江苏省南京师大附中2010届高三四月模拟考试(数学)
南京师大附中2010届高三数学暑期作业(七)
南京师大附中2010届高三数学暑期作业（7）姓名＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿一、填空题：1. 设集合{1,2}M =，则满足条件{1,2,3,4}M N =U 的集合N 的个数是2. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为4. 函数2()2xf x x =-的零点个数是 个5. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是 安6. 若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 7. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是8. 已知||3u =r ，||4v =r ，以u r 与v r 同向，则u v ⋅=r r． 9. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 ．10. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示） 主视图 左视图俯视图11. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ． 12. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ． 13. 已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为8，则长半轴的最小值是 ．14. 已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是二、解答题：15. 在ABC ∆中，已知3AC =，sin cos 2A A +=（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积3S =，求BC 的值．BOD AC16. 如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为 截面，且AB AD a ==，BF DH b ==．（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积．C17. 某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输出结果p 元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？18. 已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平 分弦AB ，求实数m 的值．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．20. 已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都 相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a-+-<．南京师大附中2010届高三数学暑假作业（7）一答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．20. 设集合{1,2}M =，则满足条件{1,2,3,4}M N =U 的集合N 的个数是 4 21. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S = 55 22. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 3223. 函数2()2x f x x =-的零点个数是 3 个24. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是 5 安25. 若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 [2,)-+∞ 26. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是512 27. 已知||3u =r ，||4v =r ，以u r 与v r 同向，则u v ⋅=r r12 ．28. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 28y x =- ．29. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，主视图左视图俯视图则(5)f =41 ；()(1)f n f n --= 4（n-1） ．（答案用数字或n 的解析式表示）30. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为5 ．31. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则22221111h a b c =++ ． 32. 已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为8，则长半轴的最小值是 )12(4- ． 33. 已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 (,4)-∞二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 34. 在ABC ∆中，已知3AC =，sin cos 2A A +=（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积3S =，求BC 的值．解：（Ⅰ）由πsin cos 224A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此及BODAC0πA <<，即ππ5π444A <+<得ππ42A +=，故π4A =；（Ⅱ）由1sin 32S bc A ===得c =2222cos 98235a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，故a =35. 如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为 截面，且AB AD a ==，BF DH b ==．（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积．C解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面ABFE 、 平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ．因此，四边形EFGH 为平行四边形． (1)因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥． 因为BF DH =，所以FH ∥BD ． 因此，FH EG ⊥． (2)由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积211113326F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=．36. 某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输出结果p 元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：（Ⅰ）由流程图可知： 1.2p =．依题意，得[1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+28006002000x x =-++（01x <<）；（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当(1.21)1000001y x >-⨯⎧⎨<<⎩，即2800600001x x x ⎧-+>⎨<<⎩． 解之得304x <<． 37. 已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平 分弦AB ，求实数m 的值．解：（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有22218580514B y x x x x x y =-+⎧⎪⇒-=⇒=⎨+=⎪⎩，315B B y x =-+=-．设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =，15M y =，由此及点M 在直线l 得 143555m m =+⇒=-． 38. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有[]111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩． 两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．20. 已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a-+-<．