2006年高考第一轮复习数学：5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积
关于高三数学向量的知识点
关于高三数学向量的知识点一、向量的概念及表示法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用字母加上一个箭头来表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量加法满足平行四边形法则，即从向量的起点开始，将两个向量的有向线段首尾相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
2. 向量的减法：向量减法可以转化为向量加法，即A - B = A + (-B)，其中-A表示与向量A大小相等、方向相反的向量。
三、向量的数量积（点积）与向量积（叉积）1. 数量积：设向量A和向量B的夹角为θ，数量积的定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和向量B的模长。
数量积具有交换律和分配律。
2. 向量积：两个非零向量A和B的向量积定义为向量C，其方向垂直于向量A和向量B所构成的平面，大小等于以向量A和向量B构成的平行四边形的面积。
四、向量的共线与平行1. 共线：如果两个向量的方向相同或相反，则它们共线，即存在一个非零实数k，使得A = kB。
2. 平行：如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行的。
向量A与向量B平行记作A ∥ B。
五、向量的线性运算1. 数乘：将向量A的大小乘以常数k，得到新向量kA，其方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
2. 线性组合：设k1, k2, ..., kn为常数，向量A1, A2, ..., An为向量，将每个向量与对应的系数相乘并相加得到新向量C，即C = k1A1 + k2A2 + ... + knAn。
六、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量可以用有序实数对(x, y)表示，即向量A = (x, y)。
其中x称为向量A在x轴上的分量，y称为向量A在y轴上的分量。
七、向量的模长及单位向量1. 模长：向量A的模长定义为|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为A的坐标表示。
高一数学向量、向量的加法与减法,实数与向量的积人教版知识精讲
高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：向量、向量的加法与减法，实数与向量的积二. 本周教学重、难点：1. 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运算律，共线向量的充要条件，平面向量基本定理。
2. 难点：向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对共线向量，平面向量基本定理的理解。
【典型例题】[例1] 判断下列各命题是否正确（1=则=（2）若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。
（3）若=，=则=（4）两向量、相等的充要条件是⎪⎩⎨=//（5=是=的必要不充分条件（6）CDAB=的充要条件是A与C重合，B与D重合解：（1）不正确（2）正确（3）正确（4）不正确[例∴ KL ∥AC 且AC KL 21=∴ KL 与AC 同向，且AC KL 21= 同理可证：NM 与AC 同向且AC NM 21=∴ KL 与NM 同向，且NM KL = ∴ NM KL =[例3] 如图，在ABC ∆中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列三式。
（1）EA CE BC ++ （2）EA AB OE ++ （3）DC FE AB ++ABCDEFO解：（1）BA EA BE EA CE BC =+=++（2）OB AB OA AB EA OE EA AB OE =+=++=++)( 或原式OB EB OE AB EA OE =+=++=)(（3）AC DC AD DC BD AB DC FE AB =+=++=++[例4] 已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若a AB =，b BC =，c OD =，证明：OB b a c =-+。
证明：CB AB OD BC AB OD b a c ++=-+=-+在ABCD 中，=，则=+=+∴ OB DB OD b a c =+=-+[例5] 设1e 、2e 是两个不共线的非零向量，若向量2123e e -=，2142e e +-=，2142e e --=，试证：A 、C 、D 三点共线。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
高考数学向量知识点梳理
高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。
本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。
一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。
向量通常用字母加箭头表示，如→AB。
1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。
1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。
单位向量是模为1的向量，记作→e。
2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。
两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。
2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。
2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。
三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。
文科向量的知识点总结
文科向量的知识点总结一、向量的概念及表示方法1. 向量的概念：向量是指空间中的箭头，具有大小和方向的物理量，它是具有大小和方向的标量的组合。
2. 向量的表示方法：向量可以用坐标、端点坐标和位置矢量等形式表示，分别对应直角坐标系、端点坐标表示法和位置矢量表示法。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量沿同一直线的端点相连，得到新的向量的过程。
2. 向量的减法：向量的减法是指将减数向量的反向加到被减数向量上，得到新的向量的过程。
3. 向量的数量积：向量的数量积是指两个向量的数量积等于两个向量的模长之积与它们的夹角的余弦的乘积。
4. 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量的叉积等于两个向量模长之积与它们的夹角的正弦的乘积。
三、向量的线性运算1. 线性运算的定义：向量的线性运算是指向量相加和数乘运算。
2. 线性运算的性质：线性运算具有结合律、交换律和分配律。
四、向量的应用1. 向量的坐标表示：向量可以用坐标表示，在几何中可以通过向量的坐标表示进行运算和分析。
2. 向量的几何应用：向量可以用来描述运动、力和质点的位移等物理现象。
3. 向量的物理应用：向量可以用来描述力矩、角动量和动能等物理量。
五、向量的几何性质1. 向量的平行性：具有相同方向的向量称为平行向量，其夹角为零。
2. 向量的共线性：平行向量和零向量共线，有共线性的两个向量之间存在某种关系。
3. 向量的共点性：具有相同起点的向量称为共点向量，它们存在某种几何关系。
六、向量的解题技巧1. 确定问题类型：根据题目中所给条件，确定问题的类型，需要使用几何、代数还是物理的知识来解决问题。
2. 使用向量相等关系：通过向量的相等关系，可以简化问题，从而更快地解决问题。
3. 综合运用：在解决较为复杂的问题时，需要综合应用向量的各种运算和性质，灵活地利用所学知识解决问题。
七、向量的衍生知识1. 向量的标量分解：将一个向量分解为多个向量的和的过程，可以简化问题的求解。
高中数学复习课件-§5.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
课标版 文数 § 5.1 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
知识梳理
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1.既有大小又有① 方向 的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示. 2.向量 AB的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模),记作|AB |. 3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位的向量叫做单位向 量. 4.方向相同或相反的非零向量叫做② 平行向量 ,也叫做③ 共线向 量 .规定:0与任一向量④ 平行 .
