江西省红色七校2016届高三下学期第二次联考数学(理科)试题有答案
江西省新余市七校2016届高三下学期第二次联考数学试题
江西省新余市七校2016年高三第二次联考数学试卷（文理合卷）注意：本卷共三大题，分试题卷和答题卷，考生一律在试题卷上作答。
考试时间120分钟，满分150分。
一：选择题。
在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分，共60分。
1.已知命题；命题，均是第一象限的角，且，则．下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.2.已知集合，则为（）A．或B．或C．或D．或3.已知函数若互不相等,且,则的取值范围是（）．．．．4.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．B． C．D．5.执行如图所示的程序框图，如果输入P=153, Q=63, 则输出的P的值是（）A. 2B. 3C. 9D. 276.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为( )错误!A.B．C． D．7.用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()．A. B. C. D.8.在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．999.函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线对称，则a=( )A. 1B.C. -1D. -10.若满足约束条件, 则目标函数的取值范围是( ) A．[，4] B．[，5] C.[ ，4] D．[，5]11.若，则必定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形12.已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为( )A． B. C. D.二．填空题。
每小题5分，共25分。
13.小王同学有本不同的语文书和本不同的英语书，从中任取本，则语文书和英语书各有本的概率为_____________（结果用分数表示）。
2016年江西省九江市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，且满足z﹣2＝2+3i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．5D．2．（5分）“lnx＜0”是“x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知一组数据x1，x2，…，x n的方差为2，若数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b（a ＞0）的方差为8，则a的值为（）A．1B．C．2D．44．（5分）两名男生和两名女生随机站成一排，则男生不相邻且女生也不相邻的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，AB＝，则正三棱谁S﹣ABC外接球的体积为（）A．3πB．2πC．πD．π6．（5分）运行如图程序框图，则当输出y的值最大时，输入的x值等于（）A．0B．1C．﹣1D．27．（5分）函数f（x）＝sin（x+）cos（x+）﹣sin2x﹣ln|x|+的零点个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知点A，B，C在圆O：x2+y2＝2上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，1），则|++|的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，4]C．[2，4]D．[2，3] 9．（5分）设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余，记为a＝b（modm）．若a＝++…+，a＝b（mod9），则b的值可以是（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）如图所示，网格线上小正方形边长为1，用两个平面去截正方体，所得的几何体的三视图为粗线部分，则此几何体的体积为（）A．B．C．6D．11．（5分）如图所示，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左、右顶点为A，B过F作x轴的垂线与双曲线交于C，D两点，若AC⊥BD，则该双曲线的离心率等于（）A．3B．2C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣x+lnx的图象在点P（x0，y0）处的切线方程为y＝g（x），若不等式＞0对任意x∈（0，x0）∪（x0，+∞）恒成立，则x0＝（）A．1B．C．2D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]＝．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝mx+y（m∈[﹣1，1]）的最大值和最小值的差等于．15．（5分）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上位于第一象限的点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，若在方向上的投影为，则△FPM的外接圆的方程为．16．（5分）如图所示在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为．三、简答题：（本大题共5小题，共70分。
江西高三第二次联考数学(理科)试题有答案
江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i z i=-(i 为虚数单位)的虚部为( ) A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是( )A ． N N M =⋂B ．∅=⋂)(NC M UC ．MN U = D ． ()UM C N ⊆ 3． 设,,a b c R ∈，则“1,,,,16a b c 为等比数列”是“4b =”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}na 满足：1472a a a π++=，则26tan()a a +的值为( )A． B．CD5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值为( )A ． 1-B ． 12C ． 2ABPCD ． 20166．如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且2ACB π∠=，侧面PAB ⊥底面ABC ，2AB PA PB ===.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸,,x y z 分别是( )ABC ．D ．2,1,17．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误．．的是( ) A ． 收入最高值与收入最低值的比是3:1B ． 结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D ． 前6个月的平均收入为40万元(说明：结余=收入-支出)8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，若2222b c a +=，则角A 的最大值为( )A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π9．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则椭圆1C 的方程是( )A ．2222111x y += B ．22143x y += C ．221105x y += D ．2212x y +=10．已知平面向量,,,c b a满足2=1=，1-=∙，且c a -与cb -的夹角为4π，则的最大值为( )AB． CD ．411．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，底边BC 在平面α内，绕BC 旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是( )A． B．[6,3]C．D．36[3,]12．设{}na 是有穷数列，且项数2n ≥．定义一个变换ψ：将数列,,,321a a a …，n a 变成 ,,43a a …，1,+n n a a ，其中112n a a a +=+是变换所产生的一项．从数列1，2，3…，20162开始，反复实施变换ψ，直到只剩下一项而不能变换为止，则变换所产生的所有项的和．．．．．．．．．．．为( ) A ．201540312016(22)+ B ．2015403122+ C ．201540312016(22)+ D ．201640322016(22)+第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13． 二项式62)x的展开式中的常数项是 (用数字作答)．14．=-⎰dx x x )11(122_____． 15．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数2(0)()(0)xx x f x e x -->⎧=⎨-≤⎩，若关于x 的方程[]()0f f x m +=恰有两个不等实根1x 、2x ，则12x x +的最小值为_____．三．解答题：本大题共6小题，共70分．前5小题每题满分12分，最后一道选做题满分10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．(本小题满分12分)已知函数()sin 1f x x x ωω=+(其中0,x R ω>∈)的最小正周期为6π．(Ⅰ)求ω的值； (Ⅱ)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值．18．(本小题满分12分)2016年全国高考将有25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修41-(几何证明选讲)、选修44-(坐标系与参数方程)、选修45-(不等式选讲)的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三A 、B 两个理科班共100名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如下表所示：若从100名学生中随机抽取一名，他选做选修44-的概率为920．