再由确定对()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭称中心与对称轴，进一步求出，对各命题依次辨析即可. ()f x 【详解】设的最小正周期为， ()f x T ∵在区间上具有单调性，∴，， ()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦121233T ≥-=43T ≥又∵， ()()2013f f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭∴图象上的点和关于直线对称，()f x ()()0,0f 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13x =点和关于点对称，22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1,1f 5,06⎛⎫⎪⎝⎭即图象一个周期内相邻的一条对称轴和一个对称中心分别为直线和点， ()f x 13x =5,06⎛⎫⎪⎝⎭∴，∴，∴，∴. 5114632T =-=2π2T ω==πω=()()sin πf x x ϕ=+又∵为图象的一条对称轴，13x =()()sin πf x x ϕ=+∴，，即，，∵，∴，1πππ32k ϕ⨯+=+Z k ∈ππ6k ϕ=+Z k ∈π2ϕ<π6ϕ=∴. ()πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于①，的最小正周期，故①正确；()f x 2T =对于②，由，，解得，， ππππ62x k +=+Z k ∈1+3x k =Z k ∈∴图象的对称轴为直线，，()f x 1+3x k =Z k ∈当时，为图象的一条对称轴，在区间上不单调，故②错误； 1k =43x =()f x ()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于③，为图象的一条对称轴，当时，函数取得最值，故③正确； 13x =()f x 13x =()f x 对于④，设，， ()()5πsin πsi 6n πs 5π6in π6x g f x x x x ⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎛⎫=+=+⎣⎦⎪⎭ ⎝⎝⎭R x ∈，，且，R x ∀∈R x -∈()()()sin πsin πx x g x g x -=-=--=∴为奇函数，故④正确；()56y g x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于⑤，∵，，∴点即， πω=π6ϕ=(,)ϕϕω--1π(,66--设 ()()π=sin ππ6h x f x x x x ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，即关于点对称，11π6626h x h x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()h x 1π(,66--∴是的图象一个对称中心，故⑤正确. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+故答案为：①③④⑤.15. 已知向量，若，则___________.()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ m =【答案】3【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，若，则，解得()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ 30m -=3m =故答案为：3.16. 已知向量，则函数的单调递增区间())sin2,2cos ,a x x b x ==()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦ 为__________.【答案】 ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间，结合求解即可 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，，故 的单()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 调递增区间：，即，故在()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 的单调递增区间为 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为： ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 复数，求实数m 的取值范围使得：2(1i)(8i)156i(R)z m m m =+-++-∈（1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限．【答案】（1）5m =（2）23m -<<【解析】【分析】（1）根据z 为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z 在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，()()222(1i)(8i)156i=8156i z m m m m m m =+-++---++-若z 为纯虚数，则，解得：.22815=060m m m m ⎧-+⎨--≠⎩5m =【小问2详解】由题意知，，解得：. 22815>060m m m m ⎧-+⎨--<⎩23m -<<18. 已知P 为的边BC 上一点，，，若，用、表示.ABC A AB a = AC b = 2ABP ACP S S =△△a b AP 【答案】. 1233AP a b =+ 【解析】【分析】由题可得，然后根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 23BP BC = 【详解】因为，所以，即， 2ABP ACP S S =△△23ABP ABC S S =△△23BP BC = 所以， ()23AP AC AB AB -=- 所以. 12123333AP AB a AC b =++= 19. 已知函数的图象过点P （，0），且图象上与P 点最近的()πsin (0,0,2y A x A ωϕωϕ=+>><π12一个最高点坐标为（，5）. π3（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位长度得到图象正好关于轴(0)m m >()g x y 对称，求的最小正值.m 【答案】（1）； π5sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）； ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）. π12【解析】【分析】（1）由题可得，，进而可得，然后根据五点法结合条件可得，即得； 5A =πT =2ω=π6ϕ=-（2）利用正弦函数的性质即得；（3）由图象变换知，根据函数的对称性可得，进而即()π5sin 26(22)g x x m +--=π2π,Z 6m k k -=∈得． 