解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===， 所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩， 得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；（Ⅲ）当0b a <<时，102b a a--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．The key: 1.4 2.55 3.32π 4.3 5.5 6.[2,)-+∞ 7.5128．12 9．28y x =- 10．41，4(1)n - 1122221111h a b c =++ 13. )12(4- 14. (,4)-∞15 解：（Ⅰ）由πsin cos 4A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此及 0πA <<，即ππ5π444A <+<得ππ42A +=，故π4A =；（Ⅱ）由1sin 324S bc A ===得c =2222cos 98235a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，故a =16 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面ABFE 、 平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ．因此，四边形EFGH 为平行四边形． ……（1） 因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥．因为BF DH =，所以FH ∥BD ．因此，FH EG ⊥． ……（2） 由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积211113326F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=． 17 解：（Ⅰ）由流程图可知： 1.2p =．依题意，得[1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+28006002000x x =-++（01x <<）；（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当(1.21)1000001y x >-⨯⎧⎨<<⎩，即2800600001x x x ⎧-+>⎨<<⎩． 解之得304x <<． 18 解：（Ⅰ）2214x y +=； （Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有 22218580514B y x x x x x y =-+⎧⎪⇒-=⇒=⎨+=⎪⎩，315B B y x =-+=-． 设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =，15M y =，由此及点M 在直线l 得 143555m m =+⇒=-．19 解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有[]111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩． 两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）．又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列． 因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）； （Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以 111111322n n n b S a a =-=+-⋅． 要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-． 20 解： （Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===， 所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩， 得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；（Ⅲ）当0b a <<时，102b a a--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．。
2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期期初测试数学试题
2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期期初测试数学试题1.已知，则（）A．B．C．D．2.已知复数（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为A．7B．15C．25D．354.有个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（）A．B．C．D．5.设、，则“”是“且”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.设且，则（）A．B．C．D．7.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A ．B ．长度落在区间内的个数为35C ．长度的众数一定落在区间内D ．长度的中位数一定落在区间内10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A ．B ．C ．D ．11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（）A ．当时，B ．函数的最小正周期为2C ．函数的图象关于点（）中心对称D ．函数在（）上单调递减12.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于2，4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（）A ．弦AB ，CD 可能相交于点M B ．弦AB ，CD 可能相交于点NC ．MN 的最大值为5D ．MN 的最小值为113.若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________．14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是_________．15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.16.在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______．17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中.(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与垂直，求与的夹角.18.已知函数.(1)求函数的值域；(2)若，求的值.19.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.20.已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.(1)判断函数是否具有性质？并说明理由；(2)证明：函数具有性质.21.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,"AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点．（Ⅰ）证明：直线∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值22.设的三个内角所对的边分别为且.(1)求的大小；(2)若，求的取值范围.。
2024届江苏省南京师范大学附属中学高三寒假模拟测试数学试题及答案
2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数学2024.2本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部2四、解答题:本题共5小题,共15．（13分）已知函数()f x =(1)解关于x 的不等式：()f x <(2)若()()f a f b =（a b ≠），求的整数部分，a b(1)当点N为线段AD的中点时，求证：2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数 学 学 科 参 考 答 案第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C D D BB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9 10 11 ACD ACD AD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5613.714.816.（1）由题可知，()821x +展开式中第1k +项为：()888188C 21C 2kk k k k kk T x x −−−+=×=，则系数最大的项需满足()()818188*818188C 2C 2,C 2C 2k k k k k k k k k −−−−−+−+ ≥ ∈ ≥ N ，解得2k =或3k =， 所以系数最大为第3项或第4项，即3n =或4n =，所以最大项系数为282348C 21792a a -===．（2）因为421135790i i a a a a a a +==++++∑，32224680i i a a a a a +==+++∑，。
