2012年高考第一轮总复习精品导学课件：11.2离散型随机变量的期望与方差(第2课时)
离散型随机变量的期望及方差课件
02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
高考理科数学一轮复习第讲离散型随机变量期望与方差PPT25页
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
离散型随机变量的期望与方差课件
方差是正数或零，无负值；方差越大， 随机变量的取值越分散；两个随机变 量的方差相等，则它们是同方差。
方差的计算
方差的计算公式
方差=E[(X-E[X])^2]，其中E[X]表示随机变量X的期望。
方差的简化计算
对于离散型随机变量，方差可以简化为方差=1/n Σ(xi-μ)^2，其中xi表示随机 变量X的取值，μ表示随机变量X的期望，n表示随机变量X的取值个数。
离散型随机量的期望与方 件
目录
• 离散型随机变量的期望 • 离散型随机变量的方差 • 离散型随机变量的期望与方差的关系 • 离散型随机变量的期望与方差的计算
实例 • 离散型随机变量的期望与方差在概率
论中的应用
01
离散型随机量的期望
定义与性质
期望的性质 2. 期望是一个可计算的数值，与概率分布中的权值
01
02
03
04
方差是用来度量随机变量取值 分散程度的数学概念。
方差越大，说明随机变量的取 值越分散；方差越小，说明随
机变量的取值越集中。
方差与标准差是两个紧密相关 的概念，标准差是方差的平方
根。
方差在概率论中有很多重要的 应用，例如在金融、统计学、
机器学习等领域。
期望与方差在金融风险控制中的应用
期望的性质与用途
3. 期望的计算公式是一个加权平均值。 期望的用途
1. 期望是评估一个随机变量取值水平的指标。
期望的性质与用途
01
2. 期望可以用于预测随机变量的 未来取值。
02
3.期望可以用于计算其他统计量， 如方差、协方差等。
02
离散型随机量的方差
方差的定义与性质
方差的定 义
高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差
3 2
=
1
,
6
1 1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + × ×
3 2 2
3 2
2
=
3
12
=
1
,
4
1 1 1
2
2
1 1
2
2
1 1 2
P(X=4)= × × × + × × × + × × ×
3 2 2
3
3
2 2
3
3
2 2 3
=
10
36
=
5
,
18
2 1 1
1
1
1 1
1
2
1 1 1
2 1
36
10
90
36
15
12
=
1
12
47
.
12
考向2.与古典概型有关的分布列
典例突破
例3.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名
女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由
于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机
抽取3人组成代表队.
是离散型随机变量.
2.若X1,X2相互独立,则E(X1·
X2)=E(X1)·
E(X2).
3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
4.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于
高二数学离散型随机变量的期望与方差PPT精品文档15页
x1 x2 … xn …
P
p1
p2 … pn
…
则称E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为 数学期望，简称期望，也称为平均值、
均值。
例1、商场促销问题 解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元，则 的分布列为
10 －4
P 0.6 0.4
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
910元
变式：若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元， 为使保险公司收益的期望值不低于a的百 分之七，则保险公司应将最大赔偿金额 定为多少元？
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7, 若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
0.34
E =1.43
课堂小结：
本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
2）若 ab ，则 EaE b
（a、b是常数）
； lsbtly/ 墓地 ath63cwb
2)若投中得5分 ,求他得分的期望;
3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,
求他得分的期望。
例4、有一批数量很大的产品，其次品率是15%， 对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果 抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直 到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
高考数学理一轮复习 X1-2离散型随机变量的期望与方差 精品课件
[规律总结] (1)定义法是求期望与方差最基本 的方法，基本步骤是，首先求出随机变量的 分布列，再根据定义求期望与方差，正确列 出分布列是求解的关键． (2)本题是研究对号入座学生个数为离散型随 机变量的概率分布列、期望、方差问题，关 键是分析对号入座学生个数的情况，以及每 种取值下事件所包含的结果数，基本事件的 总数．若问题推广为错位入座的学生个数， 其变量ξ的概率分布列、期望、方差也可用类 似方法解决.
2 1 [解] (1)P(ξ＝0)＝A3＝3； 3 C1 1 1 1 3 P(ξ＝1)＝A3＝2；P(ξ＝3)＝A3＝6； 3 3 ∴分布列为： ξ P 0 1 3 1 1 2 3 1 6
1 1 1 (2)Eξ＝0×3＋1×2＋3×6＝1. 1 1 1 2 2 2 Dξ＝(0－1) ×3＋(1－1) ×2＋(3－1) ×6 ＝1.