所以 8k
λk 2λ
0, 0,
解得λ=±2,
所以k=2λ=±4.
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点共线、向量共线的证明方法: 证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
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1-1 若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,t∈R,则t为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在同一条直线上?
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2.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且 AP = 1 AB +t AC ,其中t为实数,若点
3
P落在△ABC的内部,则t的取值范围是 ( )
A.0<t< 1
4
C.0<t< 1
2
B.0<t< 1
3
D.0<t< 2
3
答案 D AP= 1 AB+t AC,如果P在BC上,即B,P,C三点共线,则t+ 1=1,即t
解得k=- 1
3
.
栏目索引
.
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4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是CD,AB的中点,设 AB=a,
高考数学向量知识点
高考数学向量知识点数学是高考必考科目之一，而数学中的向量是一个重要的概念。
下面将介绍高考数学中与向量相关的知识点，帮助同学们更好地备考。
1. 向量的定义与表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，通常用字母加上一个→符号表示。
如向量AB用→AB表示。
2. 向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以相同的比例延长或缩短，最后连接延长后的两个终点，新向量的起点为原两个向量的起点，终点为延长后的终点。
2.2 向量的减法向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。
即两个向量相减，可以转化为一个向量加上另一个向量的相反向量。
2.3 向量的数量积（点乘）向量的数量积是一个标量，记作AB·CD。
计算方法为相乘后再对应分量相加，即AB·CD = |AB| * |CD| * cosθ，其中|AB|表示向量AB的长度，θ表示两个向量的夹角。
2.4 向量的向量积（叉乘）向量的向量积是一个向量，记作AB×CD。
计算方法为用右手定则，首先将AB和CD两向量的起点放在同一点，则向量积的方向垂直于两个向量所在的平面，同时满足右手定则，即右手握住AB，手指弯曲并指向CD，则大拇指的方向就是向量积的方向；向量积的大小为|AB×CD| = |AB| * |CD| * sinθ。
3. 向量的共线与垂直3.1 向量的共线如果两个向量的夹角为0或180度，则称这两个向量共线。
即向量A与向量B共线，表示为A∥B。
3.2 向量的垂直如果两个向量的数量积等于0，则称这两个向量垂直。
即向量A与向量B垂直，表示为A⊥B。
4. 向量在几何问题中的应用4.1 平面向量的表示平面上的点可以用平面上的两个向量表示，一般选取坐标轴上的两个单位向量，分别表示x轴和y轴的方向，然后用这两个向量的线性组合表示平面上的点。
4.2 平面向量的运用平面向量可以用于求解几何问题，如求解线段的中点坐标、判断三角形是否共线等问题。
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第五章 平面向量●网络体系总览平面向量解斜三角形向量的概念向量的运算向量的表示向量的应用几何表示坐标表示代数运算几何运算线段的定比分点平移正弦定理余弦定理●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a 与b 方向相反，可设b =（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b |=35=224λλ+，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b =（－3，6）. 答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34 D.－34 解析：由a ∥b ，∴3cos α=4sin α.∴tan α=43. 答案：A3.若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且=a ，=b ，则等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b 解析：BE =AE －AB =AD +DE －AB =AD +21AB －AB =b －21a . 答案：B4.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a 与b 共线⇔存在实数m ，使a =m b ， 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线， ∴⎩⎨⎧==.1k m mk ，∴k =±1.答案：D5.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 解析：|a +b |=6464+=82（km ）. 答案：82 km 东北方向●典例剖析【例1】 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算. 解法一：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则x 12+y 12=1，x 22+y 22=4，a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2）， ∴（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=4. ∴x 12－2x 1x 2+x 22+y 12－2y 1y 2+y 22=4. ∴1－2x 1x 2－2y 1y 2=0.∴2x 1x 2+2y 1y 2=1.∴（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6. ∴|a +b |=6.解法二：∵|a +b |2+|a －b |2=2（|a |2+|b |2）， ∴|a +b |2=2（|a |2+|b |2）－|a －b |2 =2（1+4）－22=6. ∴|a +b |=6.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.AGB CDE剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G 为△ABC的重心知AG=2GD，从而GA=－2GD.∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=t AB.