专题18多面体的表面积和体积(解析版)
专题18多面体的表面积和体积(解析版)
专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。
易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点4：空间想象能力欠缺题组一1．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+B．54+C．90 D．81【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9+18+2．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．题组二4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半， 其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为21(3)14632ππ⨯⨯=．选B ． 5．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 题组三6．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D ，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15． D 1A 1B 1C 1A B DC7．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A ．1727B ．59C ．1027D ．13【解析】原毛坯的体积2(3)654V ππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积2212(2)4(3)234V V V πππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127V V '-=． 8．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416r R ππ=，所以32r R =，则小圆锥的高为2R ，大圆锥的高为32R ，所以比值为13． 题组四9.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【解析】该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．10.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=111012AB BC DD ⨯⨯⨯=. 11．（2014新课标Ⅱ）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A ．3B ．32C ．1D 3【解析】由题意可知AD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面11DB C ， 又2sin 603AD =⋅=11111113231332A B DC B DC V AD S -∆=⋅=⨯， 故选C ．12．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。
多面体的表面积与体积
多面体的表面积与体积在几何学中，多面体指的是由多个平面多边形所围成的立体形状。
而多面体的表面积和体积则是对这种立体形状的重要数值描述。
本文将详细介绍多面体的表面积和体积的计算方法及其应用。
一、多面体的表面积多面体的表面积是指该立体形状所有的外表面积之和。
对于不同类型的多面体，其表面积的计算方法也有所不同。
下面将以常见的几种多面体为例来阐述其表面积的计算公式。
1. 三棱锥的表面积三棱锥是一种具有棱和一个尖顶的四面体。
它的表面积可以用以下公式来求解：表面积=底面积+4×侧面积其中底面积可以根据具体形状使用不同的计算公式，而侧面积则可以通过棱长和高的关系求解。
2. 正方体的表面积正方体是一种具有六个正方形面的多面体。
它的表面积可以表示为：表面积=6×边长×边长每个面都是正方形，所以表面积可以简单地通过边长进行计算。
3. 正六面体的表面积正六面体是一种具有六个正六边形面的多面体。
它的表面积可以表示为：表面积=6×边长×边长×√3/4其中√3/4是六边形（正六边形）的面积公式中的常数。
二、多面体的体积多面体的体积是指该立体形状所占据的空间大小。
与表面积不同，体积是一个三维的概念，因此计算方法也具有一定的复杂性。
下面将介绍几种常见多面体的体积计算公式。
1. 三棱锥的体积三棱锥的体积可以通过以下公式计算：体积=底面积×高/3其中底面积和高的计算方法与之前的表面积计算相同。
2. 正方体的体积正方体的体积可以表示为：体积=边长×边长×边长正方体的边长相等，因此体积可以通过边长的立方得到。
3. 正六面体的体积正六面体的体积可以表示为：体积=边长×边长×边长×√2/3其中√2/3是正六面体体积计算公式中的常数。
三、多面体的应用多面体的表面积和体积在现实生活中有着广泛的应用。
例如，建筑师需要计算建筑物的体积来确定所需的材料数量；工程师需要计算机械零件的表面积以确定其可行性和性能；科学家利用多面体的体积和表面积计算研究材料的物理特性等等。
几何中的多面体和圆锥体的表面积和体积
几何中的多面体和圆锥体的表面积和体积一、多面体的表面积和体积1.多面体：由四个或四个以上的多边形所围成的立体。
2.多面体的表面积：多面体所有面的面积之和。
3.多面体的体积：多面体所占空间的大小。
4.常见多面体：立方体、长方体、棱柱、棱锥等。
5.多面体表面积和体积的计算公式：–立方体：表面积 = 6a²，体积 = a³–长方体：表面积 = 2(ab + ac + bc)，体积 = abc–棱柱：表面积 = 2(ah + bh)，体积 =底面积×高–棱锥：表面积 = (底边长×周长)/2，体积 = (底边长×高)/3二、圆锥体的表面积和体积1.圆锥体：由一个圆面和一个顶点不在同一平面的直线（母线）所围成的立体。