例2 某一大学毕业生参加某一公司的笔试， 共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问 题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影 响． (1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差； (2)设答对一个题目得10分，否则扣1分，求 该同学得分η的期望与方差． [分析] 解答该5个问题可以认为是5次独立重 复试验，答对问题的个数ξ服从二项分布，求 η的期望与方差可通过ξ与η的线性关系间接求 出．
第二节 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ差
离散型随机变量的期望与
知识自主· 梳理
1.了解离散型随机变量的 期望、方差的意义． 最新考 2 ．会根据离散型随机变量 纲 的分布列求出期望、方 差． 1.与分布列的考查相结合， 以解答题的形式出现． 高考热 2．有时也以选择或填空的 点 形式考查期望、方差的实 际意义或运算性质.
1.期望 (1)若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P
年高考第一轮复习数学离散型随机变量的期望值和方差
年高考第一轮复习数学离散型随机变量的期望值和方差Last revised by LE LE in 2021离散型随机变量的期望值和方差●知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.2.方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差. D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）. （2）若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）. ●点击双基1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则ξ=，D ξ=ξ=，D ξ=1235 ξ=，D ξ=ξ=，D ξ=1635 解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P （ξ=1）=P （ξ=2）=P （ξ=3）=P （ξ=4）=P （ξ=5）=P （ξ=6）=61， ∴E ξ=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=，D ξ=［（1－）2+（2－）2+（3－）2+（4－）2+（5－）2+（6－）2］×61=65.17=1235. 答案：B2.设导弹发射的事故率为，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是ξ= ξ=（ξ=k ）=·－k（ξ=k ）=C k10··－k解析：ξ～B （n ，p ），E ξ=10×=.答案：A3.已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于 A.71 B.61C.51D.41解析：E ξ=np =7，D ξ=np （1－p ）=6，所以p =71.答案：A4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为.设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于解析：D ξ=10××=. 答案：C5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1＞D ξ2，则自动包装机________的质量较好.解析：E ξ1=E ξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D ξ1>D ξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.答案：乙 ●典例剖析【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ.ξ －10 1P21 1－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+,1,1210,1212122q p q q 解得q =1－22.于是，ξ的分布列为ξ －11P21 2－123－2 所以E ξ=（－1）×21+0×（2－1）+1×（23－2）=1－2，D ξ=［－1－（1－2）］2×21+（1－2）2×（2－1）+［1－（1－2）］2×（23－2）=2－1. 评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E ξ=（－1）×21+0×（1－2q ）+1×q 2=q 2－21.拓展提高既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列. 解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256.从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x解之得⎩⎨⎧==2,121x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.54,5921x x而x 1<x 2，∴x 1=1，x 2=2.ξ 12P53 52 需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求E ξ. ξ a a －30000a －10000P1－p 1－p 2p 1p 21212110000p 2.要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a ＞30000p 1+10000p 2. 评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值. 思考讨论本题中D ξ有什么实际意义【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A 44=4!，∴P （ξ=0）=44!4=646；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C 14C 24A 33，∴P （ξ=1）=6436. 同样可分析P （ξ=2），P （ξ=3）. 解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P （ξ=0）=4444A =646，P （ξ=1）=43324144A C C =6436，P （ξ=2）=422242424244A C C C C +=6421，P （ξ=3）=4144C =641. ξ123P6466436 6421 641 ∴E ξ=6481，D ξ=2641695. 评述：本题的关键是正确理解ξ的意义，写出ξ的分布列. 特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.●闯关训练 夯实基础1.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是与，则二项分布的参数n 、p 的值为=4，p = =6，p = =8，p = =24，p = 解析：由E ξ==np ，D ξ==np （1－p ），可得1－p =4.244.1=，p =，n =4.04.2=6. 答案：B2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为解析：ξ=0，1，2，3，此时P （ξ=0）=，P （ξ=1）=×，P （ξ=2）=×，P （ξ=3）=，E ξ=.答案：C3.设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解析：D ξ=npq ≤n （2q p ）2=4n ，等号在p =q =21时成立，此时，D ξ=25，σξ=5.答案： 21 54.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________.