初中数学专题训练--圆--圆柱圆锥的侧面展开图

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典型例题一

例 矩形的边

,以

为轴旋转一周得到的圆柱体的表

面积是( ) (A ) (B )

(C )

(D )

分析与解答:圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此,圆柱的侧面积是矩形的面积,即底面周长(

)与圆柱的高(母线)的积,解之选(C ).

典型例题二

例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ,AD=6 cm ,求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积.

解:(1)以AD 为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=π

5

则圆柱表面积为π

+

⋅π⋅+=5060)5(260S 2

. (2)以AB 为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=π

3 则圆柱表面积为π

+

⋅π⋅+=1860)3(260S 2

. 说明:①圆柱表面积的计算;②分类思想;③圆柱各元素的关系和计算.

典型例题三

例 (1)如果圆柱底面半径为4cm ,它的侧面积为2

cm 64π,那么圆柱的母线长为( ). (A )16cm (B )16πcm (C )8cm (D )8πcm

(2)如果圆柱底面直径为6cm ,母线长为10cm ,那么圆柱的侧面积为( ) (A )302

cm π (B )602

cm π (C )902

cm π (D )1202

cm π

分析 圆柱侧面展开图是矩形,(1)可直接用公式求出母线长为8cm ,故选(C ),(2)中,由直径求出半径是关键,应选(B ).

典型例题四

例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形,求它们侧面积. 解:∵圆柱的轴截面是正方形,且面积为16cm 2

∴圆柱的高为4cm ,圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm .

∴圆柱的侧面积=2π×2×4=16πcm 2.

说明:此题为基础题.应用圆柱轴截面的特征,圆柱各元素的关系,侧面积计算.

典型例题五

例 (1)若圆锥的底面半径是3cm ,母线长是5cm ,则它的侧面展开图的面积是

2cm ______.

(2)若圆锥的母线长为5cm ,高为3cm ,则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形,(1)中可直接用lR S 2

1

=扇求得2cm 15π,(2)中先求底面圆半径,扇形弧长,再由弧长公式求圆内角为288°.

典型例题六

例 一个圆锥的高是10㎝,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积.

分析:如图,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l ,底面半径r .由圆锥的形成过程可知,圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆,且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系,又其侧面展开图是半圆,可得关系

,22

2l l

ππ=,即r l 2=.

解:设圆锥底面半径r ,扇形弧长为C ,母线长为l , 由题意得,2

2l

C π=

又.2r C π= ,22

2l l

ππ=∴

得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中,2

2

2

10+=r l ② 由①、②得:cm.2

3

20cm,2310==

l r ∴所求圆锥的侧面积为

)cm (3

200332033102πππ=⨯⨯

==rl S

典型例题七

例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ,圆心角为240°的扇形,求这个圆锥的轴截面积.

解:∵扇形的半径为18cm ,圆心角为240°,∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018

240

∵扇形弧长等于底面圆周长,∴圆锥的母线长为18cm ,底面半径=12224=π

π

cm ∴圆锥的高为56121822=-(cm ), ∴圆锥的轴截面积S=

57256242

1

=⨯⨯(cm 2) 说明:巩固圆锥的各元素之间的关系,弧长公式和解直角三角形等知识的应用.

典型例题八

例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm , 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积.

略解:如图,在△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3, ∵AB 2=AC 2+BC 2,∴∠C=90°. (1)当以AC 所在的直线为轴旋转一周时,形成的几何体是以底面半径为3,母线长为5的圆锥.

π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全(cm 2)

. (2)当以BC 所在的直线为轴旋转一周时,形成的几何体是以底面半

径为4,母线长为5的圆锥.

π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全(cm 2

. (3)当以AB 所在的直线为轴旋转一周时,形成的几何体是同底面的

两个圆锥的侧组成的几何体,母线长分别为4、3. 圆锥的底面半径=

512

543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=5

8435124512S S S 2

1侧侧全(cm 2).

说明:①分类思想;②圆锥的侧面积和表面积.

典型例题九

例 一个圆锥形的零件,经过轴的剖面是一个等腰直角三角形,求它的侧面展开图的中心角.

解:设圆锥的母线SA=l ,底面半径为r ,

则底边周长c=2πr ,即为展开扇形的弧长,这个扇形的半径为l ,它的中心角为α,则 c=

πα

180

l , 又△ASB 为等腰直角三角形,∴l =2r .

∴r 2r 2180

π=⋅πα

,∴︒=α)2180(. 说明:圆锥展开图的应用,圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径等于圆锥母线的长,扇形的弧长等于圆锥底面周长,千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径.

典型例题十

例 已知:

斜边

,以直线

为轴旋转一周得一表面积为

的圆锥,则这个圆锥的高等于 .

分析与解答:圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积,即等于底面周长×母线长的一半.

此题在分析中要结合图形(如图)弄清欲求圆锥的高即为

的长,关键在于求底面半

34

5

A

B

C 34

5

A

B

C

D

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