2016中考复习专题：动态几何问题(教师版)解析

图象☞考点归纳归纳1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．归纳2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．一、试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、题型精讲（一）、点的运动【例1】（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．【例2】已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。

解析：（上海市）（1）取AB 中点H ，联结MH ，M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥．12ABM SAB MH ∴=△，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得DE =．以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，即11(4)222x ⎡+=+⎣．解得43x =，即线段BE 的长为43；（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似， 又易证得DAM EBM ∠=∠．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED MEB∴△∽△．DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =，得222(x x =+-解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． 综上所述，所求线段BE 的长为8或2．BA DMECBADC备用图二、线的运动【例3】 （2015荆州）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ． 【解析】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x；故A 选项错误； ②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x；故B 选项错误； ③2＜x ≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x ；故D 选项错误．故选C ．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．【例4】 如图，已知直线l 的解析式为y ＝－x ＋6，它与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线n 从原点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n ∥l ．直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C ，D 两点．线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ．当直线n 与直线l 重合时，运动结束． (1)求A ，B 两点的坐标．(2)求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围． (3)直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的T 值，使得半圆面积S ＝12S 梯形ABCD ？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由。

【思路】 (2)用勾股定理求出CD 的长（用t 表示），即可求出S 与t 的函数关系式；(3)半圆面积S ＝12S 梯形ABCD ，可表示为关于t 的方程，是否存在t 值，即方程是否有解．【失分点】将是否存在t 值转化为方程是否有解的问题，是本题的难点和失分点．【反思】这是一道典型的“线段运动型”的动态几何问题，线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等），问题常以求图形面积的最值，或者探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现．解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的方法．若是规则图形，可以直接选择面积公式计算；若是不规则图形，一般情况下选择割补法，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的运动变化过程，探究其他图形的运动变化规律．有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形，确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置，三、图形运动类【例5】 （2015三明）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则B′A 长度的最小值是______ ．【答案】1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．【例6】 如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EFBC ；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ 是矩形，∴ EF ∥QP ． ∴△AEF ∽△ABC ．又∵ AD ⊥BC ， ∴ AH ⊥EF ．∴ AH AD ＝EFBC（2）由（1）得AH 8＝x 10． AH ＝45x ．∴ EQ ＝HD ＝AD －AH ＝8－45x ，∴ S 矩形EFPQ ＝EF ·EQ ＝x (8－45x ) ＝－45x 2＋8 x ＝－45（x －5）2＋20．∵ －45＜0， ∴ 当x ＝5时，S 矩形EFPQ 有最大值，最大值为20．（3）如图1，由（2）得EF ＝5，EQ ＝4．∴ ∠C ＝45°， ∴ △FPC 是等腰直角三角形． ∴ PC ＝FP ＝EQ =4，QC ＝QP ＋PC ＝9．分三种情况讨论：① 如图2．当0≤t ＜4时，设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ，则△MFN 是等腰直角三角形．∴ FN ＝MF ＝t ．∴S ＝S 矩形EFPQ －S Rt △MF N =20－12t 2＝－12t 2＋20；②如图3，当4≤t <5时，则ME ＝5－t ，QC ＝9－t ．∴ S ＝S 梯形EMCQ ＝12[（5－t ）＋（9－t ）]×4＝－4t ＋28；③如图4，当5≤t ≤9时，设EQ 交AC 于点K ，则KQ =QC ＝9－t ．∴S ＝S △K QC =12(9－t )2＝12( t －9)2．图2 图3 图4综上所述：S 与t 的函数关系式为：S =221204)24285)1(9)9)2t t t t t t ⎧-+<⎪⎪--<⎨⎪⎪-<⎩　(0，　（4，　（5．≤≤≤ 【例7】已知∠AOB ＝60°，半径为3 cm 的⊙P沿边OA 从右向左平行移动，与边OA 相切的切点记为点C ．图1(1)⊙P移动到与边OB相切时（如图11），切点为D，求劣弧CD的长；(2)⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝4 cm，求OC的长．【思路】(1)要求弧长，就要求弧长所对的圆心角，故作辅助线PC，PD，用四边形的内角和是360°，可求圆心角，从而求出弧长．(2)应考虑CP延长线与OB的交点N的位置，分情况ON>OF，OE<ON<OF，利用勾股定理和特殊角的三角函数求解，【解答】(1)连接PC，PD．（如图12）【失分点】CP延长线与OB交点N的位置，分两种情况：ON>OF，OE<ON<OF．【反思】涉及的主要知识点有：多边形的内角和，弧长公式，勾股定理，特殊角三角函数．拓展练习1．