第1章--函数

tanx＝
对边 AP 邻边 OP
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(1)正弦函数 : y sin x
• 正弦函数的定义域为 R ，值域为[-1，1]，它是以 为 2 周期的有界奇函数.
(2)余弦函数 : y cos x
• 余弦函数的定义域为 R ，值域为[-1，1]，它是 以 2为周期的有界偶函数.
• 注：1.常用特殊角度的三角函数值：
• 一般的，如果 y = f (u) ，u = g (x) ，则
y = f (g (x))
称为 f
和 g 这两个函数的复合函数，
其中 u 为中间变量.
函数的复合与分解
(1).复合：把若干个函数复合（叠加）成一个函数. (2). 分解：把一个复合函数经设立中间变量分解成 若干个基本初等函数. 例 （ 1 ） 将下列函数分解成基本初等函数 x y ln tan 2 u tan v 1 v x 2 v ln x
y y=2x y
(a 0且a 1)
定义域为(,)，值域为R ，函数图形在
1 x y( ) 2
1 0 x
1
0 x
4、对数函数
y log a x (a 0且a 1)
常用对数：lg x log10 x 自然对数：ln x log e x, e 2.71828
f ( f(x)) = f
2 (x )
=
2 2 (x )
=
4 x
g ( f(x)) = g
2 (x )
= sin
2 x
例4： 求下列复合 函数
• 2、设 f (x)= x2, g(x)= sinx, h(x) = lnx,
（2）[a,) 表示 x a ；
（ 3） (, a) 表示 x a ；
（4） (, a ] 表示 x a ；
(,) 表示 x 是一个实数. （ 5）
一、实数（绝对值）
当 a R 时，有：
a a 0 ; a 0 a 0 ; a a 0 .
2.
则f ( x ) 则f ( x )
22
4、 函数的周期性
.
对于函数 y f ( x) x D, 若存在一个正数T 0, 使得 f ( x T ) f ( x), 则称f ( x)为以T 为周期的周期函数。 例 判断下列函数是否为周期函数？并求其周期。 1 f ( x) sin x cos x 2 2 T1 2 T2 4 T 4 1 2 (T 为T1 , T2的最小公倍数）
. 1.
设x1 , x2 D且x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 若 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 设x1 , x2 D且x2 x1 若 f ( x2 ) 1 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 f ( x1 ) 则f ( x ) 则f ( x )
余切函数在x k (k Z )处无意义，值域为（ ， ）， 它是以 为周期的无界奇函数.
cos x cot x sin x
三、初等函数（复合函数）
• 复合函数
• 由以下两个函数 y = ln u u = sin x
可以得到函数
y = ln sin x
在此，我们把 y 理解为 u 的函数，u 理解为 x 的函数， 那么，y 最终是 x 的函数.
x
(3)当 3时，y x 3
y y=x3
1 (4)当 时，y 2 y
y x
x
0
x
0
1
x
注： 1.当 0时，y x 1是常数函数.
0
2.无论如何变化，y x 的图形一定过(1 , 1)点.

3、指数函数
y ax x轴上方，且过(0,1)点.
当0 a 1时，指数函数单调递减 当a 1时，指数函数单调递增
高等数学
主讲人：邹斌
第一章：函数 • 一、实数 • 二、函数 • 三、初等函数
一、实数（数集）
人类对数的认识经历了自然数、整数、有理数、无 理数到实数.实数包括有理数和无理数.
3
一、 实数（区间）
• 有限区间：设a , b是两个实数（假定 a b），以 a , b 为左、右端点的区间有以下4种： [ a, b]表示 a x b ，称为闭区间； （ 1）
( a, b) 表示 a x b ，称为开区间； （ 2）
( a, b] 表示 a x b ，称为左开右闭区间； （ 3） [ a, b) 表示 a x b ，称为左闭右开区间. （ 4）
• 无限区间：引入记号 （读作“正无穷 （读作“负无穷大）： 大”）和 （1）(a,) 表示 x a ；
2 2 2 2
1 cos 2 x (4) sin x , 2
1 cos 2 x cos x 2
(3)正切函数 : y tanx
sin x tan x cos x
正切函数在x k

