2019届高二文科数学第二学期期末专题复习导学案：求含参数函数的单调区间(含lnx)
函数的单调性+高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区
间内相应的函数图象不递减,故错误.
返回
题型二 判断函数的单调性
3. (1)证明:函数
(2)证明:函数
sin
π
f(x)= 在区间( ,π)内单调递减.
2
ln
f(x)= 在区间(0,e)内单调递增.
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 观察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
注意：函数的两个单调区间之间不能
(2)在某个区间(a,b)内,如果
f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递减 ;
用“∪” y=f(x)在这个区间内
(3)如果在某个区间上恒有 f′(x)=0,那么函数
是 常数函数 .
函数f(x)=-
注意：
1
,
1
1
f′(x)=- 2 <0,但函数f(x)=- 在定义域内不
6.1函数的单调性
课标定位素养阐释
1.了解函数的单调性与导数的关系.
2.会利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
5.3.1函数的单调性(课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第二册)
5.3.1 函数的单调性
新课程标准解读 1.结合实例，借助几何直观了解函 数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三 次的多项式函数的单调区间.
核心素养 数学抽象、直观想象 逻辑推理、数学运算
数学运算
[问题导入] 预习课本第 84～89 页，思考并完成以下问题 1．函数的单调性与导数的正负有什么关系？
x＋22
在(－2，＋∞)内恒成立，因此
a≤12.
当 a＝12时，f(x)＝12，此时函数 f(x)为常数函数，
故 a＝12不符合题意，舍去．
故实数 a 的取值范围为－∞，12.
答案：－∞，12
[随堂检测]
1.设函数 f(x)的图象如图所示，则导函数 f′(x)的图
象可能为
()
解析：由 f(x)的图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为(1,4)， 单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当 x∈(1,4) 时，f′(x)>0，当 x∈(－∞，1)或 x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0， 结合选项知选 C. 答案：C
角度二：含参数的函数求单调区间
[例 4] 讨论函数 f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． [解] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
a＋1 ax2＋x－a＋1
f′(x)＝ax＋1－ x ＝
x
.
x－1 (1)当 a＝0 时，f′(x)＝ x ，
由 f′(x)>0，得 x>1，由 f′(x)<0，得 0<x<1.
已知函数的单调性求参数的范围 [例 5] 若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增， 则 k 的取值范围是________． [解析] 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞) 上单调递增可得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立． 由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1. 即 k 的取值范围为[1，＋∞)． [答案] [1，＋∞)
高二数学教案《函数单调性》
高二数学教案《函数单调性》教学目标：1. 理解函数的单调性概念，能够正确定义函数的单调性。
2. 能够分析函数图像，判断函数的单调性。
3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
教学重点：1. 函数的单调性的概念与判断方法。
2. 函数图像的分析方法。
教学难点：1. 根据函数的定义和图像来判断函数的单调性。
2. 应用函数的单调性解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备好相关函数单调性的习题。
2. 学生准备好相关学习资料和工具。
教学过程：【导入】1. 引出函数的单调性的概念，与学生进行交流，复习一元函数的概念。
2. 引入函数的单调性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意$x_1$和$x_2$（$x_1\\lt x_2$），总有$f(x_1) \\lt f(x_2)$（或$f(x_1) \\gt f(x_2)$），则称函数$f(x)$在区间$I$上是递增（或递减）的。
【探究】1. 举例说明函数的单调性的概念。
2. 引导学生分析判断函数的单调性：主要是根据函数的增减规律和函数图像进行分析，通过求导数、求导函数和导数的正负来判断函数的单调性。
【练习】1. 让学生做一些简单的函数单调性的题目，掌握单调性的判断方法。
2. 带导数的函数单调性的判断。
【拓展】1. 引导学生发现函数单调性与函数的导数的关系。
2. 让学生根据导数的性质判断函数单调性。
【归纳】1. 教师总结函数单调性的判断方法，强调函数单调性的重要性。
2. 学生进行归纳总结，复习函数单调性的判断方法。
【应用】1. 引导学生应用函数单调性解决实际问题。
2. 给学生一些实际问题的习题。
【反思】1. 结合课堂练习和互动，教师进行总结和反思，澄清学生的疑惑。
2. 学生提出问题和意见，教师进行解答和回应。
【作业】布置相关作业，巩固函数单调性的知识和应用能力。
教学方式：1. 教师讲解与学生互动。
2. 学生练习与解答问题。
3. 教师总结与反思。
教学工具：1. 教材、习题册等教学材料。
含参单调性讨论+专题课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第二级讨论： 方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论；
2+bx+c=0的
对应方程根的大小，若x
,x
分别是方程ax
1 2
第三级讨论：
两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论.
