线性代数同济大学第五版课件5-7
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线性代数(第五版)课件
• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.
同济大学出版社 线性代数课件完整版)
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”. 数表 a
a11
21
a12 a22
a11 a12 记号 a a22 21
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
a1n D a n1 a2,n 1
求解公式为 请观察，此公式有何特点？
b1a22 a12b2 x1 a a a a 分母相同，由方程组的四个系数确定. 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 2 a11a22 a12a21
相减而得.
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
p1 p2
pn
当 p1 p2 是奇排列时，对应的项取负号 . pn
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 ； 1 若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
4
第一章 行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
线性代数同济5版
解法
通过高斯消元法或克拉默法则求 解，解的形式同样包括唯一解、 无穷多解和无解。对于无解的情 况，可以通过最小二乘法求得近 似解。
线性方程组的解法与应用
解法概述
线性方程组的解法主要包括直接法和迭代法两大类。直接法 包括高斯消元法、克拉默法则等，适用于中小规模问题；迭 代法包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等，适用于大规模问 题。
两个矩阵的行数相等、 列数相等且对应元素都 相等。
两个矩阵的对应元素相 加。
用该数乘以矩阵的每一 个元素。
第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数，且 结果矩阵的第$i$行第 $j$列元素等于第一个矩 阵的第$i$行的元素与第 二个矩阵的第$j$列对应 元素乘积之和。
矩阵的逆与转置
逆矩阵
对于$n$阶矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵，则称矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵。
二次型的标准形
通过坐标变换，二次型可以化为只含有平方项的标准形$f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2$，其中$k_i$为常数。
二次型的矩阵表示
二次型可以表示为矩阵形式$f = X^TAX$，其中A为对称矩阵，X为列向量。
二次型的正定性与负定性
01
正定二次型
矩阵的转置
把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
矩阵的秩与初等变换
矩阵的秩
在$m times n$矩阵中，任取$k$行和$k$列（$k leq m, k leq n$），位于这些行列交叉处 的$k^2$个元素，不改变它们在原矩阵中的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵的$k$-
同济大学出版社线性代数课件(完整版)
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
引进记号
a21 a22 a23
原则：行列式
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
anpn
an1 an2 二、annn 阶行简列记式作的det定(a，ij 义)
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
b1 b2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数(同济大学第五版)第五章
十、化二次型为标准形
定理1: 任给可逆矩阵C, 令B=CTAC(A与B为合同 矩阵), 如果A为对称矩阵, 则B也为对称矩阵. 说明1: 若A与B是合同矩阵，则： 1.正(负，零） 特征值的个数相同，2.具有相同的秩. 说明2: 二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B=CTAC; 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, ·, n ; · · 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, ·, n ; · · 4. 记P=(1, 2, ·, n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 · · 标准形: f = 1y12+2y22+·+nyn2 . · ·
十二、正定二次型
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定 二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定 二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 概念：正惯性指数，负惯性指数 推论: 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特 征值全为正. 定理3(霍尔维茨定理): (1)对称矩阵A为正定的充 分必要条件是A的各阶主子式为正, 即
七、相似矩阵
P-1AP = B 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论: 若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n ) · · 相似, 则1, 2,·, n 既是A的n个特征值. · · 相似矩阵的性质: 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). (A)与 (B) 相似 当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n )相似时, · · 则 (A)= P()P-1. 而
线性代数同济第五版
四、正交矩阵与正交变换
1. 正交矩阵 （1）定义：
若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT , 则称A为 正交矩阵 .
（2）定理：
A 为正交矩阵 A的列（或行）向量都是单位向量且两两正
交． 注： 正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空 间Rn 的一个规范正交基．
（3）性质：
5. 规范正交基 （1）定义 ：
设n维向量e1 , e2 , , er 是ห้องสมุดไป่ตู้量空间 V (V R n )的一个正交 基, 且都是单位向量, 则称e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基.
1 0, 如，1 0 2 0 0 0 0 1 0 , , 0 3 4 为R 4的一个规范正交基. 0 1 0 0 0 1
4. n维向量间的夹角
当 x 0, y
x, y 0时, 规定： arccos
x y
称为n维向量x与y的夹角。
如， 1, 2, 2,3， 3,1,5,1
则 与的夹角 arccos [ , ]
18 arccos 3 2 6 4
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
b1 1,1,1,1
b2 0, 2, 1,3
8 14 0,2,1,3 1,1,2,0 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14 再单位化， 得规范正交向量组如下：
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
Ax 2 x
则x 0,
与定义矛盾 .
