ADNBF
八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知
三角形中位线定理制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【学习目的】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE.CF是中线，∴E.F分别是AC.AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF ∥BC 且EF=21BC ，∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC 且MN=21BC ，∴EF ∥MN 且EF=MN ，∴四边形MNEF 是平行四边形．2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔 〕A ．2B ．3 C.52 D ．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．【答案解析】解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点∴DE ∥AB∴∠EDC ＝∠ABC∵BF 平分∠ABC∴∠EDC ＝2∠FBD在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD∴∠DBF ＝∠DFB∴FD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．【思路点拨】〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求出OE=25．【答案与解析】〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．∵E.F 分别是BC.AD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，∵∠BME=∠CNE ，∴HE=HF ，∴AB=CD ；〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，∵AB=CD ，∴HO=HE ，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH 是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=25．【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，∵E 是AC 中点，∴AE=CE ，∴△DCE ≌△HAE ，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．制卷人：打自企；成别使；而都那。
专训3 构造三角形中位线的方法
专训3 构造三角形中位线 的方法
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置 上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当 题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连 接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边 的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形 的中位线．
方法 3 倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC， △BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M 为AF的中点．求证：ME＝ 1 CF. 2
证明： 如图，延长FE至N，使EN＝EF， 连接BN，AN.易得ME＝ 1 AN. 2 ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°. 又∵∠FBA＋∠CBF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABN.
解： 如图．连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，P是BD的中点，
∴PM是△ABD的中位线．
∴PM＝ 1 AB＝5.
2 同理可得PN＝
1 2
CD＝4.
在△PMN中，
∵PM－PN<MN<PM＋PN，
∴1<MN<9.
方法 5 已知两边中点，取第三边中点构造
三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴HE＝PD. 又∵P为AD的中点， ∴AP＝PD.∴AP＝HE. 易证△APN≌△HEN， ∴AN＝NH. 又∵NH＝HC， ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝ 1 AC.
3
点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.
5,7-二氨基-4,6-二硝基苯并氧化呋咱的制备
5,7-二氨基-4,6-二硝基苯并氧化呋咱的制备董岩;刘祖亮;苏强;郝尧刚【摘要】Using 2-Nitroaniline as the starting materials, the synthesis and refining of 5,7-diamino-4,6-dinitro-benzenfuroxan, 5,7-diamino-4,6-dinitrobenzenfuroxan was studied by the employment of a three step reaction, including oxidation, nitration and vicarious nucleophilic substitution (VNS) , having a total yield of 46%. The influencing factors of nitration reaction and vicarious nucleophilic substitution were studied, and the optimal reactive conditions were verified as follows; the optimal nitration temperature of 30℃ , the reactive time of vicarious nucleophilic substitution (VNS) of 3h, and the concentration of HC1 of 1 mol/L. Refining technology of DADNBF was designed as recrystallization of DADNBF potassium followed by acidizing, and the effect of recrystallization solvent on the purity and recrystallization yield was studied. Water was turned out to be the best solvent, the recrystallization yield was 92% , and the purity of DADNBF after acidizing was above 98. 8% . The product was characterized by1H NMR, MS and IR.%研究了5,7-二氨基4,6-二硝基苯并氧化呋咱(DADNBF)的合成与精制.以邻硝基苯胺为起始原料,经氧化、硝化、VNS胺化3步反应得到5,7-二氨基-4,6-二硝基苯并氧化呋咱,3步总收率46％,讨论了硝化反应和VNS胺化反应的影响因素,确定了合成DADNBF 的最佳反应条件:适宜硝化温度为30℃,VNS胺化反应时间为3h,酸化使用盐酸的浓度为1 mol/L.设计了由DADNBF钾盐重结晶,再酸化制备DADNBF的精制工艺,研究了重结晶溶剂对DADNBF钾盐收率和纯度的影响,确定水为最佳溶剂,重结晶产率为92％,酸化后DADNBF的纯度≥98.8％.采用核磁共振、红外光谱、质谱对目标化合物的结构进行了表征.【期刊名称】《爆破器材》【年(卷),期】2013(042)001【总页数】4页(P10-13)【关键词】有机化学;5,7-二氨基-4,6-二硝基苯并氧化呋咱;邻硝基苯胺;硝化;精制【作者】董岩;刘祖亮;苏强;郝尧刚【作者单位】南京理工大学化工学院江苏南京,210094;南京理工大学化工学院江苏南京,210094;甘肃银光化学工业集团有限公司甘肃白银,730900;甘肃银光化学工业集团有限公司甘肃白银,730900【正文语种】中文【中图分类】O626.3;TQ56引言氧化呋咱环( Furoxan)是具有一个配位氧原子的氮氧五元环，由于环中含有“潜硝基”而成为爆炸基团。