【小问1详解】由已知可得，， 5A =πππ43124T =-=∴，即,2ππT ω==2ω=∴，()5sin 2ϕ=+y x 由得，， π5sin 2012ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π2ϕ<所以，即， π06ϕ+=π6ϕ=-∴； π5sin(26y x =-【小问2详解】由，得， πππ2π22π(Z)262k x k k -≤-≤+∈ππππ(Z)63k x k k -≤≤+∈∴函数的增区间是； ,(Z)6πππk k k ⎡-∈⎢⎣【小问3详解】 由题可得，又图象正好关于轴对称， ()π5sin 26(22g x x m +--=()g x y 则， π2π,Z 6m k k -=∈解得， ππ,Z 212k m k =+∈当时，的最小正值为. 0k =m π1220. 在锐角中，角的对边分别是，且. ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin cos sin cos 0a A C c A A +-=（1）求角的大小；A （2）若，求面积的最大值.4a =ABC ∆【答案】（1）；（2） 60A =︒【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-222b c bc +≥16bc ≤到本题答案.【详解】（1）因为， sin cos sin cos 0a A C c A A +-=所以， 2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=即， ()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +-=所以， sin sin 0A B B =又，所以，由为锐角三角形，则； sin 0B ≠sin A =ABC ∆60A =︒（2）因为，2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==所以， 222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-所以，即（当且仅当时取等号），162bc bc bc ≥-=16bc ≤4b c ==所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21. 在△ABC 中，已知，，. 45A =︒4cos 5B =10BC =（1）求的值；sin C （2）求的面积.ABC A【答案】（1 （2）42【解析】【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；3sin 5B ==()sin sin 135C B =- （2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC 的面积。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。
安徽省高一下学期第一次月考数学试卷解析版
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列说法中正确的是( ) A. 若a ≠b ，则|a |≠|b |B. 模为0的向量的方向是不确定的C. 向量就是有向线段D. 任意两个单位向量的方向相同 【答案】B【解析】a 与b 方向不同但模相等时，a ≠b ，故A 错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，故B 正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，故C 错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D 错误．2. 已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=,且a 与b 的夹角为,则(a +b )·(2a -b )等于( ) 3π6A.B. -C. -D.12321232【答案】A【解析】∵|a |=1,|b |=,a 与b 的夹角为, 3π6∴a ·b =1cos ,×3×π6=32∴(a +b )·(2a -b )=2a 2+a ·b -b 2=2+-3=3212.3. 已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(5x －6y )e 1＋(4x －5y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值为( ) A. 3B. －3C. 0D. 2【答案】A【解析】由平面向量的基本定理，得则①－②得x －y ＝3.4. 设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.5. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋PA PB PC AB ，则下列结论正确的是( )A. 点P在△ABC内部B. 点P在△ABC外部C. 点P在直线AB上D. 点P在直线AC上【答案】D【解析】因为＋＝＋，PA PB PC AB所以－＝－，PB PC AB PA所以＝＋，－＝，即＝.CB AB AP CB AB AP CA AP故点P在边AC所在的直线上．6. 已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值为( )A. 0B. 1C. －1D. 2【答案】C【解析】∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三点共线，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2＋x＋＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.7. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )A. [－3，－1]B. [－3,1]C. [－1,1]D. [1,3]【答案】A【解析】以A为坐标原点，以AB所在直线，垂直于AB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，A (0,0)，D .∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，·＝·＝＋×(1－λ)＝λ2＋λ－3＝2－.∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－， 则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]，即·的取值范围是[－3，－1]．