若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
5.3.1 含参单调性讨论
01
目录
02
一次型
类一次型
03
可因式分解的二次型
04
不可因式分解的二次型
05
类二次型
01 复习回顾
导数判断函数单调性
（一）含参数的一次不等式
讨论标准： 一次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论；
（二）含参数的二次不等式
解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R),把讨论对象逐级讨论，逐步解决
1 2
ax 2a 1 x 2lnx 定义域为 0, ，
2
2 (ax 1)( x 2)
所以 f ( x) ax (2a 1)
，
x
x
1
1
1
f
(
x
)
0
因为 a 0 ，当 0 2 ，即当 a 时，由
，解得 0 x 或 x 2 ，
当 a 0 时，若 x 0, a ，则 f ( x) 0 ，若 x a, ，则 f ( x) 0 ，
故 f ( x) 在 0, a 上为减函数，在 a, 上为增函数.
利用导数求单调区间单调性课件2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
1
⑤当 >-1，即a<-1，令f'（x）>0得-1<x< ，递增区间为（-1， ）
1
1
令f'（x）<0得x<-1或x> ，递减区间为（-∞，-1），（ ，+∞）。
目录
题型二
利用导数求含参函数的单调区间-类二次型
例8 讨论f(x)=(x-2) −
2
+ax函数的单调性。
2
1
递增区间为（- ，1）；
1
1
④当-1<m<0,- >1,故函数得递减区间是（0,1），（
1
递增区间是（1，- ）。
，+∞），
目录
题型二
例7
利用导数求含参函数的单调区间-二次型（可分解）
1 3 1
已知f(x)= a + (a-1) 2
3
2
− − 1,讨论函数的单调性。
解 定义域为R f'（x）=a 2 +(a-1)x-1=(ax-1)(x+1)
处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是f（x）在某个区间上单调递增
的充分不必要条件.
目录
题型一
例1 y＝x
利用导数求不含参数的函数的单调区间-一次型
ex
解 x∈R
y′＝ex ＋xex ＝(x＋1)ex
当x＞-1时，y′＞0，故递增区间为(-1，＋∞)；
当x< -1时，y′<0，故递减区间为(-∞，-1)。
③对于 ∆>0 ，利用求根公式求g(x)=0 的两根 ， ;
利用导数讨论函数的单调性高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
[解析] 因为 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，故 .故选C.
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3.[2021·重庆清华中学月考] 函数 的单调递增区间为( )A. B. C. D.
C
[解析] 函数的定义域为 ，由 ，得 ，令 ，得 ，即 ，解得 或 (舍去)，所以函数 的单调递增区间为 ，故选C.
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5.[2021·山东兰陵四中模拟] 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.
D
[解析] ，令 ，得 .由条件可知 ，所以 解得 .故选D.
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6.[2021·成都外国语学校月考] 设 是定义在 上的可导函数，且满足 ,对任意的正数 ，下面不等式恒成立的是( )A. B. C. D.
[解析] 由已知条件得 在 上单调递增， ，即 对任意 恒成立， ， . , 是增函数， ， .当 时， ，当 时， ，且只有当 时， ，∴当 时， 在 上单调递增, 的取值范围是 .
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12.[2021·北京丰台八中期中] 使得“当 时，函数 在区间 上不单调”为真命题的 的一个取值是_______________________________________.
