离散型随机变量例子
离散型随机变量例题
离散型随机变量例题随机变量是概率论中的重要概念，它代表了随机试验结果的数值化表达。
离散型随机变量是随机变量的一种，它的可能取值是有限个或者可数个。
在本文中，我们将通过一些例题来介绍离散型随机变量的概念和性质。
例题一：掷骰子假设我们有一个均匀的六面骰子，每个面上的数字分别为1到6。
设随机变量X表示掷骰子的结果，试求X的概率分布。
解析：由于每个面上的数字是等可能的，所以X的取值为1到6的概率都是1/6。
可以得到X的概率分布如下：X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |----------------------------------------------------P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |例题二：抛硬币假设我们有一个公正的硬币，并进行了连续的独立抛掷，设随机变量Y表示第一次出现正面的次数，试求Y的概率分布。
解析：当抛掷一次时，正面出现的次数可以为0或1，因此Y的取值为0和1。
考虑到硬币是公正的，所以可以得到Y的概率分布如下：Y | 0 | 1 |---------------------P(Y) | 1/2 | 1/2 |例题三：某班级考试某班级的学生进行了一次考试，设随机变量Z表示考试得到的成绩。
已知Z的概率分布如下：Z | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |-------------------------------------------------P(Z) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |试求该班级的平均成绩和方差。
解析：根据概率分布，可以计算出该班级的平均成绩和方差。
平均成绩的计算公式为：E(Z) = Σ(Zi * P(Zi))其中，Zi为Z的取值，P(Zi)为Z取值为Zi的概率。
将具体数值代入公式计算，得到E(Z) = 60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.3 + 90 * 0.2 + 100 * 0.2 = 82方差的计算公式为：VAR(Z) = Σ((Zi - E(Z))^2 * P(Zi))将具体数值代入公式计算，得到：VAR(Z) = (60 - 82)^2 * 0.1 + (70 - 82)^2 * 0.2 + (80 - 82)^2 * 0.3 + (90 - 82)^2 * 0.2 + (100 - 82)^2 * 0.2 = 80综上所述，该班级的平均成绩为82，方差为80。
大学文科数学-概率论-离散型随机变量
大学文科数学（）第5章 概率论初步第5讲离散型随机变量主讲教师 |引 言生活有很多随机变量地例子,例如:•对某产品进行抽样时不合格品地个数;•某城市3月1日至6月1日期间所查地酒驾数;•首都机场候机室某一天地旅客数量;•对N件产品进行检验时不合格品地个数等.它们有一个同点,即随机变量地取值为有限个或可列个,这样地随机变量称为离散型随机变量．本节主要讨论如何描述这类随机变量,并给出常见地类型。
本节内容01 离散型随机变量及其分布02 常用地离散型随机变量Ὅ 定义5.12若随机变量所有可能地取值为有限个或者可列个,则称这样地随机变量为离散型随机变量．下列随机变量哪些是离散型,哪些不是离散型思 考地？（1）某电视闯关节目地过关数;（2）某工厂加工一批钢管地外径与规定地外径尺寸之差;发 现对于（1）与（3）,随机变量地取值均为有限个值,它们是离散型随机变量;对于（2）与（4）,随机变量地取值不是有限个值或者可列个值,而是某个范围,故它们不是离散型随机变量。
（这种类型地随机变量将在下一节介绍）问 题:如何描述离散型随机变量地统计规律呢？（4）长江某水位监测站所测水位在(0,29]地范围内变化,该监测站在一年内所测地水位数据．一般来说,如果知道了离散型随机变量地取值及相应地概率,也就把握了随机变量地统计规律．Ὅ 定义5.13设为离散型随机变量,所有可能地取值为,称为随机变量地概率分布,也称为分布律或分布列．概率分布也可以用以下形式表示:…………或者记为以下形式:所有可能取值取得相应值地概率分布律:离散型随机变量分布地性质由概率地性质可知,任意一个离散型随机变量地概率分布都具有以下两个基本性质.（1）非负性:.（2）正则性:前面已学,可以用分布函数来表示随机变量地统计规律,这里又用分布律来描述离散型随机变量地统计规律,它们即:分布函数是分布律在一定范围内地累积．离散型随机变量落在任何一个范围内地概率,均可以用累积概率地形式表示,即若离散型随机变量地分布律为,则地分布函数为Ὅ 例1解已知盒有10件产品,其8件正品,2件次品.现不放回地从抽取产品检验,每次取1件,直到取出2件正品为止.设为抽取地次数,求:（1）地分布律;（2）地分布函数;（3）概率.（1）容易知道,地可能取值为2,3,4.234因此,地分布律为P（2）当时,当时,当时,当时,综上所述,地分布函数为（3）注解由本例可知,对于离散型随机变量,虽然也可以运用分布函数描述其统计规律,但是分布律使用起来更为简便。
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
专题01 离散型随机变量分布列(解析版)
概率与统计专题01 离散型随机变量分布列常见考点考点一 离散型随机变量分布列典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为45．乙答对每道题目的概率为35，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)37100； (2)分布列见解析，()100E X =. 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；（2）由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200}，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望. (1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2)由题意，甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200}，1111111313134(0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=；14144 (200)252525P X==⨯⨯⨯=；分布列如下：所以期望44944()050100150200100 2525252525E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)23 p=(3)分布列见解析【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，列方程求解；（3）先确定进入决赛的人数为ξ的取值，依次求出每一个ξ值所对应的概率，列表即可.