2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学(附答案)
2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。
2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。
参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑ 的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。
请把答案填写在答题纸相应位置上）1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为 ．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的 离心率为 ．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是 ．7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角 的大小为 ．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是 ．11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是 ．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab的取值范围是 ． 13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论： ①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点． 其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）OMDA B C 14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立， 那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。
精品解析：江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题(解析版)
南京师大附中2018届高三年级模拟考试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝______．【答案】{0，1}【解析】分析：先求B集合，再结合交集即可.详解：由题可得，故A∩B＝{0，1}点睛：考查集合的交集基本运算，属于基础题.2.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是______．【答案】－【解析】分析：先化简z＋再写虚部即可.详解：故虚部为－点睛：考查复数的四则运算，属于基础题.3.某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为．【答案】【解析】分析：画出约束条件的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.详解：由约束条件作出可行域如图所示：化目标函数为.联立方程组，解得.由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下：；，结束循环，即输出的的值是7.7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．【答案】【解析】分析：根据等体积法：即可：详解：由题可得=,故答案为点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．8.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.9.若直线y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线，则实数b＝______．【答案】－2ln2【解析】分析：根据导数的切线的求法可设切点为，再求导得可得出切点坐标再代入切线方程即可得出b.详解：由题得：设切点为，由y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线得，代入曲线得，然后将切点坐标代入切线得b=－2ln2.点睛：本题是基础题，考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力．10.“”是“函数为奇函数”的____条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】分析：根据充分必要条件判断即可.详解：当时，函数=，此时有故函数为奇函数，反之当函数为奇函数时，可令a=-1，此时f（x）=仍为奇函数，故反之a=1就不一定了，所以必要性不成立，故答案为充分不必要.点睛：考查充分必要的定义和判断，对a的适当取值是解题关键.属于基础题.11.在数列{a n}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】分析：将a n+a n+1+a n+2=15中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018详解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=15，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n，可得数列{a n是周期为3的数列．故，由a n+a n+1+a n+2=15，n取1可得，故，故答案为9.点睛：本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知直线与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．13.在中，已知，则的最小值是________．【答案】【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.14.已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）设t=f（x），则g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的图象知，①当0＜a＜1时，方程g（t）=a有两个根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的图象知，当-4＜t1＜-3时，t=f（x）有0个根，当-4＜t2＜-2时，t=f（x）有0个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0个根，②当a=1时，方程g（t）=a有两个根t1=-3，或t2=，由t=f（x）的图象知，当t1=-3时，t=f（x）有0个根，当t2=时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3个根，③当1＜a＜时，方程g（t）=a有两个根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t=f（x）的图象知，当0＜t1＜时，t=f（x）有3个根，当＜t2＜1时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f （x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根，当a=由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且．（1）求角A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）用数量积的坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为，再变形得，由可得结论．试题解析：（1）∵，∴，即，，，∵，，∴，∴．（2）由题知：，整理得，∴，∴，∴或，而使，舍去，∴，∴．考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）结合（1）可证AB⊥AF，AB⊥平面PAD，从而得平面PAD⊥平面ABCD．证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD．又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB//平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB//EF．（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，所以AB⊥AF，又AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．17.如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处. （1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）见解析.【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD 上即可得到结论.解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.则＝＝＝＝.（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点(，0)，下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0). 设直线l的方程为y＝k(x－1)，化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，直线AE的方程为y－y2＝(x－4)，令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝＝＝＝＝＝＝＝0，所以点T(，0)在直线AE上，同理可证，点T(，0)在直线BD上.所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，能正确计算直线方程表示是解题关键，计算量较大，属于难题．19.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，无极小值．（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．要使若函数有两个零点时，必须满足，下面证明时，函数有两个零点．因为，所以下面证明还有另一个零点．①当时，，，令()，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．②当时，，，易证，可得，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．综上，的范围是．（3）证明：，，又，，不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，则．令（），则，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.20.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令c n＝，记{c n}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对 n≥2, n∈N*，都有pn＝＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，化简得，可得，即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.点睛：考查等差等比得通项和综合运用，错位相减法求和，构造函数与数列结合证明不等式，对学生的分析思维和解决问题的能力有较高要求，属于难题.数学附加题21.A选修4—1：几何证明选讲在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．【答案】见解析【解析】分析：因为CM是∠ACB的平分线，由内角平分线定理，可得＝，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC，整理，即可得证.证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题．22.B选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．【答案】-1【解析】分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4．因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．点睛：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值，属于基础题.23.C选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cosθ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】2【解析】【详解】分析：先化话普通方程：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2，直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．求出圆心C到直线l的距离d=．利用弦长公式求解即可.解：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2．直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．圆心C到直线l的距离d＝＝1．所以AB＝2．点睛：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24.已知，求证．【答案】见解析【解析】分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得()[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．点睛：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题．25.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S＝的概率；（2）由题设条S的所有可能取值为为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．详解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为所以E(S)＝×＋×＋×＝.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．26.设集合是非空集合的两个不同子集．（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）分集合含有2个元素或1个元素进行讨论分析，根据定义，利用列举法即可得到结果；（2）根据有序集合对的定义，，利用二项式定理可得结果．【详解】（1）若集合B含有2个元素，即，则A＝∅，，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有种，不妨设，则A＝∅，此时(A，B)的个数为×1＝2.综上，(A，B)的个数为5.（2）集合M有子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，又的展开式中的系数为，且的展开式中的系数为，，，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为，所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为.【点睛】本题考查集合的概念与运算、二项式定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
江苏省南京师范大学附属中学高三数学模拟考试试题
