2018年江苏高考模拟试最后一卷20180527

周铁中学2018届高三数学考前模拟卷数学（I ） 2018.5.27参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1. 已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知复数z =1+1+2i1-i，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．（第3题）4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不低于100个的天数为 ▲ ．5. 将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．6. 若一圆锥的底面半径为1倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 7. 等比数列{}n a 中a 4=2,a 5=5,则数列lg a n {}的前8项的和等于 ▲ ． 8. 已知曲线24y x =的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ▲ ．9. 不等式2221xx --<的解集为 ▲ ．10. 将函数f (x )=tan(x +p4)图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到函数g (x )的图像，若0()2g x =，则0()4f x π-的值是 ▲ ．（第4题）12. 已知圆:(2)2C x y -+=，直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA ，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 13. 如图，等边△ABC 的边长为2，△ADE 也是等边三角形且边长为1， M 为DE 的中点，在△ABC 所在平面内，△ADE 绕A 逆时针旋转一周， BD →·AM →的最大值为 ▲ ．14. 若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱111A B C A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(1)求证：//CG BEF 平面； （2）若1CA CB ==，试求三棱锥1C BEF -的体积.▲ ▲ ▲16. (本小题满分14分)设(cos ,1),(sin ,2)a x b x ==(1)若//a b ,求2(sin cos )x x +的值；(2)若()()f x aba =-⋅,求()f x 在[0,]π上的递减区间．某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x (单位：元，x ＞0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过25，则q (x )＝2400x ＋11；若x 大于或等于225，则销售量为零；当25≤x ≤225时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1) 求函数q (x )的表达式；(2) 当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．▲ ▲ ▲18. （本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）若直线l 与y 轴交于D ，且16DP DQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程；（2）设直线QA ，QB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值； （3）设AB 的中点为M ，点N4(,0)3，若3MN =，求QAB ∆的面积．已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=，n S 为其前n 项和． （1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；（3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．▲ ▲ ▲20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ． （1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =； （2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．▲ ▲ ▲数学Ⅱ（附加题）21． B.[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）若二阶矩阵A 满足：A1002 = 0−2−10 . （1）求二阶矩阵A ；（2）若曲线M 1：x 2+3y 2=8在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线M 2，求曲线M 2的方程.▲ ▲ ▲C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是5cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和曲线2C 在第一象限的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求A O B ∆的面积．22. （本小题满分10分）在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另外5人接受乙种心理暗示. (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2) 用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望E (X ).▲ ▲ ▲ 23. （本小题满分10分）（1）设函数()ln (1)ln(1)(01)f x x x x x x =+--<<，求)(x f 的最小值； （2）设正数123212,,,,,n n p p p p p - 满足1232121n n p p p p p -+++++= ， 求证112233212122ln ln ln ln ln .n n n n p p p p p p p p p p n --+++++≥-2018年江苏高考数学模拟试卷参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．0,1,3,4{} 2．12 3．42 4．18 5．496．23π 7．48．2 9．（-1,2） 10．34 11．3 12．[ 13. 34+ 3 14．(,2)-∞-二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.(本小题满分14分)（1）略；（2）14． 16.(本小题满分14分)（1）//2cos sin 0tan 2a b x x x ∴-=∴=…………………………3分22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos (tan 2tan 1)x x x x x x x x x +=++=⋅++ 2219(tan 2tan 1)1tan 5x x x =++=+ …………………………7分（2）21()cos sin cos 1)242f x x x x x π=--=--- ……………………10分 222242k x k πππππ-≤-≤+388k x k ππππ∴-≤≤+k z ∈……12分[0,]x π∈∴ 令0,1k =得()f x 在区间[0,]π上的递减区间是37[0,],[,]88πππ ……14分17.