(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯= 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P P P P P ⎛⎫=⋅-=-+ ⎪⎝⎭∵3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∵1324p <<，∵2339941616P P ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭ ∵甲进入决赛可能性最大． (2)()()()123132231111P P P PP P P P P P =⨯++⨯---222913931139111162216222216p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--+⨯-⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972=整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又∵1324p <<，∵23p =； (3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：345199P =-=， 进入决赛的人数为ξ可能取值为0，1 ，2，3，71417(0)162972P ξ==⨯⨯=， 71591471411(1)16291629162932P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 91495171529(2)16291692162972P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 9155(3)162932P ξ==⨯⨯=， ∵ξ的分布列为变式1-2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；(2)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)14(2)分布列见解析，1312【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. (1)设“一辆车未遇到红灯”为事件A ， 则()11111112344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)随机变量X 的所以可能的取值为0,1,2,3， 则(0)P X ==1111(1)(1)(1)2344-⋅-⋅-=(1)P X ==1111111111111111123423423424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)P X ==11111111111112342342344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)P X ==111123424⋅⋅=. 随机变量X 的分布列：随机变量X 的数学期望：1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 变式1-3．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为∵，∵，∵三个部分.要击落飞机，必须在∵部分命中一次，或在∵部分命中两次，或在∵部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中∵部分的概率是16，命中∵部分的概率是13，命中∵部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立. (1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； (2)求击落飞机的命中次数X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)14； (2)分布列见解析，83. 【解析】 【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答.(2)求出X 的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答. (1)设恰好第二次射击后击落飞机为事件A 是第一次未击中∵部分，在第二次击中∵部分的事件与两次都击中∵部分的事件的和，它们互斥，所以25111()()6634P A =⨯+=.(2)依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1X =的事件是射击一次击中∵部分的事件，1(1)6P X ==，由(1)知，1(2)4P X ==， 3X =的事件是前两次射击击中∵部分、∵部分各一次，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件，与前两次射击击中∵部分，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件的和，它们互斥，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=， 4X =的事件是前三次射击击中∵部分一次，∵部分两次，第四次射击的事件，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X的分布列为：X的数学期望()11118 123464343E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.典例2．高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力，相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，乙得4分的概率；(2)设比赛结束，甲得X分，求X的概率分布与数学期望．【答案】(1)827；(2)分布列见解析，()14227E X=.【解析】【分析】（1）根据题意，求得得4分的事件，即可求得其概率；（2）根据题意，求得X的取值，再求概率从而求得分布列，再根据分布列求得数学期望即可.(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2:1获胜，故前两局比赛，甲胜1场，败1场，最后一局比赛，甲胜.则比赛结束，乙得4分的概率为122128 33327C⨯⨯⨯=.(2)若甲连胜2局结束比赛，甲得6分，其概率为224 39⎛⎫=⎪⎝⎭；若甲连败2局结束比赛，甲得2分，其概率为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭；若甲以2:1结束比赛，甲得6分，其概率为12212833327C ⨯⨯⨯=； 若乙以2:1结束比赛，甲得4分，其概率为12211433327C ⨯⨯⨯=； 故X 的分布列如下所示：故()14201422469272727E X =⨯+⨯+⨯=. 变式2-1．现有甲、乙、丙三道多选题，某同学独立做这三道题，根据以往成绩，该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况．已知该同学做甲题得2分的概率为34，分别做乙、丙两题得2分的概率均为23．假设该同学做完了以上三道题目，且做每题的结果相互独立． (1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率； (2)求该同学的总得分X 的分布列和数学期望()E X ． 【答案】(1)736(2)分布列见解析，数学期望()256E X = 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；（2）写出随机变量X 的所有可能取值，求出对应概率，从而可求出分布列，再根据期望公式即可求出期望. (1)解：记“该同学做完了以上三题恰好得2分”为事件A ，“该同学做甲题得2分”为事件B ，“该同学做乙题得2分”为事件C ．