(Ⅰ)求,a b 的值，分别计算两个班没有选选修45-的概率；(Ⅱ) 若从A 、B 两班分别随机抽取2名学生，对其试卷的选做题进行分析，记4名学生中选做41-的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望(视频率为概率，例如：A 班选做41-的每个学生被抽取到的概率均为15)．19．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且3BAD π∠=，对角线AC 与BD 相交于O ，OF ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====．(Ⅰ) 求证：EF //BC ；(Ⅱ)求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知曲线C 上任意一点P 到点(1,0)F 的距离比到直线:2l x =-的距离小1．(Ⅰ) 求曲线C 的轨迹方程；(Ⅱ) 若斜率2k >的直线l 过点F 且交曲线C 为A 、B 两点，当线段AB 的中点M 到直线':5120(5)l x y a a ++=>-的距离为113，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数6()6,f x x x x R =-∈．(Ⅰ)求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，求曲线在点P 处的切线方程； (Ⅲ)若方程()f x a =(a 为实数)有两个实数根12x x ，，且12x x <，求证：152165a x x -≤-．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
江西省重点中学协作体2016届高三数学下学期第二次联考试题 理(扫描版)
江西省重点中学协作体2016届高三数学下学期第二次联考试题理（扫描版）2016年江西省协作体高三第二次模拟考试理科数学参考答案13．60 14．1ln 22-15．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 16．1ln 2- 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ ……3分26T ππω==，所以13ω=. ……6分 注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()12sin()133f x x π=-+1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴8cos 17α= ……7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭∴3sin 5β= (8)分∴,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴154sin ,cos 175αβ====， …10分 ∴()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. (12)分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得：2092510020a a +=⇒= ∴100(1525101020)20b =-++++= A 班没有选做选修45-的概率1102575010P +== B 班没有选做选修45-的概率210203505P +== ……4分 （Ⅱ）由题意知，A 、B 两班每人选选修41-的概率均为15,∴ 随机变量X 服从二项分布，即 1(4,)5X B ……6分∴ 4411()1,(0,1,2,3,4)55iii P X i C i -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………8分∴X 的分布列为……10分 ∴14()455E X =⨯= ………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形∴AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF∴BC∥面ADEF 且面⋂ADEF面BCEF EF =∴EF ∥BC ．……6分 （Ⅱ）∵FO ⊥面ABCD ∴FO AO ⊥，FO OB ⊥又∵OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD .又∵22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(2B C D F E --向量1(2DE =，向量(1,0)BC =-，向量(0,BF =- 设面BCFE的法向量为：0000(,,)n x y z=000,0n BC n BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令0y =0(1n=- 易得面AOF 的一个法向量(0,1,0)n =设面AOF 与面BCEF 所成的锐二面角为θ，则00cos n n n nθ=== ∴sin 5θ= 故 面AOF 与面BCEF……12分20．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）由已知得：P 到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等 ∴ 由抛物线的定义得曲线C 为抛物线易得轨迹方程为：24y x =． ……4分 （Ⅱ）由已知得 直线l ：(1),(2)y k x k =->联立{2(1)4y k x y x=-= 消去y ，得 0)2(22222=++-k x k x k 设11(,)A x y 、22(,)B x y 、00(,)M x y则 2120222x x k x k++== ∴002(1)y k x k =-= 于是点M 到直线l '113=∴2102451a k k+++= ……8分 由 2k >及5a >-得：2102451a k k+++= 即2210241652410()55a k k k =---=-++ 由 2k > 知 616175510k <+<∴ 22175265210)10()10555a -⨯(+<<-⨯+， 即 3742a -<<- ∴ 由5a >-得：a 的取值范围为(5,4)--． ……12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：55()666(1)f x x x '=-=- 由'()0f x =得：1x =又 当1x <时，'()0f x >，()f x 单调递增，当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴当1x =时()f x 取得极大值，极大值为(1)5f =，无极小值．………3分（Ⅱ）设()0,0P x ，则0x =()030,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为：()()0030(y f x x x x '=-=- ，即 曲线在点P 处的切线方程为：30(y x =- ………6分（Ⅲ）设()30(g x x =-，令()()()F x f x g x =-即()()30(F x f x x =+， 则()()30F x f x ''=+由于5()66f x x '=-在(),-∞+∞ 单调递减，故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又∵()00F x '=0(x =∴当()0,x x ∈-∞时()0F x '>，当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, ∴()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减，∴x R ∀∈，()()00F x F x ≤= ，即x R ∀∈，都有()()f x g x ≤； 设方程()g x a =的根为'2x ，∴1'52630a x =-． ∵()g x 在(),-∞+∞ 单调递减，且'222()()()g x f x a g x ≥==∴ '22x x ≤ ……8分 设曲线()y f x = 在点原点处的切线方程为：()y h x =，则易得()6h x x =x R ∀∈，有6()()0f x h x x -=-≤，即()()f x h x ≤设方程()h x a =的根为'1x ，则'16a x =∵()h x 在(),-∞+∞ 单调递增，且'111()()()h x a f x h x ==≤∴'11x x ≤ ……10分∴11''552121(6)63065a a ax x x x -≤-=--=-即152165ax x -≤-……12分22．（本小题满分分10）选修4—1：几何证明选讲 （Ⅰ）证明：由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，则PED PAC △△，则PE PD PA PC =，又PE ED PB BD =，则ED PB PDBD PA PC⋅=． ………5分（Ⅱ）解：由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠．在ECD △中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= ． ………10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，在直线l 的参数方程中消t 得：4350x y -+= ………5分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心(0,)a 到直线l 的距离12d a ≤12a ≤ 整理得：2111201000a a -+≤即(1110)(10)0a a --≤解得：101011a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：101011a ≤≤ ………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-， (1)0f x -≥等价于||x m ≤，由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤．又(1)0f x -≥的解集为[2,2]-，故2m =. ………5分 (Ⅱ）由(1)知111223a b c++=，又,,a b c R +∈，由柯西不等式得 111123(23)()223z a b c a b c a b c=++=++++21922≥=（当且仅当331,,242a b c ===时取等号）∴23z a b c =++ 的最小值为92. ………10分。