8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为(15－15) m ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )A. 20 mB. 30 mC. 20 mD. 30 m【答案】D【解析】由题意知：∠CAM ＝45°，∠AMC ＝105° 所以∠ACM ＝30°在Rt △ABM 中，AM ＝＝，ABsin∠AMB ABsin15°在△ACM 中，由正弦定理得＝, AM sin30°CMsin45°所以CM ＝＝， AM·sin45°sin30°AB·sin45°sin15°·sin30°在Rt △DCM 中，CD ＝CM ·sin 60°＝＝＝30.AB·sin45°·sin60°sin15°·sin30°二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省阜阳市临泉县2024-—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题
安徽省阜阳市临泉县2024-—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题一、单选题1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．213y x =- B ．23y x =-C ．23y x =-D ．y =2．若点A 不在双曲线8y x=-上，则点A 的坐标可能为（ ） A ．(2,4)-B ．(2,4)--C ．(4,2)-D ．(8,1)-3．当0x >时，下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．42y x =-+ B ．3y x= C ．22y x =-D ．224y x =+4．抛物线23(4)y x =--与抛物线212y x =的相同点是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同 C ．顶点都在x 轴上 D ．形状相同5．如图，反比例函数ky x=（k 是常数且0k ≠）的图象经过点(4,1)A --，则下列说法错误的是（ ）A ．4k =B ．该函数图象经过点(4,1)C ．当0x >时，y 随x 的增大而减小D ．当<4x -，1y <-6．下列关于抛物线223y x x =--+的判断中，正确的是（ ） A ．形状与抛物线22y x =-相同 B ．对称轴是直线1x =-C ．当2x >-时，y 随x 的增大而增大D ．该抛物线与x 轴没有交点7．在平面直角坐标系中，平移抛物线2(2)1y x =+-使其经过原点，下列操作不正确的是（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度8．如图，直线l 与x 轴平行且与反比例函数2(0)y x x =-<与6(0)y x x =>的图象分别交于点A和点B ，点P 是x 轴上一个动点，则APB △的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．39．一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离y （单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为2802y t t =-，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A ．20秒B ．25秒C ．30秒D ．40秒10．二次函数21y ax bx c =++（,,a b c 是常数）的图象如图，则双曲线2a b cy x-+=和直线3y cx abc =-的位置可能为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．双曲线4y x=经过点(,)A m n ，则代数式102mn -的值为． 12．抛物线2(2)3y x =-++关于y 轴对称的抛物线的表达式为．13．某地每年六月有举办龙舟比赛的习俗，比赛路线需要经过一个抛物线型的拱桥，该抛物线的函数表达式为211248y x =-+，如图，AB 是水平面，某商家在点E ，F 处悬挂了广告条幅，已知EF AB ∥，点E 到AB 的距离为9米，则点E 到点F 的距离为米．14．如图，AOB V 和ACD V 都是等腰直角三角形，90ABO ADC ∠=∠=︒，点B 是y 正半轴上一点，点C 是反比例函数16y x=的图象上一点，点D 是AB 上一点，OA 与该反比例函数的图象交于点E ．（1）点E 的坐标为；（2）AOB V 与ACD V 的面积之差AOB ACD S S -=V V ．三、解答题15．已知反比例函数26a y x+=（a 为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a 的取值范围；(2)当0x >时，y 随x 的值增大而减小，求a 的取值范围． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线265y x x =-+-． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该抛物线与x 轴的交点坐标．17．下表是二次函数2y x mx n =++的部分取值：(1)求a 的值； (2)求b c +的值．18．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y （单位：天）与每天修建该公路长度x （单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点()30,40，如图．(1)求y 与x 之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程?19．已知二次函数223y x x =--+，完成下列任务． (1)完成下表，并画出该函数的图象；(2)根据图象，完成下列填空：①当1x >-时，y 随x 的增大而__________； ②当34y ≤≤时，x 的取值范围是__________．20．如图，一次函数11y k x b =+（1k 是常数且10k ≠）与反比例函数22k y x=的图象交于(2,2)A -，(4,1)B -两点．(1)求1k ，2k 和b 的值；(2)直接写出关于x 的不等式21k k x b x+>的解集：_______； (3)点P 是y 轴上的一个动点，若ABP V 的面积为9，则点P 的坐标为_________．21．某校用60米长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状的劳动实践基地ABCD ，中间有隔离网EF ，已知EF AD ⊥，可利用的院墙长为35米．（隔离网的宽度不考虑）(1)若该劳动实践基地的面积为288平方米，求AB 的长；(2)求基地宽度AB为多少时，该劳动实践基地的面积最大，并求出其最大值．22．根据某个体经营商店销售某种农副产品所提供的素材，请你解决下列任务：3统计该商店每天的销售量()kgy与销售单价x（元/kg），所绘制出的函数图象是一条线段，如图．23．如图1，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于点(1,0)A-和点B（点A位于点B左侧），与y 轴交于点(0,3)C．(1)求点B 的坐标；(2)连接BC ，点P 位于线段BC 上方且是该抛物线上的一点．①如图2，连接AP 与BC 交于点T ，连接AC ，BP ，若4A C T B P TS S =+V V ，求点P 的横坐标； ②如图3，过点P 作PD y ∥轴交BC 于点D ，将直线PD 向右平移1个单位且交该抛物线于点Q ，交线段BC 于点E ，连接PC ，BQ ，求PCD BEQ S S +V V 的值．。
