最简二次根式定义
二次根式的定义和概念
二次根式1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。
其中，a 叫做被开方数。
2、√ā的简单性质和几何意义（1）双重非负性：a≥0 且a ≥0（2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。
3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31,9,4，2)(y x +最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。
4、二次根式的乘法和除法（1）积的算数平方根的性质b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0）（2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0）（3）除法法则b a ba =（a≥0，b>0） （4）根式有理化如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。
5、二次根式的加法和减法（1）同类二次根式概念一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
如：25355=+6、二次根式的混合运算（1）确定运算顺序（2）灵活运用运算定律（3）正确使用乘法公式（4）大多数分母有理化要及时（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化7.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式，进行通分即可b ab bb b a b a =⨯⨯= II.分母是多项式，一般为根式的加减多数时间利用平方差公式形如b a b a b a b a b a b a --=-+-=+))((1根式中分母不能含有根号，且要变为最简，运算才会更加直接简便。
二次根式知识点
= · （a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法 对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 除法没有交换律 比较数值 （1）、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 （2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。 例2、比较与的大小。
化简： 分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。如果把外面的看作， 也可进行约分，这样会更简捷。 解：原式 直来直去，一鼓作气 计算： 分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负 的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。 解：原式 反思：做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最 佳方案。代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们 就会变得更加机智灵活。 巧提公因数，化难为易 计算： 分析:若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算 相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘 以，即得分子，于是可以简解如下： 解：原式==. 计算 分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计 算。 解：原式 巧分组，出奇制胜 计算 分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相 反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计 算。 解：原式
较为简便． 化简（+ - ）2+（- + ）2 分析:若直接展开，计算较繁，如利用公式 （a+b）2+（a-b） 2=2（a2+b2），则使运算简化． 解：原式 =[+ （- ）]2+[- （- ）]2 =2[（）2+（-）]2
计算:
第八讲 二次根式和最简二次根式-【暑假衔接】2021年新八年级数学(北师大版)(解析版)
第八讲 二次根式和最简二次根式【学习目标】认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【基础知识】1.（0a ≥） 的式子叫做根式；a 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）②2= a （0a ≥） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；【考点剖析】考点一：二次根式定义例1有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x≥12B ．x≤-12C ．x≥-12D ．x≤12【答案】C 【解析】依题意120x +≥，解得x≥-12，故选C. 考点二：二次根式的非负性例2．若y 2，则x y ＝_____． 【答案】9 【解析】解：y 2有意义， 必须x ﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x ＝3，代入得：y ＝0+0+2＝2， ∴x y ＝32＝9． 故答案为：9．考点三：二次根式的性质及应用例3．（1）先化简，再求值：a 1007a =．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）________的解法是错误的； （2）化简：2(5)π-=________；（3）先化简，再求值：2269a a a +-+，其中2019a =-． 【答案】(1)小亮；(2) 5π-;(3)-2016 【解析】（1）∵1007a =， ∴1-a=-1006＜0，∴212a a a +-+=2(1)|1|121a a a a a a a +-=+-=+-=- =2×1007-1 =2013.∴小亮的解法是错误的；（2）2(5)|5|(5)πππ-=-=--=5π- （3）∵2019a =-， ∴320220a -=-<， 则原式22(3)a a =+-2|3|a a =+- 2(3)a a =--3a =+ 2016=-．考点四：实数的大小比较例4．（1）把|3|,0,2,3--表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．【答案】数轴表示见解析，2033-<-解：在数轴上表示为：用“<”连接为：2033-<<<-．（2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来：2,2,0,|3|,( 4.5)----【答案】数轴见解析，()2023 4.5-<<<-<--【详解】 解：如图：用“＜”连接为：()2023 4.5-<<-<--．考点五：例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A 24B 36C a bD 24x +【答案】D 【详解】A 2426=B 366=不是最简二次根式，不符合题意；C a ab b b=不是最简二次根式，不符合题意； D 24x + 故选：D ．