2 它是以为周期的无界奇函数.
处无意义，值域为（ ， ），
(4)余切函数 : y cotx
13
二、函数（定义域）
1. . 分式函数：求分母不为零的一切实数。 2. 根式函数：求被开方式大于等于零的一切实数。 3. 4. 对数函数：求真数大于零的一切实数。 分段函数：求各段子函数定义域的并集。 1 例如： (1) y x0 x
(2) y x
n
x 0(n为偶数)
(3) y log a x x 0
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例2： 求下列 函数的定义域
1 . 、 y sin 3 x 解： 由 sin 3x 0 0 3 x 2k 3 x (2k 1) 2 k 2k 1 x 3 3 2 k 2 k 1 D [ , ] k Z 3 3
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例2： 求下列 函数的定义域
1、 函数的有界性
.
设y f ( x)在D 内有定义，若存在一个正数M 0, 使得x D 都有 | f ( x) | M ( x D ) 则称f ( x) 为D 内的有界函数，否则称（ f x )为无界函数。 如：x R | sin x | 1 | cos x | 1 | arctan x |
(b 0)
7
.
绝对值不等式 a x a a x a xa xa or or x a x a
8
| x | a 1. | x | a | x | a 2. | x | a
例1：求解绝对值不等式 .
1、 2x 3 5 2 x 3 5 5 2 x 3 5 2 2 x 8 1 x 4 x ( 1, 4)
性质： 奇 9
例3： 判断下列函数的奇偶性
.
(1) f ( x) x x
3
（奇）
x
a a (2) f ( x) 2 3 2 (3) f ( x) x x
x 2
（偶） （非奇非偶） （奇） （偶）
20
(4) f ( x) x sin x (5) f ( x) x tan x
3、 函数的单调性
.
设 x1 , x2 D且x2 x1 记为f ( x)
若
（ 1） f ( x2 ) f ( x1 )，则称f ( x)在D内是单调增函数 （2) f ( x2 ) f ( x1 )，则称f ( x)在D内是单调减函数 记为f ( x)
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3、 函数的单调性（判断方法）
a 的几何意义为：在数轴上表示实数 a 的 点到原点的距离等于 a ；
a
0
a
与点 y 之间的距离.
x y 表示数轴上点
. 绝对值性质：
(1). (2). (3). (4).
| a | 0且|a| 0 时 a 0 a |a| | a b | | a | | b | | | b |b| |ab| |a||b| | a b| | a | |b|
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.
令： y ln u (2)
2
y sin (ln x) 令: y u
2
u sin v
例4： 求下列复合 函数
• 1、设 f (x) = x2, g (x) = sinx, 求
f ( g(x)), f ( f(x)), g ( f(x)).
解: f ( g(x) ) = f (sinx) = (sinx)2 =sin2x
log a x y log a x log a y x log a log a x log a y y log a x n n log a x
指数函数与对数函数
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5、三角函数
OA＝1
sinx＝
对边 AP AP 斜边 1
邻边 OP OP 斜边 1
cosx＝
y arccos x
1、常数函数
yc (c为常数).
常数函数的图象是一条过（0, c）点，平行 于x轴的直线, 如图所示.
y c y=c 0 x
2、幂函数
yx

(为任意实数)
(2)当 2时，y x
y y=x y=x2
2
几种常见的幂函数：
(1)当 1时，y x
y
0
x
0

2
sin x , cos x, arctan x都是有界函数。
1 但f ( x) 在( , 0) (0, )内是无界的 x x0 x 0时 f ( x) 不存在M 0使得 | f ( x) | M
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2、 函数的奇偶性
.
若f ( x) f ( x)，则称f ( x)为奇函数 若 f ( x) f ( x)，则称f ( x)为偶函数 若 f ( x) f ( x) f ( x)，则称f ( x)为非奇非偶函数 奇函数的图形关于原点对称 偶函数的图形关于y轴对称 非奇非偶函数的图形没有对称性