安徽省合肥市蜀山区西苑中学2021-2022学年九年级下学期调研数学试卷(Word版含答案)
2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区西苑中学九年级（下）调研数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形2．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（）A．1：2B．：2C．1：D．：14．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的底面半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm6．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定7．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为（）A．3B．4C．5D．68．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．410．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是．12．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为．14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．①若BE＝1，那么CN的长；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长．三、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）15．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，线段AB的端点A、B均为网格线的交点．（1）将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到线段A1B1，画出线段A1B1；（2）将线段绕点A1顺时针旋转90°得到线段A2B2，画出线段A1B2；（3）连接BB1，直接写出sin∠B1BA＝．四、（本大题共2小题，每小题12分，总计24分）17．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4）（1）求盲区中DE的长度；（2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．五、（本大题共2小题，每小题14分，总计28分）19．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE ＝FP．（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，sin F＝，求BG的长．20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．六、（本大题共1小题，总计18分）21．（18分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND．（1）若AB＝6，BC＝8，①当AE＝2时，求CP的长．②求PM：PD的值．（2）连接CN，当∠DAC＝30°时，求证：2PE•PF＝CN•CF．参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40分）1．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，∴k+1＜0，解得k＜﹣1．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（）A．1：2B．：2C．1：D．：1【分析】坡度是坡角的正切值．解：因为tan30°＝，即坡度为1：．故选：C．4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．【分析】由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，再利用余弦的定义可得cos∠ABC＝＝＝．解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的底面半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝4cm．故选：C．6．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，∴m＝0或m＝2，∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．故选：C．7．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据题意可得：设△ABC的边长为x，易得：△ABP∽△PCD；故可得：＝；即＝，解得△ABC的边长为3．解：设△ABC的边长为x，∵△ABC是等边三角形，∴∠DCP＝∠PBA＝60°．∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠CPD．∴△ABP∽△CPD．∴＝，∴＝．∴x＝3．即△ABC的边长为3．故选：A．8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积，再减去2个以边长为1的正方形的面积，加上以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．解：由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，解法二：连接BD，由题意，S因＝S扇形CBD﹣S△BCD＝×π×22﹣×2×2＝π﹣2，故选：B．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．4【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．