1.1.2集合之间的基本关系讲义
新人教A版高中数学必修一1.1.2《集合间的基本关系》Word精品教案
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
人教版高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系ppt课件
【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2
a
1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×
1.1.2集合间的基本关系 课件2(人教A版必修1)
又 0∈N,但 0∉M,∴M⫋ N.
反思:判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有
关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的
关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用
列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当
m=
.
解析:∵B⊆ A,5∈B,
∴5∈A.∴m=5.
答案:5
3.集合相等与真子集
定义
记法
如果集合 A 是
集
集合 B 的子集,
合
且集合 B 是集
相
合 A 的子集,那 A=B
等
么称集合 A 与
集合 B 相等
如果集合 A⊆ B,
真 子 集
但存在元素 x∈ B,且 x∉A,我们 就称集合 A 是 集合 B 的真子
题型二
判断集合间的关系
【例 2】 集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|2x+7>0},试判断集合 M 和 N 的关系.
分析:明确集合 M 和 N 中的元素,再依据有关的定义判断.
解:M={-3,2},N=
x|x
7 2
}
.
∵-3>- 7 ,2>- 7 , 22
∴-3∈N,2∈N.∴M⊆ N.
M⊆ N 和 M⫋ N 均成立时,M⫋ N 较准确地表达了 M 和 N 的关系.
空集是任何非空集合的真子集, 即⌀ ⫋ A(A≠⌀ ).
【做一做 4】 集合 M={x∈R|2x2+3=0}中元素的个数是( ).
A.不确定
B.2
C.1
D.0
解析:由于方程 2x2+3=0 无实根,则 M=⌀ .
1.1.2集合间的基本关系课件(人教版)
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
示例1：视察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中
练习1：视察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
A＝B
3.真子集
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？
A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
课堂小结
子集：AB任意x∈Ax∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
x0∈A且x0A. 集合相等：A＝BAB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
1.子 集
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.1.2集合之间的基本关系讲义
第二讲 集合之间的基本关系【知识点】1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B2.维恩图.用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图3.集合相等.集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B4.真子集.如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．表示记作BA (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集.我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集.【知识点透析】1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
【例题精讲】1.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1) {},,,a b c d {},a b ；(2) ∅ {}1,2,3；(3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <． 2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，3. 说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．（2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． AB（3）N ，N*．4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．5.判断集合A 与B 是否相等？(1) A ={0}，B = ∅；(2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }．4.下列各式中，正确的是（ ）Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}；(2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _∅．8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．10.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．11.下列四个集合中，表示空集的是（ ）A.｛０｝B.},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=C.},,5|||{N x Z x x x ∉∈=D.},0232|{2N x x x x ∈=-+12．已知集合，，那么（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 13．设，，若，则实数的取值范围是（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）【课堂练习】（一）集合与集合关系的理解 1.已知集合X 满足{}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.2.已知集合,,312,,61⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P }Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:3.已知集合{}{},,3,2,1A x x B A ⊆==求集合B.（二）空集的理解4.下列集合中：(1){0};(2{}{};)4(;)3(;,0,12φφR n x n x x ∈<+=(){}0,0)5(,是空集的为：（ ）（三）由集合之间的基本关系球参数5.若{}02=-a x x {}31<<-x x ，则a 的取值范围是（ ）6.已知集合{},01=-=ax x A 集合{},0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.（四）证明两集合相等.7.集合{},,12Z n n x x X ∈-=={},,14Z k k y y Y ∈±==试证明：X=Y.（五）集合与函数的综合8.设集合{}{}R x R a a x a x x B R x x x x A ∈∈=-+++=∈=+=,,01)1(2,,04222，若,A B ⊆求实数a的取值范围.9.若集合{}{}01,062=+==-+=mx x B x x x A ，且BA ，求m 的值.（六）提升拓展10.若不等式1<x 成立时，不等式[][]0)4()1(<+-+-a x a x 也成立，求a 的取值范围.【教学反思】。
集合间的基本关系讲义
1.1.2 集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素．．．．．．都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）数学语言表示形式为：若对任意的x ∈A 有x ∈B ，则A ⊆B子集关系用文氏图表示为：A ⊆B （或B ⊇A ） 根据子集的定义，我们可以知道A ⊆A ，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ，我们规定φA ．，．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．。
例1：用适当的符号填空0____{0} φ____{0} 2____{2} 2____N {2}____N变式练习1：已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0 }，B ＝{1，2}，C ＝{ x ｜x ＜8，x ∈N }，用适当的符号填空A___________B A___________C {2}__________C 2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d 的所有子集。
【解析】集合{,,,}a b c d 的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集φ；（2）含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d ；（3）含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d ；（4）含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d ；（5）含有四个元素的子集：{,,,}a b c d . 结论：如果集合A 中有n 个元素，则集合A 共有2n 个子集变式练习1：已知集合A ＝{x ∈N ＋︱－1≤x ＜4}，则集合A 的子集有_________个。
【解析】：8个（二）、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊆A ），则集合A 与集合B 相等，记作集合A ＝集合B 。
1.1.2集合间的基本关系(优秀经典公开课比赛课件)
• （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面 理解包含关系及相关的概念.