2.圆锥体的表面积：圆锥侧面积加上底面积。
3.圆锥体的体积：圆锥所占空间的大小。
4.常见圆锥体：圆锥、圆台等。
5.圆锥体表面积和体积的计算公式：–圆锥：表面积= πrl + πr²，体积= πr²h/3–圆台：表面积= π(r+R)l + πr² + πR²，体积= (1/3)πh(r² + R² + rR)其中，a、b、c分别为长方体的三条棱长；h为棱柱的高；R为圆锥的底面半径；r为圆锥的母线长；l为圆锥的斜高。
三、多面体和圆锥体的性质1.多面体的性质：各面为平面，相邻面相交于直线，多面体的顶点数、边数和面数之间存在一定的关系。
2.圆锥体的性质：底面为圆，侧面为曲面，从顶点到底面圆心的线段称为高，圆锥的母线、斜高、高之间存在一定的关系。
四、多面体和圆锥体的应用1.在生活中，多面体和圆锥体广泛应用于建筑、家具、模具等领域。
2.在科学实验中，多面体和圆锥体可用于测量物体的体积和表面积，从而求得物体的密度、质量等参数。
3.在数学教育中，多面体和圆锥体的表面积和体积的计算有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.2.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为，所以圆柱的侧面积为，选A.【考点】旋转体的侧面积.3.三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，【考点】几何体的体积.4.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算5.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.6.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.7.如图：已知长方体的底面是边长为的正方形，高，为的中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）要证平面，就要在平面内找两条与垂直的相交直线，由于是正方形，因此有，而在长方体中，侧棱与底面垂直，从而一定有，两条直线找到了；（2）要证平面，就应该在平面内找一条直线与平行，观察图形发现平面与平面相交于直线（是与的交点），那么就是我们要找的平行线，这个根据中位线定理可得；（3）求三梭锥的体积，一般是求出其底的面积和高（顶点到底面的距离），利用体积公式得到结论，本题中点到底面的距离，即过到底面垂直的直线比较难以找到，考虑到三棱锥的每个面都是三角形，因此我们可以换底，即以其他面为底面，目的是高易求，由于长方体的底面是正方形，其中垂直关系较多，可证平面，即平面，因此以为底，就是高，体积可得.试题解析：（1）底面是边长为正方形，底面，平面 3分，平面 5分（2）连结，为的中点，为的中点∥， 7分又平面，平面∥平面 10分（3），，，同样计算可得，为等腰三角形， 12分，，等腰三角形的高为14分【考点】（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.8.如图，已知正方形的边长为,点分别在边上,,现将△沿线段折起到△位置，使得．（1）求五棱锥的体积；（2）在线段上是否存在一点,使得平面？若存在，求；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于△沿线段折起到△的过程中，平面平面始终成立.所以平面.又因为，正方形的边长为，点分别在边上，.即可求得结论.(2)因为线段上是否存在一点,使得平面，即相当于过点B作一个平面平行于平面.故只需OM平行于即可.试题解析：（1）连接，设，由是正方形，，得是的中点，且，从而有，所以平面，从而平面平面， 2分过点作垂直且与相交于点，则平面 3分因为正方形的边长为，，得到：，所以，所以所以五棱锥的体积； 6分（2）线段上存在点，使得平面，． 7分证明：，，所以，所以平面， 9分又，所以平面， 10分所以平面平面， 11分由在平面内，所以平面. 12分【考点】1.线面垂直.2.面面垂直.3.五棱锥的体积.4.线面平行与面面平行.9.侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设为正三棱锥为S-ABC，则S在平面ABC内射影为底面中心O(如图为一个轴截面)又底面周长为9，所以底面正三角形的高CD=，∴CO=×=又SC=2，解直角三角形SOC得正三棱锥的高SO=1∴V=××3××1=10.已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，半径与母线所成的角的大小等于．（1）求圆锥的侧面积和体积．（2）求异面直线与所成的角；【答案】（1）（2）或.【解析】（1）根据圆锥的侧面积即体积公式，可直接求出结果. ，.（2）求异面直线所成角，关键在平移，即将空间角转化为平面角.利用中位线实现线线之间平移. 连，过作，则等于异面直线与所成的角或其补角.又，所以为异面直线OC与PB所成的角或其补角.明确角之后，只需在相应三角形中求解即可.试题解析：（1）圆锥的侧面积．，4分（2）连，过作交于点，连．又，．又．，等于异面直线与所成的角或其补角．，或． 9分当时，．，当时，．，综上异面直线与所成的角等于或． 12分【考点】圆锥的侧面积和体积, 异面直线所成角11.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA="PD=AB=2," 若点P,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设三角形PAD外接圆圆心为，则半径为矩形ABCD外接圆圆心为半径为球心为半径为则有【考点】球，球的表面积12.如图在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是中点，点是边上的任意一点.