离散型随机变量的期望
离散型随机变量的期望值和方差
(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道 有4个选项，其中有且仅有一个是正确的， 每个选对得3分，选错或不选均不得分，满 分150分，某学生选对每一道题的概率为 0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与 方差。
说明：可根据离散型随机变量的期望和方 差的概念、公式及性质解答。
三、课堂小结：
1、利用离散型随机变量的方差与期望的知 识，可以解决实际问题。利用所学知识分析 和解决实际问题的题型，越来越成为高考的 热点，应予重视。
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乙厂 55 65 55 65
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试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。
说明：本题考查利用离散型随机变量的方
差与期望的知识，分析解决实际问题的能
力。
例6、(1)设随机变量ξ具有分布列为 P(ξ=k)= 1 (k=1，2，3，4，5，6)，求Eξ、 E(2ξ+3)和6 Dξ。
(2) 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= 1(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。 n
量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2(Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期 望和方差时，首先要搞清其分布特征及分 布列，然后要准确应用公式，特别是充分 利用性质解题，能避免繁琐的运算过程， 提高运算速度和准确度。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也 是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c
特别地，若ξ～B(n，P)，则 Eξ=nP
2、方差、标准差定义：
Dξ=(X1-Eξ)2·P1+(X2-Eξ)2·P2+…+(XnEξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。
关于离散型随机变量数学期望的几种求法
关于离散型随机变量数学期望的几种求法离散型随机变量数学期望是衡量随机变量数字大小指标之一，也是概率论与数理统计中最基本也最重要的概念。
它可以体现利用该变量值观察数据的水平。
本文将介绍离散型随机变量的求数学期望的几种方法。
首先，关于离散型随机变量的数学期望，最基本的求法是加法法则。
即将分布函数f（x）的每一个取值乘以相应样本量x取，并把所有乘积相加就可以得到离散型随机变量的数学期望。
用数学符号表示就是：E[X] = Σ xf (x)。
如果离散型随机变量X的取值和概率f (x)都很多，那上述乘加过程就不方便进行。
此时，可以利用乘法法则求数学期望。
乘法运算公式表示如下：E[X] = Σ xP(X=x)。
乘法运算的结果可以让抽样的数据简单明了，只要把每一个X的取值乘以相应的概率P(X=x)即可得到期望值，这不仅仅可以大大简化计算，而且是个较为可靠的评价指标。
而数学期望的另一种求解方法则叫做函数法则，其思想就是把μ作为一个函数，给定P(x)，当E[X]为函数f (X)，其结果可由函数f(X)与P(X)给出，函数法则可以有效降低传统加法法则求法中变量和概率的乘积，减小计算量，提高效率。
最后还有另一种求离散型随机变量数学期望的方法，它叫做采样平均法，这种法则的思想就是，根据我们了解到的离散型随机变量的取值及概率，以此为基础，根据实际的情况随机抽取一定数量的样本来分析离散型随机变量的期望，然后将抽到取值的平均值作为期望值来表示。
用数学符号表示就是：E[X] =抽样值x1+ x2 +。
+xn/n。
该方法结果较加法法则有一定的偏差，但也较准确。
总结来说，以上三种不同的方法都可以用来求离散型随机变量的数学期望，每一种方法都有其使用优劣之处。
但是，总体来说，最佳的方式是采用函数法则，当然，这也取决于需求的精确度。
离散型随机变量的期望及方差课件
02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解问题的特性和规律。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn其中，xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。
通过这个公式，我们可以计算出离散型随机变量的期望值。
例如，假设有一个随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
通过这个公式，我们可以计算出连续型随机变量的期望值。
例如，假设有一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，取值区间为[0, 1]，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量X的期望值为2/3。
三、随机变量的期望值计算的应用随机变量的期望值计算在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过计算随机变量的期望值，我们可以得到随机变量的平均取值大小，从而更好地理解问题的特性和规律。
离散型随机变量的期望与方差
点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若p1＝ p2＝…＝pn＝ ，则x1，x2，…，xn的方差就是我们初中学过 的方差．因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步 拓展．
4．方差的性质 (1)D(C)＝0(C 为常数)． (2)D(aξ＋b)＝a2Dξ. (3)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. (4)如果 ξ～B(n，p)，那么 Dξ＝npq.这里 q＝1－p. (5)如果随机变量 ξ 服从几何分布，且 P(ξ＝k)＝g(k，p)，q＝1 －p，那么 Dξ＝pq2.
B．1
C．2
D．4
解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故选B.
