专题18多面体的表面积和体积(解析版)

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专题18 多面体的表面积和体积（解析版）

多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。

易错点1：基础知识不扎实

（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；

（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？ 易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误

易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误

易错点4：空间想象能力欠缺 题组一

1．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三

视图，则该多面体的表面积为

A

．18+ B

．54+ C ．90 D ．81

【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是

9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右

两个侧面是矩形，边长为3

，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9

+18+

2．（2016全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积

为

2 8

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：(

)

2

2223

4l =+=，

21

π2

S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．

3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几

何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为

22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．

题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视

图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为

3 8

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4

的圆柱，其体积2

13436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的

一半， 其体积221

(

36)272

V =

⨯π⨯⨯=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．

解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为

21

(3)14632

ππ⨯⨯=．选B ． 5．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4

宽为2高为2长方体，故其体积为21

244222

π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 题组三

6．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去

4 8

部分体积与剩余部分体积的比值为

A ．

81

B ．71

C ．61

D ．5

1 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A

A B D ，其体积为1

6

，又正

方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为1

5

．

1

A 1

B 1

C 1

A

D

C

7．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm ），图中粗线画出的

是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A ．1727

B ．59

C ．1027

D ．13

【解析】原毛坯的体积2

(3)654V ππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，

其体积22

12(2)4(3)234V V V πππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127

V V '-

=． 8．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个

球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与

体积较大者的高的比值为．

【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，得

2

2

3

416

r

R

π

π

=，所以

3

2

r

R

=，则小圆锥

的高为

2

R

，大圆锥的高为

3

2

R

，所以比值为

1

3

．

题组四

9.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为

长方体1111

ABCD A B C D

-挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，1

6cm4cm

AB=BC=, AA=，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

【解析】该模型为长方体1111

ABCD A B C D

-，挖去四棱锥O EFGH

-后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6cm

AB BC

==，1

4cm

AA=，

所以该模型体积为：

1111

3

11

664(46432)314412132(cm)

32

ABCD A B C D O EFGH

V V

--

-=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，3D打印所用原料密度因为为3

0.9g/cm，不考虑打印损耗，

所以制作该模型所需原料的质量为：

1320.9118.8(g)

⨯=．

10.如图，长方体

1111

ABCD A B C D

-的体积是120，E为

1

CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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