（1）当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）.【解析】（1）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，易证，进而证明面；（2）要证明直线和直线垂直，往往通过证明直线和平面垂直.本题中，只需证明面，因，故只需证明，进而转化为证明面，因，故只需证明，显然易证；（3）求四面体体积，难点是确定四面体的高，如果高不易求，可考虑等体积转化，本题中三棱锥的体积可转化为的体积来求．试题解析：（1）当点为边的中点时，∵点是中点，∴，又∵面，面，∴面. （2）∵平面，∴，又∵底面是矩形，∴，，∴面，又∵面，∴，又，点是中点，∴，又,∴面．平面，10分 （3）作∥交于，则平面，且三棱锥的体积为.14分【考点】1、直线和平面平行的判定；2、直线和平面垂直的判定和性质；3、四面体的体积.13. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB.(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝，∠CDA ＝45°，求四棱锥P-ABCD 的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以PA ⊥CE. 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD.又PA∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD.(2)解：由(1)可知CE ⊥AD.在Rt △ECD 中，DE ＝CD·cos45°＝1，CE ＝CD·sin45°＝1. 因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形． 所以S ABCD ＝S ABCE ＋S △ECD ＝AB·AE ＋CE·DE ＝1×2＋×1×1＝. 又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1， 所以V P-ABCD ＝S ABCD ·PA ＝××1＝.14. 如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E,F 在棱A 1B 1上,点Q 是棱CD 的中点,动点P 在棱AD 上.若EF=1,DP=x,A 1E=y(x,y 大于零),则三棱锥P EFQ 的体积( )A ．与x,y 都有关B ．与x,y 都无关C ．与x 有关,与y 无关D ．与y 有关,与x 无关【答案】C【解析】三棱锥P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底EF=1,高A 1P=,与x 有关,三棱锥P EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离.∵CD ∥EF,∴CD ∥平面PEF.∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离,与y 无关,故选C.15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.【答案】【解析】由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径为R,正方体棱长为a,则πR3=,R=,则=3,得a=.16.已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为________．【答案】【解析】根据球的体积计算公式，该球的半径是 2.设三棱柱的高为2a，根据题意，得a2＋1＝4，得a＝，故这个三棱柱的高是2，其体积是×()2×2＝.17.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝______.【答案】1∶24【解析】设三棱锥F－ADE的高为h，则＝＝18.如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点．它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．【答案】3【解析】设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)．故长方体的体积为1×1×3＝3.19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(3)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）3（3）【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接CO，A1O.∵CA＝CB，∴CO⊥AB，又∵AA1＝AB，得AA1＝2AO，又∠A1AO＝60°，∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，∴AB⊥平面A1OC，又A1C⊂平面A1OC，∴AB⊥A1C.(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，又A1A＝AB＝2，∠BAA1＝60°，∴在等边三角形AA1B中，A1O＝，∵A1C2＝A1O2＋CO2＝6，∴∠COA1＝90°，即A1O⊥CO，∴A1O⊥平面ABC，∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.(3)作辅助线同(1)以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即所以n＝(，1，－1)，则cos<n，＝＝－，所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.20.