2017年春季学期苏教版高中数学必修4教学建议

数学学科《必修4》的教学指导一．课标要求在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。

在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

内容与要求1．三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。

⑤结合具体实例，了解y=A sin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （ωx+φ）的图象，观察参数A，ω ，φ对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2．平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

3．三角恒等变换（约8课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

二．各章教材分析及教学建议第8章三角函数1．关于教材的定位苏教版的引言：提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子。

提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动/明确任务：建构这样的数学模型。

教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究；教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程；2．教科书的的特点苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保证这个定位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：（1）采用以问题链为线索的呈现方式。

既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程。

所以教材采用了以问题链展开的呈现方式。

注意提出问题的环节，注意问题间的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用；例子：任意角三角函数任意角三角函数概念无疑是本部的核心概念。

苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概念的。

应该指出的，尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上有些“微妙“的差异，可是不应该小看了这里的差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表现。

（2）以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容。

为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。

如，抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种等等。

这样做一方面可以让学生利用已有的经验，掌握学习的主动权，发现数学知识的联系，加深对知识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法，有利于正确的数学观念的形成。

3．突出周期性。

（1）本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，我们突出了周期性，把它看成是教材编写的出发点和归属。

（2）例子：三角函数的性质在很多教材中，总是通过作出三角函数的图象，然后再由图象的观察得到三角函数的性质的。

对此，苏教版的教材做了不同的处理。

4．加强几何直观，强调形数结合的思想(1)三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。

在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图．(2)例子：诱导公式的推导。

提出问题：由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。

除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？(1)与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是一种“数学模型”(2)与以往的三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识的要求，加强了对借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容。

"标准"删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号等内容。

降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数的奇偶性的要求。

这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上，而对一些细枝末节的内容不再作过多要求。

教学时应当把握好这种变化，遵循"标准"所规定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识点。

也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知sina=m求的其他三角函数值;用诱导公式进行复杂变换的问题等)。

(3)但是也不能放松基本的技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法画出正（余）弦函数的图象等，因为这是利用三角函数解决问题的基础。

2．注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。

(1)要突出数学模型思想。

教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识，在此基础上，要充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。

(2)要充分发挥形数结合思想方法在本章的运用。

发挥单位圆、三角函数线、图象的作用。

(3)运用和深化函数思想方法。

三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，教学中应当注意引导学生以数学l中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数，这对进一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重要的。

(4)例：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=Asin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换(平移、伸)的关系。

（需要注意分寸）3．以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。

4．恰当地使用信息技术。

第9章平面向量教材定位对一种具有丰富的几何背景与物理背景的近代数学模型的研究。

（1）向量是具有深刻的几何背景和物理背景的数学模型；（2）向量是近代数学中重要的、基本的概念，也是一种基本的重要的数学工具；①向量既是代数的对象，又是几何的对象。

作为代数对象，向量可以运算。

作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。

向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。

②向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型，是理解这些数学内容的基础：③向量也是重要的物理模型。

平面力场、平面位移场以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。

向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且，体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。

教材特点：按照数学模型研究的一般程序展开教材；（1）和《函数》、《三角函数》类似，本章也是对一种数学模型的研究。

教材也是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的。

这样的编写顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在《函数》、《三角函数》学习中获得的经验，在助于发挥学生在学习中的主动权。