2016届江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)(解析版)讲解
2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．145．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣17．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g （x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A．B．C． D．312．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n=．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后再根据复数相等求出答案即可．【解答】解：x∈R，y为纯虚数，设y=ai，∵（x﹣y）i=2﹣i，∴xi+a=2﹣i，∴x=﹣1，a=2，∴x+y=﹣1+2i，故选：C．3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题““对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的”的否定是：存在x0∈（1，+∞），使x≤，故选：D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．14【考点】频率分布直方图．【分析】求出概率，然后求解频数．【解答】解：样本数据在区间[15，20）内的概率为：1﹣0.04×5﹣0.1×5=0.3．样本数据在区间[15，20）内的频数是：100×0.3=30．故选：C．5．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（log3）=f（﹣log35）=f （log35），利用log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3）=f（﹣log35）=f（log35）．∵log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，∴f（log35）＜f（log35）＜f（log53），∴f（log35）＜f（log3）＜f（log53），故选：D．6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A7．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数f（x）的图象求出周期T以及ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再根据三角恒等变换求出sinα的值．【解答】解：在同一周期内，函数f（x）在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数f（x）的周期T满足=﹣=2π，由此得T==4π，解得ω=，∴函数表达式为f（x）=sin（x+φ），又当x=时f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）；又f（α）=sin（α+）=，∴cos（α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=，∴sinα=﹣cos（α+）=﹣．故选：A．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先从4个班级中选2个，分陪到4个小区的2个，再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从4个班级中选2个，分到4个小区中的2个，（保证恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级），再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，故有C42C42C21C21C21=288种，故选：D10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g （x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设B的坐标，求出A，B的中点坐标C，利用C在g（x）上，建立方程关系，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：令点B（x，|log2x|），x＞0，A，B的中点C（， |log2x|）．由于点C在函数g（x）=（）x的图象上，故有|log2x|=（）=•（）x，即|log2x|=•（）x，故函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是，即为函数y=|log2x|和曲线y=•（）x的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y=|log2x|和y=•（）x的的图象，由图象知两个函数的交点个数为2个，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是2，故故选：B．11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A．B．C． D．3【考点】简单线性规划．【分析】分别作出不等式组表示的平面区域和直线3x+y=0，通过图象观察，求得A（0，1）到直线的距离，即可得到所求最小值．【解答】解：画出不等式组所确定的平面区域，直线3x+y=0，则|﹣|=||，由A（0，1）到直线3x+y=0的距离为d==，可得|﹣|的最小值为，故选：A．12．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】去绝对值可得x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4，当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0）∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0，当λ=﹣时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0当λ=﹣时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣，）故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为2π．【考点】定积分．【分析】利用定积分真假求解即可．【解答】解：∫（1+sinx）dx=（x﹣cosx）=π+1+π﹣1=2π．故答案为：2π．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n=7．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2时方程无解，检验求得n的值．【解答】解：∵（x+1）2（x+）n=（1+2x+x2）（x+）n的展开式中没有x2项，∴（x+）n的展开式中不含常数项，不含x项，不含x2项．∵（x+）n的展开式中展开式的通项为T r+1=C n r x n﹣r x﹣3r=C n r x n﹣4r，r=0，1，2，3…n，方程n﹣4r=0，n﹣4r=1，n﹣4r=2，当n∈N*，5≤n≤8时，无解，检验可得n=7，故答案为：7．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是20π．【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到原几何体，然后利用补形思想得到四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图得原直观图如图，原几何体为三棱锥A﹣BCD，满足AD⊥底面BCD，底面BDC为等腰直角三角形，则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，外接球的直径D满足D2=DA2+DB2+DC2=4+8+8=20，∴外接球O的半径为，∴球O的表面积是4π×．故答案为：20π．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于98．【考点】数列与函数的综合．【分析】设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．确定d的可能取值为1，2，3，…，7，运用等差数列的求和公式，即可求f（30，5）．【解答】解：设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．∵a5=a1+4d，∴d=≤，∴d的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d，a1=a5﹣4d≤30﹣4d，当a1分别取1，2，3，…，30﹣4d时，可得递增等差数列30﹣4d个（如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理）．∴当d取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：f（30，5）=26+22+…+2=×（2+26）×7=98．故答案为：98．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）在△BCP中，使用余弦定理求出BP，再使用正弦定理计算sin∠PBC；（2）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系，设P（cosθ，sinθ），求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出•的取值范围．【解答】解：（I）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，∠BCP==，又BC=AB=3，CP=1，∴BP==．在△BCP中，由正弦定理得，即，解得sin∠PBC=．