初三数学总复习指导--第十一讲 四边形(一)
第十一讲 四边形(一)一、课标下复习指南1．多边形(1)多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．(2)多边形的性质：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°；②任意多边形的外角和等于360°；※③n 边形的对角线的条数等于).3(21 n n2．四边形的分类3．平行四边形(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)平行四边形的性质：①两组对边分别平行且相等；②两组对角分别相等；③两条对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．(3)平行四边形的判定：①根据平行四边形的定义判定；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．矩形(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四个角都是直角；③两条对角线相等；④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是过每组对边中点的直线．(3)矩形的判定：①根据矩形的定义判定；②有三个角是直角的四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形．5．菱形(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四条边都相等；③两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线．(3)菱形的判定：①根据菱形的定义判定②四条边都相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．6．正方形(1)正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．(2)正方形的性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．(3)正方形的判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形．二、例题分析例1 已知：如图11－1，BD 为□ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD ，BC 分别交于点E ，F ．求证：DE ＝DF ．分析 因为BD ⊥EF 于点O ，所以欲证DE ＝DF ，只要证EO ＝FO ；另外对于△DEF ，欲证DE ＝DF ，只要证∠DEF ＝∠DFE ．说明 (1)请总结证法一及证法二的基本思路和方法，想一想，还可以怎么证?(2)如图，在例1的条件下，若连接BE ，则四边形EBFD 是怎样的四边形?(3)如图，在例1的条件下，若BD ＝24cm ，EF ＝10cm ，FC ＝2cm ，试计算□ABCD 的面积．例2 如图11－3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连接C ′E ．(1)求证：四边形CDC ′E 是菱形； (2)若BC ＝CD ＋AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．分析 证明四边形CDC ′E 是菱形的关键是证明CD ＝CE ．例3已知：如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠EAC＝15°．(1)试比较线段BO与BE的大小，并证明你的结论；(2)若连接OE，求∠BOE．说明(1)在解答第(1)小题时，一定要先写出结论，然后再说明理由，在解答第(2)小题时，一定要注意第(1)、(2)小题之间是否有必然联系；(2)若例4再添加AB＝4 cm这个条件，请想一想，怎样求出E点到对角线AC的距离．例5如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD的中点，AF，DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE(不需要证明)(1)如图11－7，若点E，F不是正方形ABCD的边BC，CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图11－8，若点E，F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．11－7 11－8 图11－9(3)如图11－9，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程．说明“中点四边形”是一个重要的知识点．考生应会证明“任意四边形的中点四边形是平行四边形”；“对角线相等的四边形的中点四边形是菱形”；“对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形”．另外，请掌握解答这类问题时，书写表达如何更加规范．例6如图11－10，正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM⊥MN于M，MN交∠CBE的平分线于N．求证：DM＝MN．分析证线段相等，可考虑构造三角形全等或集中在一个三角形中，利用“等角对等边”来证．说明(1)将“M在AB上”的条件改为“M在AB的延长线上”，其他条件不变，DM＝MN的结论还成立吗?(2)若将正方形推广到任意正n边形，需将条件相应地做怎样的改变，仍有类似的线段相等的结论成立?三、课标下新题展示例7 如图11－12所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O，以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以OB1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……，依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．例8 在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．(1)如图11－13，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝α，求点M到AD的距离及tanα的值；(2)如图11－14，若∠ABC＝90°，记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．如图11－16，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )．A．7个B．8个C．9个D．11个2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )．A．AC＝BD，AB CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3．如图11－17，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条4．在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E 处，若AE过BC的中点，则□ABCD面积为( )．A．48 B．612D．210C．7245．如图11－18，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )．