线性代数课件(完整版)同济大学
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线性代数_同济大学(第五版)正式课件1
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
即
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D a11 a21
a12 a22
(方程组的系数行列式)
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
原则：横行竖列
引进新的符号来表示“四
个数分成两对相乘再相
减”。
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
线性代数同济大学第五版课件
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
线性代数_同济大学(第五版)课件
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
32 x 1 1 1 2x 1
对应于
(1)t(1234) a11a22a33a44 (1)t1243 a11a22a34a43
(1)t(1234) a11a22a33a44 x3 ,
(1)t1243 a11a22a34a43 2x3
故 x3的系数为－1.
§4 对换
一、对换的定义
定义 例如
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
简记作 det(a，ij )
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2 p2（正an负pn号除外），其中
是1, 2, …, n 的某个排列.
p1 p2 pn
4. 当 p1 p2 是p偶n 排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 是奇pn排列时，对应的项取负号.
同济大学线性代数课件(第三章)
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0
6 0
B4
2019/6/24
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
3
2 5
3
2 3
4
0
6 3
B2
2019/6/24
11
1 1 2 1 4
r2 2
rr43 35rr22
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6 3
B
3
1 1 2 1 4 行阶梯形
r4 12r4
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3, ④
2019/6/24
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
2019/6/24
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
《线性代数》(同济第六版)课件
0 0 a33 a43
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
同济版线性代数课件--第一节 向量组及其线性组合
推论
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n
T
叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2
aj a1 j
a2 j a mj
an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )
1 , 2 , m ,
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n
T
叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2
aj a1 j
a2 j a mj
an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )
1 , 2 , m ,
同济大学线性代数课件11
的线性方程组,
•精品课件
！
•精品课件
！
同济大学线性代数课件11
•我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
•在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
第一章 行列式
内容提要
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 •行列式的概念.
•注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
•2.•三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, •不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 •负. • 利用三阶行列式求解三元线性方程组
• 如果三元线性方程组
•的系数行列式
•若记 •或
•记 •即
•得
•得
•则三元线性方程组的解为:
•例2 计算行列式 •解 •按对角线法则，有
•例1 •求解二元线性方程组 •解 •因为
•所以
•
二、三阶行列式
•定义 设有9个数排成3行3列的数表
•引进记号 •主对角线 •副对角线
•原则：横行竖列
•称为三阶行列式.
•二阶行列式的对角线法则 并不适用！
•三阶行列式的计算 •(1)沙路法
•.列标 •行标
•三阶行列式的计算•——对角线法则
•实线上的三个元素的乘积冠正号， •虚线上的三个元素的乘积冠负号.
•数表所确定的二阶行列式，即
•原则：横行竖列
•其中，
称为元素.
•i 为行标，表明元素位于第i 行； •j 为列标，表明元素位于第j 列.
•二阶行列式的计算•——对角线法则
•主对角线 •副对角线
•即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
同济大学出版社线性代数课件(完整版)
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
引进记号
a21 a22 a23
原则：行列式
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
anpn
an1 an2 二、annn 阶行简列记式作的det定(a，ij 义)
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
b1 b2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
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再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ;
…… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1：
解：
求排列 32514 的逆序数.
t (32514) 0 1 0 3 1 5
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表 a
a11
21
a12 a22
a11 a12 记号 a a22 21
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
4
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组 由消元法，得
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3
是1、2、3的某个排列. 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
其中
p1 p2 p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a21 D a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
p1 p2 pn
( 1)t ( p1 p2 pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ；
练习：
求排列 453162 的逆序数.
解：
t9
§3
n 阶行列式的定义
一、概念的引入
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
所以，三阶行列式可以写成
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
p1 p2 p3
(1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
0 D2 0 0 a41
0 0 a32 0
0 a23 0 0
a14 0 0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
3 4 6. 其中 t (4321) 0 1 2 3 2
a11 0 D3 0 0
a12 a22 0 0
线性代数
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
§2
全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
显然
Pn n (n 1) (n 2)3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序.
20
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 in的逆序数通常记为 t (i1i2 in ) .
当 p1 p2 pn 是奇排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 1 ； 若理解成一阶行列式，则 1 1.
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
简记作 det(aij ) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 是1, 2, …, n 的某个排列. 4. 当 p1 p2 pn 是偶排列时，对应的项取正号；
其中 aij 为行列式D的(i,Байду номын сангаасj)元
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 anp（正负号除外），其中 p1 p2 pn n
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
表达式 a11a22 a12a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素. 其中，
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
原则：横行竖列
a11 a21 D an1
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
a13 a23 a33 0
a14 a24 a11a22a33a44 a34 a44
D4
a11 a21 a32 a41
0 a22 a32 a42
0 0 a33 a43
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
a14 0 0 0
0 0 0 a44