(第3题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13S h ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数1＋a i 2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ． 4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数[]()sin (π0)f x x x x=∈-，的单调增区间是 ▲ ．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为 ▲ ． 9．设a ，b 均为正实数，则11a b++的最小值是 ▲ ．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ▲ ．(第4题图)NY结束输出s n ≤10开始11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角 形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．13．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cos Ccos A ．（1）求角A 的值； （2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）求证：CE ∥平面PAB ．(第16题图)图某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN的面积为S ，求S 的取值范围；（3）求证：点G 在一条定直线上．(第17题图)图已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. （1）若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最 大值.20．（本小题满分16分）设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0 时，若g (x )－h (x )x －x 0＜0在D 内恒成立，则称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点”．当a ＝－14时，试问函数y ＝f (x )是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说 明理由．DCBA(第21—A 题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学（附加题） 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度． B ．（矩阵与变换选做题）设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ， B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值． D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥ a ＋ b ＋ c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．[－π6,0]； 8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，………………2分即2sin cos cos cos B A A C C A=+=3sin(A +C ) ． ………………4分因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )，所以2sin cos B A B =． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以csA =，因为0A π<<，所以6A π=． ………………7分 （2）由（1）知π6A B ==，所以A C =，23C π=． ………………8分 设AC x =，则12MC x =，又AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x xx x +-⋅⋅=o 解得x ＝2. ………………12分故212sin 23ABC S x π∆=………………14分16．解析: （1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， …………………2分又∠ACD ＝90°，则CD AC ⊥，而PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面ACD ， ………………4分所以，平面PAC ⊥平面PCD ． ………………7分（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥PA ． 因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以EM ∥平面PAB ． ………………9分在Rt△ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．因为MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC ∥平面PAB ．………………12分 而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB ．由于EC⊂平面EMC ，从而EC ∥平面PAB ． ………………14分证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．因为EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，所以EC ∥平面PAB ．………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ．………………2分则h ＝h 02－x212＝(10－36x )2－x212＝100－1033x，x ∈(0,103) ． ………………5分所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x＝3x 212100－10 33x ． ………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－10 33x )＝100x 448－10x 5483，求导得y ′＝100x312－50x448 3，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大， 当x ∈(8 3，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小， 所以，当x ＝83 cm 时，y 取得极大值也是最大值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝32 15 cm 3． 答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3． ………………14分 18．解析:（1）由题设可知a ＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12； 当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－1 2＜d ＜5＋12．因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)．同理，可解得点N 的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0． 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G 恒在定直线x ＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－ 32)或M (1，－ 32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－ 32)时，直线A 1M 的方程为y ＝ 36x ＋33，直线A 2N 的方程为y＝32x －3． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ 36x ＋ 33y ＝ 32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－ 32)，N (1， 32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)． 由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2． 所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．① 将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4． 将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2) n －2.………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．因为数列{b n }是唯一的，所以若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3q)(3＋d ＋3q )， （**）记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5 372 ． ………………16分 20．解析：（1）当a ＝1时， f ′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)， ………………1分由 f ′(x )＞0得：x ＞－1＋ 52 ；由 f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋ 52． ………………2分 所以，f (x )的单调增区间为(－1＋ 52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋ 52) ． ………………3分（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m．