A．OE＝OF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF6．如图11－19，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )．A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm(二)填空题7．若菱形两条对角线长分别为10和24，则它的边长为______，面积______．8．如图11－20，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝______．11－20 图11－21 图11－229．如图11－21，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，若P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE ∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是______．10．如图11－22，在平面直角坐标系中，若□ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是______．(三)解答题11．已知：如图11－23，E，F是□ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．12．已知：如图11－24，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．13．已知：如图11－25，点E、F分别是正方形ABCD的对边AD，BC的中点，将三角尺的直角顶点与E点重合，其一边经过B点，另一边与DC交于G点，现将三角尺沿EF平移，如图11－25所示，能否使所截得的四边形PMCN的面积为正方形ABCD面积的一半?如果可以，求平移的距离EP(若正方形ABCD的边长为a)．。
八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法
八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为A C上一点，分别以A B，B C为边在A C同侧作等边三角形A B D和等边三角形B C E，点P，M，N分别为A C，A D，C E的中点．(1)求证：P M＝P N；解：证明：如图，连接C D，A E.由三角形中位线定理可得P M綊1/2C D，P N綊1/2A E.∵△A B D和△B C E是等边三角形，∴A B＝D B，B E＝B C，∠A B D＝∠C B E＝60°，∴∠A B E＝∠D B C.∴△A B E≌△D B C，∴A E＝D C.∴P M＝P N.(2)求∠M P N的度数．解：如图，设P M交A E于F，P N交C D于G，A E交C D于H.由(1)知△A B E≌△D B C，∴∠B A E＝∠B D C.∴∠A H D＝∠A B D＝60°，∴∠F H G＝120°.易证四边形P F H G为平行四边形，∴∠M P N＝120°.二：利用角平分线＋垂直构造中位线2．如图在△A B C中，点M为B C的中点，A D为△A B C的外角平分线，且A D⊥B D，若A B＝12，A C＝18，求D M的长．解：如图，延长B D，C A交于N.在△A N D和△A B D中，∠A D N＝∠A D B＝90°，∴△A N D≌△A B D(A S A)．∴D N＝D B，A N＝A B.∴D M＝1/2N C＝1/2(A N＋A C)＝1/2(A B＋A C)＝15.3．如图，在△A B C中，已知A B＝6，A C＝10，A D平分∠B A C，B D⊥A D于点D，点E为B C的中点，求D E的长．解：如图，延长B D交A C于点F，∵A D平分∠B A C，∴∠B A D＝∠C A D.∵B D⊥A D，∴∠A D B＝∠A D F，又∵A D＝A D，∴△A D B≌△A D F(A S A)．∴A F＝A B＝6，B D＝F D.∵A C＝10，∴C F＝A C－A F＝10－6＝4.∵E为B C的中点，∴D E是△B C F的中位线．∴D E＝1/2C F＝1/2×4＝2.三：倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△A B C中，∠A B C＝90°，B A＝B C，△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，M为A F的中点，求证：M E＝1/2C F.解：证明：如图，延长F E至N，使E N＝E F，连接B N，A N.易得M E＝1/2A N.∵E F＝E N，∠B E F＝90°，∴B E垂直平分F N.∴B F＝B N.∴∠B N F＝∠B F N.∵△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，∴∠B F N＝45°.∴∠B N F＝45°，∴∠F B N＝90°，即∠F B A＋∠A B N＝90°.又∵∠F B A＋∠C B F＝90°，∴∠C B F＝∠A B N.在△B C F和△B A N中,B C＝B A∴△B C F≌△B A N.∴C F＝A N.∴M E＝1/2A N＝1/2C F.四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形A B C D中，M、N分别是A D、B C的中点，若A B ＝10，C D＝8，求M N长度的取值范围．解：如图，取B D的中点P，连接P M，P N.解：证明：如图，取A B的中点H，连接M H，N H，则M H＝1/2B F，N H＝1/2A E.解：证明：如图，取N C的中点H，连接D H，过点H作H E∥A D，交B N的延长线于E.∵A B＝A C，A D⊥B C，∴D为B C的中点．又∵H为N C的中点，∴D H∥B N.又∵P D∥E H，∴四边形P D H E是平行四边形．∴H E＝P D.又∵P为A D的中点，∴A P＝P D.∴A P＝E H，易证△A P N≌△H E N，∴A N＝N H.∴A N＝N H＝H C，∴A N=1/2A C.。
等边三角形的判定与性质难题
等边三角形的判断与性质难题一、选择题（共 1 小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是 Rt△ABC斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD折叠， B 点恰巧落在AB的中点 E 处，则∠A等于（）A． 25°B． 30°C． 45°D． 60°二、填空题（共 1 小题）（除非特别说明，请填正确值）2．一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3， 4，2，则该六边形的周长是_________ ．三、解答题（共 6 小题）（选答题，不自动判卷）3．如图， P 是等边△ ABC 内部一点， PC=3， PA=4，PB=5．求 AC2．4．如图（ 1），△ ABC是等边三角形， DE是中位线， F 是线段 BC延伸线上一点，且CF=AE，连结 BE， EF．（1）求证： BE=EF；（2）若将 DE从中位线的地点向上平移，使点 D，E 分别在线段 AB， AC上（点 E 与点 A 不重合），其余条件不变，如图（ 2），则（ 1）题中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．5．（2008?旭日区二模）已知：在等边△ABC 中，点D、E、F 分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点 G在 CB延伸线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得△ DGH是等边三角形”建立（如图①），且当点 G 与点B、 E、 C 重合时，该结论也必定建立．问题：当点 G在直线 BC的其余地点时，该结论能否仍旧建立？请你在下边的备用图②③④中，画出相应图形并证明有关结论．6．如图， P 是等边三角形ABC内的一点，连结PA、 PB、PC，以（ 1）察看并猜想AP与 CM之间的大小关系，并说明你的结论；（ 2）若 PA=PB=PC，则△ PMC是 _________三角形；（ 3）若 PA： PB： PC=1：：，试判断△ PMC的形状，并说明原因．