（II）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系如图：则A（，0），B（0，3），设P（cosθ，sinθ），则=（，﹣sinθ），=（﹣cosθ，3﹣sinθ），∴=cosθ（cosθ﹣）+sinθ（sinθ﹣3）=﹣cosθ﹣3sinθ+1=﹣2sin（θ+）+1．∵﹣1≤sin（）≤1，∴1﹣2≤≤1+2．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求出投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，由此能求出一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率．（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，求出盈利期望和y=，从而得到应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．【解答】解：（Ⅰ）投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，…所以一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率是：p=0.4×1+0.2×0.6+0.4×0.2=0.6．…（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，盈利期望和y=+0.4×（﹣1）+0.4×（8﹣x）+0.4×（﹣）（8﹣x），化简得y=，…所以当x=1时，y最大，最大值是万元，综上：应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．…19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理求出，从而利用勾股定理得到B1A⊥AB，由侧面AA1B1B⊥底面ABCD，得B1A⊥BD，由ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面AB1C，由此能证明平面AB1C⊥平面BDC1．（Ⅱ）以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由向量法能求出在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是， =．【解答】（Ⅰ）证明：∵ ==3，∴，∴B1A⊥AB，又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD，∴B1A⊥底面ABCD，∴B1A⊥BD，…又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BDC1．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1A⊥AB，B1A⊥AD，如图以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），B1（0，0，），平面AB1C的法向量为=（﹣1，1，0），设=λ，平面ACE的法向量=（x，y，z），则==（0，λ，0），=+==（﹣1，λ，），由=0，得﹣x+=0，由=0，得x+y=0，令x=1，则y=﹣1，z=，即=（1，﹣1，），…∴cos＜＞=，∴=，解得，∴在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是， =．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），代入椭圆方程可得=1， =1由AD⊥AB，可得k AD=﹣，利用斜率计算公式可得：=， =，相乘可得：，又a2﹣b2=3，联立解出即可得出．（2）=k，可得直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），分别令x=0，y=0，可得S△OMN==|x1y1|，由1=+利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），则=1， =1∵AD⊥AB，∴k AD=﹣，因此=， =，∴==，化为，又a2﹣b2=3，解得a2=4，b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）∵=k，∴直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0得x M=3x1，令x=0，得y N=﹣，∴S△OMN==|x1y1|，∵1=+≥|x1y1|，且当|x1|=2|y1|时，取等号，∴△OMN面积的最大值是．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设出切点，求出原函数的导函数，由f′（t）=0且f（t）=0列式求得m值；（2）把存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，转化为当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，然后分m≥1、m≤0、0＜m＜1分类求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]，得f′（x）=﹣e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]+e﹣x（2x+1﹣m）=e﹣x[﹣x2+（m+1）x﹣m]=﹣e﹣x（x ﹣m）（x﹣1），设切点为（t，0），则f′（t）=0，f（t）=0，即，解得：或，∴m的值是3或﹣1；（2）依题意，当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，①当m≥1时，当x∈[0，1]时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，∴f（0）＞2f（1），即1，得m；②当m≤0时，x∈[0，1]时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，∴f（1）＞2f（0），即，得m＜3﹣2e；③当0＜m＜1时，当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，当x∈（m，1）时，f′（x）＞0，，f（x）max=f（0）或f（1），记函数，g′（m）=，当m≥0时，g′（x）≤0，g（m）单调递减，∴m∈（0，1）时，g（m）＞g（1）=，∴，，不存在m∈（0，1），使得f（x）max＞2f（x）min，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四点共圆，可得AB•AD=AF•AH．（2）由已知结合切割弦定理求得AD，进一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，则由勾股定理可得△BDF外接圆的半径．【解答】（1）证明：设圆B交线段AB于点C，∵AB为圆O一条直径，∴BF⊥FH．又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，∴B、D、F、H四点共圆．∴AB•AD=AF•AH．（2）解：∵AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AC=AB﹣BD=2，AF2=AC•AD，即，AD=4，∴，BF=BD=1．又△AFB∽△ADH，则，得，连接BH，由（1）可知BH为DBFH的外接圆直径，，故△BDF的外接圆半径为．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，把代入即可得出直角坐标方程．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，利用|AB|=|t2﹣t1|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2y﹣2x．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，∴t1+t2=2，t1t2=0．∴|AB|=|t2﹣t1|==2．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即﹣≤a≤0，根据x的范围，求出﹣的范围，即可得到a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0}．2016年6月14日。
2016届江西省红色七校高三(下)第二次联考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或274．已知平面向量=（0，﹣1），=（2，2），|λ+|=2，则λ的值为（）A．1+B．﹣1 C．2 D．15．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.26．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．p∨（￢q）7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2016 B．2 C．D．﹣18．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称10．已知变量x，y满足以下条件：x，y∈R，，z=ax+y，若z的最大值为3，则实数a的值为（）A．2或5 B．﹣4或2 C．2 D．511．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式f（x）＞+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1内部的点，则y≥x的概率．14．设数列{a n}满足a2+a4=10，点P n（n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{a n}的前n项和S n=．15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为cm．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程的不同实根个数为．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）（x∈R）在处取得最小值．（1）求角A的大小．（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？19．