解析：设甲在途中遇红灯次数为ξ， 则ξ～B （3，52）， 所以E ξ=3×52=.答案：5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B （50，），η=2ξ，故成绩的期望为E η=E （2ξ）=2E ξ=2×50×=80（分）；成绩的标准差为ση=ηD =)2(ξD =ξD 4=22.08.050⨯⨯=42≈（分）. 6.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P （ξ=5）=473314C C C =354， P （ξ=6）=472324C C C =3518，P （ξ=7）=471334C C C =3512， P （ξ=8）=470344C C C =351，E ξ=5×354+6×3518+7×3512+8×351=35220=744. 培养能力7.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为，和.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望E ξ和方差D ξ.解：设A i ={部件i 需要调整}（i =1，2，3），则P （A 1）=，P （A 2）=，P （A 3）=.由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A 1，A 2，A 3相互独立，可见P （ξ=0）=P （1A 2A 3A ）=××=；P （ξ=1）=P （A 12A 3A ）+P （1A A 23A ）+P （1A 2A A 3）=××+××+××=； P （ξ=2）=P （A 1A 23A ）+P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=××+××+××=； P （ξ=3）=P （A 1A 2A 3）=××=. ∴E ξ=1×+2×+3×=，D ξ=E ξ2－（E ξ）2=1×+4×+9×－=－=.8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过41.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则P （ξ=0）=1－p ，P （ξ=1）=p ，E ξ=0×（1－p ）+1×p =p ，D ξ=（1－p ）·（0－p ）2+p （1－p ）2=p （1－p ）≤（21p p -+）2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 探究创新9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.解：设ξ为巧合数，则P （ξ=0）=44A 9=249，P （ξ=1）=4414A 2C ⨯=31，P （ξ=2）=4424A C =41，P （ξ=3）=0，P （ξ=4）=4444A C =241，所以E ξ=0×249+1×31+2×41+3×0+4×241=1. 所以巧合数的期望为1.●思悟小结1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：E ξ=∑∞=1i x i p i ，D ξ=∑∞=1i （x i －E ξ）2p i ，E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，D （a ξ+b ）=a 2Dξ.4.二项分布的期望与方差：若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=np （1－p ）.5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.●教师下载中心 教学点睛1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力. 拓展题例【例1】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 剖析：要求D ξ、ξξE D 12-的最大值，需求D ξ、E ξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列.解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1－p ，从而E ξ=0×（1－p ）+1×p =p ，D ξ=（0－p ）2×（1－p ）+（1－p ）2×p =p －p 2.（1）D ξ=p －p 2=－（p －21）2+41， ∵0<p <1，∴当p =21时，D ξ取得最大值为41.（2）ξξE D 12-=p p p 1)(22--=2－（2p +p1），∵0<p <1，∴2p +p1≥22. 当且仅当2p =p1，即p =22时，ξξE D 12-取得最大值2－22.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.【例2】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.E ξ=1×)1(n n ++2×)1(n n ++3×)1(+n n +…+n ×)1(+n n =)1(2n n +（12+22+32+…+n 2）=312+n .。
2023版高考数学一轮总复习11-2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
例 (2020山东泰安三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购 入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A水果 没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕 (根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水 果批发商根据往年的销量,统计了100天内A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下条形统计图.
+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机
变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差
1)均值的定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2
3)=P(ξ=-3)= 1 ,P(ξ=1)=P(ξ=-1)= 3,故随机变量|ξ|的分布列为
8
8
|ξ|
1
故E(|ξ|)=1×3 +3× 1= ,3
4
42
D(|ξ|)=1
3 2
2
×
3+
4
3
3 2
2
×
=14
.故3 选B.
4
答案 B
应用 利用均值、方差进行决策 解决均值、方差实际问题的策略 1)把握“1”实质:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差 反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据. 2)运用“2”策略: ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区别,可直接对问题作出判断. ②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过方差来研究两随机变 量的离散程度或者稳定程度,进行决策.
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分别表示市场情形好、 设L1、L2、L3分别表示市场情形好、中、 差时的利润，随机变量ξq表示当产量为 表示当产量为q而市 差时的利润，随机变量 表示当产量为 而市 场前景无法确定时的利润. 场前景无法确定时的利润 (1)分别求利润 1、L2、L3与产量 的函数 分别求利润L 与产量q的函数 分别求利润 关系式； 关系式； (2)当产量 确定时，求期望 q; 当产量q确定时 求期望Eξ 当产量 确定时， (3)试问产量 取何值时，Eξq取得最大值 试问产量q取何值时 试问产量 取何值时， 取得最大值.