解：如图，连接OA，OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，CD＝2，∴AC＝2CD＝4，∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，∴∠CBA＝45°，∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝4，∴⊙O的半径为4，故选：B．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4【分析】首先证明∠PAB+∠PBA＝90°，得∠APB＝90°，则点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC的长即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是：1．【分析】由两相似三角形面积之比为3：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．解：∵两相似三角形面积之比为3：1，∴它们的相似比为：1，∴它们的周长之比为：1．故答案为：：1．12．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为cm．【分析】利用弧长公式计算．解：由图可知，OA＝OB＝，而AB＝4，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠O＝90°，OB＝＝2；则弧AB的长为＝＝π，设底面半径为r，则2πr＝π，r＝（cm）．这个圆锥的底面半径为cm．故答案为：cm14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．①若BE＝1，那么CN的长；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长2或．【分析】①求出CE＝BC﹣BE＝3，证明△ABE∽△ECN，得出＝，即可得出结果；②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得出CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，证明△EC′F∽△NC′D，得出＝＝，则＝＝，由＝，得出＝，则＝＝，得出C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，则＝，＝，求出DN＝x（2﹣x），CN＝，由CN+DN ＝CD＝2，即可得出结果；解：①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EN⊥AE，∴∠AEN＝90°，∴∠BEA+∠NEC＝90°，∴∠BAE＝∠NEC，∴△ABE∽△ECN，∴＝，∴＝，解得：CN＝；故答案为：；②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：则四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，∴∠EC′F＝∠C′ND，∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，∴＝＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，∴＝，＝，∴DN＝x（2﹣x），CN＝，∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，解得：x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝．故答案为：2或．三、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）15．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，线段AB的端点A、B均为网格线的交点．（1）将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到线段A1B1，画出线段A1B1；（2）将线段绕点A1顺时针旋转90°得到线段A2B2，画出线段A1B2；（3）连接BB1，直接写出sin∠B1BA＝．【分析】（1）利用平移规律解决问题即可．（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．（3）连接AB1，证明∠B1BA＝∠A，可得sin∠B1BA＝sin A，可得结论．解：（1）如图，线段A1B1即为所求．（2）如图，线段A1B2即为所求．（3）连接AB1．∵B1B＝B1A＝5，∴∠B1BA＝∠A，∴sin∠B1BA＝sin A＝＝．故答案为：．四、（本大题共2小题，每小题12分，总计24分）17．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直于地面BE，A点到B点的距离米（参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4）（1）求盲区中DE的长度；（2）点M在ED上，MD＝1.8米，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据正切的定义求出DE；（2）过点M作NM⊥ED，交PE于N，根据正切的定义MN，比较大小得到答案．解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，AF∥BE，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠PBE＝45°，AB＝米，∴AC＝BC＝AB＝×＝1（米），∴DF＝AC＝1米，在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，∠PEB＝20°，∴DE＝≈＝2.5（米），答：盲区中DE的长度约为2.5m；（2）驾驶员能观察到物体，理由如下：过点M作NM⊥ED，交PE于N，∵ED＝2.5米，MD＝1.8米，.∴EM＝0.7米，在Rt△EMN中，MN＝EM•tan∠PEB≈0.7×0.4＝0.28（米），∵0.3＞0.28，∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．【分析】（1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE＝∠ACB，即可解决问题．（2）如图，作辅助线，证明EM＝EF；由sinα＝，sinα＝，得到，根据ME＝EF，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴B、C、E、D四点共圆，∴∠ADE＝∠ACB，而∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；∵BE平分∠ABC，∴EM＝EF；设∠ADE＝∠ACB＝α，则sinα＝，sinα＝，∴，而ME＝EF，∴DE＝CE．五、（本大题共2小题，每小题14分，总计28分）19．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE ＝FP．