2.2 空间向量的运算z 课件1 (北师大选修一 1-2)
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高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算课件1 北师大版选修2-1
精 (2)OP 4OA OB OC
讲
点
拨
K12课件
12
互 概念运用 智慧闪光
动 例2如图，已知平行四边形ABCD,从平面
探 AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, 究 OG kOC, OH kO, D
求证：四点E、F、G、H共面；
精
讲
点
拨
K12课件
13
归 这节课学习了什么，有哪些方面 纳 的运用，运用的时候有什么限制 小 条件？
自
概念引读 共面向量
主
探
究
交
流
展
示
K12课件
4
自 概念构想 共面向量
主 1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
探
究
b
d
交
c
a
流
展 注意：空间任意三个向量
示
既可能共面，也可能不共面
K12课件
5
自 概念构想 共面向量
主 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，Ｍ、N分
探
别为AB1和B1C的中点，判断下列说法是否正确
精
C
p
P
讲
b
A aB
点
拨
O
由此可判断空间任K意12课四件 点共面
10
互 动
概念构想
如果两个向量
a
，b
不共线,
探 ★ 向量p与向量 (性质) 存在唯一的一对实数x，
究 a，b共面
y，使 p＝xa＋yb
★ p＝xa＋yb(判定) 向量p与向量a，b共面
精
讲 P、A、B、C四点共面
AP, AB, AC共面
展
高中数学第二章2.2空间向量的运算第1课时空间向量的加减法及数乘运算课件北师大版选修2_1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的 结果为向量 ���������的���1 有( )
①(������������ + ������������)+������������1 ;②(������������1 + ������1������1 )+������1������1; ③(������������ + ������������1)+������1������1;④(������������1 + ������1 ������1)+������1������1.
A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c 解析:������1������ = ������1������ + ������������ = ������1������ + ������������ + ������������ = ������������ − ������������ − ������������1=a-b-c. 答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
������1������1=a,������1������1=b,������1 ������=c,E,F,G,H,P,Q 分别是 AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A 的中点,求证:������������ + ������������ + ������������=0.
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算2.2.1空间向量的线性运算课件北师大选修2_1
=
−
2 3
������������
+
1 2
(������������
+
������������ )
=
−
2 3
������
+
1 2
(b+c)=−
2 3
������
+
1 2
������
+
1 2
������.
故选B.
答案:B
3.运算律 空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同,表示如 下: (1)结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (2)交换律 a+b=b+a. 说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形 法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
A.0 B.1 C.-1 D.2
解析:本题主要考查空间向量共线的充要条件.若a与b共线,则有
且只有一个实数λ使a=λb(b≠0)成立,只需确定λ的值即可求出k的值.
∵c,d不共线,∴c≠0,且d≠0,则a≠0,且b≠0.
∵a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb成立,
即kc+d=λ(c-k2d),
整理,得(k-λ)c+(1+λk2)d=0.
【做一做 1】 如图所示,在空间四边形 OABC 中 , ������������ =a, ������������ =b, ������������ =c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,点 N 为 BC 的中 点,则������������等于( )
A.
1 2
������
−
2 3
������
2.2 空间向量的运算 课件(北师大选修2-1)
[精解详析]
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH ＝ AH －AE 1 1 ＝ AD － AB 2 2 1 ＝ (AD －AB ) 2 1 ＝ BD . 2
2 2 又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴ C F ＝ C B ，C G ＝ C D .
λa的模是a的
模的 |λ| 倍
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝ aλ (λ∈R)； λa＋λb ，
②分配律：λ(a＋b)＝
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)； ③结合律：(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ∈R)． (4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件 是存在实数λ，使得 a＝λb .
b＝0 ； ②a⊥b ⇔ a·
a· b ③cos〈a，b〉＝ |a||b| (a≠0，b≠0.)
a (4)对任意一个非零向量， |a| 叫作向量 a 的单位向量， 把
记作 a0.a0 与 a 同 方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算 有如下特点 1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结 果仍是一个向量． 2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决 于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
设 a，b，c 是任意空间向量，类比平面向量的数量 积，回答以下问题． 问题 1：由 a· b＝0，一定能推出 a＝0 或 b＝0 吗？
π 提示：不一定，也可能〈a，b〉＝ . 2
问题 2：由 a· b＝a· 能得到 b＝c 吗？ c
提示：不一定．
问题 3：(a· b)c＝a(b· c)成立吗？
提示：不一定．
2
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1
＝ 12 ＋ 1×1×cos 60°－ 2×1×1×cos 60°＋ 1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1.