线性代数同济五版
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是
A的一个特征值。
特征多项式
设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为 A的特征多项式。
特征向量
对应于特征值λ的非零向量x称为A的 对应于特征值λ的特征向量。
特征方程
特征多项式|λE-A|=0的根称为A的特 征根（或特征值）。
04
CATALOGUE
向量
向量的概念与运算
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用有向线段 表示。
向量的数乘
实数与向量的乘法满足分配律、结合律和数 乘的消去律。
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法则。
向量的线性运算
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
向量的线性相关性
线性组合
若干个向量通过线性运算得到的结果向量称为这些向量的 线性组合。
线性相关与线性无关
如果存在不全为零的实数，使得一组向量的线性组合为零 向量，则这组向量称为线性相关；否则称为线性无关。
极大线性无关组
在线性相关的向量组中，如果存在一个部分组是线性无关的，且从向量组中任 意添上一个向量后都变为线性相关，则称该部分组为向量组的一个极大线性无 关组。
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。
向量组的秩的性质
向量组的秩等于其行秩或列秩；两个等价的向量组具有相同的秩； 若向量组线性无关，则其秩等于向量组中向量的个数。
向量组的秩的计算方法
通过初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形 矩阵中非零行的个数即为向量组的秩。
05
CATALOGUE
工程应用
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是
A的一个特征值。
特征多项式
设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为 A的特征多项式。
特征向量
对应于特征值λ的非零向量x称为A的 对应于特征值λ的特征向量。
特征方程
特征多项式|λE-A|=0的根称为A的特 征根（或特征值）。
04
CATALOGUE
向量
向量的概念与运算
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用有向线段 表示。
向量的数乘
实数与向量的乘法满足分配律、结合律和数 乘的消去律。
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法则。
向量的线性运算
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
向量的线性相关性
线性组合
若干个向量通过线性运算得到的结果向量称为这些向量的 线性组合。
线性相关与线性无关
如果存在不全为零的实数，使得一组向量的线性组合为零 向量，则这组向量称为线性相关；否则称为线性无关。
极大线性无关组
在线性相关的向量组中，如果存在一个部分组是线性无关的，且从向量组中任 意添上一个向量后都变为线性相关，则称该部分组为向量组的一个极大线性无 关组。
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。
向量组的秩的性质
向量组的秩等于其行秩或列秩；两个等价的向量组具有相同的秩； 若向量组线性无关，则其秩等于向量组中向量的个数。
向量组的秩的计算方法
通过初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形 矩阵中非零行的个数即为向量组的秩。
05
CATALOGUE
工程应用
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2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
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思考题
设A, B分别为m 阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
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思考题解答
解 C是正定的. T 因为, 设 z T ( x T , y )为m n维向量, 其中x , y分
别是m维和n维列向量, 若z 0, 则x , y不同时为零向 量, 于是
A 0 x z Cz ( x , y ) 0 B y
T T T
第七节 正定二次型
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结 思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
上页
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四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
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例如
f x 2 4 y 2 16 z 2 为正定二次型
2 2 f x1 3x2
为负定二次型
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三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正. 证明 设可逆变换x Cy使
x f Cy ki yi2 . f
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故
ki 0i 1,, n .
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
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定理3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 a n1 a nn 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a1r r 1 0, r 1,2, , n . a r 1 a rr 这个定理称为霍尔维茨定理．
k i 0 , i 0 ,
则 k 1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数
上页
下页
这个定理称为惯性定理，这里不予证明。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的
正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。若二
次型 f 的正惯性指数为 p ，秩为 r，则 f 的规范形 便可确定为
上页
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定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax ,它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等. 及 x Pz
2 2 f k1 y1 k 2 y 2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z 2 r z r2
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式
5
2
4 5
5 0,
5 2 2 1
1 0,
2
1
2 1 0,
4 2
故上述二次型是正定的.
上页 下页
例2
判别二次型 2 2 x1 , x2 , x3 2 x12 4 x2 5 x3 4 x1 x3 f
上页 下页
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
上页
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例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.（补充）
f y y y y .
2 2 2 2 r 1 p p 1
科学技术上用的较多的 二次型是正惯性指数为 n 或负惯性指数为n的n元二次型，有以下定义
上页 下页
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) x T Ax , 如果对任何 x 0, 都有f x 0显然 f 0 0 , 则称f为正定二 次型, 并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x ) 0, 则称 f为负定二次型, 并称对称矩阵 A是负定的.
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0, 则 y C - 1 x 0, 故
i 1
n
x k i yi2 0. f
n i 1
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必要性
假设有 k s 0, 则当y e s (单.
是否正定. （补充）
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
上页
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例3
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
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思考题
设A, B分别为m 阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
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思考题解答
解 C是正定的. T 因为, 设 z T ( x T , y )为m n维向量, 其中x , y分
别是m维和n维列向量, 若z 0, 则x , y不同时为零向 量, 于是
A 0 x z Cz ( x , y ) 0 B y
T T T
第七节 正定二次型
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结 思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
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四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
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例如
f x 2 4 y 2 16 z 2 为正定二次型
2 2 f x1 3x2
为负定二次型
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三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正. 证明 设可逆变换x Cy使
x f Cy ki yi2 . f
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故
ki 0i 1,, n .
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
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定理3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 a n1 a nn 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a1r r 1 0, r 1,2, , n . a r 1 a rr 这个定理称为霍尔维茨定理．
k i 0 , i 0 ,
则 k 1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数
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这个定理称为惯性定理，这里不予证明。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的
正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。若二
次型 f 的正惯性指数为 p ，秩为 r，则 f 的规范形 便可确定为
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定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax ,它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等. 及 x Pz
2 2 f k1 y1 k 2 y 2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z 2 r z r2
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式
5
2
4 5
5 0,
5 2 2 1
1 0,
2
1
2 1 0,
4 2
故上述二次型是正定的.
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例2
判别二次型 2 2 x1 , x2 , x3 2 x12 4 x2 5 x3 4 x1 x3 f
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正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
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例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.（补充）
f y y y y .
2 2 2 2 r 1 p p 1
科学技术上用的较多的 二次型是正惯性指数为 n 或负惯性指数为n的n元二次型，有以下定义
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二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) x T Ax , 如果对任何 x 0, 都有f x 0显然 f 0 0 , 则称f为正定二 次型, 并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x ) 0, 则称 f为负定二次型, 并称对称矩阵 A是负定的.
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0, 则 y C - 1 x 0, 故
i 1
n
x k i yi2 0. f
n i 1
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必要性
假设有 k s 0, 则当y e s (单.
是否正定. （补充）
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
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例3
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.