将军饮马模型详解与拓展
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
“将军饮马”问题在空间几何中的应用与拓展
“将军饮马”问题在空间几何中的应用与拓展-中学数学论文“将军饮马”问题在空间几何中的应用与拓展湖北麻城第二中学袁少军一、什么是将军饮马问题将军饮马问题是这样的，传说古希腊的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。
就是，将军每天要从山峰下的军营A出发，先到河边饮马，然后再到河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？（如图1）据说这个问题，海伦略加思索就给出了解答（如图2）。
从此，这个被称为”将军饮马”的问题就广为流传。
这个问题可归纳为如下模型：在平面内给定一条直线L，以及在直线同侧的任意两点A，B，求在L上的点C，使CA+CB取得最小值。
这个问题中运用了对称性思想，并化折线段为直线段，依据三角形中两边之和大于第三边，可知点在C处时，CA+CB取最小值。
二、将军饮马问题在高中空间几何中的应用这个问题根据正方体的对称性，可以抽象为如下的数学问题：在如图3的正方体中，在棱BB1找一点P，求AP+C1P的最小值。
常见的解法有如下两种：评析：解法二中，选择边长为变量，建立相应函数，构造平面内三点，转化为“将军饮马”问题，使用了“以形助数，以数解形”的数形结合思想，使复杂问题简单化。
上述问题可归纳为如下模型：在空间中给定一条直线L，以及不在直线上的任意两点P，Q，求在L上的点R，使PR+QR取得最小值。
三、将军饮马问题在高中空间几何中的拓展如图7，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，动点P在平面BB1D1D内运动，求PA+PM的最小值。
解：∵AC⊥面BB1D1D，且垂足为线段AC的中点。
故点A关于平面BB1D1D 的对称点为点C，根据对称性，∴PA=PC。
即PA+PM=PC+PM≥CM。
（如图8）评析：本题中求最小值是借助于对称思想来实现的，运用了类比思维，将二维空间中的“将军饮马”问题在三维空间做了相应的拓展。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。
在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。
然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。
为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。
1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。
在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。
2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。
在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。
3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。
每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。
只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。
4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。
他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。
这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。
5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。
在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。
这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。
将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。
当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。
这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。
7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。
树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。
当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。
将军饮马五大模型七类题型(解析版)-初中数学
将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB 的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．【答案】824【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．(1)由折叠的性质可得BD=AB=12，再由CD=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，由此即可得到答案．解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴CD=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)如图，设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，由(1)得：CD=8，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE，要是△CDE的周长最小，只需AE+CE最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，∴△CDE的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF =10，进而求得CE =3即可求解．解：作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，如图，则E P =EP ，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =AC ．在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知BC =5，AD =6．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为．【答案】6013【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，可得BH =6013．作点H 关于解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =52，∵AD =6．∴AC =AD 2+DC 2=62+52 2=132，∵S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，∴5×6=132BH ，∴BH =6013．∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，当M 与M 重合时，此时BM +MN 最小，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，则BM +MN 的最小值为6013．故答案为：6013【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC 中，∠ABC =30°，AC =4，△ABC 的面积为5，P 为△ABC 内部一点，分别作点P 关于AB ，BC ，AC 的对称点P 1，P 2，P 3，连接P 1P 2，PP 3，则2P 1P 2+PP 3的最小值为．【答案】5【分析】首先由△ABC 的面积为5，12AC ⋅BM =5，求出BM =52，然后由∠ABC =30°和对称构造正三角形，将P 1P 2转化成BP ，将2P 1P 2+PP 3提取系数2，最终转化成垂线段最短．解：设PP3与AC 交于点Q ，则PQ =12PP 3，连接BP 、BQ 、BP 1、BP 2，作BM ⊥AC ，垂足为M ，AC =4，△ABC 的面积为5，∴12AC ⋅BM =5，即12×4BM =5∴BM =5，根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，∴△P1BP2是正三角形，∴P1P2=BP1=BP，∴2P1P2+PP3=2P1P2+12PP3=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，证得△P OP 是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P ；连接P ，P ，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP =2∠MON=60°，∴△P OP 是等边三角形，∴P P =OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP O=120°，∴△P AB的周长=P P =a，故答案为：120，a．【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF 的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q ，连接PQ ，股定理求出AB 的长，再利用三角形面积求出CH 的长即可得到结果．解：如图，作点Q 关于AD 的对称点Q ，连接PQ ，CQ ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，Q 与Q 关于AD 对称，∴点Q 在AB 上，PC +PQ =PC +PQ ≥CH ，∵AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CH 即12×3×4=12×5×CH ，∴CH =2.4，∴CP +PQ ≥2.4，∴PC +PQ 的最小值为2.4，故选：A ．