BP为边作等边三角形BPM，连结CM．7．（2006?徐州）如图 1，△ ABC为等边三角形，面积为 S． D1、E1、F1分别是△ ABC三边上的点，且 AD1=BE1=CF1=AB，连结 D1E1、 E1F1、 F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△ AD 1F1的面积 S1=S，△D1E1F1的面积 S1=S．（1）当 D2、 E2、 F2分别是等边△ ABC 三边上的点，且 AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D 2E2F2 是等边三角形；②若用 S 表示△ AD2F2的面积 S2，则 S2=（ 2）依据上述思路研究下去，并填空：_________ ；若用S 表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________ ．当 D n、E n、 F n分别是等边△ ABC 三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（ n 为正整数）△D n E n F n是_________三角形；若用 S 表示△ AD n F n的面积 S n，则 S n= _________；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′ n=_________．8．（2009?莆田）已知：等边△ ABC 的边长为a．研究（ 1）：如图 1，过等边△ ABC 的极点 A、B、C 挨次作 AB、BC、CA的垂线围成△ MNG，求证：△ MNG 是等边三角形且 MN=a；研究（ 2）：在等边△ ABC 内取一点O，过点 O分别作 OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、 E、 F．①如图 2，若点 O是△ ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质获得两个正确结论（不用证明）：结论 1． OD+OE+OF=a；结论 2． AD+BE+CF=a；②如图 3，若点 O是等边△ ABC 内随意一点，则上述结论1，2 能否仍旧建立？假如建立，请赐予证明；假如不建立，请说明原因．【考点训练】等边三角形的判断与性质-1参照答案与试题分析一、选择题（共 1 小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是 Rt△ABC斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD折叠， B 点恰巧落在AB的中点 E 处，则∠A等于（）A． 25°B． 30°C． 45°D． 60°考点：等边三角形的判断与性质．剖析：先依据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，从而可判断出△ BEC 是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解答：解：△ ABC沿CD折叠B与E重合，则 BC=CE，∵E为 AB中点，△ ABC 是直角三角形，∴C E=BE=AE，∴△ BEC 是等边三角形．∴∠ B=60°，∴∠ A=30°，应选： B．评论：考察直角三角形的性质，等边三角形的判断及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．二、填空题（共 1 小题）（除非特别说明，请填正确值）2．一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3， 4，2，则该六边形的周长是17．考点：等边三角形的判断与性质；多边形内角与外角．专题：计算题．剖析：先延伸此中三边结构等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．解答：解：如下图，∵六个内角都是120°，∴三角形的每个内角都是60°，即△ CDE，△ BFG，△ AHI，△ ABC 都为等边三角形，∴C E=2， BF=3，∴B C=2+4+3=9，∴A H=AB﹣ GH﹣ BG=9﹣ 1﹣ 3=5，∴DI=AC﹣ AI ﹣ CD=9﹣ 5﹣ 2=2， HI=AH=5，∴该六边形的周长是： 1+3+4+2+2+5=17．故答案为 17．评论：主要考察了正多边形的有关性质．边相等，角相等．三、解答题（共 6 小题）（选答题，不自动判卷）3．如图， P 是等边△ ABC 内部一点， PC=3， PA=4，PB=5．求 AC2．考点：等边三角形的判断与性质；勾股定理的逆定理．剖析：第一将△ BCP绕点C顺时针旋转60°得△ ACQ，连结 PQ．再过 A 作 CP的延伸线的垂线AD，垂足为 D，易证得△ PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠ APC 的度数，而后可求得∠ APD 的度数，在 Rt△APD2中，即可求得AD与 CD的长，既而求得AC ．解答：解：将△ BCP绕点C顺时针旋转60°得△ ACQ，连结 PQ．再过 A 作 CP的延伸线的垂线AD，垂足为 D，∴AQ=PB=5， CQ=PC，∠PCQ=60°，∴△ PCQ是等边三角形，∴P Q=PC=3，∠ QPC=60°，在△ PAQ中，∵ PA=4， AQ=5，PQ=3，22 2∴AQ =PA+PQ，∴∠ APQ=90°，∴∠ APC=∠APQ+∠QPC=150°，∴∠ APD=30°，在 Rt△APD中， AD=PA=2，PD=AP?cos30°=2，则 CD=PC+PD=3+2，2 2 2 2在 Rt△ACD中， AC=AD+CD=4+（ 3+2）=25+12．评论：本题考察了等边三角形的判断与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．本题难度较大，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．4．如图（ 1），△ ABC是等边三角形， DE是中位线， F 是线段 BC延伸线上一点，且CF=AE，连结 BE， EF．（1）求证： BE=EF；（2）若将 DE从中位线的地点向上平移，使点 D，E 分别在线段 AB， AC上（点 E 与点 A 不重合），其余条件不变，如图（ 2），则（ 1）题中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；三角形中位线定理．剖析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判断与性质证明．解答：（ 1）证明：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC=∠ACB=60°， AB=BC=CA，∵DE 是中位线，∴E是 AC的中点，∴BE 均分∠ ABC， AE=EC，∴∠ EBC=∠ABC=30°∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠ CEF=∠F．∵∠ CEF+∠F=∠ACB=60°，∴∠ F=30°，∴∠ EBC=∠F∴B E=EF；（ 2）结论任然建立．∵DE 是由中位线平移所得，∴DE∥BC，∴∠ ADE=∠ABC=60°，∠A ED=∠ACB=60°．∴△ ADE 是等边三角形．∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=DF，∵∠ BDE=180°﹣∠ADE=120°，∠FCE=180﹣∠ACB=120°，∴∠ FCE=∠EDB，∴△ BDE≌△ECF，∴BE=EF．评论：本题考察等边三角形以及三角形全等的判断与性质等知识点．5．（2008?旭日区二模）已知：在等边△ABC 中，点D、E、F 分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点 G在 CB延伸线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得△ DGH是等边三角形”建立（如图①），且当点 G 与点B、 E、 C 重合时，该结论也必定建立．问题：当点 G在直线 BC的其余地点时，该结论能否仍旧建立？