“该同学做丙题得2分”为事件D ，由题意知32(),()()43P B P C P D ===， 因为A BCD BCD BCD =++，所以()()P A P BCD BCD BCD =++()()()P BCD P BCD P BCD =++()()()()()P B P C P D P B P C =+⋅()()()()P D P B P C P D +322322322711111143343343336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)解：根据题意，X 的可能取值为0，2，4，6， 所以3221(0)11143336P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由（1）知7(2)36P X ==， 322121(6)433363P X ==⨯⨯==4(4)1(0)(2)(6)9P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X 的分布列为所以174125()024********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-2．某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者贏此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分.当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立.(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2:2的概率；(2)已知现在比分3:3，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.304；(2)分布列见解析，() 2.904E X =. 【解析】 【分析】(1)把比赛出现比分2:2的事件拆成两个互斥的和，再分别求出每个事件的概率即可得解. (2)求出X 的所有可能值，再分析计算求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答.(1)比赛出现比分2:2的事件A 是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件1A 与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件2A 的和，事件1A 与2A 互斥，1()0.60.60.40.144P A =⨯⨯=，2()0.40.40.16P A =⨯=， 因此，12()()0.1440.160.304P A P A A =+=+=， 所以比赛出现比分2:2的概率为0.304. (2)X 的所有可能值为：2，3，4，因比分已是3:3，接下来由甲发球，且有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，2X =的事件是甲发球乙赢，乙发球乙赢比赛结束的事件，(2)0.40.60.24P X ==⨯=，3X =的事件是以下3个互斥事件的和：甲发三球甲赢，比赛结束的事件；甲发第一球甲赢，发第二球乙赢，乙发球比赛结束的事件；甲发第一球乙赢，乙发第二球甲赢，甲发球比赛结束的事件，3(3)0.60.60.410.40.410.616P X ==+⨯⨯+⨯⨯=，4X =的事件是甲发前两球甲赢，发第三球乙赢，乙再发球比赛结束的事件，2(4)0.60.410.144P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 的数学期望：()20.2430.61640.144 2.904E X =⨯+⨯+⨯=.变式2-3．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n 次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为n X ，恰好有2个黑球的概率为n a ，恰好有1个黑球的概率为n b .(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率； (2)求3X 的概率分布和数学期望()3E X .【答案】(1)427； (2)答案见解析，()32827E X = 【解析】 【分析】（1）由题意得1112,33a b ==，然后分析第二次操作后，甲盒子中没有黑球的情况，从而求解出对应概率；（2）先计算22,a b ，判断3X 的取值为0,1,2，分别计算对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解()3E X . (1)由题意知，1112,33a b ==，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则11243327P b =⨯⨯= (2)211121733327b a a =⨯+⨯⨯=，21121122163333327b a b ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意，3X 的取值为0,1,2，则32124144(0)33273243P X b ==⨯⨯+⨯=，3222112242146(1)33333273243P X a b ⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，32212153(2)333243P X a b ==⨯+⨯⨯=所以3X 的分布列为所以()314653281224324327E X =⨯+⨯= 【点睛】求解分布列的问题时，一般需要先判断变量的可能取值，然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，代入期望公式求解期望.巩固练习练习一 离散型随机变量分布列1．暑假里大学二年级的H 同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H 同学记录了打工期间A 水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．(1)若超市明天购进A 水果150千克，求超市明天获得利润X （单位：元）的分布列及期望； (2)若超市明天可以购进A 水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为743元 (2)超市应购进160千克，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出X 的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望；（2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，求出Y 的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论. (1)若A 水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=，且()56800.150P X ===， 若A 水果日需求量不少于150千克，则()1501510750X =⨯-=，且()75010.10.9P X ==-=，故X 的分布列为：()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元(2)设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，则Y 的可能取值为140×5-20×2，150×5-10×2,160×5，即660,730,800 且()56600.150P Y ===，()107300.250P Y ===，()358000.750P Y ===，则()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=，因为772>743，所以超市应购进160千克.2．