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 1．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）【答案】②④．由于OC 和OG 的长度是一定的，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，CG 的最小值为OC ﹣1，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④．故答案为：②④．考点：1．四边形综合题；2．综合题；3．动点型；4．压轴题．2、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求 出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何 值时,y 有最大值，最大值是多少？MBDCEFGx A解析：（湖南郴州）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．理由一： 过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，所以BC ＋CH ＋BH ＝24理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====， 所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24．（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=--配方得：2655121()2566y x =--+．所以，当556x =时，y 有最大值．最大值为1216．3、（浙江台州）如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）求CQP ∠的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？ （3）①求y 与x 之间的函数关系式；②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？ AM xHGFEDCB解析：（浙江台州）（1）如图，四边形ABCD 是矩形，AB CD AD BC ∴==，．又9AB =，AD =90C∠=，9CD ∴=，BC =tan BC CDB CD ∴∠==30CDB ∴∠=． PQ BD ∥，30CQP CDB ∴∠=∠=．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，RPQ CPQ △≌△，RPQ CPQ ∴∠=∠，RP CP =．由（1）知30CQP ∠=，60RPQ CPQ ∴∠=∠=，60RPB ∴∠=，2RP BP ∴=． CP x =，PR x ∴=，PB x=．在RPB △中，根据题意得：)x x =，解这个方程得：x =（3）①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，0x <≤21133222CPQ S CP CQ xx x =⨯⨯==△，RPQ CPQ △≌△，∴当0x <≤2y x =当R 在矩形ABCD 的外部时（如图（2）），x <<， 在Rt PFB △中，60RPB ∠=，2)PF BP x ∴==，DQC BPR ABADC（备用图1）B ADC（备用图2）DQC BPR A（图1）DQC BPAFE又RP CP x ==，3RF RP PF x ∴=-=-在Rt ERF △中，30EFR PFB∠=∠=，6ER ∴=-．21182ERF S ER FR x x ∴=⨯=-+△ RPQ ERF y S S =-△△，∴当x <<时，218y x =+-．综上所述，y 与x 之间的函数解析式是：22(018x x y xx <=⎨⎪+-<<⎩≤．②矩形面积9=⨯=0x <≤2y x=随自变量的增大而增大，所以y 的最大值是727的值727=⨯= 而>，所以，当0x <<y 的值不可能是矩形面积的727；当x <218x+-=x =>所以x =所以x =综上所述，当x =PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727． 4．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;图3D图1D(2) 若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样分析：（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH 分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证△EGC≌△CNE得出结论．（2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC=FO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想．（3）连接AC，过E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想．（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG=PF-PN．解答：（1）证明：过E点作EN⊥CH于N．∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又∵EC=CE，∴△EGC≌△CNE．∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF；（2）解：猜想CH=EF-EG；（3）解：EF+EG=BD；（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF-PN．点评：此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明．的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.5.（2015桂林）如图，已知抛物线212y x bx c=-++与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21382y x x =-++；（2）2152S t t=-+，当t=5时，S 最大=252；（3）存在，P （343，2009-）或P （8，0）或P ⎪⎭⎫⎝⎛910034，利用三角形的面积公式即可求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式为：2152S t t=-+，然后转化为顶点式即可求出最值为：S 最大=252；（3）由（2）知：当t=5时，S 最大=252，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得而确定C ，D 的坐标，即可求出直线CD 的解析式，然后过E 点作EF ∥CD ，交抛物线与点P ，然后求出直线EF 的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P 的坐标，然后利用面积法求出点E 到CD 的距离，过点D 作DN ⊥CD，垂足为N ，且使DN 等于点E 到CD 的距离，然后求出N 的坐标，再过点N 作NH ∥CD ，与抛物线交与点P ，然后求出直线NH 的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P 的坐标．