请你在下边的备用图②③④中，画出相应图形并证明有关结论．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．专题：证明题．剖析：连结DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF 上截取 EH使 EH=BG．由 D、E、F 是等边△ABC三边中点，可得△ DEF、△ DBE 也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△ DBG≌△ DEH，而后即可证明；（ 2）当点 G在射线 EC上时，如图②，在EF 上截取 EH使 EH=BG．由（ 1）可证△ DBG≌△ DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠ BDE=∠BDG﹣∠ EDG=60°，可得∠ GDH=∠EDH﹣∠ EDG=60°，即可证明．（ 3）当点 G在 BC延伸线上时，如图③，与（2）同理可证，结论建立．解答：证明：连结DE、 EF、 DF．（ 1）当点 G在线段 BE 上时，如图①，在 EF 上截取 EH使 EH=BG．∵D、 E、 F 是等边△ ABC 三边中点，∴△ DEF、△ DBE 也是等边三角形且DE=AB=BD．在△ DBG和△ DEH中，，∴△ DBG≌△ DEH（ SAS），∴DG=DH．∴∠ BDG=∠EDH．∵∠ BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠ GDH=∠GDE+∠EDH=60°∴在直线EF 上存在点H使得△ DGH是等边三角形．（ 2）当点 G在射线 EC上时，如图②，在 EF 上截取 EH使 EH=BG．由（ 1）可证△ DBG≌△ DE H．∴DG=DH，∠ BDG=∠EDH．∵∠ BDE=∠BDG﹣∠ EDG=60°，∴∠ GDH=∠EDH﹣∠ EDG=60°．∴在直线EF 上存在点H使得△ DGH是等边三角形．（3）当点 G在 BC延伸线上时，如图③，与（ 2）同理可证，结论建立．综上所述，点 G在直线 BC上的随意地点时，该结论建立．评论：本题考察了等边三角形的判断与性质及全等三角形的判断与性质，难度较大，重点是奇妙地作出协助线进行解题．6．如图， P 是等边三角形ABC内的一点，连结PA、 PB、PC，以 BP为边作等边三角形BPM，连结 CM．（1）察看并猜想 AP与 CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若 PA=PB=PC，则△ PMC是等边三角形；（3）若 PA： PB： PC=1：：，试判断△ PMC的形状，并说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；勾股定理的逆定理．专题：研究型．剖析：（1）经过察看应当是相等关系，可经过证三角形APB和 BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只需再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠A BP和∠ MBC都是60°﹣∠ PBC，所以这两个角相等，也就凑成了三角形全等的全部条件．所以可得两三角形全等，也就证了然AP=CM；（2）依据（ 1）的结论 AP=CM，又有三角形 BPM是等边三角形，所以 PA=PB=PC可写成 PM=PC=CM，也就是说三角形 PMC是等边三角形．（3）依据 AP=CM， BP=PM，我们可将题中给出的比率关系式写成CM：PM： PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．所以三角形PMC是直角三角形．解答：解：（1）AP=CM．∵△ ABC、△ BPM 都是等边三角形，∴AB=BC， BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ ABP=∠CBM．∴△ ABP≌△ CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△ PMC是直角三角形．∵AP=CM， BP=PM， PA： PB： PC=1：：，∴CM： PM：PC=1：：．设 CM=k，则 PM=k， PC=k，22 2∴CM+PM=PC∴△ PMC是直角三角形，∠ PMC=90°．评论：本题主要考察了全等三角形的判断，等边三角形的判断以及直角三角形的判断．经过全等三角形得出线段相等是本题的解题重点．7．（2006?徐州）如图1，△ ABC为等边三角形，面积为S． D 、E 、F 分别是△ ABC三边上的点，且AD=BE=CF=AB，11111 1连结 D1E1、 E1F1、 F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△ AD 1F1的面积 S1=S，△D1E1F1的面积 S1=S．（ 1）当 D2、 E2、 F2分别是等边△ ABC 三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图 2，①求证：△D 2E2F2 是等边三角形；②若用 S 表示△ AD2F2的面积 S2，则 S2= S；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S．（ 2）依据上述思路研究下去，并填空：当 D n、E n、 F n分别是等边△ ABC 三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（ n 为正整数）△D n E n F n是等边三角形；若用 S 表示△ AD n F n的面积 S n，则 S n=；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′ n=．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．专题：研究型．剖析：（ 1）由等边三角形的性质和已知条件可证△ AD 2F2≌△ BE2D2≌△ CF2E2，得 D2E2=E2F2=F2 D2所以△D2E2F2为等边三角形．（ 2）（ 3）由等边三角形的性质和面积公式可求．解答：解：（1）①∵△ ABC为等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠ A=∠B=60°，（1分）由已知得AD2 =AB， BE2=BC，∴A F2=AC， BD2=AB∴AD2=BE2， AF2 =BD2（ 2 分）△AD2F2≌△ BE2 D2（ 3 分）∴D2E2=F2D2同理可证△ AD2 F2≌△ CF2E2F2D2=E2F2（ 4 分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2 E2 F2 为等边三角形；（5分）②；（ 6 分）S′2=S﹣S×3=S（ 7 分）（2）由（ 1）可知：△D n E n F n等边三角形；（ 8分）由（ 1）的方法可知：， S3 =S，；（9 分）S2′=S， S3′=．（ 10 分）评论：本题考察了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．8．（2009?莆田）已知：等边△ ABC 的边长为a．研究（ 1）：如图 1，过等边△ ABC 的极点 A、B、C 挨次作 AB、BC、CA的垂线围成△ MNG，求证：△ MNG 是等边三角形且 MN=a；研究（ 2）：在等边△ ABC 内取一点O，过点 O分别作 OD⊥AB、OE⊥ BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、 E、 F．①如图 2，若点 O是△ ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质获得两个正确结论（不用证明）：结论 1． OD+OE+OF=a；结论 2． AD+BE+CF=a；②如图 3，若点 O是等边△ ABC 内随意一点，则上述结论1，2 能否仍旧建立？假如建立，请赐予证明；假如不建立，请说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．