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.【答案】【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．21.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.【答案】【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．22.如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．A．圆锥的高等于圆柱高的；B．圆锥的高等于圆柱高的；C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点．【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误．【考点】体积公式．23.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1-A1DC的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）由直线和平面平行的判定定理知，要证明面，只需在面内找一条直线平行于即可，连接交于点，连接，由三角形中位线定理，得，进而证明面；（2）由面面垂直的判定定理，只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线即可，由已知得面，故平面平面；（3）求四面体体积，关键在于利用等体积转化法，选择合适的底面便于求高，∵，依题意，高为，再求底面的面积，进而求三棱锥的体积.试题解析：（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又面，面，面．（2），是的中点，，又面，面，，，面，面，平面平面.（3）解： ,则（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2, , ．【考点】1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、三棱锥的体积.24.已知正四棱锥的所有棱长均为，则过该棱锥的顶点及底面正方形各边中点的球的体积为 .【答案】【解析】为底面的中心，，，球心仍在高线上，在中，，，，∴，则，∴.【考点】1.四棱锥外接球问题；2.球的体积.25.如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求三棱锥的体积的体积．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要以三棱柱为几何背景考查线面平行、线面垂直和几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据题意作出辅助线，在中，利用中位线的性质得，再由线面平行的判定，得证；第二问，由已知条件可以判断四边形是正方形，所以对角线互相垂直，所以，又由于第一问得，所以，再由已知证即可，由已知边长，得，所以，所以为等腰三角形，而为中点，所以为高，得证，再利用线面垂直的判定即可得证；第三问，利用等体积法将三棱锥进行转化，找到已知条件求体积.试题解析：（1）证明：连结，显然过点∵分别是的中点, ∴，又平面，平面，∴平面，（2）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，，∴四边形是正方形，∴，由（1）知，∴，连结，由，知，∴，又易知是的中点，∴，∴平面.（3）因为，所以三棱锥与三棱锥的体积相等，故.【考点】1.中位线的性质；2.线面平行的判定；3.三角形全等；4.线面垂直的判定；5.等体积法.26.已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.【答案】【解析】如下图所示，连接、交于点，连接，则平面，由于四边形为正方形，且边长为，，，，易知，，，所以球的表面积.【考点】锥体的体积、球的表面积27.在四面体中，AB，AC，AD两两垂直，AB=,AD=2,AC=，则该四面体外接球的表面积为．【答案】【解析】方法一:设为球心，因为所以所在截面圆的直径为，取中点，则为截面圆圆心，所以圆面，又所以圆面，所以∥又所以∥四边形是平行四边形，所以，在直角三角形中，，所以 .方法二：由球的对称性及两两垂直可以补形为长方体,长方体的对称中心即为球心, 所以所以.【考点】球及线面关系的应用.28.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为__________【答案】【解析】先设梯形的上底、下底和高，然后利用圆柱和圆锥的体积公式求出以这三边旋转得到的几何体的体积，联立得到的式子可解出上底、下底和高，结合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周长可以得到。
认识多面体的表面积和体积
认识多面体的表面积和体积多面体是几何学中一个重要的概念，它是一个由多个平面多边形组成的立体图形。
学习多面体的表面积和体积，可以深入理解几何学的基本原理，并应用到实际生活中的问题中。
本文将介绍多面体的表面积和体积的概念、计算方法以及应用。
一、多面体的定义和特点多面体是由平面多边形连接而成的立体图形。
它有以下几个基本特点：1. 多面体的所有边都是线段，将两个顶点连接起来得到的结果。
2. 多面体的所有面都是平面多边形，由多个边围成的封闭图形。
3. 多面体的每个顶点都与其他若干个顶点相连，形成了多个面的交汇点。
多面体可以分为两类：凸多面体和凹多面体。
凸多面体的内部不包含任何角，所有的面都向外凸出。
而凹多面体的内部包含至少一个角，至少有一个面向内凹陷。
在计算多面体的表面积和体积时，需要根据具体情况选择合适的方法。
二、多面体的表面积计算方法计算多面体的表面积是为了了解立体图形的大小和形态。