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示： 表一表二(1)用η（万元）表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元（即每件产品利润相应减少x 万元）时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.【答案】(1)分布列答案见解析，()33.6E η=(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析【解析】 【分析】（1）由题意η的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设改良后一件产品的利润为ξ，同（1）求出ξ的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数()E ξ与()E η比较可得结论． (1)由题意可知，η的可能取值为50，20，10， 产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48， 产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44， 产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08， 所以η的分布列为()500.48200.44100.0833.6E η=⨯+⨯+⨯=.(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为50x -，20x -，10x -， 所以一等品的概率为()0.80.10.60.480.08x x ⨯+=+，二等品的概率为()()()0.810.60.110.80.60.10.440.06x x x ⨯-++-⨯+=-⎡⎤⎣⎦， 三等品的概率为()()10.480.080.440.060.080.02x x x -+--=-， 所以()()()()()()()0.480.08500.440.06200.080.0210 1.633.6E x x x x x x x ξ=+⨯-+-⨯-+-⨯-=+，因为()E ξ在[]0,4上单调递增，故当4x =时，()E ξ取到最大值为40， 又因为()()E E ξη≥，所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.3．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下： ∵在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；∵在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；∵在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为12，进球数相同的概率为14；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为23，双方都没有得分的概率为16；在点球赛中，甲队获胜的概率为23，假设各比赛结果相互独立．(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)736； (2)分布列见解析；3518. 【解析】 【分析】（1）由题可得甲队得2分获胜有两种情况，甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜，分别计算概率即得；（2）由题可得X 可取0,1,2,3，分别计算概率即得分布列，然后利用期望计算公式即得. (1)设甲在加时赛中获胜为事件A ，甲在点球赛中获胜为事件B ， 则()(),121112143646336P A P B =⨯==⨯⨯=， ∵甲队得2分获胜的概率为()()11763636P P A P B =+=+=. (2)甲队得分X 可取0,1,2,3，()11101244P X ==--=，()121112111143646318P X ⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7236P X ==， ()132P X ==， ∵X 的分布列为∵甲队得分X 的数学期望为()117135012341836218E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：∵租用时间不超过1小时，免费；∵超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4. (1)求甲比乙付费多的概率；(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.32 (2)分布列见解析，1.6 【解析】 【分析】（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可; (2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的. (1)根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件1A ，2A ，3A它们彼此互斥，且()10.5p A =，()20.2p A =，()()()31210.3p A P A P A =-+=⎡⎤⎣⎦， 同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件1B ，2B ，3B它们彼此互斥，且()10.4p B =，()20.4p B =，()()()31110.2p B P B P B =-+=⎡⎤⎣⎦， 由题知，事件1A ，2A ，3A 与事件1B ，2B ，3B相互独立记，甲比乙付费多为事件M ，则有：213132M A B A B A B =++可得：()()()()()()()2131320.20.40.30.40.30.40.32P M P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯= 故：甲比乙付费多的概率为：0.32； (2)由题知，ξ的可能取值为：0，1，2，3，4 则有：()()()1100.50.40.2P P A P B ξ===⨯=，()()()()()122110.50.40.20.40.28P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()13312220.50.20.30.40.20.40.3P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=， ()()()()()233230.20.20.30.40.16P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=， ()()()3340.30.20.06P P A P B ξ===⨯=；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望：()00.210.2820.330.1640.06 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：0.32，1.6.5．随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．(1)求X的分布列；(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．