如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且2AB=2AD=CD=4，现以AD 为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．20．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点P（2，1）为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的标准方程（2）求△ABP面积最大值时的直线l的方程．21．已知函数（1）当时，讨论f（x）的单调性（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2015-2016学年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出∁R A={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，∴（∁R A）∩B={x|x＞2}．故选A．2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z====﹣i，则z的共轭复数i．故选：A．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或27【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得=q3，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q解得q=3，或q=﹣1（舍去），∴==q3=27故选：A4．已知平面向量=（0，﹣1），=（2，2），|λ+|=2，则λ的值为（）A．1+B．﹣1 C．2 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ．【解答】解：=（2，2﹣λ），∵||=2，∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2．故选：C．5．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.2【考点】线性回归方程．【分析】由图表求得=2，=4.5，代入回归直线方程得答案．【解答】解：由图表知，=2，=4.5，代入=0.5x+a，得.5=0.5×2+a，解得a=3.5．故选：A．6．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于∀x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．【解答】解：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题；，x；∴0＜cosx＜1，sinx＞0；∴，；即tanx＞sinx，∴命题q是真命题；∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题．故选D．7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2016 B．2 C．D．﹣1【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．【解答】解：执行程序框图，可得S=2，k=0满足条件k＜2016，S=﹣1，k=1满足条件k＜2016，S=，k=2满足条件k＜2016，S=2，k=3满足条件k＜2016，S=﹣1，k=4…观察可知S的取值周期为3，由2016=672×3满足条件k＜2016，S=，k=2015满足条件k＜2016，S=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．故选：B．8．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B10．已知变量x，y满足以下条件：x，y∈R，，z=ax+y，若z的最大值为3，则实数a的值为（）A．2或5 B．﹣4或2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，分别将角点的坐标代入求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（﹣1，﹣1），由，解得B（2，﹣1），z=ax+y，若z的最大值为3，即ax+y=3，将A（﹣1，﹣1）代入得：﹣a﹣1=3，解得：a=﹣4，将B（2，﹣1）代入得：2a﹣1=3，解得：a=﹣2，故选：B．11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式f（x）＞+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造辅助函数，求导，由函数的单调性与导数的关系，求得函数的单调性，则原不等式转化成F（x）＞F（1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：设F（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），求导F′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴F′（x）＞0，∴y=F（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，即F（x）＞4，又∵F（1）=ef（1）﹣2e=4，∴F（x）＞F（1），∴x＞1，故选A．12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1内部的点，则y≥x的概率．【考点】几何概型．【分析】求出圆x2+（y﹣1）2=1的面积为π，满足y≥x在圆内部分的面积为π+，即可得出概率．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=1的面积为π，满足y≥x在圆内部分的面积为π+，∴所求概率为，故答案为：．14．设数列{a n}满足a2+a4=10，点P n（n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{a n}的前n项和S n=n2．【考点】数列与向量的综合．【分析】由已知得a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵P n（n，a n），∴P n+1（n+1，a n+1），∴=（1，a n+1﹣a n）=（1，2），∴a n+1﹣a n=2，∴{a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴S n==n2．故答案为：n2．15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为6cm．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=8；从而求答案．【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，则∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°；则在等腰三角形ABO中，AO==8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：6．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程的不同实根个数为3．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得x1=﹣﹣，x2=﹣+，而方程，即方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）（x∈R）在处取得最小值．（1）求角A的大小．（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣A），由已知及正弦函数的性质可得2×﹣A=2kπ+，结合A的范围即可得解A的值．（2）由已知及正弦定理得，解得b+c=13，由余弦定理可得bc=40，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x﹣A）=2cosx（sinxcosA﹣cosxsinA）+sinA=2sinxcosxcosA ﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），∵，∴，∵A∈（0，π），∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由正弦定理，得．…即=×，可得：b+c=13，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，可得：49=169﹣3bc，可得：bc=40，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【考点】茎叶图；分层抽样方法；频率分布表．【分析】（1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率，根据各小组的频率之和为1求出第四组的频率，进一步补全频率分布直方图．（2）第一、二两组的频率和为0.4，第三组的频率为0.3，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数．（3）根据概率公式计算，事件“5位同学中抽两位同学”有10种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“优秀””可能种数是9，那么即可求得事件M的概率．【解答】解：（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，所以第4组的频率为0.2，频率分布图如图：…（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06=0.5，…解得，所以样本中位数的估计值为…（3）依题意良好的人数为40×0.4=16人，优秀的人数为40×0.6=24人优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人…记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件…事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个…所以…19．