(完整word版)初中角平分线知识点总结与巧用,推荐文档
八年级数学角平分线的性质知识点总结
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
七年级角平分线知识点总结
七年级角平分线知识点总结在七年级的数学学习中，我们学习了很多新知识，其中包括角平分线的知识。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我将为大家总结七年级角平分线的知识点，让大家更好地掌握这一知识。
一、角平分线的定义角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
通常情况下，我们将这个线段称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质角平分线有很多性质，下面我们来一一介绍。
1、角平分线上的点角平分线上的点必须满足点到角两边的距离相等。
也就是说，如果一条线段在角内，并且到角两边的距离相等，那么这条线段就是这个角的平分线。
2、角平分线相交于一点一个角的两条平分线必定相交于一个点，我们称这个点为这个角的内心。
3、内角平分线定理内角平分线定理是指，如果一个点在角内，并且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
三、角平分线的应用角平分线在数学中有很多应用，下面我们来介绍一下角平分线的常见应用。
1、求角平分线的长度在图形中，如果已知角的大小和角平分线所在两边的长度，那么可以通过余弦定理或正弦定理来求角平分线的长度。
2、利用角平分线证明线段比例当一个角的内部有两个点与角的两边垂直相交时，可利用角平分线来证明线段比例。
四、角平分线的练习题为了更好地掌握角平分线的知识，在此为大家推荐两道练习题，供大家练习。
1、如图，∠A=97.5°,AD为∠A的平分线，AB=6cm，BC=10cm，则AD约等于____cm。
（结果保留一位小数）A、6.6B、5.8C、8.4D、7.2解：根据余弦定理，我们可以得出：AD≈7.2cm。
2、如图，求MN∶KL的值。
解：由角平分线定理可知：$\quad \frac{MK}{AK}=\frac{NL}{AL}\quad $又因为$AK=AL$，所以$MK=NL$又由题可知：$MK+NL=20$，所以$MK=NL=10$所以：$MN∶KL=MK-LM∶NL-LK=10-6∶10-5=4∶5$以上就是本文对七年级角平分线知识点的总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
初中数学角平分知识点总结
初中数学角平分知识点总结一、角平分线的性质1. 角平分线的定义：如果一条直线把一个角分成两个相等的角，那么这条直线就是这个角的角平分线。
2. 角平分线的性质：角平分线两边的两个角相等。
3. 角平分线的性质：一个角的两个相等的角平分线互相重合。
二、角平分线的判定方法1. 角平分线的判定方法1：通过角平分线的定义，可以轻松判定角的角平分线。
2. 角平分线的判定方法2：如果两条射线的夹角等于一个角的一半，则这两条射线是这个角的角平分线。
三、角平分线的应用1. 利用角平分线的性质求解问题：在证明或计算过程中，可以利用角平分线的性质简化运算，快速求解问题。
2. 利用角平分线的判定方法进行角平分线的判定：在实际问题中，可以通过判定角的角平分线，解决有关角平分线的问题。
四、角平分线的相关定理1. 有关角平分线的相关定理：如角平分线的对称性定理、角平分线的交点定理等，这些定理在具体问题中有一定的应用价值。
2. 角平分线与其他几何图形的关系：在与直线、三角形、多边形等相关的问题中，角平分线也有一定的应用。
五、角平分线的习题解析1. 角平分线的基本应用题：如利用角平分线的性质求解同分、证明一些性质、解决实际问题等。
2. 角平分线的相关综合题：综合利用角平分线的性质和相关定理进行综合性的应用题解析。
通过本文的总结，希望大家能够掌握初中数学中角平分知识点，灵活应用于实际问题中，进一步提高数学解决问题的能力和水平。
角平分线是数学的一个重要知识点，也是初中数学的基础知识之一，希望同学们能够加强对角平分线知识点的掌握，提高数学学习的兴趣和能力。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。
在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。
以下是对九年级角平分线知识点的总结。
一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。
2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。
3. 一个角的平分线只有一个。
二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。
首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。
2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。
例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。
3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。
例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。
三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。
具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。
四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。
2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。
五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。
通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。