【答案】(1)(2)8187（元）【解析】【分析】（1）X可取162，163，164，165，166，求出对应概率，然后再写出分布列即可；（2）设Y表示每天的利润，求出所有Y的取值，再根据期望公式即可得解.(1)解：X可取162，163，164，165，166，()21P X===，1622010()41P X===，163205()63P X===，1642010()51P X===，165204()3P X==，16620所以分布列为：(2)设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=， 当163X =时，16350108140Y =⨯-=， 当164X =时，164508200Y =⨯=， 当165X =时，16450208220Y =⨯+=， 当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=， 所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 6．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为X 万元，求X 的分布列；(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.【答案】(1)分布列见解析；(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意确定随机变量X 的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可； (2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.(1)由题意知X 可能取值为300，400，500，600，则()3000.20.70.14P X ==⨯=，()4000.80.70.56P X ==⨯=，()5000.20.30.06P X ==⨯=，()6000.80.30.24P X ==⨯=，∵当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入X 的分布列为(2)指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Y 万元，则Y 可能取值为200，300，400，且()2000.20.30.06P Y ==⨯=，()3000.20.70.80.30.38P Y ==⨯+⨯=，()4000.80.70.56P Y ==⨯=，()2000.063000.384000.56350E Y =⨯+⨯+⨯=(万元)；指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导. 由(1)得()3000.144000.565000.066000.24440E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)； 指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Z ，则Z 的可能取值为300，400，500，600， 且()3000.60.30.18P Z ==⨯=，()4000.70.60.42P Z ==⨯=，()5000.40.30.12P Z ==⨯=，()6000.40.70.28P Z ==⨯=， ()3000.184000.425000.126000.28450E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元).∵350440450<<，∵指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.7．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X ，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n 轮游戏，且其前n 轮的累计得分恰好为2n 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． (1)求随机变量X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.8 (2)0.696 【解析】 【分析】（1）先得出随机变量X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率． (1)由题意得，随机变量X 可取的值为1，2，3，易知()10.3P X ==，()20.6P X ==，所以()30.1P X ==， 则随机变量X 的分布列如下：所以()10.320.630.1 1.8E X =⨯+⨯+⨯= (2)由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1， 记参与者第i 轮的得分为i X ，则其前n 轮的累计得分为12n Y X X X =+++，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则()20.6P Y ==；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“13+”、“31+”的情形， 则()420.30.10.06P Y ==⨯⨯=；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分， 有“123++”、“321++”的情形，则()620.30.10.60.036P Y ==⨯⨯⨯=；记“参与者能够领取纪念品”为事件A ，则()()()()2460.60.060.0360.696P A P Y P Y P Y ==+=+==++=．8．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是45，34，12，小李答对每道小题的概率都是34.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小张在决赛中的得分，用Y 表示小李在决赛中的得分.(1)求随机变量X 的分布列和数学期望E （X ），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；(2)求在事件“4X Y +=”发生的条件下，事件“X Y >”的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：2.05，小李的得分能力更强一些 (2)431 【解析】【分析】（1）结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出X 的分布列以及()(),E X E Y ，由此作出判断. （2）利用条件概型概率计算公式，计算出事件“X Y >”的概率.(1)由题设知X 的可能取值为0，1，2，3所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4313354210P X ==⨯⨯=， 所以随机变量X 的分布列为。
几个典型的离散型随机变量
27
快速排序
28
随机快速排序
pivot=A[rand(lo, hi)]
RandomQuickS
ort
29
随机快排：性能分析
30
随机快排：性能分析
• 期望的线性性质：
31
参数λ的概率意义：事件的平均发生次数
18
例:V2飞弹打伦敦弹着点分布
19
20
泊松分布的性质
21
例：昆虫卵的孵化
22
几何分布
23
几何分布的无记忆性
几何分布是唯一具有无记忆性的 离散概率分布。
24
几何分布的期望
25
例：票券收集问题
解：
26
例：票券收集问题
收集水浒108将卡片大致需要吃568包干脆面.