再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=t AB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+t OB－t OA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为OA，OB不共线，若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 【例4】 若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 解：（1）设a －t b =m ［a －31（a +b ）］（m ∈R ），化简得（32m －1）a =（3m－t ）b . ∵a 与b 不共线， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.2123030132t m t m m ，∴t =21时，a 、t b 、31（a +b ）的终点在一直线上. （2）|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°=（1+t 2－t ）|a |2，∴t =21时，|a －t b |有最小值23|a |. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练 夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3 解析：由a ⊥b ，则3x －3=0，∴x =1. 答案：B2.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 A.a ∥b 且a 、b 方向相同 B.a =b C.a =－b D.以上都不对 解析：a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，∴a ∥b 且方向相同. 答案：A3.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 A.ACB.BDC.ADD.AC解析：－－=－=+=. 答案：C4.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵DC =21AB ，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB .又|AD |=|BC |，∴四边形为等腰梯形. 答案：C5.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a .解：设a =λ1b +λ2c ，即－l 1+3l 2=λ1（4l 1+2l 2）+λ2（－3l 1+12l 2）， 即－l 1+3l 2=（4λ1－3λ2）l 1+（2λ1+12λ2）l 2，∴⎩⎨⎧-=-.31221342121＝＋，λλλλ解得λ1=－181，λ2=277，故a =－181b +277c . 6.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：e 12=4，e 22=1，e 1·e 2=2×1×cos60°=1， ∴（2t e 1+7e 2）·（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.∴2t 2+15t +7＜0.∴－7＜t ＜－21.设2t e 1+7e 2=λ（e 1+t e 2）（λ＜0）⇒⎩⎨⎧==λλt t 72⇒2t 2=7⇒t =－214， ∴λ=－14. ∴当t =－214时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是（－7，－214）∪（－214，－21）. 思考讨论向量a 、b 的夹角为钝角，则cos 〈a ，b 〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?解：∵d =λ（2e 1－3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d =k c ，即（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2=2k e 1－9k e 2，由⎩⎨⎧-=+-=+，，k k 933222μλμλ得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d 与c 共线.8.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.解：由三角形中位线定理，知DE 21BC . 故DE =21BC ，即DE =21a . CE =CB +BD +DE =－a +b +21a =－21a +b ， MN =MD +DB +BN =21ED +DB +21BC =－41a +21a －b =41a －b . 探究创新9.在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示.解：由已知得AM =31AB ，AN =41AC .设ME =λMC ，λ∈R ，则AE =AM +ME =AM +λMC . 而MC =AC －AM ，∴=+λ（－） =31+λ（－31）. ∴AE =（31－3λ）AB +λAC .同理，设NE =t NB ，t ∈R ，则AE =AN +NE =41AC +t NB =41AC +t （AB －AN ）=41AC +t （AB －41AC ）. ∴=（41－4t）+t . ∴（31－3λ）+λ=（41－4t）+t .由AB 与AC 是不共线向量，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-，，441331t t λλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.113112t ，λ∴AE =113AB +112AC ，即AE =113a +112b . 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a =λb ，只有b ≠0才是正确的.而当b =0时，a ∥b 是a =λb 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例【例题】 对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 证明：分三种情况考虑.（1）当a 、b 共线且方向相同时，|a |－|b |＜|a +b |=|a |+|b |，|a |－|b |=|a －b |＜|a |+|b |. （2）当a 、b 共线且方向相反时，∵a －b =a +（－b ），a +b =a －（－b ），利用（1）的结论有||a |－|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |，|a |－|b |＜|a －b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 不共线时，设OA =a ，OB =b ，作OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a |－|b ||＜|a ±b |＜|a |+|b |.综上得证.。