2 2 2
点评： 点评：由随机变量的分布列直接按公式 计算可求得方差.对相关的两个随机变量 对相关的两个随机变量ξ、 计算可求得方差 对相关的两个随机变量 、 η，若满足一定关系式：η=aξ+b，则 ，若满足一定关系式： ， E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a2Dξ(或Dξ=Eξ 2， 或 (Eξ)2).
2，3，4，5，求E(ξ+2)2，D(2ξ-1)，σ(ξ-1). ， ， ， ， ， 解：因为
1 ， ， 设随机变量ξ具有分布 设随机变量 具有分布 P (ξ = k ) = k=1， 5
1 1 1 1 1 Eξ = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = 3. 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 Eξ = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = 11. 5 5 5 5 5
不采取预防措施时， 解：(1)不采取预防措施时，总费用即损 不采取预防措施时 失期望值为400× 万元); 失期望值为 ×0.3=120(万元 万元 (2)若单独采取措施甲，则预防措施费用 若单独采取措施甲， 若单独采取措施甲 万元， 为45万元，发生突发事件的概率为 万元 发生突发事件的概率为1-0.9=0.1， ， 损失期望值为400× 万元)， 损失期望值为 ×0.1=40(万元 ，所以总费 万元 用为45+40=85(万元 ； 万元)； 用为 万元 (3)若单独采取预防措施乙，则预防措施 若单独采取预防措施乙， 若单独采取预防措施乙 费用为30万元 发生突发事件的概率为1万元， 费用为 万元，发生突发事件的概率为 0.85=0.15，损失期望值为 万元)， ，损失期望值为400×0.15=60(万元 ， × 万元 所以总费用为30+60=90(万元 万元); 所以总费用为 万元
1 1 1 2 Dξ = ( 1 − 3 ) × + ( 2 − 3 ) × + ( 3 − 3 ) 2 × + 5 5 5 1 1 1 2 2 ( 4 − 3 ) × + ( 5 − 3 ) × = ( 4 + 1 + 0 + 1 + 4 ) = 2. 5 5 5
2
所以 E (ξ + 2)2 = E (ξ 2 + 4ξ + 4) = Eξ 2 + 4 Eξ + 4
解：(1)由题意可得 由题意可得
q3 2 L1 = ( 164 − 3q ) • q − ( − 3q + 20q + 10) 3 q3 = − + 144q − 10 (q＞0). 3
同理可得
q3 L2 = − + 81q − 10 (q＞0)， 3 q3 L3 = − + 50q − 10 (q＞0). 3
(4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则 若联合采取甲、乙两种预防措施， 若联合采取甲 预防措施费用为45+30=75(万元 ，发生突发 万元)， 预防措施费用为 万元 事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，损失 事件的概率为 × ， 期望值为400×0.015=6(万元 ，所以总费用为 万元)， 期望值为 × 万元 75+6=81(万元 万元). 万元 综上分析，选择联合采用甲、 综上分析，选择联合采用甲、乙两种预 防措施，可使总费用最少. 防措施，可使总费用最少 点评：从两种 或多种 或多种)随机实验事件方案 点评：从两种(或多种 随机实验事件方案 中进行优选或决策， 中进行优选或决策，一般是比较它们的期望 期望值大就是平均值大. 值，期望值大就是平均值大
ξ P 20 0.2 30 0.35 40 0.3 50 0.15
问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜? 问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜
依据题意，售出一束鲜花获利润2.5 解：依据题意，售出一束鲜花获利润 处理一束鲜花亏损1元 元，处理一束鲜花亏损 元. (1)若进货 束，因为 若进货20束 因为P(ξ≥20)=1， 若进货 ， 所以利润的期望值E × × 所以利润的期望值 1=1×20×2.5=50(元). 元 (2)若进货 束，如果只能售出 束，则 若进货30束 如果只能售出20束 若进货 利润为20× 如果能售出30束 利润为 ×2.5-10×1=40(元);如果能售出 束， × 元 如果能售出 则利润为30× 则利润为 ×2.5=75(元). 元 因为P(ξ=20)=0.2，P(ξ≥30)=0.8， ， 因为 ， 所以利润的期望值 E2=0.2×40+0.8×75=68(元). × × 元
(3)若进货 束，则同理可得利润的期望值 若进货40束 若进货 E3=0.2×(20×2.5-20×1)+0.35×(30×2.5× × × × × 10×1)+0.45×40×2.5=73.75(元). × × × 元 (4)若进货 束，则利润的期望值 若进货50束 若进货 E4=0.2×(20×2.5-30×1)+0.35×(30×2.5× × × × × 20×1)+0.3×(40×2.5× × × 10×1)+0.15×50×2.5=69(元). × × × 元 因为E 最大，故该鲜花店春节前进货40束 因为 3最大，故该鲜花店春节前进货 束 鲜花为宜. 鲜花为宜
Eξ q = 0.4 L1 + 0.4 L2 + 0.2 L3
(2)由期望的定义可知， 由期望的定义可知， 由期望的定义可知
q3 q3 = 0.4 × − + 144q − 10 + 0.4 × ( − + 81q − 10) + 3 3 q3 q3 0.2 × ( − + 50q − 10) = − + 100q − 10. 3 3
春节期间， 春节期间，某鲜花店购进某种鲜花的进 货价为每束2.5元 销售价为每束5元 若在春 货价为每束 元 ， 销售价为每束 元 .若在春 节期间没有售完，则节后以每束1.5元的价格 节期间没有售完，则节后以每束 元的价格 处理.据往年有关资料统计 据往年有关资料统计， 处理 据往年有关资料统计，春节期间这种鲜 花的需求量ξ(单位 单位： 服从下列分布 服从下列分布： 花的需求量 单位：束)服从下列分布：
= 11 + 12 + 4 = 27. D(2ξ − 1) = 4 Dξ = 8，
σ (ξ − 1) = D(ξ − 1) = Dξ = 2.