下面介绍几个常见多面体的表面积计算方法：1. 立方体的表面积计算立方体是一种具有六个面都是正方形的多面体。
其表面积等于所有面的面积之和。
假设立方体的边长为a，则其表面积等于6*a^2。
2. 正四面体的表面积计算正四面体是一种具有四个全等的正三角形面的多面体。
其表面积等于底面积加上四个侧面的面积之和。
假设正四面体的边长为a，则其表面积等于√3*a^2。
3. 正六面体的表面积计算正六面体是一种具有六个全等的正方形面的多面体。
其表面积等于所有面的面积之和。
假设正六面体的边长为a，则其表面积等于6*a^2。
4. 正八面体的表面积计算正八面体是一种具有八个全等的正三角形面的多面体。
其表面积等于所有面的面积之和。
假设正八面体的边长为a，则其表面积等于2*√3*a^2。
通过以上几个常见多面体表面积的计算方法，我们可以了解到不同多面体的表面积公式及其计算过程。
这些计算方法可以帮助我们更好地理解立体图形的几何特征。
三、多面体的体积计算方法计算多面体的体积是为了了解立体图形所占有的空间大小。
多面体的表面积与体积计算
多面体的表面积与体积计算在初中数学学习中，我们经常会遇到多面体的表面积和体积计算问题。
掌握这些计算方法对于解决实际问题和提高数学能力都非常重要。
本文将通过举例、分析和说明的方式，向中学生及其父母介绍多面体的表面积与体积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、长方体的表面积与体积计算长方体是最简单的多面体之一，它有六个面，每个面都是矩形。
我们可以通过计算长方体的长、宽和高来求解其表面积和体积。
表面积计算公式为：表面积 = 2(长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)体积计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高例如，一个长方体的长为3cm，宽为4cm，高为5cm。
根据上述公式，我们可以计算出它的表面积和体积。
表面积 = 2(3 × 4 + 3 × 5 + 4 × 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2 × 47 = 94cm²体积 = 3 × 4 × 5 = 60cm³通过这个例子，我们可以看到，长方体的表面积与体积计算相对简单，只需要掌握基本的计算公式即可。
二、正方体的表面积与体积计算正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
因此，正方体的表面积和体积计算方法与长方体相同，只需要将长、宽和高都取相同的值即可。
表面积计算公式为：表面积 = 6 ×边长²体积计算公式为：体积 = 边长³例如，一个正方体的边长为2cm。
根据上述公式，我们可以计算出它的表面积和体积。
表面积 = 6 × 2² = 6 × 4 = 24cm²体积 = 2³ = 8cm³正方体是我们生活中常见的几何体之一，通过掌握正方体的表面积和体积计算方法，我们可以更好地理解和应用这些知识。
三、其他除了长方体和正方体，还有很多其他多面体，如三棱柱、四棱锥、五棱柱等。
多面体的体积和表面积计算公式
F= (π/4) a·b
形
扇 形
弓 形
圆 环
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部 分 圆 环
新 月 形
L d/10 P 0.40
抛 物 线 形
多面体的体积和表面积计算表
2d/10 3d/10 4d/10 0.79 1.18 1.56
5d/10 6d/10 7d/10 1.91 2.Βιβλιοθήκη 5 2.55等 多 边 形
第6页
多面体的体积和表面积计算表
多面体的体积和表面积
图形
立 方 体
长 方 体 ∧ 棱 柱 ∨
三 棱 柱
尺寸符号
棱 锥
棱 台
圆 柱 和 空 心 圆 柱 ∧ 管
第1页
多面体的体积和表面积计算表
∨
斜 线 直 圆 柱
直 圆 锥
圆 台
球
球 扇 形 ∧ 球 楔 ∨
第2页
多面体的体积和表面积计算表
球 缺
圆 环 体 ∧ 胎 ∨
球 带 体
桶 形
椭
球
a,b,c-半轴
体
交 叉 圆 柱 体
第3页
多面体的体积和表面积计算表
梯 形 体
图形
正 方 形
长 方 形
三 角 形
平 行 四 边 形 任 意 四 边 形
正 多 边 形
常用图形求面积公式
尺寸符号
面积（F） 表面积（S）
第4页
多面体的体积和表面积计算表
菱 形
梯 形
圆 形
椭
圆
a·b-主轴
多面体体积和面积公式
S曲
=
2πrh
=π(d2 4
+ h2)
S = πh(4r − h)
d 2 = 4h(2r − h)
Go=3（2r-h)2/4(3r-h）
V = 2πr2R • r2 = 1 π 2Dd 2 4
S = 4πr2Rr = π 2Dd = 39.478Rr
在环中心上
R − 球半径 r1,r2 − 底面半径 h − 腰高 h1 − 球心O至带底圆心O1的距离
Go=h/2
V = πr2 • h1 + h2 2
S
=
πr(h1
+
h2 )
+
πr 2
•
(1 +
1 cosα
)
S1 = πr(h1 + h2)
G0
=
h1
+ h2 4
+
r2tg 2α 4(h1 + h2)
GK = 1 • r2 • tgα 2 h1 + h2
直圆锥
圆台
球 球扇形∧
球楔∨
r − 底面半径 h−高 l − 母线长
V
=
πh b
(3R12
+
3r22
+
h2
)
S1 = 2πRh
S = 2πRh + π (r12 + r22)
Go=h1+h/2
D −中间断面直径 d − 底直径 l − 桶高
对于抛物线形桶体
V = πl (2D2 + Dd + 3 d 2)
15
4
对于圆形桶体
V = πl (2D2 + d 2) 12
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1 8专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。