剖析：（ 1）本题中△ ABC 为等边三角形， AB=BC=a，∠ ABC=60°，求出∠ N，∠G 的值，在直角△ AMB、△ CNB 中，能够先用 a 表示出 MB， NB而后再表示出 MN，这样就能证得 MN=a；（2）判断①能否建立可经过建立直角三角形，把所求的线段都转变到直角三角形中进行求解；判断②能否建立，也要经过建立直角三角形，可依据勾股定理，把所求的线段都表示出来，而后经过化简得出结论②能否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ ABC为等边三角形，∴∠ ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠ CBM=∠BAM=90°．∴∠ ABM=90°﹣∠ ABC=30°．∴∠ M=90°﹣∠ ABM=60°．同理：∠ N=∠G=60°．∴△ MNG为等边三角形．在 Rt△ABM中， BM=a，在 Rt△BCN中， BN=a，∴MN=BM+BN=a ．（ 2）②：结论 1 建立．证明：如图 3，过点 O 作 GH ∥BC ，分别交 AB 、 AC 于点 G 、H ，过点 H 作 HM ⊥BC 于点 M ， ∴∠ DGO=∠B=60°，∠ OHF=∠C=60°， ∴△ AGH 是等边三角形， ∴GH=AH ． ∵OE ⊥BC ， ∴OE ∥HM ，∴四边形 OEMH 是矩形， ∴HM=OE ．在 Rt △ODG 中， OD=OG?sin ∠DGO=OG?sin60°=OG ，在 Rt △OFH 中， OF=OH?sin ∠OHF=OH?sin60°=OH ，在 Rt △HMC 中， HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC ，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH =（ GH+HC ）=AC=a ．（ 2）②：结论 2 建立．证明：如图 4，连结 OA 、 OB 、 OC ，依据勾股定理得：2 2 2 2 2BE +OE=OB=BD+OD ①，2 2 2 2 2CF +OF=OC=CE+OE ②，22222AD +OD=AO=AF +OF ③，①+②+③得： 222222BE +CF +AD=BD+CE+AF ，22222222 2222∴BE +CF+AD=（ a ﹣ AD ） +（ a ﹣BE ） +（ a ﹣ CF ） =a ﹣2AD?a+AD+a ﹣2BE?a+BE+a ﹣2CF?a+CF整理得： 2a （ AD+BE+CF ） 2∴AD+BE+CF=a ．=3a评论： 本题中综合考察了等边三角形的判断和性质，解直角三角形等知识点，因为知识点比许多，本题的难度比较大．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)专项练习(含答案)
《第十八章 平行四边形》专项练习专项1 特殊平行四边形中的折叠问题类型1 矩形中的折叠问题1.如图,将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠,使CB ,AD 恰好落在对角线AC 上,B',D'分别是B ,D 的对应点,折痕分别为CF ,AE .若AB=4,BC=3,则线段B'D'的长是( )A.52B.2C.32D.12.如图,在矩形ABCD 中,AB=5,BC=6,点M ,N 分别在AD ,BC 上,且AM=BN ,AD=3AM ,E 为BC 边上一动点,连接DE ,将△DCE 沿DE 所在直线折叠得到△DC'E ,当点C'恰好落在线段MN 上时,则CE 的长为( )A.52或2B.52C.32或2D.323.如图,折叠矩形纸片ABCD ,使点B 落在点D 处,折痕为MN ,已知AB=8,AD=4,则MN 的长是( )A.535B.25C.735D.454.如图,在矩形纸片ABCD 中,边AB=12,AD=5,点P 为DC 边上的动点(点P 不与点D ,C 重合),将纸片沿AP 折叠,则CD'的最小值为 .5.如图,在矩形ABCD 中,点E 在边CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,使点C 落在AD 边上的点F 处,过点F 作FG //CD ,交BE 于点G ,连接CG .(1)求证:四边形CEFG是菱形.(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.类型2 菱形中的折叠问题6.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A 恰好落在BD上的点F处,那么∠BFC的度数是( )A.60°B.70°C.75°D.80°7.如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=120°,点E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿EF折叠,使点B正好落在AD边上的点G处.若EG⊥AC,则FG的长为( )A.36B.6C.33D.328.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求AF的长.类型3 正方形中的折叠问题9.如图,在正方形ABCD中,AB=6,将△ADE沿AE折叠,使点D落在点F处,延长EF交BC于点G.若点G刚好是BC边的中点,则ED的长是( )A.1B.1.5C.2D.2.510.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:∠APB=∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.专项2 平行四边形中的动点问题1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若E,F是AC 上两动点,分别从A,C两点同时出发,以1 cm/s的速度向C,A方向运动.(1)四边形DEBF是平行四边形吗?请说明理由.(2)若BD=12,AC=16,则当运动时间t为何值时,四边形DEBF是矩形? 2.如图1,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=11 cm,点P从点D出发向终点A运动,同时点Q从点B出发向终点C运动.当P,Q两点中任意一点到达终点时,另一点随之停止运动,点P,Q的速度分别为1 cm/s,2 cm/s,连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)如图2,若点E为边AD上一点,当AE=3 cm时,四边形EQCP可能为菱形吗?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.3.如图1,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=6 cm,BD=8 cm,过点B,C分别作AC,BD的平行线相交于点E.(1)判断四边形BOCE的形状并证明;(2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2 cm/s的速度运动了t s,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.(3)如图2,点G在直线AC上运动,求BG+EG的最小值.4.已知点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上运动(点P不与B,C重合),且∠PAQ=∠B.(1)如图1,若AP⊥BC,求证:AP=AQ.(2)如图2,若AP与BC不垂直,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,若AB=4,∠B=60°,请直接写出四边形APCQ的面积.5在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上的一个动点(不与点A,O重合),过点P作PE⊥PB,交边CD于点E.(1)如图1,求证:PE=PB.(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P 运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出PF的长;若变化,请说明理由.(3)用等式表示线段PC,PA,EC之间的数量关系.专项3 与正方形有关的常考模型类型1 十字模型1.