又直线OM 的斜率为2m 2＋3m －2ln mm， ………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m m，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1． ………………7分 （3）a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2lnx 0． ………………8分令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x(x －x 0) (x －4x 0) ………………10分当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0； 当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0． 因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分ADCBE南京师大附中2014届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．………………2分设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =即有(6x x -=，解得1x =（舍）或5x =………………8分所以，AC2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5， 所以，AB 的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2 ab ，1b ＋1c ≥2 bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2 ab ＋2 bc ＋2 ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1 ab ＋1bc＋1ca．………………5分由abc ＝1，则有abc ＝1．所以，1a＋1b＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：（1）63(1)168P ξ===； ………………3分 （2）ξ的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分41(0)164P ξ∴===，63(1)168P ξ===，41(2)164P ξ===,21(3)168P ξ===． 则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望13115()012348484E ξ=⨯+⨯+⨯． ………………10分 23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n －1)， 有a n －1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法．所以，a n ＝10n ＋1＋a n －1 ， ………………8分从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1＝5n 2＋6n ＋1 所以，{a n }的通项公式是a n ＝5n2＋6n ＋1． ………………10分。
江苏2010年高考+(世上最难+最牛试卷)+数学
一、2010年江苏高考数学考卷解读2010年高考已经落下帷幕，本次数学试题突出数学学科特点，考查基础与考查能力并重，有创新题、题目梯度明显，区分度较高。
考生的评价集中为一个字“难”，许多题目看似简单，但要真正解决得分却很难。
运算量很大，甚至部分同学的最后两题都没来得及看。
接下来我们来具体分析试题。
1、基础题试题第1题、第2题、第3题、第4题、第5题、第6题、第7题分别考查考纲中的集合的性质与集合的运算、复数的运算、古典概型、频率直方图的运用、函数的奇偶性、双曲线的标准方程与集合性质、算法流程图，基本集中在对A、B级要求的考查。
难度与计算量均不大。
大多数考生都应该能顺利解决。
第9题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离的计算，只要判断准确接下来的计算也不成问题。
第11题主要考查分段函数、函数的单调性以及不等式，难度虽不大，但分情况讨论对于部分函数基础较薄弱的考生稍有难度。
第15题主要考查向量，并与平时常用的解析法结合，在处理过程中需要稍加小心，容易出现计算上的失误。
第16题以四棱锥为模型，主要考查立体几何中线线、线面垂直以及多面体的体积，需要证明过程完整、理由充分，有部分考生虽然会做，但论证过程写的不够完善而导致失分。
总体看以上列举的考题考查的考点明确，难度与平时练习相当，考生的失分会较少。
2、中档题第8题、第10题、第12题主要考查导数的集合意义、数列的概念、三角函数的图像、不等式的解法与不等式的性质中比较容易的考点，只要平时的基本功扎实，解决这几个问题应该不难。
重点在与考题与平时练习题的联系。
第17题测量电视塔的高度，本题的原型在苏教版数学必修5第11页第3题，它进行了改编，并添加了初中的相似三角形、解直角三角形这些知识的运用，在此基础上，考查了解斜三角形、基本不等式的运用。
题目本身难度不大，但在这些知识点的融合中，有部分考生往往会失去方向，似乎有很多途径来解决问题，但要找到一个真正适合的方法不容易。
2016届南京师大附中高三年级校模拟考试数学含参考答案
7 5
（第 4 题）
5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ▲ ． ▲ ．
x－1≤0， 6．设变量 x，y 满足约束条件 x＋y＋1≥0，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值是 x－y＋3≥0，
高三数学答案 第 1 页 共 14 页
高三数学答案 第 3 页 共 14 页
18．(本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是椭圆 E： x2 y2 ＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点， 2 a b π 时， 4
过点 F1、 F2 分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线 AB、 DC， 分别交椭圆 E 于点 A、 B 和 D、 C． 当α＝ 点 B 坐标为(0，1)． （1）求椭圆 E 的方程； （2）当α变化时，讨论线段 AD 与 BC 长度之间的关系，并给出证明； （3）当α变化时，求四边形 ABCD 面积的最大值及对应的α值． y B C F2 D （第 18 题） 19．(本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)＝ln( x＋1)＋ ，g(x)＝lnx． 2x （1）求函数 f(x)的单调区间； 1 （2）设 k 是实数，若关于 x 的不等式 f(x)－ ≤kx 在[1，＋∞）上恒成立，求 k 的取值范围； 2x （3）是否存在正实数 c，使得关于 x 的方程 f(x)＝cg(x)有两个不同的实数根？并说明理由．
π 7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )，则φ＝________ ▲ ． 2
（第 7 题） 8．已知一圆柱的若底面直径和高相等，其侧面积是π，则这个圆柱的体积是________ ▲ ． 9．设 a 为实数，若函数 f(x)＝ 3－x－ 1＋x－a 存在零点，则实数 a 的取值范围是________ ▲ ． x2 y2 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是双曲线 C： － 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点， 2 a_x001F_ b P 是右支上一点．若△PF F 是顶角为 120°的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率是________ ▲ ．
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江苏省南京师大附中2010届高三四月模拟考试（数学）注意事项：1.本试卷共160分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a= ▲ ．2．已知虚数z 满足等式： i z z 612+=-，则=z ▲ ．3．函数)3(sin 12π+-=x y 的最小正周期是 ▲ ．4. 某算法的伪代码如右：则输出的结果是 ▲ ．5.已知条件p:x ≤1，条件q ：11<x ，则⌝p 是q 的 ▲ 条件.6.已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切，则a 的值为 ▲ ．7. 已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在第 ▲ 象限。
8. 设(322()log 1f x x x x =++，则不等式2()(2)0f m f m +-≥（m R ∈）成立的充要条件是▲ ．（注：填写m 的取值范围）9.集合{(,)||1|}A x y y x =≥-，集合{(,)|5}B x y y x =≤-+。