(本小题满分14分)解：(1) 当25≤x ≤225时，由⎩⎨⎧a －b ·25＝400，a －b ·225＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝600，b ＝40. ………………2分故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2400x ＋11，0<x ≤25，600－40x ，25＜x ≤225，0， x >225.………………4分(2) 设总利润f (x )＝x ·q (x )， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧240000xx ＋11，0<x ≤25，60000x －4000x x ，25＜x ≤225，0，x >225.………………6分当0＜x ≤25时，f (x )＝240000x x ＋11＝240 000[x+11－11x ＋11]，f (x )在(0，25]上单调递增，所以当x ＝25时，f (x )有最大值1000 000. (8分) 当25＜x ≤225时，f (x )＝60 000x －4000x x ，f '(x )＝60 000－6000x ，当25<x <100时，f '(x )>0，f (x )单调递增， 当100<x ≤225时，f '(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝100时，f (x )有最大值2000 000. ………………12分 当x >225时，f (x )＝0.答：当x 等于100元时，总利润取得最大值2000 000元． ………………14分) 18.（本题满分16分） 解：（1）若直线l 垂直与x 轴，则方程为2x =，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为4(2)y k x -=- 即240kx y k --+=，圆心到直线l的距离d =，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以2d =<，解得34k >． ………2分 又(0,24)D k -+，(2,0)Q ，所以(2,24),(2,2)DQ k DP k =-=所以42(24)16DP DQ k k ⋅=+-=u u u r u u u r，解得3k =或1k =-（舍去）， 所以直线l 的方程是320x y --=． ………………4分（2）联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221224(2)1(24)41k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪⋅=⎪+⎩所以12121212(2)4(2)42222y y k x k x k k x x x x -+-++=+=+---- 121212124(4)4422222()4x x k k x x x x x x +-=++=+---++ ………………6分 2224(2)4(4)12(24)44(2)2411k k k k k k k k k --+=+----+++ 4(84)2221116k k k k +=-=--=-．即12k k +的值是1- ………………8分 （3）法一：设中点00(,)M x y ，则由（2）知12020024(2)212(2)(2)41x x k k x k k y k x k +-⎧==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩（*）………………10分又由MN =，得22220000413()()39x y x y -+=+化简得22000640x y x +++=，………………12分将（*）代入解得1k =．………………14分因为圆心到直线l 的距离d ==，所以142ABQ S AB h ∆=⋅=即QAB ∆面积面积为4． ………………16分法二：设中点(,)M x y ，由3MN =，化简得22640x y x +++=，① 又OM PM ⊥，所以M 在以OM 为直径的圆上（在圆O 的内部） 即22(1)(2)5x y -+-= ②联立①②解得(1,1)M --，再求得QAB ∆面积面积为4．19.(本小题满分20分)（1）由12a =-及12n n a a ++=得，20a =，所以32a =，40a =，所以41234=0S a a a a +++=； …………………………………………………………2分 （2）因为10a >，所以2112||2a a a =-=-，3212||2|2|a a a =-=--，①当102a <…时，3112(2)a a a =--=，所以2211(2)a a =-，得1=1a ；②当12a >时，3112(2)4a a a =--=-，所以2111(4)(2)a a a -=-，得1=2a 或1=2a综合①②可知，1=1a 或1=2a …………………………………………………6分 （3）假设数列{}n a 是等差数列，则有212||a a =-，312|2|||a a =--，且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=（*） ……………………………………8分 ①当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；②当102a <…时，由（*）得11a =，从而1()n a n *=∈N ，此时数列{}n a 为等差数列； ③当10a ?时，可得公差2d =，因此存在2m …， 使得12(1)2m a a m =+->，这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知，当且仅当11a =时，数列{}n a 为等差数列. ……………………16分20.（本题满分16分）（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，显然(1)0f =，所以1x =是方程()0f x =的一个根． ………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=，且当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而max ()(1)0f x f ==，所以1x =是方程()0f x =的唯一根． ………………………………………………4分 （2）因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a …时，恒有()0f x '>，所以()f x 在[1e]，上单调递增， 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-；②当0a >时，当10x a <<时，()0f x '>，当1x a>时，()0f x '<， 所以()f x 在1(0,)上单调递增，在1(,)+∞上单调递减，若1e a…，即10ea <…，max ()(e)1+e f x f a a ==-； 若11e a <<<，即11e a <<，max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--；若101a<…，即1a …，max ()(1)0f x f ==． 