0.372 0.186 0.060
0.370 0.185 0.061
0.40610.011 0.013 0.014 0.015
0.015
15
16
泊松分布
泰勒展式
17
泊松分布的应用
• 泊松分布是概率论的重要分布之一，通常用于描述大量试 验中稀有事件出现次数的概率模型。
– 电话在一段时间内收到的呼叫次数 – 放射物在一段时间内放射的粒子数 – 一段时间内通过某路口的出租车数
11
二项分布取概率最大值的位置
二项分布大约在X=np附近
达到概率最大值。
12
13
泊松(Poisson)近似公式
14
按伯努利概型
按泊松
近似n=10
k0 p0=.304.19
np==020.30.0558np5==436=61=np
0.13680.305 0.377 02.3680.194 0.189 0.31840.057 0.060
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
离散型随机变量的例子
离散型随机变量的例子
1. 你看抛硬币不，正面或反面朝上，这就是一个离散型随机变量的典型例子呀！每次抛硬币，结果都是不确定的，就好像人生的选择一样，每一次都充满了未知和惊喜呢！
2. 彩票算吧！彩票的中奖号码不就是离散型随机变量嘛。
你想想，买的时候你根本不知道会中还是不会中，那心情，一会儿期待得不行，一会儿又觉得没啥希望，这感觉多刺激呀！
3. 骰子的点数也属于离散型随机变量哦。
在玩游戏的时候，扔出骰子的那一刻，谁知道会是几点呢，心里是不是会有点小紧张，小期待呀，就像等待一个重要的消息一样。
4. 生男生女也是呀，宝宝还没出生前，你知道是男孩还是女孩吗？不知道对吧，这就是个离散型随机变量嘛，多神奇呀！
5. 抽查产品的质量合格与否，这也是离散型随机变量呢。
每次抽检都像是一场冒险，合格了大家开心，不合格就着急上火，这不就跟生活中的起伏一样吗？
6. 学生考试及格或不及格，也可以看成离散型随机变量呢。
考试前的忐忑，等待成绩的焦急，那种感觉是不是特别熟悉？这就像在人生道路上等待一个个结果一样。
我的观点结论就是：离散型随机变量在我们生活中无处不在，给我们的生活带来了很多不确定和乐趣，同时也让我们体验到各种不同的心情和经历。
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。
在概率统计中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。
一、离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
它的特点是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。
离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。
离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。
这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。
离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。
期望值表示随机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。
通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。
离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。
二、连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。
连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范围内随机变量出现的概率密度。
与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。
连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。
这些随机变量的取值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。
与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。
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离散型随机变量例子
随机变量是概率论中一个重要的概念，所谓随机变量，指的是一个可以取几种不同可能值的变量，其中每一种可能值的发生概率可以用概率论来描述。
离散型随机变量是指可能取值为有限数或者数目可算的有限或无穷多实数的随机变量。
下面我们就来看看几个典型的离散型随机变量例子。
1、伯努利随机变量：伯努利随机变量是指一个随机变量，它只有两种可能的结果，也就是只有 0 或 1。
它具有 0 的概率为 p，另一个结果就是 1 的概率也就是 1-p。
2、离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的数学期望是指随机变量的均值。
它的计算方法是把变量的各种可能值乘以其对应的概率，然后求和，就可以得到数学期望的值。
3、二项分布：二项分布是指一个随机变量 X 的概率分布如果是一个多次独立试验的离散型结果，它的取值就是 0 到 n 之间的整数。
它的概率分布可以用下面的公式来表示：P（X=k）={nchoose k}p^kq^{nk}
4、泊松分布：泊松分布是一个特殊的二项分布，它只有两个参数，一个是λ，另一个是 n。
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