易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？ 易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点4：空间想象能力欠缺 题组一1．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+ B．54+ C ．90 D ．81【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9+18+2．（2016全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为2 8A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为3 8A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半， 其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为21(3)14632ππ⨯⨯=．选B ． 5．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 题组三6．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去4 8部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111AA B D ，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15．1A 1B 1C 1ADC7．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A ．1727B ．59C ．1027D ．13【解析】原毛坯的体积2(3)654V ππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积2212(2)4(3)234V V V πππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127V V '-=． 8．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416rRππ=，所以32rR=，则小圆锥的高为2R，大圆锥的高为32R，所以比值为13．题组四9.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D-挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=, AA=，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【解析】该模型为长方体1111ABCD A B C D-，挖去四棱锥O EFGH-后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6cmAB BC==，14cmAA=，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm)32ABCD A B C D O EFGHV V---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，3D打印所用原料密度因为为30.9g/cm，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．10.如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.5 86 8【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCDV SCE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=111012AB BC DD ⨯⨯⨯=. 11．（2014新课标Ⅱ）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A ．3B ．32C ．1D 3【解析】由题意可知AD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面11DB C ，又2sin 603AD =⋅=11111113231332A B DC B DC V AD S -∆=⋅=⨯， 故选C ．12．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。
当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：3cm )的最大值为_______。
ODFECBA【解析】如图连接OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长为x7 8（05x <<），则6OG x =，56GE x =-． G ODFECBA由题意可知三棱锥的高h ===底面2ABC S x ∆=，三棱锥的体积为213V x ==设45()53h x x x =-，则34()203h x x x '=-（05x <<）， 令()0h x '=，解得x =(0,x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以x =()h x取得最大值4h =所以2max V ===13.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．8 8【解析】由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a ，则由题知21,21aa a +==-所以，。