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C、点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当点E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.2.在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD 于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连接CM.若CM=1,则FG的长为 .【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为 .类型2 半角模型3.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠MAN=45°,点E在CB 的延长线上,连接AE,BE=DN.(1)求证:AE=AN.(2)若CM=3,CN=4,求EM的长.[变式][2021福建泉州期末]已知正方形ABCD,点E,F分别是边AB,BC上的动点.(1)如图1,点E,F分别是边AB,BC的中点,证明:DE=DF.(2)如图2,若正方形ABCD的边长为1,△BEF的周长为2,证明:∠EDF=45°.类型3 手拉手模型4. [2020河南商丘梁园区期末]小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1放置,AD 与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.考答案专项1 特殊平行四边形中的折叠问题1.D 由折叠的性质,可得AD=AD',BC=B'C ,∴AD'=3,B'C=3,∵AB=4,BC=3,∴AC=AB 2+BC 2=5,∴B'D'=AD'+B'C -AC=3+3-5=1.2.B3.B4. 85.(1)证明:由折叠的性质,得∠BEC=∠BEF ,FE=CE .∵FG //CE ,∴∠FGE=∠BEC ,∴∠FGE=∠FEG ,∴FG=FE ,∴FG=CE ,∴四边形CEFG 是平行四边形,又EF=CE ,∴四边形CEFG 是菱形.(2)解:在矩形ABCD 中,∠BAF=90°,AB=6,BF=BC=AD=10,∴AF=BF 2-AB 2=8,∴DF=2.设EF=x ,则CE=x ,DE=6-x ,在Rt △DEF 中,DF 2+DE 2=EF 2,∴22+(6-x )2=x 2,解得x=103,∴四边形CEFG 的面积是CE ·DF=103×2=203.6.C ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC ,∠A +∠ABC=180°,BD 平分∠ABC .∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.由折叠的性质,可得AB=BF ,∴FB=BC ,∴∠BFC=∠BCF=12×(180°-30°)=75°.7.C8.解:如图,过点F 作FH ⊥BD 于H ,由折叠的性质得FG=FA .由题意得BD=DG +BG=8.∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB ,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴AD=BD=8.设AF=x ,则FG=x ,DF=8-x ,在Rt △DFH 中,∠FDH=60°,∴∠DFH=30°,∴DH=12DF=4-12x ,FH=43−32x ,∴HG=DH -DG=2-12x .在Rt △FHG 中,由勾股定理得x 2=(43−32x )2+(2-12x )2,解得x=267,即AF 的长为267.9.C 10.(1)证明:由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC=90°,PE=BE ,∴∠EBP=∠EPB ,∴∠EPH -∠EPB=∠EBC -∠EBP ,即∠PBC=∠BPH .∵AD //BC ,∴∠APB=∠PBC ,∴∠APB=∠BPH .(2)解:△PDH 的周长不变.证明如下:过点B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .由(1)知∠APB=∠BPH .在△ABP 和△QBP 中,∠APB =∠QPB ,∠A =∠BQP ,BP =BP ,∴△ABP ≌△QBP ,∴AP=QP ,AB=QB ,又AB=BC ,∴BC=BQ .在Rt △BCH 和Rt △BQH 中,BC =BQ ,BH =BH ,∴Rt △BCH ≌Rt △BQH ,∴CH=QH .∴△PDH 的周长为PD +DH +PH=PD +DH +AP +HC=AD +CD=8.故△PDH 的周长不发生变化.专项2 平行四边形中的动点问题1.解:(1)是.理由如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD=OB ,OA=OC .∵E ,F 两点运动的速度相同,∴AE=CF ,∴OE=OF .又OD=OB ,∴四边形DEBF 是平行四边形.(2)当四边形DEBF 是矩形时,有EF=BD=12,∴AE=CF=12×(16-12)=2或AE=CF=12×(16+12)=14,∴当t=2或14时,四边形DEBF 是矩形.2.解:(1)由题意可得DP=t cm,BQ=2t cm,则AP=(11-t )cm.若四边形ABQP 是矩形,则AP=BQ ,∴11-t=2t ,解得t=113.故当t=113时,四边形ABQP 是矩形.(2)由题意,得PE=(8-t )cm,CQ=(11-2t )cm,CP 2=CD 2+DP 2=16+t 2.若四边形EQCP 为菱形,则CP=PE=CQ ,∴t 2+16=(8-t )2=(11-2t )2,解得t=3.故当t=3时,四边形EQCP 为菱形.3.解:(1)四边形BOCE 是矩形.证明如下:∵BE //OC ,EC //OB ,∴四边形BOCE 是平行四边形.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴∠BOC=90°,∴四边形BOCE 是矩形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,AC=6 cm,BD=8 cm,∴OA=OC=3 cm,OB=OD=4 cm.∵S △ABG =2S △OBG ,∴AG=2OG ,∴2t=2(3-2t )或2t=2(2t -3),解得t=1或t=3.(3)如图,连接ED 交AC 于点G ,连接BG ,此时BG +EG 的值最小.∵四边形ABCD 是菱形,∴点B 与点D 关于AC 对称,∴BG=DG ,∴BG +EG 的最小值为DE 的长.在Rt △EBD 中,BE=3,BD=8,∴DE=BE 2+BD 2=73,∴BG +EG 的最小值为73 cm.4.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴∠B +∠C=180°,∠B=∠D ,AB=AD .∵∠PAQ=∠B ,∴∠PAQ +∠C=180°,∴∠APC +∠AQC=180°.∵AP ⊥BC ,∴∠APC=90°,∴∠AQC=90°.在△APB 和△AQD 中,∠APB =∠AQD ,∠B =∠D ,AB =AD ,∴△APB ≌△AQD (AAS),∴AP=AQ .(2)解:若AP 与BC 不垂直,(1)中的结论还成立.证明如下:如图1,过点A 作AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,垂足分别为E ,F .由(1)可得∠PAQ=∠EAF=∠B ,AE=AF ,∴∠EAP=∠FAQ .在△AEP 和△AFQ 中,∠AEP =∠AFQ ,AE =AF ,∠EAP =∠FAQ ,∴△AEP ≌△AFQ (ASA),∴AP=AQ .(3)解:S 四边形APCQ =43.如图2,连接AC ,BD 交于点O ,过点A 作AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,垂足分别为E ,F .∵∠ABC=60°,BA=BC ,∴△ABC 为等边三角形.∵AE ⊥BC ,∴BE=EC ,同理CF=FD ,∴S 四边形AECF =12S 菱形ABCD .由(2)得S 四边形APCQ =S 四边形AECF ,∴S 四边形APCQ =12S 菱形ABCD .