咸阳二模

2014年咸阳市高考模拟考试试题（二）
文科数学参考答案
一、选择题
二、填空题：
11. 19 12. 222222123456131234563+++++=+++++ 13. 1 14 . 1
4
15. A. (,2][4,)-∞-+∞ B ． 30 C. 1 三、16.（本小题满分12分）
17. （本小题满分12分）
解：（1）证明：当1n =时，由1143S a =-得：1143a a =-，即11a =；
当2n ≥时，由43n n S a =-及1143n n S a --=-，相减得：114()n n n n S S a a ---=-， 即14()n n n a a a -=-（2n ≥），即14
3
n n a a -=（2n ≥）
， 知数列{}n a 是以1为首项，以
4
3为公比的等比数列；………………………………………6分 （2）由（1）知：14()3n n a -=，得114
()3
n n n b b -+-=，所以
21324311
()()()()n n n b b b b b b b b b b -=-+-+-+
+-+
01221444
4
()()()()333
3
n b -=+++++ 11411()43213()4313
n n --⎡
⎤⨯-⎢⎥
⎣⎦
=+=-+⋅-………………………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：（1）解：易知， AE ⊥平面BCDE ， 所以111
11333
A BCDE BCDE V S AE -=
⋅=⨯⨯=………………………………6分 （2）证明：∵平面BCDE ⊥平面ADE ,AE BE ⊥，
∴AE ⊥平面BCDE ，而BD 平面BCDE ， ∴BD AE ⊥，又,BD CE AE
CE E ⊥=,
∴BD ⊥平面ACE ……………………………12分 19.（本小题满分13）
解:（1）根据“某段高速公路的车速(/km h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔50辆就抽取一辆这一条件)…………3分 设中位数的估计值为为x ，则0.0150.0250.0450.06(95)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得
97.5x =，即中位数的估计值为97.5.
(注意中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值)…………6分
(2)从图中可知，车速在[)80,85的车辆数为10.015402m =⨯⨯=（辆），分别记为12B B ,；车速在[85,90)车辆数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为123A A A ,,,4A ，从这6辆车
中随机抽取两辆共有15种情况：1213A A A A (,),(,)，14A A (,)，
111223A B A B A A (,),(,),(,),24A A (,),
2122A B A B (,),(,),34A A (,),3132414211(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B B B ， 注意穷举所有的可能结果)
抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数为0的只有12(,)B B 一种，故所求的概率1
15
P =.…12分
20. （本小题满分13分）
解：（1）由直线:2l y x =+和圆2
2
2
:O x y b +=
b
，解得b =，
又c e a ==22
213a a -=，得2
3a = 故椭圆C 的方程为：22
132
x y +=……………………………5分
（2）解法1：由（1
）知：(A ，依题意知，直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 的方程为
：(0)y k x k =≠，所以圆心(0,0)O 到直线m 的距
离
d m 与圆O
相交，所以d r <=
解
得
220
k k <≠且.直线
m
与圆O 相交
的
弦
长
RS ===，
所以11=22ORS S RS d ∆⋅= 解得221
15
k k ==
或，均适合220k k <≠且
，所以1k k =±=或，
故直线m
的方程为(y x y x =±=或.……………………………13分 解法2：由直线m
过点(A
，设直线:m x ty =
，即0x ty ++=
原点O 到直线m 的距离为d =
，
又RS ==2
12
t >
于是12ORS S RS d ∆=
⋅==
=，解得21t =或25t =
于是直线:m x y =±或:m x =
即直线m 的方程为0,0.x y x ±+=±+=…………………………13分 21.（本小题满分14分） 解: （1）
()ln 1(0)f x x x x =-+>,∴11()1x
f x x x
-'=
-=
, ∴(1)=0f '，由导数的几何意义知：曲线()f x 在点(1,0)处的切线的斜率为0，故所求切线方程为0y =. ……………………………4分
（2）由（1）知：11()1x
f x x x
-'=
-=
,∴当01x <<时,()0f x '>; 当1x >时,()0f x '<.()(1)0f x f ∴≤=,()f x ∴的最大值为0. …………………8分
（3）解法1：依题意1max 2max
()()f x g x ≤ 其中1(0,)x ∈+∞，2[1,2]x ∈
由（2）知1max ()(1)0f x f ==
问题转化为：存在[1,2]x ∈，使得32max 0()4x ax a x -≥⇔≤=，其中[1,2]x ∈ 所以4a ≤ ……………………………14分
解法2：对任意1(0,)x ∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，等价于
1max 2max ()()f x g x ≤，其中1(0,)x ∈+∞，2[1,2]x ∈
由（2）知max ()0f x =，因此只要对任意[1,2]x ∈恒有max ()0g x ≥ 当0a ≤时，3
()g x x ax =-在2[1,2]x ∈时恒为正，满足题意.
当0a >时，2()33(g x x a x '=-=-
+，知()g x 在(,-∞和)+∞
上单调递增，在(上单调递减.
1≤即03a <≤时, 由max ()(2)820g x g a ==-≥,得4a ≤，即03a <≤；
若12<
≤即312a <≤时,()g x 在上递减,在2]上递增,而(1)10g a =-<，
(2)82g a =-在(3,4]为正,在(4,12]为负,可得34a <≤；
2>即12a >时(1)0,(2)0g g <<不合题意. 综上知a 的取值范围为4a ≤. ……………………………14分。