先后掷两颗骰子，设掷第—颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则()(,)a b A B ∈ 的概率等于 .10．圆C1: 221x y +=与圆C2: 222210x y x y +--+=的公共弦所在直线被圆C3:()()2225114x y -+-=所截得的弦长是 ▲ ．11．若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x yS =+的取值范围是 ▲ ．s ←2i ←1While s ≤400 i ←i+2 s ←s ×i End While Print i第4题12. 已知f(x)=ax+xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 则)3(f 的取值范围为 ▲ ．13. △ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3450OA OB OC ++= ，则△ABC 的面积S = ▲ ．14. 设函数()11()21xf x x x =++, A0为坐标原点，An 为函数y=f （x ）图象上横坐标为*()n n ∈N 的点，向量11n n k kk A A -==∑a ，向量i=（1，0），设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，则满足15tan 3nkk θ=<∑ 的最大整数n 是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,A B 是△ABC 的两个内角，2sin 22A B A B a i j +-=+ （其中,i j 是互相垂直的单位向量），若6||a =。
（1）试问tanB tanA ⋅是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由； （2）求tan C 的最大值，并判断此时三角形的形状。
16.如图所示,已知圆22:(1)4E x y +-=交x 轴分别于A,B 两点,交y 轴的负半轴于点M,过点M 作圆E 的弦MN ．（1）若弦MN 所在直线的斜率为2,求弦MN 的长；（2）若弦MN 的中点恰好落在x 轴上,求弦MN 所在直线的方程；（3）设弦MN 上一点P(不含端点)满足,,PA PO PB 成等比数列(其中O 为坐标原点),试探求PA PB ⋅的取值范围．AB MxyO E17．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为403.（1）求1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.18．某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x （亩）的平方成正比，其比例系数为a ，设每亩水面的年平均经济效益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c 元（其中a ，b ，c 均为常数）。
（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值。
（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几。
注：根据下列近似值进行计算：0.992≈0.98, 0.992≈0.97, 0.994≈0.96, 0.995≈0.95, 0.996≈0.94, 0.997≈0.93.19．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()42n n n S a a n N *=+∈；（1）求n a ；（2）令2,,n n n a n b b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，24()n n c b n N *+=∈；求{}n c 的前n 项和n T 。
A 1DD 1C 1ACB（3）令na nb q λλ=+（q λ、为常数，0q >且1q ≠），123()nn c n b b b =+++++ ， 是否存在实数对()q λ、，使得数列{}n c 成等比数列？若存在，求出实数对()q λ、及数列{}n c 的通项公式，若不存在，请说明理由。
20、已知函数.32)(2x x e x f x -+= （1）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（2）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e0.3≈1.3）（3）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取值范围.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.(1)2,(2)12,(3),(4)9,(5)6,(10)23,(11)(2,4],12[9,27],(13),(14)35i π+∞⋃∞充分不必要,(6)3,(7)2,(8)(-,-2][1,+)2(9)9二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 解：（1）：2223||2cos sin 222A B A B a +-=+=， 1cos()31cos()22A B A B --+++= 02sin sin cos cos sin sin cos cos =+--BA B A B A B A ……………………5分13tan tan 022A B -= 则1tan tan 3A B =（定值） ……………8分（2）由（1）可知A 、B 为锐角tan tan 3(tan tan )tan tan()3tan tan 31tan tan 2A B A B C B A A B A B ++=-+=-=-≤---所以tan C 的最大值为3-ABC 为钝角三角形。
…………………14分 (16) 解：（1）在圆E 的方程中令x=0,得M(0,－1),又2MN K =,所以弦MN 所在直线的方程为12y x +=,即210x y --=．∵圆心到直线MN 的距离为5d =且2r =,∴22852MN r d =-．（2）因为0M N y y +=,所以1N y =,代入圆E 的方程中得(2,1)N ±．由M(0,－1), (2,1)N ±得直线MN 的方程为10x y --=或10x y ++=． 易得(3,0),(3,0)A B -,设(,)P x y ,则由2PA PB PO ⋅=,222222(3)(3)x y x y x y ++-+=+,化简得2232x y =+①由题意知点P 在圆E 内,所以22(1)4x y +-<,结合①,得24430y y --<,解得1322y -<<．从而P A P B ⋅ =2223332,322x y y ⎡⎫+-=-∈-⎪⎢⎣⎭．(17)(1)4,(2)存在P 点满足1114C P BC =（18）18．填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益x （亩） ax2（元） bx cx（1）收益不小于支出的条件可以表示为,2bx ax cx +≥所以.0)]([,0)(2≤--≤-+b c ax x x c b ax 当,0,0时即≤≤-≤-x a bc b c 此时不能填湖造地；当c －b>0，即,0时a b c x -≤≤此时所填面积的最大值为a bc -亩。
（2）设该地现在水面m 亩，今年填湖造地x 亩。
则,25.0%)11(%)11(%)11(%)11(432m x x x x x ≤-+-+-+-+ 即.20,499.01)99.01(5mx m x ≤≤--所以 因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的201（19）19． （本小题满分16分）解：（1）2211111111114242a S a a a a ==+⇒-=，∵10a >，∴12a =； 当2n ≥时，2211111114242n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，221111()()042n n n n a a a a ----+=，即11()(2)0nn n n a a a a --+--= ∵0n a >，∴12n n a a --=，∴{}n a 为等差数列， （2分）∴2()n a n n N *=∈。
（4分） （2）16336c b b a ====，2842112c b b b b a ======， （6分）3n ≥时，12212422212122n n n n n n c b b b a ----++++=====+， （8分）此时，2318(22)(22)(22)22n nn T n -=++++++=+ ； ∴6,18,222,3n n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪+≥∈⎩且。
（10分）（3）22222222(1)33(1)111n n n q q q q c n n nq q q λλλλλ+-=+++=+-++---，令221301310q q q λλλ=-⎧⎧+=⎪⎪⇒-⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎩， （14分）∴存在3(,)(1,q λ=-，134()4n n c +=⋅。