（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，sin F＝，求BG的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．解：（1）如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵CD⊥AB，∴∠AHP＝90°，∵FE＝FP，∴∠FPE＝∠FEP，∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，∴OE⊥EF，∴FE是⊙O的切线；（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，∴∠F＝∠EOG，∴sin F＝sin∠EOG＝＝，设EG＝3x，OG＝5x，∴OE＝＝＝4x，∵OE＝8，∴x＝2，∴OG＝10，∴BG＝10﹣8＝2．20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．【分析】（1）将（﹣1，0）（3，0）代入y＝x2+bx+c求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当x＝1时y取最小值，x＝﹣3时y取最大值，然后作差求解．（3）由一次函数解析式可得直线过定点（﹣1，0），可得y1＝0，因为抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则y2的最小值为﹣4，然后作差求解．解：（1）∵关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，∵﹣4≤x≤，∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值21，∴y的最大值与最小值的差为21﹣（﹣4）＝25．（3）当x＝﹣1时y＝（2﹣a）x+2﹣a＝0，∴直线y＝（2﹣a）x+2﹣a经过定点（﹣1，0），∵m＜0＜n，∴m＝﹣1，y1＝0，∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴y2≥﹣4，∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，∴w＝y1﹣y2的最大值为4．六、（本大题共1小题，总计18分）21．（18分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND．（1）若AB＝6，BC＝8，①当AE＝2时，求CP的长．②求PM：PD的值．（2）连接CN，当∠DAC＝30°时，求证：2PE•PF＝CN•CF．【分析】（1）①证明△AEP∽△CFP，即可解决问题；②证明△PFM∽△DEP，可得＝＝＝tan∠ACB，进而可以解决问题；（2）证明△ADP∽△CDN，根据含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】（1）解：①在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣2＝6，∵EF⊥BC，∴四边形EDCF是矩形，∴CF＝DE＝6，∵AD∥BC，∴△AEP∽△CFP，∴＝＝，∵AC＝＝＝10，∴CP＝AC＝；②∵PM⊥PD，∴∠FPM+∠DPE＝90°，∵∠EDP+∠DPE＝90°，∴∠FPM＝∠EDP，∵∠DEP＝∠PFM＝90°，∴△PFM∽△DEP，∴＝＝＝tan∠ACB，∵tan∠ACB＝＝＝，∴PM：PD＝3：4；（2）证明：由（1）②可知：＝＝，∵PM＝DN，∴＝，∵∠ADC＝∠PDN＝90°，∴∠ADC﹣∠PDC＝∠PDN﹣∠PDC，∴∠EDP＝∠CDN，∴△ADP∽△CDN，∴＝，∵＝tan∠ACD＝tan∠CPF＝，∴＝，∵∠DAC＝30°，∠PEA＝90°，∴AP＝2PE，∴＝，∴2PE•PF＝CN•CF．。
安徽省阜阳市九校联盟2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A
0 t＜0.5
40
0.1
B
0.5 t＜1
a
0.3
C 1 t＜1.5
140
b
D 1.5 t＜2
80
0.2
E
2 t＜2.5
20
0.05
(1)表中的 a ， b ； (2)补全频数分布直方图； (3)结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于 1 小时的学生约有 多少人？ 22．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕 业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件 100 元，每件政府补贴 20 元，每月销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的关系近似 满足一次函数： y 3x 900 ． (1)若第一个月将销售单价定为 160 元，政府这个月补贴多少元? (2)设获得的销售利润（不含政府补贴）为 w （元），当销售单价为多少元时，每月可获 得最大销售利润? (3)若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于 28800 元， 求该月销售单价的最小值． 23．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交 BE 的延长线于点 F．
试卷第 3 页，共 6 页
旗杆顶的俯角为 45 ，请你帮忙求出该编辑部办公楼的高度 AB ．
18．习近平总书记来到陕西省柞水县小岭镇金米村实地考察，得知木耳喜获丰收．小木 耳作出大产业，2019 年王极东木耳一项净收入 4 万元，2021 年净收入达到 5.76 万元， 则两年的平均增长率是多少？ 19．观察下列等式： 第 1 个等式： 2 22 23 2 ； 第 2 个等式： 2 22 23 24 2 ； 第 3 个等式： 2 22 23 24 25 2 第 4 个等式： 2 22 23 24 25 26 2 ， …… 请根据以上规律，解决下列问题 (1)试写出第 5 个等式； (2)请证明第 4 个等式． 20．如图，直线 l 与 e O 相离， OA l 于点 A，与 e O 相交于点 P， OA 5 ．C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长，交 e O 于点 B，且 AB AC ．