如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且2AB=2AD=CD=4，现以AD 为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知利用面面垂直的性质可得ED⊥BC，求解直角三角形可得BC ⊥BD，再由线面垂直的判断得答案；（2）设DE=x，利用V D﹣BEC =V E﹣BDC求得x值，再利用V F﹣BDE=V B﹣EFD求得三棱锥F﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD，得ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BD=2．在△BCD中，BC=BD=2，CD=4，∴BD2+BC2=CD2．∴BC⊥BD，又DE∩BD=D，∴BC⊥平面BDE；（2）解：∵BC⊥平面BDE，∴BC⊥BE，则，设DE=x，则×=V E，﹣BDC又，联立解得x=．∴．20．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点P（2，1）为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的标准方程（2）求△ABP面积最大值时的直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的几何性质可知e==，a +c=3，b 2=a 2﹣c 2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）由A 和B 在椭圆上，将A 和B 点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得直线AB 的斜率k AB ，设直线AB 的方程，y=，代入椭圆方程，根据韦达定理求得x A +x B ，x A •x B ，由弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式求得△ABP的面积S △ABP ，m=1﹣时，S △ABP 取最大值，即可求得直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意可知：e==， 左焦点（﹣c ，0）到椭圆上点的最远距离为3， 即使a +c=3，可解得：a=2，c=1， b 2=a 2﹣c 2=3，∴所求椭圆C 的方程为：；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）易得直线OP 的方程：y=x ， 设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），R （x 0，y 0）其中y 0=x 0， ∵A ，B 在椭圆上，∴，∴k AB ==﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线AB 的方程为l ：y=（m ≠0），代入椭圆：，整理得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3=0，根据韦达定理可知：x A+x B=m，x A•x B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴|AB|=，∵点P（2，1）到直线l的距离为：d=丨丨=丨丨，=•d•|AB|=•|m﹣4|•，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S△ABP﹣当m=1﹣时，S取最大值，△ABP此时直线l的方程y=﹣+1﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数（1）当时，讨论f（x）的单调性（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，根据函数的单调性分别求出函数g（x）的最小值和f（x）的最小值，得到关于b的不等式，解出即可．【解答】解：（1）因为所以令f′（x）=0，解得：x=1或﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a＜时，，x∈（0，1）时，此时f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；时，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；时，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为，由（I）知，，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）等价于g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值”（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]，所以①当b＜1时，因为[g（x）]min=g（1）=5﹣2b＞0此时与（*）矛盾，②当1≤b≤2时，因为同样与（*）矛盾，③当b＞2时，因为[g（x）]min=g（2）=8﹣4b，且当b＞2时，8﹣4b＜0，解不等式，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为42017年4月5日。
2016届江西省红色七校高三(下)第二次联考数学试卷(文科)(解析版)
2016届江西省红色七校高三(下)第二次联考数学试卷(文科)(解析版)XXXX江西红七中高三(以下)第二次数学联考试卷(文科)1，选择题:这道大题共l2题，每题5分，共60分。
在每个项目给出的四个选项中，只有一个项目符合主题的要求。
1.众所周知，完备集U=R，集a = {x | y = b = () a. {x | x > 2} 2。
给定复数z = a.ib。
{ x | 0 (I为虚数单位)，则z的共轭复数为()，设B={y|y=2x，x∈R}(？ra)∪b . 1+Ic . ﹣id . 1-I3.3 a1、a3、2a2是等差数列，在所有已知项目都为正的几何数列{an}中，则= () a.27b.3c。
﹣1或3d.1或274。
已知平面向量=(0，(1)，= (2，2)，|λ+|=2，则λ的值为()a . 1+b .-1 c . 2d . 15。
已知x和y的值显示在表中。
如果y与x线性相关，并且=0.5x+a，则a =()x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 a . 3.5 b . 2.2 c . 4.8d . 3.26。
已知命题p:？X∈R，使2x > 3x命题q:？X(0，真命题是()a .(~ p)∧qb .(~ p)∧( q)c . p ∧( q)d . p ∨( q))，tanx>sinx下面是7。
如果执行图中所示的程序框图，则输出值为()第1页(共28页)第第a. xxxx年自主招生考试成绩随机抽取40名学生笔试成绩，根据成绩分为五组:第1组[75，80分，第2组[80，85分，第3组[85，90分]。
图中显示了在第4组[90，95]和第5组[95，100]中获得的频率分布直方图。
同时，分数高于85分(包括85分)的学生被定义为“优秀”，分数低于85分的学生被定义为“良好”。
只有成绩“优秀”的学生才能获得面试资格。
(1)计算第4组的频率并完成频率分布直方图；(2)根据样本的频率分布直方图估计样本的中值；(3)如果通过分层抽样从“优秀”和“好”学生中选出5名学生，并从这5名学生中选出2名学生，那么至少有一名学生“优秀”的概率是多少？19。
江西省上饶市重点中学2016届高三数学下学期第二次联考试题 理(扫描版)
某某省某某市重点中学2016届高三数学下学期第二次联考试题理（扫描版）某某市重点中学2016届高三六校第二次联考理科数学答案一．选择题1-6，ABBCDC, 7-12,BCDCDA二．填空题13.04 14.32π15.[]2224+，16. 216．解析：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n n n OA n n ，，)2(121tan ++⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn α 452111212147tan tan tan 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=++n n n n ααα即2121112121>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n ，函数)(21112121)(*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=N n n n n g n ，为减函数, 211211)1(>=g ，212413)2(>=g ，21207)3(<=g ，故最大整数n 的值为2三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-……………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++……………6分（2）23)42sin(2232cos 2sin 21cos 2cos sin 2)(2++=++=++=πx x x x x x x f …8分 由正弦定理得2sin ,,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A 因为a b>，所以4π=A ……………10分()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =2)4x π+12-,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2470π，x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65442πππ，x所以21262cos 4)(21-2-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤πA x f ……………12分 18．(本小题满分12分)解：(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有550×30＝3名，样本中不看营养说明的女生有550×20＝2名．………………4分(2)X 取值为1,2,3，103)1(352213=⋅==C C C x p ,53)2(351223=⋅==C C C x p ,101)3(3533===C C x p 59101310621031=⨯+⨯+⨯=EX，………………8分 (3)根据题中的列联表得K 2＝110×(50×20－30×10)280×30×60×50＝53972≈7.486，P (K 2≥6.635)＝0.010，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关．