高中数学导函数与函数单调性复习课导学案
导函数与函数单调性复习课导学案【学习目标】1、知识与能力：理解利用导数解决函数的单调性得三类题型.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3、情感态度与价值观：〔1〕 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
〔2〕通过导数研究单调性的根本步骤〔即算法〕的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性的方法转化。
【教学难点】含参函数的单调性复习引入：一、利用导数求函数单调区间的步骤二、题型分类(课前预习)题型一、不含参函数的单调区间的单调递减区间为则、若函数)(,1,31,)(13x f x x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=的单调递增区间为则变式、若)(,ln 23)(2x f x x x f -= 题型二、含参函数的单调性区间时求函数的单调区间。
当、已知函数1,ln )1(21)(22>++-=a x a x a x x f。
时，求函数的单调区间变式：当0>a。
时，求函数的单调区间思考：当R a ∈题型三、函数单调性求参数取值范围(当堂典例)[)的取值范围为则单调递增，，在、已知函数a x a x x x f ∞++-=1ln 2)(123()的取值范围为单调递减，则实数在区间练习：若函数a x ax x x f 1,06)(23+--=的取值范围。
上单调递增，求在区间思考：函数m ]12,12[2)(23+-+=m m x x x f三、课堂小结四、课后作业，则函数单减区间为、已知函数x x x f ln 2)(12-=的取值范围是上单调函数，则是、若函数m R mx x x x f 1)(223+++= 的取值范围为则存在单调递增区间，，在区间、已知函数a ax x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+++-=32,22131)(323()。
2019-2020学年高二数学 函数的单调性(二)学案.doc
2019-2020学年高二数学 函数的单调性（二）学案学习目标1. 理解函数单调性的概念。
2. 学会利用定义判断证明函数单调性，并能应用。
学习重点难点函数单调性的概念。
判断证明函数单调性方法。
基础过关1 。
函数)(x f y =是定义在R 上的单调减函数，且)2()1(a f a f >+则实数a 的取值范围是2 已知函数[的取值范围是的减函数，则实数）上是关于在a x ax y a 0,2)3(log -= 的取值范围是实数）上是单调增函数，则，在（）设函数a a x a x x f ∞+>+=43)0((.3 4．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0(,)(x a a x a x f x 是减函数则a 的取值范围是典型例析[][]0)241()21(0)()(01,1,1,1-)(.1<-+->++≠+-∈x f x f b a b f a f b a b a x f 解不等式：时都有当的实数上的奇函数，且对任意是定义在设函数例题(C)例2已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f ()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.变式训练定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.小结：当堂检测1.函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为 _____________2.已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x 1|)<f(1)的实数x 的取值范围是_____________3.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是4.如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数,()2f 的取值范围_____________________．5.求函数3y =-的最大值．6 函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.学后反思____________________________________________________ ____________________________________________________________________ _____________________________。
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2019届高二文科数学第二学期期末复习：《求含参数函数的单调区间》专题训练出题、审核：何健文班级__________姓名___________学号______例题1、求函数()ln f x x ax =-的单调区间. 【规范解答】：函数的定义域是()0,+∞,11()axf x a x x-'=-=. 当0a ≤时,()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数； 当0a >时,若()0f x '>得110ax x x a ->⇔<，又x>0, 所以函数()f x 在区间1(0,)a上是增函数; 若()0f x '<得110ax x x a -<⇔>，所以函数()f x 在区间1(,)a+∞上是减函数; 综上所述，当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,；当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞。
变式训练1、求函数()ln af x x x=-的单调区间。
变式训练2、已知()()ln 1f x x a x =+-.讨论()f x 的单调性；变式训练3、求函数()ln f x ax x =+的单调区间。
变式训练4、已知函数 f (x )＝x + a ln x ．求 f (x )的单调区间.变式训练5、设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间。
例题2、求函数()f x =x 2-alnx 的单调区间和极值。
【规范解答】：2'2()2(0)a x af x x x x x-=-=> 当0a ≤时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数。
当a>0时, 若'()0f x >，则有222020x a x a x x x ->⇔->⇔<>，若'()0f x <，则有222020x a x a x x -<⇔-<⇔<<综上所述，当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,；当0a >时，()f x 的是递增区间⎫⎪⎪⎭+∞，递减区间是⎛ ⎝。
变式训练1、已知0a >，函数2()ln f x ax x =-。
求()f x 的单调区间。
变式训练2、已知函数R a x a xx x f ∈++=,ln 22)(。