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13 10 2 安徽省 2018-2019 九年级数学上册期末模拟测试卷（时间：120 分钟，满分：150 分）一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 40 分）1． 如果 x : y = 2 : 3 ， 那么下列各式不成立的是… … … … … … … … … … … … … … …（）．（A ） x + y =5； （B ）x - y= - 1； （C ） x = 1； （D ）x +1 = 3 ． y 3y 3 2 y 3 y +1 42. 如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像全部在 x 轴的下方，那么下列判断中正确的是（ ）（A ） a < 0 ， b < 0 ； （B ） a > 0 ， b < 0 ； （C ） a < 0 ， c > 0 ；（D ） a < 0 ， c < 0 ．3. 如果二次函数 y = x 2 + bx + c 配方后为 y = (x - 2)2 +1， 那么 b c 的值分别为… （ ）．（A ） -4 5；（B ）4，3；（C ） -43；（D ）4，5．4. 在△ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 的延长线上，下列不能判定 DE //BC 的条件是（A ） EA : AC = DA : AB ； （B ） DE : BC = DA : AB ；（C ） EA : EC = DA : DB ；（D ） A C : EC = AB : DB ．5. 如图，已知抛物线 y = x 2 + bx + c 的对称轴为 x = 2 ，点 A ， B 均在抛物线上，且 AB 与 x轴平行， 其中点 A 的坐标为（ 0， 3） ， 则点 B 的坐标为 ...................................（ ）．（A ）（2，3）； （B ）（4，3）；（C ）（3，3）； （D ）（3，2）．6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是 AB 边上的高．如果 BD =4，CD=6，那么 BC : AC是（ ） C（A ） 3 : 2 ； （B ） 2 : 3 ； （C ） 3 : ；（D ） 2 : ．AD图 17. 如图所示， △ ABC 的顶点是正方形网格的格点， 则 sinB 的值为……………………（）．（A ） 1 2；（B ） 5；（C ）；（D ）． 21013 5B A45°30°DCO8﹒若 ab +c = b a + c = c a + b =k ，则直线 y=kx +k 一定经过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限D.第一、四象限9﹒如图 4，在△ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AC 上的点，AD 与 BE 相交于点 G ，若 AG ：GD=4：1，BD ：： DC=2：3，则 AE ：EC 的值是（ ）A.8 3 B. 3 2 C. 8 5 D. 4 3图 410、若 A （ - 13 ， y 1）， B （ 4- 15 ， y 2 4）, C ( 1 ， y 3 4) ,为二次函数 y = x 2 + 4x - 5 的图像上三点，则 y 1 、 y 2 、 y 3 大小关系是()A. y 1 ＜ y 2 ＜ y 3B. y 2 ＜ y 1 ＜ y 3C. y 3 ＜ y 1 ＜ y 2D. y 1 ＜ y 3 ＜ y 2二、填空题：（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）11. 把长度为 4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是 cm ．12. 如图 5，湖心岛上有一凉亭 B ，在凉亭 B 的正东湖边有一棵大树 A ，在湖边的 C 处测得 B在北偏西 45°方向上，测得 A 在北偏东 30°方向上，又测得 A 、C 之间的距离为 100 米， 则 A 、B 之间的距离是米（结果保留根号形式）．13. 如果抛物线 y =（m -1)x 2 + 2mx +1 的图像开口向下，那么 m 的取值范围是． 14、如图，梯形 ABCD 内接于圆 O,AB∥CD,AB 为直径，DO 平分∠ADC,则∠DAO 的度数是ABC第 14 题第 12 题图三、解答题：（本大题共 9 题，满分 90 分）15．（本题满分 6 分）计算： 2 sin 60 - 3 tan 30 - (- 1)0 + (-1)2017 ．316．（本题满分 10 分）如图 6，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx + b (k ≠ 0) 与双曲线 y =m ，6）和点 B （-3， n ），直线 AB 与 y 轴交于点 C ．6 相交于点 A （x（1） 求直线 AB 的表达式； （2） 求 AC : CB 的值．图 617（本题满分 10 分）如图 7，小明的家在某住宅楼 AB 的最顶层（AB ⊥BC ），他家的后面有一建筑物 CD （CD // AB ），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的 A 处测得建筑物 CD 的底部 C 的俯角是43 ，顶部 D 的仰角是25 ，他又测得两建筑物之间的距离 BC 是 28 米，请你帮助 小明求出建筑物 CD 的高度（精确到 1 米）．D（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）yA CBOxAA E Oy18．（本题满分 10 分）已知：在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接 BD ，AE ⊥BD ，垂足为点 E ．（1） 求证：△ABE ∽△DBC ；（2） 求线段 AE 的长．19．（本题满分 10 分）如图，已知 OC 是⊙O 半径，点 P 在⊙O 的直径 BA 的延长线上，且 OC ⊥PC ，垂足为 C ．弦 CD 垂直平分半径 AO ， 垂足为 E ，PA = 6．求：（1）⊙ O 的半径； （2）求弦 CD 的长．（第 18 题）CP BD（第 19 题图）20.（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中， ∆ABC 三个顶点都在在格点上，且坐标分别为 A (-2, 4) ,B (-2,1) ,C (-5, 2) .（1） 在坐标系中，标出三个顶点坐标，并画出∆ABC ； （2） 作出∆ABC 关于 x 轴对称的∆A 1B 1C 1 ;（3） 将∆A 1B 1C 1 的三个顶点的横坐标和纵坐标同时乘以-2 ，得到对应的点 A 2 、 B 2 、C 2 ，画出∆A 2 B 2C 2 解：EDF x21．（本题满分10 分如图，已知，在锐角△ABC 中，CE⊥AB 于点E，点D 在边AC 上，联结BD 交CE 于点F，且EF ⋅FC =FB ⋅DF . A（1）求证：BD⊥AC；（2）联结AF，求证：AF ⋅BE =BC ⋅EF .B C（第21 题图）22．（10 分）九年级数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天（1≤x≤90，且x 为整数）的售价y（单位：元/件）与时间x（单位：天）的函数关系式为y=；在第x 天的销售量p（单位：件）与时间x（单位：天）的函数关系的相关信息如表．