• 3．情感、态度与价值观
• 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关 系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用 数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能 力.
• （二）教学重点与难点
• 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于 与包含之间的区别.
我们知道实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7，5>3，等等， 类比实数之间的关系，集合之间存在着什么关系呢？
观察下面几个例子，我们一起来研究集合之间的关系. 例1 （1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}； （2）设A为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个 班全体学生组成的集合；
是集合B的子集,记为 A B（或 B A）,
读作”A含于B”(或”B包含A”).
韦恩图:用平面上封闭曲线的内部代表集合,这 种图称作韦恩图
A B或B AA来自B例1 （3）设C={x|x是两条边长相等的三角形}，
D={x|x是等腰三角形}. 通过观察我们发现集合C中任何一个元素都是集 合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都 是集合C中元素.这样，集合D的元素与集合C的元 素是一样的. 那么我们可以用子集概念来对集合相等作进一 步的数学描述.
我们可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B中 的元素，（2）中的集合A与集合B也有这种关系.反过来说，集合A 可以看成是集合B派生的一个集合，那么对于这种关系，我们称集 合A是集合B的子集.
一、子集
定义:对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都 是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A
1.2集合间的基本关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册1.2：集合间的基本关系课标解读：1.子集的含义.（理解）2.真子集的含义.（理解）3.集合相等的含义.（理解）4.空集的含义.（理解）5.Veen图.（了解）学习指导：1.准确理解子集的概念，把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解，例如：区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.知识导图：教材全解知识点1：Veen图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.例1-1：用Veen图表示集合之间的关系：}xxB=，是平行四边形xA=x|{|}{是菱形，xxD=是矩形xC=x}|}.，{|{是正方形答案：知识点2：子集例2-2：给出下列说法：①任意集合必有子集；②若集合BA⊆，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（）A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案：B例2-3：设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ，且A B ⊆，则a 的值为 . 答案：-1或2知识点3：集合的相等一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A=B.也就是说，若B A ⊆且A B ⊆，则A=B.例3-4：集合},12|{Z n n x x X ∈+==，},14|{z k k y y Y ∈±==，试证明Y X =. 答案：（1）设X x ∈0，则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数，可设Z m m n ∈=,20，则Z m m x ∈+=,140，∴Y x ∈0②若0n 是奇数，可设Z m m n ∈-=,120，则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20，∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数，都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. （2）设Y y ∈0，则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=，或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214，，或， ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0，则X Y ⊆ 由（1）（2）得，Y X =. 知识点4：真子集例4-5：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ） A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案：D例4-6：指出下列各组集合之间的关系： （1）)};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A （2）}6,3,2{=A ，B=}12|{的约数是x x ；（3）}|{}|{是等腰三角形，是等边三角形x x B x x A ==； （4）},12|{+∈-==N n n x x M ，},12|{+∈+==N n n x x N .答案：（1）A 与B 无包含关系；（2）A ⫋B ；（3）A ⫋B ；（4）N ⫋M .知识点5：空集 1.空集的定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.空集的性质（1）空集是任何集合的子集；（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅⫋A （A 为非空集合）. 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 辨析明理：∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：例5-7：下面四个集合中，表示空集的是（ ）. A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案：B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案：C知识点6：有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论： 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想：A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9：已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ，则集合A 的子集个数为（ ）.A.3B.4C.7D.8 答案：D例6-10：已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ）.A.6B.7C.8D.9 答案：B知识点7：集合的图示法 1.Veen 图（1）用Veen 图表示集合间基本关系，如图所示：（2）用Veen图表示集合之间的关系：A⫋B⫋C可表示为如图：2.数轴法对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图：{{≥}5|1|例7-11：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为；B为；C为；D为 .答案：{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12：已知集合A=}2{<≤-xx，则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x，集合B=}8答案：B⫋A题型与方法例13：指出下列各组集合之间的关系： （1）}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A （2）}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==（3）}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= （4）}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 （5）}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案：（1）B ⫋A ；（2）B ⫋A ；（3）A=B ；（4）A=B ；（5）B A ⊆；（6）A ⫋B.例14：已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==，则下列结论错误的是（ ） A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案：A变式训练：已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==，，则A ，B ，C 满足的关系是（ ）A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案：B题型2：确定集合的子集、真子集例15：设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答案：集合A 的子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4}，集合A 的真子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16：已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案：36变式训练：已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ，A P ⊆⫋B ，求满足条件的集合P. 答案：∅或{2}或{3}例17：已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ，若A=B ，则实数a 的取值范围为 . 答案：}44|{>-<a a a 或例18：已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若B ⫋A ，求实数m 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）}.3|{≤m m （2）不存在m 使得B A ⊆.变式训练：已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=，若B A ⊄，则实数a 的取值范围是（ ）. A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案：A例19：已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且，是否存在实数a 使得B C ⊆？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：当1=a 时，B C ⊆易错题型易错1：混淆属于关系和包含关系例20：已知集合A={0,1}，B=}|{A x x ⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2：忽略对参数的讨论例21：已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案：①当1=a 时，E=F ；②当1≠a 时，E ⫋F.