综上所述，()f x 在[1e]，上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分 （3）因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- ， （i ）设2()(1)ln g x x x ax a =--+-， 则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-，显然()g x '在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)=1g x g a ''-…，①当1a …时，恒有g (1)0'…，所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立，所以()g x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0g x g >，所以1a …符合题意； ②当01a <<时，有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>， 所以11(1,)x a∃∈，使得1()0g x '=，从而当11x x <<时，g ()0x '<，即()g x 在1(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0g x g >，不符合题意； ③当0a …时，2221()=0x x g x a x --'+<在恒成立， 所以()g x在单调递减，所以()<(1)=0g x g >，不符合题意. 综上，()0g x >恒成立时，1a …. ……………………………………………………13分 （ii ）设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+，则1()22h x x a x'=+--， ()h x '在(1,)+∞单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证）， 所以()(1)=1h x h a ''-…，①当1a >时，有1(1)0,()20h h a a a''<=+->，所以2(1,)x a ∃∈ ，使得2()0h x '=，从而当21x x <<时，()0h x '<，即()h x 在2(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0h x h >，不符合题意； ②当1a …时，有(1)0h '…，所以()(1)0h x h ''>>?在(1,)+∞恒成立，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0h x h >恒成立， 所以1a …符合题意.综合（i ）、（ii ）可知，=1a . …………………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B.[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：（1）设矩阵B= 1002，易得B -1= 10012 ， 故A=0−2−10 B -1= 0−2−10 10012 = 0−1−10 . ……………………………………4分 （2）设P （x ′，y ′）为曲线M 1上任意一点，点P 在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′（x ，y ），即点P ′（x ，y ）在曲线M 2上，由于P （x ′，y ′）为曲线M 1上，即x ′2+3y ′2=8，又 x y = A x ′y ′ = 0−1−10 x ′y ′ = −y ′−x ′， 所以x =y ′y =x ′，即 x ′=y y ′=x，代入x ′2+3y ′2=8得3x 2+ y 2=8，故曲线M 2的方程为3x 2+ y 2=8. ……………………………………10分C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：（1）由题意1C ：24y x =，22sin 4cos ρθρθ=， 即2sin 4cos ρθθ=……………………………………3分2C ：225x y x +=． ……………………………………5分 （2）联立24y x =和225x y x +=，得1,2A A x y ==，设2(,)4mB m ，由2AOB π∠=，2124m m =-，得8m =-，(16,8)B -，…………………8分1202AOB S OA OB ∆=⋅=． ……………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==答：接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率518………………4分(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C === 41645105(1),21C C P X C === 326451010(2),21C C P X C === 23645105(3),21C C P X C === 14645101(4),42C C P X C ===A B C D………………8分X 的数学期望是 E(X)= ………………10分23. （本小题满分10分）解：（1）对函数)(x f 求导数：()(ln )[(1)ln(1)]f x x x x x '''=+--ln ln(1).x x =-- 于是.0)21(='f当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '<=--<在区间)21,0(是减函数，当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '>=-->在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ， ………………3分（2）证明：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数123123212212,,,,,1k k k k p p p p p p p p p p --+++++= 满足，则11121222323222222log log log log log .k k k k p p p p p p p p p p k --+++++≥- ………………5分 当1+=k n 时，若正数1111123123212212,,,,,1,k k k k p p p p p p p p p p ++++--++++= 满足 令123212,k k x p p p p p -=+++++ 则312212123212,,,,,.k k k k p p p p p q q q q q x x x x x--=====则123212,,,,,k k q q q q q - 为正数，且123212 1.k k q q q q q -+++++=由归纳假定知112233212122ln ln ln ln ln .k k k k q q q q q q q q q q k --+++++≥-112233212122ln ln ln ln ln k k k kp p p p p p p p p p --+++++112233212122(ln ln ln ln ln k k k k x q q q q q q q q q q --=+++++ ln )()ln ,x x k x x +≥-+ ① 同理，由112122232121k k k k k p p p p p x +++++-+++++=- 可得1111212122222323212122ln ln ln ln ln k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ++++++++++--+++++ (1)()(1)(1).x k x ln x ≥--+--② 综合①、②两式1111112222212122ln ln ln ln ln k k k k p p p p p p p p p p ++++--+++++[(1)]()ln (1)ln(1)(1).x x k x x x x k ≥+--++--≥-+即当1+=k n 时命题也成立. 根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立.………………10分151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。