求函数)(x f 的单调区间。
变式训练3、f(x)的单调性。
变式训练4、设函数f (x )=lnx+x 2-2ax+a 2，a ∈R ．求函数f (x )的单调区间和极值点．变式训练5、21()(1)ln .(1)2f x x ax a x a =-+->讨论函数的单调性.变式训练6、求函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax 的单调区间和极值。
变式训练8、（2010 山东高考）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-.讨论()f x 的单调性。
例题3、求函数f ( x )＝【规范解答】： f ′ ( x )＝2ln (0)a x x x->．令f'（x ）=0，得x=e a．（3分） 当x ∈（0，e a ）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e a ，+∞）时，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减．（2）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=，求)(x f 的的单调区间。
【规范解答】：2)(ln 1)(),,0()(xa x x f x f +-='+∞的定义域为，令a e x x f -=='10)(得 当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数变式训练、已知函数()()2ln 1xf x a x x a a =+->。
试讨论函数()f x 的单调性。
例题1、求函数()ln f x x ax =-的单调区间. 解：函数的定义域是()0,+∞,11()ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时,()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数； 当0a >时, 若()0f x '>得110ax x x a ->⇔<，又x>0, 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上是增函数; 若()0f x '<得110ax x x a -<⇔>，所以函数()f x 在区间1(,)a+∞上是减函数; 综上所述，当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,；当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞。
变式训练1、求函数()ln af x x x=-的单调区间。
解： 由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞.………………1分221()a x af x x x x+'=+=………………2分当0a ≥时, '()0f x >, 故()f x 在(0,)+∞上为增函数…………5分 当0a <时, 若'()0f x >得x a >-，∴()f x 在(0,)a -上为减函数; 若'()0f x <得x a <-，∴()f x 在(,)a -+∞上为增函数. ………………7分 所以, 当0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上是增函数;当0a <时,()f x 在(0,]a -上是减函数,在(,)a -+∞上是增函数………………8分 变式训练2、已知()()ln 1f x x a x =+-.讨论()f x 的单调性；变式训练3、求函数()ln f x ax x =+的单调区间。
解：11'()(0)ax f x a x xx+=+=>. ……………5分 当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………6分 当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. 变式训练4、已知函数 f (x )＝x + a ln x ．求 f (x )的单调区间.变式训练5、设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间。
解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+ （1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表从上表可知当1(1,)x a ∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a -上单调递减.当1(,)x a ∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论.例题2、求函数()f x =x 2-alnx 的单调区间和极值。
解：2'2()2(0)a x af x x x x x-=-=> 当0a ≤时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数。
当a>0时,若'()0f x >，则有222020x a x a x x x ->⇔->⇔<>，所以。
若'()0f x <，则有222020x a x a x x -<⇔-<⇔<<。
变式训练1、已知0a >，函数2()ln f x ax x =-。
求()f x 的单调区间。
解：函数()f x 的定义域(0,)+∞ ，2121()2ax f x ax x x-'=-= -------------2分0a > 令()0f x '>得：2x a >()0f x '<得：0x <<分∴函数()f x 的单调递减区间为(0,2a ，单调递增区间为()2a +∞-------------5分变式训练2、已知函数R a x a x x x f ∈++=,ln 22)(。
求函数)(x f 的单调区间。
解：f (x )的定义域为(0,＋∞)．2222222()a x ax f x x x x +-'=-+=变式训练3f(x)的单调性。
解：f (x )的定义域为(0,＋∞)变式训练4、设函数f (x )=lnx+x 2-2ax+a 2，a ∈R ．求函数f (x )的单调区间和极值点．解： 21221'()22(0)x ax f x x a x x x-+=+-=>.2()=0221=0.f x x ax '-+令，即有其中2Δ=48a -.变式训练5、21()(1)ln .(1)2f x x ax a x a =-+->讨论函数的单调性. 解析：()f x 的定义域为(0,)+∞。
2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==2分 （i ）若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加。
(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加。
(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.变式训练6、求函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax 的单调区间和极值。