易错3：忽略空集例22：已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为（ ）.A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案：D易错4：利用数轴求参数范围时，忽略端点值是否能取到例23：已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或，若A B ⊆，则a 的取值范围为 .答案：}38|{≥-<a a a 或创新升级例24：已知非空集合21A A ，是集合A 的子集，若同时满足两个条件：（1）若21A a A a ∉∈，则；（2）若12A a A a ∉∈，则，则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”，并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案：50组感知高考考向1：集合间关系判定及应用例25：已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案：D例26：已知集合A=},1{a ，B={1，2，3}，那么（ ）.A.若3=a ，则B A ⊆B.若B A ⊆，则3=aC.若3=a ，则B A ⊄D.若B A ⊆，则2=a 答案：C 考向2 ：子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-，B=},50|{N x x x ∈<<，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固：1.已知下列四个命题：①；则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ，则A ⫋C ；③若A ⫋B 且B ⊆C ，则A ⫋C ；④若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有（ ）A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ，则正确表示集合U ，M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是（）.4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则（ ）A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1}，集合B=},1|{R a ax x ∈=，则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x（1）若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ，，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得A=B ，}126{-≤≤-=m x m B ？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.综合提升：8.集合A=},,1{y x ，B=}2,,1{2y x ，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A.{21} B.{2121-，} C.{210，} D.{21210-，，}9.下列四个结合中，是空集的是（ ）A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==，},344|{2R b b b y y B ∈++==，则下列关系正确的是（ ）. A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ，②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为（ ）A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素，则称该元素集合为“n 元集合”，已知集合}4,3,21,2{-=A ，则其“2元子集”的个数为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ，集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ，若A M ⊆，且M 中至少有一个偶数，则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中1112...2221---+++=ni i i k ，则：（1）},{31a a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ，，同时满足B ⫋A ，C ⊆A 的实数b a ,是否存在？若存在，求出b a ,的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. （1）}43|{≤≤m m ；（2）不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.（1）5；（2）},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。
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第二讲 集合之间的基本关系
【知识点】
1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作
()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B
2.维恩图.
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图
3.集合相等.
集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B
4.真子集.
如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．
表示记作B
A (或A B)， 读作“A 真包含
B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集.
我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集.
【知识点透析】
1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
【例题精讲】
1.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：
(1)
{},,,a b c d {},a b ；(2) ∅ {}1,2,3； (3) N Q ； (4) 0 R ；
(5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|0
6x x <．
2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，
3. 说出下列每对集合之间的关系． A
B
（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．
（2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝．
（3）N ，N*．
4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．
A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，
B ＝｛x ｜x 是菱形｝，
C ＝｛x ｜x 是矩形｝，
D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{}
240B x x =-=的关系．
5.判断集合A 与B 是否相等？
(1) A ={0}，B = ∅；
(2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ；
(3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }．
4.下列各式中，正确的是（ ）
Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x
5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．
6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．
7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}；
(2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _∅．
8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集
9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2
－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．
10.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．
11.下列四个集合中，表示空集的是（ ）
A.｛０｝
B.},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=
C.},,5|||{N x Z x x x ∉∈=
D.},0232|{2N x x x x ∈=-+
12．已知集合，，那么（ ） （A ）
（B ） （C ） （D ） 13．设，，若，则实数的取值范围是（ ） （A ）
（B ） （C ） （D ）
【课堂练习】
（一）集合与集合关系的理解 1.已知集合X 满足{
}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.
2.已知集合,,312,,61⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧
∈+==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P }Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:
3.已知集合{}{},,3,2,1A x x B A ⊆==求集合B.
（二）空集的理解
4.下列集合中：(1){0};(2{}{};)4(;)3(;,0,12φφR n x n x x ∈<+=(){}0,0)5(,是空集的为：（ ）
（三）由集合之间的基本关系球参数
5.若{}02=-a x x {}31<<-x x ，则a 的取值范围是（ ）
6.已知集合{},01=-=ax x A 集合{}
,0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.
（四）证明两集合相等.
7.集合{},,12Z n n x x X ∈-=={},,14Z k k y y Y ∈±==试证明：X=Y.
（五）集合与函数的综合
8.设集合{}{}R x R a a x a x x B R x x x x A ∈∈=-+++=∈=+=,,01)1(2,,04222，若,A B ⊆求实数a 的取值范围.
9.若集合{}{}01,062=+==-+=mx x B x x x A ，且B
A ，求m 的值.
（六）提升拓展
10.若不等式1<x 成立时，不等式[][]0)4()1(<+-+-a x a x 也成立，求a 的取值范围.
【教学反思】。