答案：B
5．(2011·安徽蚌埠二中练习)若随机变量 ξ 的分布列为：P(ξ
＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若 Eξ＝2，则 Dξ 的最小值等于(
)
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
解析：由题意得13＋a＝1，m×13＋n×a＝2， a＝23，m＋2n＝6，Dξ＝13×(2－m)2＋23×(2－n)2＝13×(2n－4)2 ＋23×(2－n)2＝2(n－2)2≥0，则 Dξ 的最小值等于 0.故选 A.
考点陪练 1.下面说法中正确的是( ) A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值 答案：C
【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个 座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数 是ξ.
(1)求随机变量ξ的概率分布；
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离散型随机变量的
苴日也
教学要求：
使学生了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律。
在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。
引例:
某射手射击所得环数E的分布列如下:
根据这个射手射击所得环数E的分布列，在n次射击中，预计有大约
0.02n次的4环..
类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数E的分布列，即已知各个P
(^i)(i=O,1,2,3,...10),则可预计他任意n次射击的平均环数是
Eg二XP ( §二0) + 1 XP ( 5=1)+.. + XP ( ^=10)
称Eg为此射手射击所得环数g的期望，它刻划了随机变量g所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。
1、期望
若离散型随机变量E的概率分布为
则称Eg二XP+X2P尹…+XnPn+…为§的数学期望或平均数、均值，又称期望。
问：若E为上述离散型随机变量，贝怕二ag+b的分布列怎样？Er］呢?
因为P ( r]=a Xj+b) =P ( g二片),i=1, 2, 3...
所以，n的分布图为
于是E r|= (ax〔+b)Pi+ (a x2+b)p2+...+ (a x n+b)p n+ ...
=a ( x1 p1+ x2p2+ ---+ x n p n+ ...) +b(P1+P2+…+p门+…)
=a E g+b
2、例题
例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分。
已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分g的期望。
例2随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数§的期望。
例3有一批数量很大的产品，其次品率是15%。
对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽岀次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
求抽查次数E 的期望。
（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数E取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第k 次（k=1, 2, ...9）取出次品的概率
P （£二k） =g（k,0.15）=0.85k-1X0.15, （k=1, 2, ...9）；
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率
P（5=10） =0.859（为什么？）
3、鞋论⑴:若LB(n, p), |jjE&np
证明：・・・P(E二k)二C/pkqn-k (・.・ k CnQnCmL)
・・・E £ =0 X C n°p°q n+ 1 XC n1p1q n-1+ 2 X C n2p2q n-2 +
…+ kxc n k p k q n-k+.. + n x C n n p n q°
=np(C n.1°p°q n-1 + C m11p1q n-2+ ... +
% kJ pk・1 q(n-1 )-(k-1)+...+ % n'1 q°)
=n p(p+q)nJ= np
服从二项分布的随机变量的期望
若E~B(n,p),贝!|E^=np
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项。
其中有且仅有一个是正确答案，每题选择正确答案得5分。
不作出选择或选错不得分，满分100分。
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
犁5: —次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有厂个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分满分100分。
学生甲选对任一题的聶當劳鳥＞学生乙则在测验中对每题都从4个选项T随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望O
解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是E 和耳,则
七〜B(205 0.9)，
耳〜B(20，0.25),
EE = 20X 0.9 = 18，E“ = 20X0.25 = 5.
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是％和刿。
所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5® = 5EE = 5X18 = 90，
E(5耳)=5E Y)=5X 5 = 25 ・
服从几何分布的随机变量的期望结论⑵:若p(^=k)=g(k, p),则E的/p
p 1 2
p pq
3 ...
pq2 ...
k
pqk-i
• • •
■ ■■
)1严T
・・・E g =p+2pq+3pq2+...+kpq k1+... qE § =pq+2pq2+3pq3+.._+kpq k+...
••・(1・q)E §
=p+pq+pq2+pq3+...+pq k+...
例5在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率为0.2，则他在射击时击中目标所需要的射击次数g 的期望是多少？
小结：1、随机变量的数学期望。
、若§〜
练习：P14 1-6o
作业：习题1.2 P16 1-6
补充：二点分布
（贝努里分布）一次试验中，某事件发生的概率为p, n是一次试验中此事件发生的次数问题：r］二？答案：r］二0 or 1
令q=1・p,则P(n=0)=p, P(n=1)=q,
••・Er］ = 0Xq + 1 Xp=p
由此可知，在一次试验中此事件平均发生p次
我们把上述分布称贝努里分布又称二点分布
讲评作业:P9习题3, 6
3、某射手射击击中目标的概率为0.9,求从开始射击到击中目标所需的射击次数E的概率分布。
解：身寸击次数E的概率分布为
6、某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件，求其中次品数E的分布列。
解：E〜B (5, 0.1U的分布列为。