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21
空间向量的线性运算
如图 2－2－1 已知三棱锥 A－BCD，E、F 分别
是 BC、CD 的中点，化简下列各表达式．
(1)A→B＋B→C＋C→D；
(2)A→B＋12B→D＋12B→C；
(3)A→F－12A→B－12A→C.
图 2－2－1
【思路探究】 结合图形特点，利用空间向量的线性运 算法则进行化简．
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数
λ，使得 a＝λB．
单位向量
【问题导思】 在平面向量中，与 a 共线的单位向量有几个，分别是什 么？ 【提示】 有 2 个，分别是|aa|与－|aa|.
对于任意一个非零向量 a，我们把|aa|叫作向量 a 的单位向 量，记作 a0，a0 与 a同方向 .
2 空间向量的运算
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法． (2)能用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律． (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的 简单问题．
2．过程与方法 通过对空间向量的运算的学习，了解并初步把握空间向 量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生知识迁移的能力，渗透数形结合思想．
【解】 (1)∵A→B＋A→D＝A→C，
∴
A→1O－
1 2
A→B
－12
A→D＝
A→1O－
12(A→B＋
A→D)
＝A→1O－
1 2
A→C
＝
A→1O－A→O＝A→1A. (2)E→O＝E→D＋D→O＝23D→1D＋12D→B＝23D→1D＋12(D→A＋A→B)＝23
A→1A＋12D→A＋12A→B＝12A→B－12A→D－23A→A1.
《2.2 空间向量的运算》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品
• 6．空间向量数量积的定义 • 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于 |a||b| cos〈a，b〉 ________ ___________ ，记作a·b. • • • • 7．空间向量的数量积的运算律 b· a (1)交换律a·b＝__________ ； a· b＋a· c (2)分配律a·(b＋c)＝__________ ； (λa)· b (3)λ(a·b)＝__________ (λ∈R)．
③对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向 量 a、b、c，若 a· b＝a· c，a≠0，却推不出 b＝c，只能得出 a ⊥(b－c)或 b＝c. ④a· b＝0⇒ / a＝0 或 b＝0，a＝0 时，一定有 a· b＝0. ⑤三个不为零的实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对 于三个向量 a、 b、 c， (a· b)· c≠a· (b· c) ， 因为 a· b 是一个实数， (a· b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b· c)是与 a 共线的向量，a 与 c 却不一 定共线．
• • • • •
• • • •
2．空间向量加减法的运算律 a＋(b＋c) ； (1)结合律(a＋b)＋c＝__________ b＋a (2)交换律a＋b＝_________. 3．空间向量的数乘的定义 空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量， 记作λa.满足： |λ||a| (1)|λa|＝_________ ； 方向相同 (2)当λ>0时，λa与a__________ ； 方向相反 当λ<0时，λa与a__________ ； 0 当λ＝0时，λa＝______.
• 与平面上两个向量的数量积一样，空间两个 向量的数量积也具有如下性质． • ①a⊥b⇔a·b＝0.用于判断两向量是否垂 直． • ②|a|2＝a·a用于求向量的模． • ③|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
2.2《空间向量的运算》课件(北师大版选修2-1)
何值时BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.
【解题提示】把BP·CQ化成关于θ的函数关 系式，再求函数最值.
【解析】
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.下列命题中不正确的是（
(A)| 0 |=0 (C)| a |2= a 2
）
(B) a - a =0 (D) a - a = 0 【解析】选B. a - a = 0 ≠0
【解题提示】正确地画出辅助线，利用向量共线定理求
解.
【解析】EF与AD+BC共线.连接AC，取AC中点G，连接EG，FG，
∴GF= 1 AD,EG= 1 BC.