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，从而可确定BE +EF ≥BM ，即BM 最小时，BE +EF 最小．再根据垂线段最短可知BN 的长即为BM 最小时，最后根据三角形面积公式求出BN 的长即可．解：如图，作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，∴EF =EM ，∴BE +EF =BE +EM ≥BM ，∴BM 最小时，BE +EF 最小．当BM ⊥AC 时BM 最小，即为BN 的长，∵S △ABC =12AC ⋅BN =12，AB =AC =6，∴BN =2×12÷6=4，∴BE +EF 的最小值是4．故选B ．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC 中，AB =AC =10,BC =12,AD =8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接PB ，PQ ，根据线段垂直平分线的性质可得BP =CP ，从而得到当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，再由S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，求出BQ 的长，即可．解：如图，连接PB ，PQ ，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP =CP ，∴PC +PQ =PB +PQ ≥PQ ，∴当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，∴12×12×8=12×10BQ ，∴BQ =9.6．故答案为：9.6【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB =20°，M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠OPM =α，∠OQN =β，当MP +PQ +QN 最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【答案】D 【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP +PQ +QN 最小，易知∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，由此即可解决问题．PQ +QN 最小，解:由轴对称的性质得∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，∴α+β=180°-20°-∠ONQ +20°+20°+∠ONQ =200°．故选：D ．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB =25°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠MPQ =α，∠PQN =β，当MP +PQ +QN 的值最小时，β-α的大小=_______(度)．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP +PQ +QN 最小，此时∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP +PQ +QN 最小，即MP +PQ +QN =M N ，∴∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，∵∠MPQ =α，∠PQN =β，∴∠QPN =12180°-α ，∠OQP =12180°-β ，∵∠QPN =∠AOB +∠OQP ，∠AOB =25°,∴12180°-α =25°+12180°-β ，∴β-α=50°，故答案为：50．【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4．过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边△CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【答案】1【分析】连接BQ ，先证△ACP ≌△BCQ (SAS )，则可得∠CBQ =∠CAP =30°，由此可知Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，求出DQ 的值即可．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q 点的运动轨迹是解题的关键．解：连接BQ ，∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形，∴AC =BC ，PC =QC ，∠ACB =∠PCQ =60°，∴∠ACB -∠PCB =∠PCQ -∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠CBQ =∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴BC =AB =4，∠BAC =60°，∵AD ⊥BC ，∴BD =DC =12BC =2，∠CAP =12∠BAC =30°，∴∠CBQ =30°，∴Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，此时DQ =12BD =1，∴DQ 的最小值为1．故答案为：1．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且CE =BD ，连接AE 、CD ，则AE +CD 的最小值为．【答案】234【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，证明△CEN ≌△BDC SAS ，得EN =DC 进而可得AE +CD =AE +EN ，再由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解：过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，∵CN ∥AB ，∴∠ECN =∠ABC ，∠ACN =180°-∠BAC =90°，在△CEN 和△BDC 中，EC =BD∠ECN =∠DBC CN =BC，∴△CEN ≌△BDC SAS ，∴EN =DC ，∴AE +CD =AE +EN ，由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，∵AC =6，BC =CN =10，∴Rt △ACN 中，AN =AC 2+CN 2=62+102=234，∴AE +CD 最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，AB =8，O 是AC 的中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，OE 的最小值为()A.42B.433C.32D.2【答案】D 【分析】设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，证△AQD 和△AOE 全等得QD =OE ，因此当QD 为最小时，OE 为最小，根据“垂线段最短”得QD ≥QH ，故点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，然后在Rt △BQH 中求出QH 的长即可．解：设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH⊥BC 于H ，如下图所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠QAD +∠DAC =∠DAC +∠OAE =120°，∴∠QAD =∠OAE ，∵点Q 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，AB =AC ，∴AQ =AO ，在△AQD 和△AOE 中，AQ =AO∠QAD =∠OAE AD =AE，∴△AQD ≌△AOE (SAS )，∴QD =OE ，∴当QD 为最小时，OE 为最小，∵点Q 为AB 的中点，AB =8，点D 在直线BC 上运动，∴根据“垂线段最短”得：QD ≥QH ，∴当点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =12(180°-∠BAC )=30°，在Rt △BQH 中，∠B =30°，BQ =12AB =4，∴QH =12BQ =2，∴QD 的最小值为2，即OE 的最小值为2.故选：D ．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，1故答案为：23．【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC 中，∠A =90°,∠B =60°,AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【答案】12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．解：过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，∠B =∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD =BD =AB =4，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =4，∴BC =8，∴DC =4，∴DF =12DC =2，∴AF =AD +DF =4+2=6，∴2(AD +DF )=2AF =12，∴2AD +DC 的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =4，AC =5，点D ，E 在AB ，AC 边上，且AD=CE ，则CD +BE 的最小值是．【答案】61【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK=CD，可得CD+BE =EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长．