（2）∵点A （0，8）、B （8，0），∴OA=8，OB=8，令y=0，得：213802x x -++=，解得：18x =，22x =-，∵点E 在x 轴的负半轴上，∴点E （﹣2，0），∴OE=2，根据题意得：当D 点运动t 秒时，BD=t ，OC=t ，∴OD=8﹣t ，∴DE=OE+OD=10﹣t ，∴S=12•DE •OC=12•（10﹣t ）•t=2152t t-+，即2152S t t =-+=2125(5)22t --+，∴当t=5时，S 最大=252； （3）由（2）知：当t=5时，S 最大=252，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C （0，5），D （3，0），由勾股定理得：CD 的解析式为：y kx b =+，将C （0，5），D （3，0），代入上式得：k=53-，b=5，∴直线CD 的解析式为：553y x =-+，过E 点作EF ∥CD ，交抛物线与点P ，如图1，过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=12CD•EG=252，∴EG=，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，综上所述：当△CED 的面积最大时，在抛物线上存在点P （点E 除外），使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，点P 的坐标为：P （343，2009）或P （8，0）或P （43，1009）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．6.（2010湖南衡阳）已知：如图10，等边三角形ABC 的边长为4 cm ，长为1 cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1 cm/s 的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合．点N 到达点B 时运动终止），过点M ，N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ． (1)线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积．(2)线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ，求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．7．（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE=AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S．①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．【答案】（1）32，（92，0）；（2）证明见解析；（3）①1，94，92，5；②278＜S≤92或272＜S≤20．第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解,②当1≤t＜94时和当92＜t≤5时，分别求出S的取值范围,当1≤t＜94时，S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣32）2+92,∵t=32在1≤t＜94范围内，∴278＜S≤9 2．当92＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣32）2﹣92，∴272＜S≤20．试题解析：（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=12OB=3．∴2t=3，即t=32．∴OE=39322+=，E（92，0）．（2）如图1，连接CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PO，∴AG=EG ．∴四边形ADEC是平行四边形．（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：如答图4，当点M在DE边上时,∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP．∴ME EFDP EP=即2262t3=-，解得t=92．第二种情况：如答图5，当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC．∴FN EFOC EO=即1262t3t=-+，解得t=5．综上所述，所有满足条件的t的值为1，94，92，5．考点：1．平行四边形的判定；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的性质；4．分类思想的应用．8.（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n=（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．……………1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =．…………3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．…………5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =．…………6分∴15AM BN =．…………7分 方法二：同方法一，54BN =．…………3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）ABCD EFMN图（1-1） A BCEFMN 图（1-2）ABC DEFM G同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90E B C M N G B C N G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ······· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4…………6分 ∴15AM BN =．…………7分 类比归纳 25（或410）；917； ()2211n n -+…………10分联系拓广 2222211n m n n m -++…………12分 9．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t=5时，请直接写出点D 、点P 的坐标；（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．【答案】（1）D （﹣4，3），P （﹣12，8）；（2）424 (06)318 (614)t t S t t -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩；（3）6．（2）当点P 在边AB 上时，BP=6﹣t ，由三角形的面积公式得出S=12BP •AD ；②当点P 在边BC 上时，BP=t﹣6，同理得出S=12BP •AB ；即可得出结果；（3）设点D （45t -，35t ）；分两种情况：①当点P 在边AB 上时，P （485t --，85t ），由PE CD OE CB =和PE CBOE CD =时；分别求出t 的值；②当点P 在边BC 上时，P （1145t -+，365t +）；由PE CD OE CB =和PE CB OE CD =时，分别求出t 的值即可．试题解析：（1）延长CD 交x 轴于M ，延长BA 交x 轴于N ，如图1所示：则CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AD ∥x 轴，BN ∥DM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD ∥NO ，∴△ABD ∽△NBO ，∴23AB AD BD BN NO BO ===，即6823BN NO ==，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D （﹣4，3），P （﹣12，8）；②当点P 在边BC 上时，P （1145t -+，365t +），若PE CD OE CB =时，36658145t t +=-，解得：t=6； 若PE CB OE CD =时，36856145t t +=-，解得：19013t =（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，△PEO 与△BCD 相似．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．分段函数；5．压轴题．。