七年级角平分线知识点
七年级角平分线知识点七年级的数学学习中，角平分线是比较重要的知识点之一，它是几何中的一个比较基础的概念。
本文将针对角平分线的定义、性质、求解方法以及应用场景等方面进行详细介绍，希望对各位学生的数学学习有所帮助。
一、角平分线的定义角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线，也称为角的平分线。
如下图所示，$BD$就是角$ABC$的平分线。
（请参见附图一）二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如下图所示，$BP$是角$ABC$的平分线，$BD$和$BC$是该角的两边，那么有$BD=PC$，$BC=PD$。
（请参见附图二）2. 在一个三角形中，角平分线将对边分成相似的线段。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。
（请参见附图三）3. 在一个四边形中，对角线相交于一点，当且仅当相邻角的平分线相交于该点。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，$AC$和$BD$也交于该点。
（请参见附图四）三、角平分线的求解方法1. 利用角平分线的定义和性质进行推导。
如下图所示，$BD$是角$ABC$的平分线，那么有$\angleABD=\angle DBC$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，又因为$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle ABC=2\angle ABD$。
因此，当角的度数已知时，可以通过计算得到角平分线所对应的度数。
2. 利用相似三角形的性质。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，因此可得出$BD$所对应的线段长度。
3. 利用对角线的交点进行计算。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，可以通过计算点$P$的坐标来求解角平分线。
(完整word版)三角形角平分线性质
三角形内角平分线定理三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。
即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理:三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明。
角平分线性质定理角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等.3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
证明●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC。
证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB，AC分别引垂线DE,DF。
则DE=DF。
S△ABD：S△ACD=BD：CD又因为S△ABD:S△ACD=[(1/2)AB×DE]:[（1/2）AC×DF］=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC。
1。
角平分线可以得到两个相等的角。
角平分线,顾名思义，就是将角平分的射线。
如右图,若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD等于角BAD。
2。
角平分线线上的点到角两边的距离相等.如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：CD=BD∵∠DCA=∠DBA∠CAD=∠BADAD=AD∴△ACD≌△ABD∴CD=BD3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。
4.三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D,求证：AB/BD=AC/CD：作BE=BD交射线AS于E，如图1:∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE，∴∠AEB=∠ADC又∵∠BAE=∠CAD，∴△AEB∽△ADC,∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结一、角平分线的定义在平面几何中，如果一条射线恰好把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线的定义性质：角平分线将一个角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上的任意一点与角的两边构成的两个角相等。
3. 两条角平分线的交点：如果两条不同的角平分线相交于一个点，那么这两条角平分线所构成的角是相等的。
4. 角平分线的唯一性：一个角的两边上有且仅有一条角平分线。
5. 角平分线的夹角定理：角的平分线所平分的角，与角的两边构成的角互补。
6. 角平分线的垂直平分线：在一个直角三角形中，直角的平分线即为直角边的垂直平分线。
7. 角平分线的应用：在一些证明题目中，角平分线可以被运用，简化证明的过程。
三、角平分线的构造方法1. 利用直尺和圆规来画出一个角的角平分线。
2. 利用三角形特点来寻找角平分线，如利用等腰三角形的特点来构造角平分线。
3. 利用角平分线的性质来构造角平分线，如利用角平分线与直线的相交得到的相等角来构造角平分线。
四、角平分线的应用1. 利用角平分线进行角的三等分。
如在一个40度的角中，通过画出其角平分线，再进行角的三等分。
2. 利用角平分线进行证明。
如在一个几何问题中，可以利用角平分线的性质来简化证明的过程。
3. 利用角平分线进行角的构造。
如在画出一个特定角度的角时，可以利用角平分线来准确地构造。