题型5 期望在实际问题中的决策作用 题型 2. 某突发事件，在不采取任何预防措施 某突发事件， 的情况下发生的概率为0.3，一旦发生， 的情况下发生的概率为 ，一旦发生，将造 万元的损失.现有甲 成 400万元的损失 现有甲 、 乙两种相互独立 万元的损失 现有甲、 的预防措施可供采用.单独采用甲 单独采用甲、 的预防措施可供采用 单独采用甲、乙预防措 施所需的费用分别为45万元和 万元， 万元和30万元 施所需的费用分别为 万元和 万元 ， 采用 相应预防措施后此突发事件不发生的概率分 别为0.9和 若预防方案允许甲、 别为 和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预 若预防方案允许甲 防措施单独采用， 联合采用或不采用， 防措施单独采用 ， 联合采用或不采用 ， 请确 定预防方案使总费用最少.(总费用 总费用=采取预防 定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防 措施的费用+发生突发事件损失的期望值 发生突发事件损失的期望值) 措施的费用 发生突发事件损失的期望值
小张胜)=P(两人均取红 解：(1)P(小张胜 小张胜 两人均取红 两人均取黄球)+P(两人均取白球 两人均取白球) 球)+P(两人均取黄球 两人均取黄球 两人均取白球
a 3 b 2 c 1 3a + 2b + c . = × + × + × = 6 6 6 6 6 6 36
(2)设小张的得分为随机变量 ，则 设小张的得分为随机变量ξ， 设小张的得分为随机变量
第十一章
第
概率与统计
讲
第二课时） （第二课时）
题型4 题型4
求随机变量的方差
1. 已知离散型随机变量 的分布列为 已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ P -1 1 2 0 1 3 1 1 6
设η=2ξ+3，求Eη，Dη. ， ，
解：因为
1 1 1 Eξ = ( −1) × + 1 × = − ， 2 6 3 1 1 1 1 1 1 5 Dξ = −1 + × + 0 + × + 1 + × = ， 3 2 3 3 3 6 9 7 20 所以 Eη = 2 Eξ + 3 = ，Dη = 4 Dξ = . 3 9
(3)由(2)可知，Eξq是产量 的函数，设 由 可知 可知， 是产量q的函数 的函数，
q f ( q ) = Eξ q = − + 100q − 10 ( q＞0)， 3
得f ′(q)=-q2+100. 舍去). 令f ′(q)=0，解得 ，解得q=10或q=-10(舍去 或 舍去 由题意及问题的实际意义，当0＜q＜10时， 由题意及问题的实际意义， ＜ ＜ 时 f ′(q)＞0;当q＞10时，f ′(q)＜0可知，当q=10时， 可知， ＞ 当 ＞ 时 ＜ 可知 时 f(q)取得最大值，即Eξq最大时的产量 为10. 取得最大值， 最大时的产量q为 取得最大值 点评：若随机变量中的概率含有参数， 点评：若随机变量中的概率含有参数，则 其期望值可转化为含参变量的函数， 其期望值可转化为含参变量的函数，利用函数 的一些性质可进一步讨论期望的有关问题. 的一些性质可进一步讨论期望的有关问题