………12分19.(本小题满分12分)解(1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ∴AD ∥BC ，DE ∥BF .∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ， ∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ， ∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．…………5分(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且FA ＝FC ， ∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，…………7分 设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·CF→＝0，n ·CB→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，…………9分∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)． ∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n ·OB →||n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155，…………11分∴二面角A －FC －B 的正弦值为510…………12分 20.(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，021==k k ，043=+∴k k 轴x CD ⊥∴134323242222=+⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==y x b a a ba ……5分 （Ⅱ）当1l 与x 轴重合时，x l ⊥2轴，P 点即)0,1(2F 当2l 与x 轴重合时，x l ⊥1轴，P 点即)0,1(1-F当1l ，2l 不与x 轴重合时，设)0,1)(,(0000≠±≠y x y x P ，设1l ，2l 斜率分别为)0,0,(,≠≠≠n m n m n m 则：1l ：)1(+=x m y ①2l ：)1(-=x n y ②，又椭圆E ：13422=+y x ③ 设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D 由①③联立得01248)43(2222=-+++m x m x m2221222143124,438m m x x m m x x +-=+-=+④……6分由②③联立得01248)43(2222=-+-+n x n x n2221222143124,438n n x x n n x x +-=+=+⑤……7分由4321k k k k +=+得44332211x y x y x y x y +=+， 又：)1(11+=x m y ，)1(22+=x m y ，)1(33-=x n y ，)1(44-=x n y 代入上式得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++4343212122x x x x n x x x x m ，……8分 将④⑤代入化简得0))(3(=-+n m mn3,-=∴≠mn n m ……9分即：)1(31100000±≠-=-⋅+x x y x y ，化简得：()11302020±≠=+x y x ……10分 显然)0,1(±P 满足上式，所以P 点轨迹方程为：1322=+y x ……11分 故存在定点M 、N 为椭圆焦点()20±，，使得||||PN PM +为定值……12分21. (本小题满分12分)解：⑴错误!未找到引用源。
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江西省红色七校2016届高三第二次联考数学(理)试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数ii z ++=21(其中i 为虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则()R C M N =( )A ． {x|0＜x ＜1}B ． {x|x ＞1}C ． {x|x≥2}D ． {x|1＜x ＜2} 3、⎩⎨⎧>>3321x x 是⎩⎨⎧>>+962121x x x x 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、已知xdxN dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S ( )A.1B.2πC.4π D.1-5、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )A．．．6、设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值为( ) A ．625 B ．38 C ．311 D ．47、二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =1，则CD 的长等于( ) A ．2B ． 3C ．2D ． 58、设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()cos cos AB AC OP OA AB BAC Cλ=++⋅⋅，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心． 9、等差数列{}{}nn b a ,的前n 项和分别为n n T S ,，若()+∈++=N n n n T S n n 121438，则=76b a ( )A 、16B 、15242 C 、23432 D 、2749410、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆22214x y a +=的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率是( )ABCD ．11、记集合()()(){}1sin 2cos 2,22<-+-=θθy x y x M ，任取点M P ∈，则点(){}4,22≤+∈y x y x P 的概率( )A 、21B 、94C 、83D 、3112.已知定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对()0,x ∀∈+∞，都有()3log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是( )A . ()4,5 B. ()2,3 C. ()3,4 D .()1,2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、若二项式6(的展开式的常数项为160，则=a14、已知函数2,1()(1),1x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 7)f =15、利用数列{}na 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时为偶数时(n ∈*N )可以求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，且该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项16、抛物线1N ：c bx ax y ++=2与抛物线2N ：e dx ax y ++-=2的顶点分别为()111,y x P 与()222,y x P ，且两抛物线相交于点()()3,2821,12B A 与(均异于顶点)，则=++2121y y x x三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分12分)在△A B C 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()222222,s i n s i n 2,,s i n b a c C A n c a b C m ---=--=且//；(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围.18.(本小题满分12分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表．,,,,x y z s p (2)按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥，(1)求证：//PA 平面BED ； (2)若AD BC //，2=BC ，22=AD ，3=PA 且CD AB =求PB 与面PCD 所成角的正弦值。
20、(本小题满分12分)已知动圆C 过点A (-2，0)，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.(1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线:l y kx m =+(其中,)k m Z ∈与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线221412x y -=交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得0DF BE +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．21、(本小题满分12分) 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．(1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；(3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．(取e 为2.8，取ln 2为0.71.4)请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(选修4—1 ：几何证明选讲)(本小题满分10分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O的直径，AE⊥CD于点E ，DA 平分∠BDE． (1)证明：AE 是⊙O的切线； (2)如果AB=2，AE=，求CD ．