已知商品的进价为30 元/件，每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90 每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600 元？23（本题满分 14 分）如图，已知直线y =x 与二次函数y =x2+bx +c 的图像交于点A、O，(O 是坐标原点)，点P 为二次函数图像的顶点，OA= 3 2 ，AP 的中点为B．（1）求二次函数的解析式；y（2）求线段OB 的长；A2 3 3 ⎨-3k + b = -2. ⎨（3） 若射线 OB 上存在点 Q ，使得△AOQ 与△AOP 相似，求点 Q 的坐标．参考答案一、选择题（本大题共 10 题，每题 4 分，满分 40 分）1．(D)； 2． (D)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)；6．(B)．7 ( C)8 ( A ) 9 ( C ) 10 ( A)二、填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）11. 2 - 212 . 50 + 5013 .m<114 .60三、解答题：（本大题共 9 题，满分 90 分） 15. 2 ⨯ - 3⨯ 2 3-1+（-1）.=216. 解：（1）∵点 A （ m ，6）和点 B （-3， n ）在双曲线 y = 6，∴m =1，n =-2．x∴点 A （1，6），点 B （-3，-2）．将点 A 、B 代入直线 y = kx + b ，得⎧k + b =6； ⎩⎧k =2； 解得 ⎩b = 4.3AB 2 - BE 2 25 2 - 202 ∴直线 AB 的表达式为： y = 2x + 4 ．（2）分别过点 A 、B 作 AM ⊥y 轴，BN ⊥y 轴，垂足分别为点 M 、N则∠AMO=∠BNO=90°，AM =1，BN =3 ∴AM //BN ， ∴AC = AM = 1CB BN 3．17. 解：过点 A 作 AE ⊥CD ，垂足为点 E由题意得，AE = BC =28，∠EAD ＝25°，∠EAC ＝43°． 在 Rt△ADE 中，∵ tan ∠EAD =DE，∴ DE = tan 25︒⨯ 28 = 0.47 ⨯ 28 ≈ 13.2 ．AE 在 Rt△ACE 中，∵ tan ∠EAC = CE，∴ CE = tan 43︒⨯ 28 = 0.93 ⨯ 28 ≈ 26 ．AE∴ DC = DE + CE = 13.2 + 26 ≈ 39 （米）． 答：建筑物 CD 的高度约为 39 米．18.（1）证明：∵AB=AD =25，∴∠1 =∠2.)∵AD ∥BC ，∴∠1=∠3.) ∴∠2=∠3. ) ∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =∠C =90°. ) ∴△ABE ∽△DBC .（2）解：∵AB=AD ，又 AE ⊥BD ，∴BE=DE .∴BD =2BE .由△ABE ∽△DBC ，得 AB = BE.BD BC∵AB=AD =25，BC =32，∴ 25 2BE= BE .32 ∴BE =20．∴ AE == = =15．19．解：（1）∵OC ⊥PC ，∴∠PCO = 90°．∵弦 CD 垂直平分半径 AO ，∴OE =EA ，∠CEO = 90°． ∴∠PCO =∠CEO ．又∵∠COE =∠COE ，∴△ OCE ∽△ OPC ．∴ OE = OC ． ................................................................................................... （1 OC OP分）又∵PA = 6，∴OC = 6．即：⊙O 半径为 6．… ......................................... （1 分）（2）∵ EO = AE = 1 AO = 1CO ，∠CEO = 90°，2 2∴∠OCE = 30°， OE 2 + CE 2 = CO 2 ． .......................................................... （2(25 + 20) ⨯ (25 - 20)12 33 EDF∴ ， 解得：，分）∵OC = 6，∴OE = 3，CE = 3 ∵OA 过圆心，OA ⊥CD ，．… ........................................................... （1 分） ∴ CD = 2CE = 2ED = 6 ．20.略21．证明：（1）∵ ∴EF ⋅ FC = FB ⋅ DF ，EF = FB .DF FCA∵ ∠EFB =∠DFC ， ∴ △EFB ∽△DFC . ∴ ∠FEB =∠FDC . ∵ CE ⊥AB ， ∴ ∠FEB = 90°. ∴ ∠FDC = 90°. ∴ BD ⊥AC .（2）∵ △EFB ∽△DFC ，∴ ∠ABD =∠ACE . ∵ CE ⊥AB ，∴ ∠FEB = ∠AEC= 90°.∴ △AEC ∽△FEB .BC（第 21 题图）∴ AE =EC . FE EB ∴ AE =FE . EC EB ∵ ∠AEC =∠FEB = 90°，∴ △AEF ∽△CEB .∴ AF = EF ，∴ AF ⋅ BE = BC ⋅ EF .CB EB22 解：（1）设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx +n∵p=mx +n 过点（60，80）、（30，140）， ∴p=﹣2x +200（0≤x ≤90，且 x 为整数），当 0≤x ≤50 时，w=（y ﹣30）•p=（x +40﹣30）（﹣2x +200）=﹣2x 2+180x +2000； 当 50＜x ≤90 时，w=（90﹣30）（﹣2x +200）=﹣120x +12000．3综上所示，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50 时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0 且0≤x≤50，∴当x=45 时，w 取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90 时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w 随x 增大而减小，∴当x=50 时，w 取最大值，最大值为6000 元．∵6050＞6000，∴当x=45 时，w 最大，最大值为6050 元．即销售第45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050 元．（3）当0≤x≤50 时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90 时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x 为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24 天每天的销售利润不低于5600 元．23.解：∵点A 在直线y =x 上，且OA = 3 ，∴A(3,3) 。