解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE=∠A，∵CK=CA，CE=AD，∴△CKE≌△CAD SAS，∴CD=KE，∵CD+BE=EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，∵KG∥AB，∴∠GCB=∠ABC=60°，∴∠CBG=90°-∠GCB=30°，在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=4，∴CG=12BC=2，BG=BC2-CG2=23，∴GK=KC+CG=AC+CG=5+2=7，在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=72+(23)2=61．故答案为：61．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．【答案】4【分析】由等腰△ABC中，∠BAC=100°，可得∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2=40°，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=12∠ABC=20°，如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，则∠ACE=∠ACB+E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，证明△ACE是等边三角形，则AC=AE=4，进而可求AB．解：∵等腰△ABC中，∠BAC=100°，=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2∵BD平分∠ABC，∠ABC=20°，∴∠ABD=12如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°，∵CE=AB，∠BCE=∠ABD，MC=BN，∴△CEM≌△BAN SAS，∴ME=AN，CE=AB，∴AM+AN=AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，∵CE=AC，∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=4，∴AB=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．。
最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)
最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。
1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-41.作A关于直线CD对称点A'。
2.连A'B。
3.交点P就是要求点。
连线长A'B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.二.造桥选址，移花接木。
1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点，(直线AB不与a垂直)要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解
当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。
连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。
当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。
皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。
3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
初中数学常见模型之将军饮马
详细描述
假设有一个图形，我们需要将其放置在直线 l上，使得其面积最大。这个问题的解决方
法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对 称点，然后利用相似三角形的性质求出最大
面积。
练习题三：求最小成本
总结词
这道题目要求我们利用将军饮马模型求出某工程的最 小成本。
详细描述
假设有一个工程需要在直线l上完成，我们需要选择合 适的点作为工程地点，使得成本最小。这个问题的解 决方法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点 ，然后利用最小成本原理求出最小成本。
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解决实际问题
将军饮马模型也可以用于 解决一些实际问题，如求 物体的重心、平衡点等。
模型的重要性
培养数学思维
通过学习将军饮马模型， 学生可以培养数学思维， 提高解决数学问题的能力 。
拓展数学知识
将军饮马模型是初中数学 中的重要内容，对于拓展 学生的数学知识具有重要 意义。
提高解题效率
掌握将军饮马模型可以帮 助学生更快地解决数学问 题，提高解题效率。
04 将军饮马模型的常见题型
最短路径问题
总结词
在几何图形中，求两点之间的最短距 离是常见的问题。
详细描述
将军饮马模型常用于解决这类问题， 通过构建对称点，将两点之间的距离 转化为两点与对称点之间的距离和的 最小值。
最大面积问题
总结词
在给定条件下，求几何图形的最大面积也是常见的将军饮马模型应用。
三角形不等式
三角形不等式是指在任何三角形中，任意一边的长度都小 于另外两边之和。这个原理在解决最优化问题时非常有用 ，例如在寻找两个点之间的最短路径时。
在将军饮马模型中，三角形不等式常常被用来确定最短路 径的长度。例如，当一个将军要从一个地方走到另一个地 方时，他可以选择走直线，也可以选择绕弯。利用三角形 不等式，我们可以确定哪种路径更短。
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将军饮马模型详解与拓
展
Revised as of 23 November 2020
“将军饮马”模型详解与拓展
平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。
问题提出：
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短
模型提炼：
模型【1】一定直线、异侧两定点
直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小
解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点
直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小
解答：
第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的
相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示，
AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两
定点问题）
第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距
离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短
模型【3】一定直线、一定点一动点
已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l 同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小
解答：
第一步：画点A关于直线l的对称点A'
第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点
到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB最小即AP+PB
最小
模型【4】一定点、两定直线
点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，
B，使△PAB的周长最小
解答：
策略：两次翻折
第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2
第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B
（根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短）
拓展
如果两定点、两定直线呢
“如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点
A，B。
使四边形PAQB的周长最小”
问题升级：
问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值
解答：
将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段
D’D’’，而后研究D’D’’随着点D的位置变化过程中的
最小值即可
无论点D位置在何处，点C对线段D’D’’的张角不变，即
∠ D’CD’’的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得
D’D’’最小，只需要CD’ = CD’’ = CD最小即可，显
然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周
长最小
现在已经有CD⊥AB，接下来说明点E、点F也正好是△ABC
的高线的垂足！如下图：D’、D、D’’三点在以C为圆心
的圆上，
弧D’D所对圆心角为∠D’CD，
所对圆周角为∠D’D’’D，
故有：(1/2)∠D’CD=∠D’D”D.
由翻折又有：(1/2)∠D’CD=∠ECD，
得∠D’D”D=∠ECD，
故C、E、D、D’’四点共圆；
另一方面：∠CDB+∠CD”B=180°，
故C、D、B、D’’四点共圆，综上有：C、E、D、B、D’’
五点共圆，从而∠CDB=∠CDB=90°
从而得到一个重要结论：
锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形周长最小。