23、(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为224x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)求直线l 和圆C 的交点的极坐标(要求极角[)0,2θπ∈)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数)0(,4)(>++-=m m x mx x f (1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m 的取值范围.江西省红色七校2016届高三第二次联考数学(理)参考答案一．选择题(共12小题，共60分，每小题5分)13. 2- 14. 47 15. 640 16. 35三．解答题 17. 解:(1)222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b ---====----，……1分 因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-， ……2分 所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B CA =+=+=，……4分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =；……6分 (Ⅱ)222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++- ……7分()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+ ……8分()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+……9分 因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，……10分 因此()π11cos 232A -+<≤，所以3924T <≤ ……12分18. 解：(1)由题意知，0.18,19,6,0.12,50x y z s p ===== …………3分 (2)由(Ⅰ)知，参加决赛的选手共6人， …………4分①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ， 则11154426+C 7()10C C P A A ==所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为710. (6)②随机变量X 的可能取值为0,1,2 …………7分34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===，…………10分随机变量X 的分布列为：…………11分因为131012=1555EX =⨯+⨯+⨯，所以随机变量X 的数学期望为1. …………12分19. 解：(1),,AC BD AC BE BD BE B ⊥⊥⋂=， AC BDE ∴⊥平面，……2分连接OE ，所以AC OE ⊥，又PA ABCD ⊥平面，……3分AC PA ∴⊥，又,OE PA 都是平面PAC 中的直线， ∴OE ∥PA ， ……5分且OE BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面， PA ∴∥平面BDE …………6分 (2)AD BC //，2=BC ，22=AD 且CD AB =∴在等腰梯形中1,2OB OC OA OD ==== ……7分由(1)知OE ABCD ⊥平面，分别以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0)(,1,0)(2,0)(0,2,3)B C D P --……8分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =则00n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20330x y y z --=⎧⎨-=⎩取1x =，则2y z ==-，(1,2,2)n =--，……9分 又(1,2,3)PB =-，……10分14cos ,14PB nPB n PB n⋅==……11分所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为14…………12分20. 解：(1)圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵RAM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. ……1分设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CAr =，且rR CM -=，即AMCA CM >=+8. ……2分∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为 ()012222>>=+b a b y a x ， 则2,4==c a .∴12222=-=c a b .……3分 ∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x . ………………………4分 (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k ………5分设11(,)B x y ，22(,)D x y ， 则122834km x x k +=-+.∆1()()()04844348222>-+-=m k km . ①………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k .…………7分设()()4433,,,y x F y x E ， 则24332k km x x -=+，∆2()()()012342222>+-+-=m k km . ②……………………8分∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，…………………9分∴2232438k km k km -=+-.∴02=km 或2231434k k -=+-.解得0k =或0m =. ………10分当0k =时，由①、②得 3232<<-m ，∵∈m Z ，，∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,；当0m =，由①、②得 33<<-k ，∵∈k Z ，，∴1,0,1-=k . ∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………………………12分 21. (1)()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---，则211()h x a x x'=+-，……1分 ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，……2分 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ……3分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-，即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--，……4分 令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……5分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，……6分当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．……7分 (3)由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-，……8分即212112ln 1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， ……9分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，……10分 ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<=-=∴2ln 2>，即1>，……11分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴ln 1G =>>>，即2122x x e >．……12分22. (1)证明：连结OA ，在△ADE 中，AE ⊥CD 于点E ， ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA 平分∠BDC ．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE 是⊙O 的切线 …………5分(2)在△ADE 和△BDA 中，∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90°由(1)得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED ， ∵AB=2求得：BD=4，AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°，进一步求得：CD=2 …………10分 23. 解：(1)直线l的普通方程为20x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==带入(*)，得cos sin 20ρθθ+-=，……2分 化简得直线l 的方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……3分 圆C 的极坐标方程为2ρ=．……5分(2)联立方程组2cos 13ρπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩，消去ρ得1cos 32πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……6分 因为[)0,2θπ∈，所以5333πππθ-≤-<，……7分所以33ππθ-=-或33ππθ-=，……9分所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为(2,0)，22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭．……10分 24.解：。