五、角平分线的相关定理1. 角平分线的交叉定理：如果两条角平分线相交于一点，那么这两条角平分线所构成的角相等。
2. 角平分线的三线共点定理：在任意的三角形中，角的外角平分线、内角平分线和中垂线三条线相交于一点。
3. 角平分线的内切定理：三角形内切圆的切点与三角形的顶点连线所成的角等于这个角的角平分线与这个角的两边所成的角。
4. 角平分线的外角平分线定理：在一个三角形中，三个外角平分线所构成的三个角互补。
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角平分线知识点总结与巧用
一．定义、定理
1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的角平分线。
2..角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3.逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
4.三角形内心：三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。
二．基本结论
1.三角形内（外）角平分线夹角结论
（1）如图①PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ⇒∠P=90°+
2
1
∠A ， 且点P 在∠BAC 的角平分线上
（2）如图②PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角⇒∠P=90°-2
1
∠A ，
且点P 在∠BAC 的角平分线上
（3）如图③PB 平分∠ABC 、PC 平分∠ACB 的外角⇒∠P=2
1
∠A
且点P 在∠BAC 外角的角平分线上
2.三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。
3.三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
（1）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线⇒AB：AC=BD：DC
（2）AD是△ABC外角∠BAP的角平分线⇒AB：AC=BD：DC
三、关于角平分线常见的辅助线作法：
1.作双高，或多高
（1）构造全等
（2）对角互补形
四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线
，且∠3+∠4=180°⇔DA=DC
2.作平行线（1）平分平行⇒等腰
（2）构造A型、X型
3.截长补短构全等
4.平分线+高线,延长⇒等腰
四、典型例题灵活运用
1、如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，连接AP，若∠BPC=40°，
则∠CAP= 50 °
2、已知：△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，过O的直线EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，若∠BOC=135°，EO：OF：OD=20:15:12，△ABC的面积为216，则OD=
3、在△ABC中，∠A=2∠B，AC=3.5，BC=5.5，D为射线BA上一点，D到直线AC，BC的距离相等，则AD= 。
（两种情况）
4、在△ABC 中，O 是角平分线BE 和CD 的交点，∠A=60°，
求证：（1）求∠BOC 的度数；（2）求证：OD=OE ；（3）求证：BC=BD+CE
5、矩形ABCD 中，F 为BC 中点，∠1=∠2，求证：AE=AB+EC
6、在正方形ABCD 中，∠1=∠2， 求证：AE=BE+DF
7、在△ABC 中，AD 是中线，∠1=∠2，CE//AB ，若∠BAC=120°，AB=12，AC=8，求EC 的长度
D E O B
A
21C A D
F
D
A
B
8、在△ABC 中，AD 是角平分线，2∠C=∠B ，求证：AC-AB=BD
9、在RT △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，BD 是角平分线，AE ⊥BD 于E ，求证：BD=2AE
10、如图，在△ABC 中BE 、CD 分别为△ABC 的角平分线，AD ⊥CD ，AE ⊥BE ，连结DE,若AB=8，AC=5，∠BAC=60°，则DE 的长为________.（答案：3）
60°
D
B
A
C
11、如图，在等边△ABC 中,AB=8,D 为AB 中点,点E 在BC 上, 点F 在AC 上, 且AF=3CF, DE 平分∠BDF,则BE= （答案：27-2） D
A D
B C A
12、如图,已知菱形ABCD,点E 为AD 边上一点,连接CE,把△CDE 沿着CE 翻折,CD 的对应边所在直线交直线AB 于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_______________
B
答案：6
13. 如图，在等边△ABC 中, AB=4,AD ⊥BC 于点D ，点P 在AB 的延长线上，点Q 在AB 上，∠PDQ=60°，QD 延长线交AC 延长线于点R （PB<CR ），若PR=7，则PQ= （答案：
3
7
）
P
图1E
B C A
图2
Q
N H
M F E
D
B C
A
14、已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，∠EDC=45°. (1)求证：∠AED+
2
1
∠ABC=90° (2)过点E 作DE 的垂线，交DC 于M ，交BA 延长线于N.若NE ：MC=2：3， 探究BD 与BC 的数量关系.
15、已知; 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，点E 为BC 边上的一点BE=AC 。
(1) 求证：∠BEA+∠DAC=180°； (2) 过点C 作CH ⊥AB 与点H ，分别交BE 、AD 与点M 、N ，过点E 作EF ∥AC ，交CH 于点Q ，若BE=EF+DF ，BE:EF=3:2,
请你探究线段MH 与ME 之间的数量关系，并证明你的结论。