苏教版12.1 二次根式 课件(共22张PPT)
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二次根式(课件)八年级数学下册(苏科版)
−13
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
苏科版 八年级下册 12.1二次根式课件(共22张PPT)
（7） x 1 ；
（8） a2 1 .
注意：在实数范围内,负数没有平方根
例1 要使下列式子有意义，x应是怎样的实数？
（1） x 1 ； （2） x2 2 ；
（3） 2 3x ；
1 （4） 3 2x . 二次根式 a
有意义的条件：
a≥0
（1） x 1
解：由x＋1≥0，则x≥－1, ∴当x≥－1时，式子 x 1 在实数范围内有意义.
探究活动二 认识二次根式并探究二次根式有意义 的条件
当a<0时， a 有意义吗？为什么？ 当a≥0时， a 可能为负数吗？为什么？ 注意 a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）35 ；
（2） 12 ；
（3）3 2 ；
（4）
(3) 2
；
（5） m（m≤0） ；（6） xy（x、y异号）；
（2） x2 2
解：∵不论x取何实数，总有x2 ≥0，x2＋2≥2， ∴当x为任意实数时，式子 x2 2在实数范围
内总有意义.
（3） 2 3x
解：由2-3x≥0，则x≤ 2 ,
∴当x≤
2
时，式子
3
2 3x
在实数范围内有意义.
3
1
（4） 3 2x
3－2x≥0①
解：由题目条件：3 3－2x≠0②
9米
A .●
a米
.●
C
A B
正方形喷泉池的面积为30m2，那么正
30
方形的边长是
m．
圆形花坛的面积为S，那么这个圆的
半径是
A.●
？ am
AB＝
. m．
你所得的代数式 有哪些共同特征？
《二次根式PPT课件》
1
2
1
3 3
a2 a (a ＜ 0)
2020/12/18
a2 a (a≥0) a2 a (a＜0)
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
2020/12/18
文字描述：一个数平方 的算数平方根等于它的 绝对值，当这个数是非 负数时，结果是它本身 ，当这个数是负数时， 结果是它的相反数。
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
2020/12/18
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1 的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
正数a的算术平方根表示为
，而正数a的平方根表示为
a
2020/12/18
a
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2020/12/18
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(
0.01)2 0.01 (
1 )2 3
3
2 a a
二次根式
2020/12/18
2020/12/18
x 一般地,如果一个正数的x平方等于a , 即 x a ， x 那么这个正数 叫做 的 算术平方根 即
a 2= , =a
,
a a a 的算术平方根记为 , 读作:“ 根号 ”， a 叫做被开方数，
像正数32=9, 把正数3 叫做9的算术平方根…
2020/12/18
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
苏教版第12章 二次根式复习课件(共19张PPT)
例4、分母有理化：
(1)
m2 n2 m2 (m n)2
(2)
2 1 (3) 2 1
1 2 1
练习、分母有理化：
(1) 5 2 52
(2) 2a 8 a4
例5、计算：
(1) 2 12 1 3 5 2 4
(2) 1 2 2 2 1 3 3 35
(3) 15 3 20 ( 1 6)
5
3
(4) 32xy (1 4xy ) 2 x3 2
例6、计算：
1、 2 18 4 1
2
2
2、 22 12 4 3 4 3
3、 2 3 3 22 3 3 2
4、(3 2 2 3)2 (3 2 2 3)2
例6、求代数式的值：
设a、b为实数，且 2 a b 2 0
求 a2 2 2a 2 b2 的值。
2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 2x 3;
x 3 2
1 （2） 3x 7
x7 3
3、式子 x 4 x 4 成立的条件是什么? x5 x5
x 4且x 5
例2：若 a 5 (b 2)2 0,则a b的值为___
解：由题意可知ba
5 2
0 , 0
解得ba
可以是 _______ 只要求写出一个
（4） 当a为___0___时，二次根式 a2 4
的值最小。
（5）已知y 2 x x 2 5,则 y _18 1 50 4 1
5
2
（2） 2 1 2
1
0
2 1
3、1
2
2
22
1 1
5 ,
2
所以a
b
3
课堂练习
【最新苏科版精选】苏科初中数学八下《12.1 二次根式》PPT课件 (7).ppt
12.1 二次根式
问题情境：
1、8的算术平方根是 8 ， a的算术平方根是 a ；
2、正方形的面积为30，那么正方形的边长是 30 ．
3、直角三角形的两直角边分别为a和b，那么它的斜边
长是 a2 b2 ．
4、圆的面积是S，那么它的半径是
S
．
这些式子有什么共同点？Fra bibliotek8a
30
a2 b2
S
1、含有“
(1)(3 2)2 (2 3)2
(2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
巩固练习：
3.若 （x 2）2 2 x 则 x 的取值范围是
．
4.已知：1 x 3 ,化简: 1 x2 3 x2
5.如图所示为实数p在数轴上的位置，化简：
(1 p)2 ( 2 p )2
拓展延伸：
1.若化简：1 x x2 8x 16的结果是2x 5,
则x的取值范围是
．
2.先化简，再求值：
1 2a a2 a 1
a2 2a a2 a
1
1 a
,当a
2
3时
