同济大学线性代数课件__第四章
合集下载
同济大学线性代数课件第四章
, m
2018/10/14
19
已知 : ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 2 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ) 例2: 1 2 3
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2018/10/14
b1 b2 bm
a11 a 21 记 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
R( A) R( A, B )
2018/10/14
16
定理3: 向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A (1 , 2 , , m ), B ( 1 , 2 , , l )
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 ,
, an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2018/10/14
1
a1 a 2 (a1 , a2 an
2018/10/14
14
A : 1 , 2 ,
, m B : 1 , 2 ,
, l B 能由 A 线性表示
j k1 j1 k2 j2
kl jl j 1,2,
,l
( 1 , , l ) (k111 km1 m , , k1l1 kml m )
线性代数-工程版(同济大学第六版)第四章
✓ 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 a T, bT, a T, b T 表示．
定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组．
注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量.
(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.
例如 （1）
1
2
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
a11 a21
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组．
注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量.
(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.
例如 （1）
1
2
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
a11 a21
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数-同济大学4-2PPT课件
成行阶梯形矩阵 ,可同时看出矩阵（ 1， 2， 3
及（1， 2）的秩，利用定理 2即可得出结论 .
2021/3/12
11
11
1 0 2
r2r1
(1,2,3) 1 2 4
~
1 5 7 r3 r1
1 10 0 22 0 02 2 2 2 10 5 5 7 5
~2 0 2 2，
2021/3/12
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面 .
2021/3/12
4
4
二、线性相关与线性表示的关系
2021/3/12
定理 向量组1,2,,（m 当m 2时）线性相关
的充分必要条件是1,2,,m 中至少有一个向
量可由其余m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1,a2,,am 中有一个向量（比如
能由其余向量线性表示.
即有
am 11 2 2 m1 m1
am）
故 11 2 2 m1 m1 1am 0
因 1,2,,m1,1 这 m 个数不全为0，
故 1,2,,m 线性相关.
而:m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R(A) m m 元齐次线性方程组 Ax o只有零解 R(A) m
所以:
定理2 向量组1,2,,m线性相关 R(A) m, 相关性 其中A(1,2,,m);
秩的判
2021/3/12
8
8
四、例题
例１ n 维向量组
T
T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
同济大学线性代数课件共5份(4)
(2) 若是A的对应于的特征向量且x1 + x2 0, 则 x1 + x2也是A的对应于的特征 向量. 由于Ax1 = x1, Ax2 = x2, 于是
A( x1 x2 ) Ax1 Ax2 x1 x2 ( x1 x2 )
由(1)和(2)知，对于方阵A的对应于的 特征向量, 其非零的线性组合 k1 x1 k 2 x2 k m xm 也是A的对应于的特征向量. 令V = {x|Ax = x}, 可以验证V是一个向 量空间,称为A的对应于的特征子空间.
由于其广泛的应用背景，已研究出多种 方法计算方阵的特征值和特征向量，特 别是其经典数值计算方法和各种智能计 算方法. 本章内容涉及到线性方程组、矩阵和向 量方面的诸多知识，要求大家具有一定 的综合运用知识的能力. 本章在复数范围讨论.
4.1 特征值与特征向量的概念 与计算
4.1.1 特征值与特征向量的概念 对于给定的方阵A和非零向量x，可以考 虑通过线性变换得到的向量Ax. 给定方阵A，对于某些非零向量x，通过 线性变换得到的向量Ax与x是共线的， 即存在数满足Ax = x，这时就是A的 特征值，x就是A的对应于的特征向量.
例4.1 设
3 2 2 A 2 3 2 2 2 3
求A的特征值与特征向量. S|
2 2
3 2 (7 )(1 ) 2 3
|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = 1, = 7. 当 = 1时, (A - 1E)x = 0为
3 2 5 1 0 1 row 6 3 9 0 1 1 5 3 8 0 0 0 1 令x3 = 1, ξ 2 1. 1
线性代数(同济大学第五版)第四章
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系:
b11 b12 b1,n r b21 b22 b2,n r br 1 br 2 br ,n r 1 , 2 , , n r . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
提示：可用方法2证明！
课后题9 设 b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1 , 证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 2011期选考题
1、 设 向 量 组 1 , 2 , 3线 性 无 关 ， 则 向 量 组 D） （ （A） 1 2 , 2 3 , 3 1线 性 无 关 ； （B） 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ； （C） 1 2 3 ,2 1 3 2 3 , 1 4 2线 性 无 关 ； （D） 1 2 2 ,2 2 3 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ；
如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！
d1 d2 dr , 0 0
考试类型题
一、向量组线性相关性的判定
方法1. 从定义出发 令 k11 + k22 + · + kmm = 0, 即 · ·
若只有零解, 则1, 2, · , m线性无关; 否则, 1, · · 2, · , m线性相关. · · 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, · , m, 就得到一个相应 · · 的矩阵A=(1, 2, · , m), 求R(A), 则 · · 若R(A)=m, 则 1, 2, · , m线性无关; · · 若R(A)<m, 则 1, 2, · , m线性相关. · · 利用相关定理(秩的相关性质)
线性代数课件(完整版)同济大学
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22
a 1n
a
2n
a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn
线性代数(同济版第五版)经典课 4章
本文详细讲解了线性代数中向量的内ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，包括其定义和运算规律，如交换律、数乘结合律和分配律。进一步，引入了向量正交的概念，即两向量内积为零时，它们互相正交。同时，阐述了向量的长度，也称为模，以及单位向量的定义。在正交向量组方面，文档明确了若一组非零向量中任意两个向量正交，则这组向量线性无关。此外，还介绍了线性无关向量组的正交化和单位化方法，即通过施密特正交化过程，可以将线性无关的向量组转化为正交向量组，并进一步单位化得到标准正交向量组。这一过程中涉及到了待定系数的求解和向量的线性组合。通过这些内容的阐述，可以深入理解线性代数中向量空间的结构和性质，以及正交性在解决实际问题中的应用。