2 1 2 2 1 1 BC= (AD+BC). 2 2
又∵GF,EG,EF共面，
∴EF=GF+EG= AD+
即EF与AD+BC共线.
8.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为
AB,OC的中点,求异面直线OE与BF夹角的余弦值.
【解析】如图,设OA= a ,OB= b ,OC= c ,且| a |=| b |=| c |=1, 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC= , 3
则 a · b = b·c = c·a = . 2
1
9.(10分)如图，在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为 2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ 取
二、填空题（每题4分，共8分） 5.化简：
(1)
=_____________;
(2)平行六面体A)AB-AC+BC-BD-DA =CB+BC-(BD+DA) =0 -BA =AB
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通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：⑴空间任意两个向量总是共面的； ⑵空间任意三个向量不一定共面； ⑶空间四边形ABCD中 AD、AC 、 不共面。
AB
O
A
a
α
a
（2）共面向量定理 如果两个向量 a、 不共线，则向量 p 与向量 ab 、 b 共面的充要条件是，存在实数对x、y，使
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA（指向被减向量） OP λa ( R)
运算律：⑴加法交c a (b c)
O
D
C B
A H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
。
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面 .2.如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的 1 重心。求证： ( AB AC AD) AG
3.共线向量（平行向量） （1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，则这些向量叫做共线向
量或平行向量
a平行于b,记作a∥b
（2）共线向量定理：
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要 l 条件是存在实数λ ，使a=λ b。
a A P B
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 满足等式 OP OA t a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。
O
OP OA t AB
OP (1 t )OA tOB
②
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：已知平面α 与 a 向量，作 OA a ，如 果直线OA平行于平面α 或在α 内，那么我们说向量 a 平行于平面α ，记作 a ∥α 。
p =x a +y b
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在 有序实数对x、y，使 MP =xMA+y MB
或对空间任一点O，有 OP = OM +x +y MA MB
①
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式 叫做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足 向量关系式
OP
=x OA OB +Z OC (其中x+y+z=1) +y
的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OG =kOC , OE=k OA ，OF =k OB , OH OD =k ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC。
数学：２．２《空间向量 的运算》课件PPT（北师 大版选修2-1）
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的 ⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
⑶数乘分配律： (a b) a b
空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它 们的和为零向量．即： ． A A A A A A A A A A 0
3
A
D
S
·
C
P·
A B
R· B
D C
G
D
A
· Q
C
B
1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D' （如图），化简下列 向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
1 ⑶ AB AD CC ' 2
1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
AB
O
A
a
α
a
（2）共面向量定理 如果两个向量 a、 不共线，则向量 p 与向量 ab 、 b 共面的充要条件是，存在实数对x、y，使
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA（指向被减向量） OP λa ( R)
运算律：⑴加法交c a (b c)
O
D
C B
A H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
。
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面 .2.如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的 1 重心。求证： ( AB AC AD) AG
3.共线向量（平行向量） （1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，则这些向量叫做共线向
量或平行向量
a平行于b,记作a∥b
（2）共线向量定理：
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要 l 条件是存在实数λ ，使a=λ b。
a A P B
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 满足等式 OP OA t a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。
O
OP OA t AB
OP (1 t )OA tOB
②
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：已知平面α 与 a 向量，作 OA a ，如 果直线OA平行于平面α 或在α 内，那么我们说向量 a 平行于平面α ，记作 a ∥α 。
p =x a +y b
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在 有序实数对x、y，使 MP =xMA+y MB
或对空间任一点O，有 OP = OM +x +y MA MB
①
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式 叫做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足 向量关系式
OP
=x OA OB +Z OC (其中x+y+z=1) +y
的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OG =kOC , OE=k OA ，OF =k OB , OH OD =k ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC。
数学：２．２《空间向量 的运算》课件PPT（北师 大版选修2-1）
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的 ⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
⑶数乘分配律： (a b) a b
空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它 们的和为零向量．即： ． A A A A A A A A A A 0
3
A
D
S
·
C
P·
A B
R· B
D C
G
D
A
· Q
C
B
1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D' （如图），化简下列 向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
1 ⑶ AB AD CC ' 2
1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3