∵AB=4,∠ABC=60°,∴OA=12AB=2,∴OB=23,∴S 菱形ABCD =12×23×2×4=83,∴S 四边形APCQ =43.5.(1)证明:如图1,过点P 作MN //AD ,交AB 于点M ,交CD 于点N .∵PB ⊥PE ,∴∠BPE=90°,∴∠MPB +∠EPN=90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD=∠D=90°.∵AD //MN ,∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,∴∠MPB +∠MBP=90°,∴∠EPN=∠MBP .在Rt △PNC 中,∠PCN=45°,∴△PNC 是等腰直角三角形,∴PN=CN ,∴BM=CN=PN .在△BMP 和△PNE 中,∠PBM =∠EPN ,BM =PN ,∠BMP =∠PNE ,∴△BMP ≌△PNE (ASA),∴PB=PE .(2)解:在点P 运动的过程中,PF 的长度不发生变化.理由如下:如图2,连接OB .∵点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点,∴OB⊥AC,∴∠AOB=90°,∴∠OBP+∠BPO=90°.∵∠BPE=90°,∴∠BPO+∠FPE=90°,∴∠OBP=∠FPE.∵EF⊥AC,∴∠EFP=∠AOB=90°.由(1)得PB=PE.在△OBP和△FPE中,∠OBP=∠FPE,∠BOP=∠PFE, PB=EP,∴△OBP≌△FPE(AAS),∴PF=OB.∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,∴OB=2,∴PF的长为2.(3)解:PC=PA+2EC.如图1,∵∠BAC=45°,∴△AMP是等腰直角三角形,∴PA=2PM.由(1)知PM=NE,∴PA=2NE.∵△PCN是等腰直角三角形,∴PC=2NC=2(NE+EC )=2NE +2EC=PA+2EC,即PC=PA+2EC.专项3 与正方形有关的常考模型1.解:(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,又DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF +∠ADG=90°,∴∠ADG +∠DAE=90°,∴AE ⊥DF .2.【探究】(1)证明:如图,将GF 平移到AH 处,则AH //GF ,AH=GF .∵GF ⊥BE ,∴AH ⊥BE ,∴∠ABE +∠BAH=90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠ABH=∠BCE=90°,∴∠ABE +∠CBE=90°,∴∠BAH=∠CBE .在△ABH 和△BCE 中,∠BAH =∠CBE ,AB =BC ,∠ABH =∠BCE ,∴△ABH ≌△BCE ,∴AH=BE ,∴BE=FG .(2)2【应用】9在Rt △BCE 中,∠BCE=90°,CM 是BE 边上的中线,∴BE=2CM=6.易证△BCE ≌△CDG ,∴CG=BE=6.又ME=12BE=3,且BE ⊥CG ,∴S 四边形GMCE =12ME ·CG=12×3×6=9.3.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD ,∠ABC=∠ABE=∠D=90°.在△ABE 和△ADN 中,AB =AD ,∠ABE =∠D ,BE =DN ,∴△ABE≌△ADN,∴AE=AN.(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°.∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°.由(1)知△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,∴∠BAM+∠BAE=45°,∴∠EAM=∠MAN=45°.在△AME和△AMN中,AE=AN,∠EAM=∠NAM, AM=AM,∴△AME≌△AMN,∴EM=MN.∵CM=3,CN=4,∴MN=CM2+CN2=5,∴EM=MN=5.[变式]证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠C=90°,AD=CD=AB=BC.∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴AE=CF.在△ADE和△CDF中,AD=CD,∠A=∠C, AE=CF,∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF.(2)如图,延长BC至G,使CG=AE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠BCD=∠ADC=90°,AD=CD=AB=BC=1,∴BE+AE+BF+CF=BE+CG+BF+CF=2,即BE+BF+FG=2.∵△BEF的周长为2,∴BE+BF+EF=2,∴EF=FG.∵∠DCG=180°-∠BCD=90°,∴∠DCG=∠A.在△DCG和△DAE中,CD=AD,∠DCG=∠A, CG=AE,∴△DCG≌△DAE,∴DG=DE,∠CDG=∠ADE.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠CDG+∠EDC=90°,∴∠EDG=90°.在△DEF和△DGF中,DE=DG, EF=GF, DF=DF,∴△DEF≌△DGF,∴∠EDF=∠FDG.∵∠EDG=90°,∴∠EDF=∠FDG=45°.4.解:(1)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴∠AGD=∠AEB.如图1,延长EB交DG于点H.∵∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°,∴∠DHE=180°-(∠AEB+∠ADG)=90°,∴DG⊥BE.(2)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE,∴△ADG≌△ABE,∴DG=BE.如图2,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°.∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2,可得DM=AM=2.在Rt△AMG中,GM=AG2-AM2=6,∴DG=DM+GM=2+6,∴BE=DG=2+6. 。
2023年新增商品编码
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见第59章注释八
035
035
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未着色,透明及不具吸收层的,未经其他加工
035
未着色,透明及不具吸收层的,未经其他加工
035
除热轧外未经进一步加工
035
除热轧外未经进一步加工
035
035
035
除热轧,热拉拔或热挤压外未经进一步加工的
035
除热轧,热拉拔或热挤压外未经进一步加工的
035
035
035
（HFC-143）
14xy
五氟乙烷（HFC-125）
14xy
1,1,1,2,3,3-六氟丙烷（HFC-236ea）
14xy
1,1,1,3,3,3-六氟丙烷（HFC-236fa）
14xy
1,1,1,2,3,3,3-七氟丙烷（HFC-227ea）
14xy
1,1,1,2,2,3-六氟丙烷（HFC-236cb）
3
1,4,5,8-四硝基-哒嗪并[4,5-d]哒嗪（TNP）
3
6-氨基青霉烷酸(6-APA)
氨基二硝基苯并氧化呋咱或7-氨基-4,6-硝基苯并
呋咱-1-氧化物（ADNBF）
3
二氨基氧化偶氮呋咱（DAAOF或DAAF）
3
二氨基偶氮呋咱（DAAzF）
3
石房蛤毒素
23Q
其他生物碱及其衍生物
ABQ
非混合的《兴奋剂目录》所列免疫制品，未配定
3827310090 3827320011 3827320012 3827320013 3827320014 3827320015 3827320016 3827320017
3827320090 3827610011 3827610012 3827610090 3827630010 3827630090 3827640010