(2009级)热力学与统计物理(B卷)

，。

；
6、设多元复相系有ϕ个相，每相有k 个组元，各组元间不发生化学反应。

根据 吉布斯相律，多元复相系可以独立改变的强度量的数目为ϕ-+=2k f 。

在盐的水溶液中，当溶液和水蒸气达到平衡时，描述系统的独立强度变量数为 ，当水和冰达到二相平衡时，系统的独立强度变量数为 。

7、对p 、V 、T 系统，内能U 随体积V 的变化关系（能态关系）为T V
U
)(
∂∂＝ ；已知1摩尔理想气体的状态方程为RT pV m =，则有
T m
m
V U )(
∂∂＝ 。

8、在巨正则分布中，已知巨配分函数为Ξ，则系统的熵的表达式为
=S ，粒子数的相对涨落=-2
2
)()(N N N 。

9、单元系的热力学平衡条件为 、 ；平衡的稳定性条件为 、 。

10、电子的自旋为21，能量为m
p 22
=ε，金属中的电子气被限制在体积V 中，则在
体积V 、能量在εεεd +~内的量子态数为 。

B 卷 共 2 页 第 6 页
二、（14分）已知涨落和涨落的关联满足如下的关系：
V
C T T 2
2
)(κ=
∆，T P
V
T V )(
)(2
∂∂-=∆κ，0=∆⋅∆=∆⋅∆T V V T ，证明： （1）T V P κ-=∆⋅∆ ；
（2）V V
T P
C T T P )(2∂∂=
∆⋅∆κ。

B 卷 第3 页 共6 页
三、（12分）已知0)(
=∂∂T V U ，证明：0)(=∂∂T p
U。

B 卷 第4 页 共 6 页
四、（16分）对异核双原子分子，已知其转动惯量为I 。

（1）写出转动的量子能级r ε和与该能级对应的简并度r g ；
（2）根据量子转动能级确定转动配分函数r
1Z ；
（3）通常情况下，转动特征的温度远小于室温。

在此条件下求转动对内能r
U 和热容量r
C 的贡献。

（1）转动能级 I
l l r 2)1(2
+=ε， ,2,1,0=l
对应的简并度为：12+=l g r （4
分）
（2）转动配分函数
∑∑∞
=+-
∞
=+-+=+=
l )
1(0
l 2)1(1
)12()12(Z 2
l l T
kT
I l l r r
e
l e
l θ
其中，r θ为转动特征温度。

因为
1<<T
r
θ，
)1(+l l T
r
θ可看成连续变量，令T
l l x r
θ)
1(+=，
⎰
∞
=
=
2
1
2 IkT
dx e T
Z x r
r
θ （4分）
（3） 内能 NkT Z N U r r
=∂∂
-=1ln β
（4分）
热容量Nk dT
dU
C r
V ==
B 卷 第5 页 共 6 页
五、（18分）极端相对论条件下的能量动量关系为p c =ε。

对
限制在二维空间的自由电子气体。

（1）计算在面积 S ，能量在εεεd +-范围内的量子态数； （2）写出K T 0=时电子的分布；
（3）求K T 0=时电子气的费米能级)0(μ； （4）求K T 0=时电子气的内能。

B 卷 第6 页 共6 页
2011—2012度第二学期《热力学 统计物理》期末考试试卷
（B ）参考答案与评分标准
一、填空题(每题4分，共 40 分)
1、
1
1-+s e βεα。

2、)1
1(
1
2T T Q -；不可逆。

3、E B k .ln S Ω=，熵是系统混乱程度的
量度，某个宏观状态对应的微观状态数越多，混乱度越大，熵越大。

4、Vdp TdS +；
p S V )(
∂∂。

5、VHdB dW =；dA dW σ=。

6、2，1。

7、p T
p
T T -∂∂)(；0。

8、)ln ln (ln ββαα
∂Ξ∂-∂Ξ∂-Ξk ；T T N V kT
p
V V kT κ=∂∂-,2)(。

9、0T T =，0p p =，V C >
0，T
V p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂< 0。

10、εεπd m h V 2
1233)2(4。

二、（14分）
证：以T ∆，V ∆为自变量，则V V P
T T P P T V ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂=∆)()(
（4分） 以V ∆同乘上式，有2)()()(V V P
V T T P V P T V ∆∂∂+∆⋅∆∂∂=∆⋅∆ ＝T P V
T V P T T κκ-=∂∂-∂∂))(()( （5分） 以T ∆同乘上式，有 V T V
P
T T P T P T V ∆⋅∆∂∂+∆∂∂=∆⋅∆)()()(2 ＝V V
T
P
C T )(2∂∂κ （5分）
三、（12分）
证：对复合函数 )),((,(),(p T V T U p T U = （4分）
求偏导数 T T T p
V
V U p U )()()(
∂∂∂∂=∂∂ （4分） 因为 0)(
=∂∂T V
U
所以 0)(
=∂∂T p
U
（4分）
四、（16分）
（1）转动能级 I
l l r 2)1(2 +=ε， ,2,1,0=l
对应的简并度为：12+=l g r （4分） （2）转动配分函数
∑∑∞
=+-
∞
=+-+=+=
l )
1(0
l 2)1(1
)12()12(Z 2
l l T
kT
I l l r r
e
l e
l θ
其中，r θ为转动特征温度。

因为
1<<T
r
θ，
)1(+l l T
r
θ可看成连续变量，令T
l l x r
θ)
1(+=，
⎰
∞
=
=
2
1
2 IkT
dx e T
Z x r
r θ （4分） （3） 内能 NkT Z N
U r r
=∂∂
-=1ln β
（4分） 热容量Nk dT
dU
C r
V == （4分）
五、（18分）
（1）εεππεεd h
c S
h Spdp h dp Sdp d D y
x 222
2
442)(==
=
（4分） （2）K T 0=时的电子分布为 1=f )0(με<
0=f )0(με> （4分） （3）费米能量)0(μ满足
N 4)
0(0
2
2=⎰
μεεπd h c S
解得 2
1)2(
)0(S
N ch πμ= （5分） （4）电子气的内能
)0(34 S 4)(3
2
22)
0(0
22)
0(0
μπεεπεεεμμh
c S
d h c d D U ==
=⎰
⎰ （5分）。