课堂反思： 本节课你掌握了哪些知识点？
b 求： a 的值。
3、已知 y 1 x x 1 3 求： 2x 3y 的值。
3、下列各式哪些一定是二次根式？
1 5
2 3
3 3 21
4 bb 0
5 a 2a 2
7 5m
6 a bab
8 x2 1
归纳发现：
（1）（ 0 .0 1）2＝
a2
a2
问题情境：
1、8的算术平方根是 8 ， a的算术平方根是 a ；
2、正方形的面积为30，那么正方形的边长是 30 ．
3、直角三角形的两直角边分别为a和b，那么它的斜边
长是 a2 b2 ．
4、圆的面积是S，那么它的半径是
S
．
这些式子有什么共同点？Fra bibliotek8a
30
a2 b2
S
1、含有“
(1)(3 2)2 (2 3)2
(2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
巩固练习：
3.若 （x 2）2 2 x 则 x 的取值范围是
．
4.已知：1 x 3 ,化简: 1 x2 3 x2
5.如图所示为实数p在数轴上的位置，化简：
(1 p)2 ( 2 p )2
拓展延伸：
1.若化简：1 x x2 8x 16的结果是2x 5,
则x的取值范围是
．
2.先化简，再求值：
1 2a a2 a 1
a2 2a a2 a
1
1 a
,当a
2
3时
课堂反思： 本节课你掌握了哪些知识点？
b 求： a 的值。
3、已知 y 1 x x 1 3 求： 2x 3y 的值。
3、下列各式哪些一定是二次根式？
1 5
2 3
3 3 21
4 bb 0
5 a 2a 2
7 5m
6 a bab
8 x2 1
归纳发现：
（1）（ 0 .0 1）2＝
a2
a2
《第12章 二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年苏科版 (4)
知识结构
二次根式
三个概念
最简二次根式
同类二次根式
1、 a ba b a 0 ,b 0
二 次
两个公式
2、
a b
a b
(a0,b0)根Βιβλιοθήκη a0 （ ａ 0）式
三个性质
( a )2 a 〔a≥0〕
a2
a
{a,a0 a,a0
四种运算
加 、减、乘、除
例1．以下各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
（ 1） 求 a2-22a+2+b2 的 值 . a 2，b2
解：1 2a 0, b20
而 2a b2 0
2 a 0 ， b20
a 2，b2
原 式 (a2)2b2 ( 2 2)222
4
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1） 求 a2-22a+2+b2 的 值 . a 2，b2
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
〔2〕如下图，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
假设点P为线段CD上动点。
B
①那么AD=2____ BC=1____
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
〔2〕如下图，AD⊥DC于D，
2[5x+(-2)]
代数式？
求当x分别为-3、0、2时代数式 2[5x+(-2)] 的值。
2、在以下计算程序中填写适当的数或转换步骤:
4或-6
5 ( )2 +3 ×2 -5
二次根式
三个概念
最简二次根式
同类二次根式
1、 a ba b a 0 ,b 0
二 次
两个公式
2、
a b
a b
(a0,b0)根Βιβλιοθήκη a0 （ ａ 0）式
三个性质
( a )2 a 〔a≥0〕
a2
a
{a,a0 a,a0
四种运算
加 、减、乘、除
例1．以下各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
（ 1） 求 a2-22a+2+b2 的 值 . a 2，b2
解：1 2a 0, b20
而 2a b2 0
2 a 0 ， b20
a 2，b2
原 式 (a2)2b2 ( 2 2)222
4
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1） 求 a2-22a+2+b2 的 值 . a 2，b2
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
〔2〕如下图，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
假设点P为线段CD上动点。
B
①那么AD=2____ BC=1____
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
〔2〕如下图，AD⊥DC于D，
2[5x+(-2)]
代数式？
求当x分别为-3、0、2时代数式 2[5x+(-2)] 的值。
2、在以下计算程序中填写适当的数或转换步骤:
4或-6
5 ( )2 +3 ×2 -5
苏科版八年级数学下册12.1二次根式课件 (共29张PPT)
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
（ 2）2＝2
类似地，计算：
（ 5）²＝＿＿5＿＿；
（
7 5
7
）²＝＿＿5＿＿；
（ 0）²＝＿＿0＿＿。
性质 1： （ a）²＝a（a≥0）
例2 计算：
(1)( 12)2
解：（ 12）²＝12
(2)( 2 )2 3
解：（
2 3
）²＝
2 3
(3)( a b)2(a b 0)
解：（ a＋b）²＝a＋b
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数。
例1 下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7)a2 ,(8) 3 5.
在实数范围内,负数没有平方根
由于 2是2的算术平方根，根据平方根的意义， 应有：
30
正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边
长是 30 m ．
zxxkw
圆形花坛的面积为S，那么这个圆的半径
s
是
π.
