2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．28．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．1210．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．811．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f（）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）12．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前x（i）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：=28，=85.6，（x i﹣）（y i﹣）=381，（x i﹣）2=10附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．20．已知过原点O的动直线l与圆C：（x+1）2+y2=4交于A、B两点．（Ⅰ）若|AB|=，求直线l的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在定点M（x0，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，找出两集合的交集，确定出交集中元素个数即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1，2}，元素个数为3．故选：B．2．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：由z（1+i）=1，得z===，故选：A．3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得△=4a2﹣8＞0，解得a＜﹣或a＞．又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为．故选：D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知先求f（2），根据复合函数的解析式再求f（），利用特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=2，∴f（）=f（）=tan=，故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为﹣=1，故选A6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断f（x）为奇函数，从而A正确；利用f′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数f（x）在R上单调递增，B正确；根据f（x）在R上单调递增，可得f（x）的值域为R，故C正确；由f（x）不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故选：D．7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图所示，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过（﹣1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：B．8．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．12【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，∴数列{log2a n}的前10项和=log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2…a10）==10，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s＜t，输出n=6，故选：B．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f（）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的周期性可得ω，代入点的坐标可得φ值，可得函数的对称中心，结合选项可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，∴=4π，解得ω=，故f（x）=sin（x+φ），再由f（）=1可得×+φ=2kπ+，k∈Z，由|φ|＜可得φ=，故f（x）=sin（x+），由x+=kπ可得x=2kπ﹣，k∈Z∴f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0），k∈Z，结合选项可知当k=0时，f（x）的一个对称中心为（﹣，0），故选：A．12．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值即可得到结论．【解答】解：由题意可知f（x）=x3﹣ax2+4=0，即a=x+有两个不等的正根，设h（x）=x+，x＞0，则h′（x）=1﹣=，令h′（x）=0，得x=2，由h′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得，0＜x＜2，此时函数单调递减，即在x=2处取得极小值h（2）=2+=2+1=3，结合h（x）的图象可得a＞3，故选D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=6．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量=（1，2），=（3，x），若∥，可得x=2×3=6．故答案为：6．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=2．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由a n+1﹣a n=2，S n可知数列{a n}是公差为2的等差数列，由S9=9a1+×2=90，解得a1=2．故答案为：2．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60°=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率．【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．∠POA=60°，且OP⊥AP，∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），∴a=，∴离心率e=．故答案为：．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为π×1×4=4π，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由已知及正弦定理即可计算求得BD=的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可求cos∠ADB=的值，即可得解∠ADB=45°．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：=，…故BD===3，…（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=…==，…所以∠ADB=45°．…18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y （从第26届算起，不包括之前x（i ）由图可以看出，金牌数之和y 与时间x 之间存在线性相关关系，请求出y 关于x 的线性回归方程；（ii ）利用（i ）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据： =28， =85.6，（x i ﹣）（y i ﹣）=381，（x i ﹣）2=10附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线y=bx +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： =， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出概率结论；（Ⅱ）（i ）计算线性回归方程的系数、，写出线性回归方程，（ii ）利用回归方程计算x=31时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下，…通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散；…（Ⅱ）（i）计算===38.1，所以=﹣=85.6﹣38.1×28=﹣981.2；所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为=38.1x﹣981.2；…（ii）由（i）知，当x=31时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值=38.1×31﹣981.2=199.9，故预测今年中国代表团获得的金牌数为199﹣165=34.9≈35枚．…19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；（II ）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A ﹣BDEF 和四棱锥C ﹣BDEF 计算体积． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ．又平面EFBD ⊥平面ABCD ，平面EFBD ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面EFBD ．（Ⅱ）∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F 作FM ⊥BD 于M ，∵四边形EFBD 为等腰梯形，∴MB=（BD ﹣EF ）=．∴FM==．设AC ∩BD=O ，则AO=．∴V C ﹣BDEF =V A ﹣BDEF =S 梯形BDEF •AO==．∴多面体ABCDEF 的体积V=2V A ﹣BDEF =2．20．已知过原点O 的动直线l 与圆C ：（x +1）2+y 2=4交于A 、B 两点．（Ⅰ）若|AB |=，求直线l 的方程； （Ⅱ）x 轴上是否存在定点M （x 0，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0？若存在，求出x 0的值；若不存在，说明理由． 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）先求出圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1）x 2+2x ﹣3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M （3，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则d===，…当l 的斜率不存在时，d=1，不合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，由点到直线距离公式得=，解得k=±，故直线l的方程为y=．…（Ⅱ）存在定点M，且x0=3，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA、MB的斜率分别为k1，k2．当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC=∠BMC，k1+k2=0，符合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，代入圆C的方程整理得（k2+1）x2+2x﹣3=0，∴，．…∴+==．当2x0﹣6=0，即x0=3时，有k1+k2=0，所以存在定点M（3，0）符合题意，x0=3．…21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）≤g（0）=0，即可证明f（x0）≤1．【解答】解：（I）当a=1时，f′（x）=e x﹣，…∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增…（II）证明：当a＞0时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增．又f′（2﹣1）=﹣＞﹣，当b满足﹣1＜b＜且b＜0时，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣1，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）．…由于f′（x0）=﹣=0，∴a=•，f（x0）=﹣=﹣•x0•（x0+1）=（﹣﹣x0+1），…设g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），则g′（x）=e x（﹣x2﹣3x）=﹣x（x+3）e x，令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，故g（x）在（﹣1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）≤g（0）=0，故f（x0）=g（x0）≤1．…四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB、OE，∵EA、EB为圆O的切线，∴OE垂直平分AB，又∵BC为圆O的直径，∴AB⊥CD，∴OE∥CD，又O为BC的中点，故E为BD的中点，∴BE=ED …解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD2=DA•DC=12t2，∴BD=2t，在Rt△ABD中，AE=BD=t．∴AE：AC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【考点】不等关系与不等式．【分析】（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x，由f（x）＞﹣1，可得：或或，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，可得：a2﹣a+1﹣==g（a）．对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a=1时，当1＜a＜2时，即可得出．（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x）＞﹣1，可得：【解答】解：或或，解得0＜x＜2，∴M=（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，∵a2﹣a+1﹣==g（a）．当0＜a＜1时，g（a）＜0，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，g（a）=0，∴a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，g（a）＞0，∴a2﹣a+1＞；综上所述：当0＜a＜1时，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，a2﹣a+1＞．2016年8月23日第21页（共21页）。