AB＝＿＿a 2＿＿8＿1米
A .●
？ a米
.●
.●
B
9米 C
Байду номын сангаас
A B
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
（ 2）2＝2
类似地，计算：
（ 5）²＝＿＿5＿＿；
（
7 5
7
）²＝＿＿5＿＿；
（ 0）²＝＿＿0＿＿。
性质 1： （ a）²＝a（a≥0）
例2 计算：
(1)( 12)2
解：（ 12）²＝12
(2)( 2 )2 3
解：（
2 3
）²＝
2 3
(3)( a b)2(a b 0)
解：（ a＋b）²＝a＋b
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数。
例1 下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7)a2 ,(8) 3 5.
在实数范围内,负数没有平方根
由于 2是2的算术平方根，根据平方根的意义， 应有：
30
正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边
长是 30 m ．
zxxkw
圆形花坛的面积为S，那么这个圆的半径
s
是
π.
AB＝＿＿a 2＿＿8＿1米
A .●
？ a米
.●
.●
B
9米 C
Байду номын сангаас
A B
八年级数学苏科版下册课件：12.1二次根式
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3
4 x-5+x-60
1- x
解 ：1由 2x-1＞ 0得 x＞12当x＞
1 2
时， 2
3 有意义
2x-1
2由1-x＞0得 x＜1 当 x＜1 时， 有意义
3由题意可知：
1- x0
1-x
x0 解得x0且x1
当x0且x1，
∴ AB 2=AC 2+BC2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 的算术平方根。 x-70 解： 由题意可知： x-70 解得x=7,y=9 xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
一般地,式子 a (a 0)叫做二次根式,
a称为是被开方数
8
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
9
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
10
说一说: 下列各式是二次根式吗?
17
2.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解： 由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0 a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
a和b的值分别为：a=1,b=7
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a 2先开方,后平方 a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看:
2 a a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
自主合作
计算
1 4
2 (1.5)2
3 (x 1)2 (x 1)
自主合作
解：1 4 22 2
2 (1.5)2 1.5
自主展示
3.若 （x 2）2 2 x 则 x 的取值范围是 x≤2 ． 解法一：利用 a2 a , x 2 0,x 2 解法二：利用 a 0,2 x 0, x 2
自主展示
2 4.已知：1 x 3 ,化简: 1 x2 3 x2 =
.
解： 1 x 3
1 x 0,3 x 0 原式 x 1 3 x 2
初中数学九年级上册 （苏科版）
12.1二次根式(2)
学习目标
1. 理解二次根式的性质 a2 a，并能 运用这个性质化简二次根式．
2.知道公式 a2 a 与 a 2 a 区别，
并能在二次根式的化简和计算中运用．
3.在探究二次根式性质的过程中，培养和掌 握“转化”思想．
自主探究
1．观察下列各式的特点，找出各式的 共同规律，并用表达式表示你发现的 一般规律.
2 2 2 , 52 5 , 102 10 22 2 , 52 5 , 102 10
02 0
自主探究
2.规律：
当a≥0时，
a2 a
当a＜0时， a2 a
自主探究
3.归纳：
a2 a a (a≥0)
-a (a＜0)
自主探究
( a)2与 a2有区别吗?
?
自主探究
1:从运算顺序来看:
2.化简：
(1)(3 2)2 (2 3)2
(2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
自主展示
答案：
(1)30
210
38 m 4ab
自主展示
3.若 （x 2）2 2 x 则 x 的取值范围是 x≤2 ．
4.已知：1 x 3 ,化简: 1 x2 3 x2 = 2 .
1 a2
a 1
a 1
aa 1
1 a
a
1
1 a
aa 1
1 a
a 1
1 3
自主评价
1．本节课你学到了哪些知识？
2．本节课中你最大的收获是什 么？
课堂小结
二次根式的两条性质：
1
2
a a
2 a2 a a (a≥0) -a (a＜0)
(3)x ≥1,∴ x 1 ≥0
x 12 x 1
自主展示
1.快速抢答
1
1
1 0.32 0.3;2 ( 1 )2 7 ;3 102 10 7
3 ( )2
;4 (1 2)2 2 1
6 (x 1)2 x 1 (x 0);
ห้องสมุดไป่ตู้
7 x2 2xy y2 y x (x y).
自主展示
自主拓展
1.如图所示为实数p在数轴上的位置，化简：
(1 p)2 ( 2 p )2
解：由数轴得，1 p 2
1 p 0,2 p 0
原式 p 1 2 p 1
自主拓展
2.已知，三角形的三边长分别为a、b、c，且
a>c,那么| c a | a c b2 = b 2c .
1 3.当x
时，等式 ( 1 2x)2 (2x 1)2 成立．
2
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4.若化简：1 x x2 8x 16的结果是2x 5,
则x的取值范围是 1 x ．4
自主拓展
5.先化简，再求值：
1 2a a2 a 1
a2 2a a2 a
1
1 a
,当a
2
3时
解 a 2 3 a 1 1 3 0
原式