（212的结果是（ ） A ．43B ．32C ．23D ．26【答案】C 【详解】221243232323⨯=⨯==（3_____．【详解】===．（4_____．【答案】4【详解】24x =⨯==故答案为：4【真题演练】1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ） A ．3﹣π B ．a C ．a 2+1 D ．2x+4 【答案】C【解析】解：A 、3﹣π＜0，则3﹣a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B 、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C 、a 2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D 、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选：C ．2．下列根式中，是二次根式的是（ ）.A ．πB ．13C D【答案】D 【解析】A. π不符合题意，故此选项不正确；B. 13不符合题意，故此选项不正确；C.D.符合题意，故此选项正确；故选D.3．下列各式:(b ≥2) , , , 其中是二次根式的个数有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个.D ．5个【答案】B 【解析】(b ≥2)，0，当小于0时无意义，不是二次根式；故选：B ．4x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x <C ．1x ≥D ．1x >【答案】C 【解析】10x -≥解得：1x ≥ 故选C5x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤【答案】C 【解析】解：根据题意，得20x -，解得，2x . 故选C.6．下列式子中，a 不可以取1和2的是（ ）A B CD 【答案】D 【解析】A ．由5a ≥0，所以a ≥0，故选项A 可取1和2；B ．由a +3≥0，所以a ≥﹣3，故选项B 可取1和2；C ．由a 2≥0，所以a 2+1≥1，故选项C 可取1和2；D ．由2a-≥0且a ≠0，所以a ＜0，故选项D 不可取1和2； 故选：D ．7．说明命题是假命题的一个正确的反例是( ) A ．a=3 B ．a=-3C ．a=0.3D ．a=0【答案】B 【解析】=a ， ∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a 是一个负数， 故答案为：B.8．若代数式3x +有意义，则实数x 的取值范围是______. 【答案】1x - 【解析】解：∵代数式3x +有意义， ∴10x +≥，30x +≠， 解得：1x ≥-，3x ≠-， ∴实数x 的取值范围是：1x ≥-； 故答案为：1x ≥-.9．已知x ，y 是实数，且满足18______． 【答案】12【解析】解：∵由二次根式的定义得202x 0x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x=2，∴1y 008=++，即：18y =，12====.故答案为：1 2 .1012x-12x⎫>⎪⎭哪些是二次根式？哪些不是？为什么？【答案】见解析【解析】2，所以不是二次根式；-12x不含二次根号，不是二次根式；，不能确定被开方数是非负数，当0a<10x+<无意义，不一定是二次根式；40-<12x⎫>⎪⎭，因为120x-<a取何实数，22a--综上所述：12x-12x⎫>⎪⎭不是二次根式.11．当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．（1）a2+2ab+b2（2ab+1．【答案】（1）12.25；（2）7；【解析】解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；（2）当a＝2，b＝1.5 1.5+1＝7．12．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），,则A、B两点之间的距离可表示为AB；在平面直角坐标系中，（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为______.（2）若点E（-2，3）、F（4，-5），求E、F两点之间的距离.【答案】（1）5；（2）10.（1）因为O点为原点，所以点O为（0,0，），由题意可得CO，故答案为5.（2）根据题意可得EF=10，故答案为10.13．若实数a，b，c满足（1）求a，b，c；（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）b=2，c=3；（26.【解析】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，解得：c=3，∴=0，则b=2；（2）当a是腰长，c3，不能构成三角形，舍去；当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，，．【过关检测】1．说明命题是假命题的一个正确的反例是( )A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0【答案】B【解析】=a，∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，故答案为：B.2a，b应满足的条件是( )A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b＞0 D．ab≥0【答案】D解：根据二次根式的意义，被开方数ab≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0．故选D．3．2的值是（）A B．3 C．±3 D．9 【答案】B【解析】解：原式=2=34．下列说法中，正确的是（）A．无理数就是开方开不尽的数B0，则a≥0C．如果a＝b，那么ac＝bcD．若ba＝1，则a与b互为相反数【答案】C【解析】解：A.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的数，故A错误；B. a+5＞0，∴a＞﹣5，故B错误；C. 如果a＝b，根据等式的性质可得ac＝bc，故C项正确；D. ba＝1，则a＝b且a≠0，故选D错误；故选：C．5．若代数式1x-在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1【答案】D【解析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.6a的取值为（）A．0 B．12-C．﹣1 D．1【答案】B≥，=时为最小值. 即：210a+=，∴12 a=-.故选B.7．在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）20，则点M在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解：∵（a﹣3）20，∴a＝3，b＝2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选：A．8．已知x、y为实数，4，则y x的值等于（）A．8 B．4 C．6 D．16【答案】D【解析】∵x﹣2≥0，即x≥2，①x﹣2≥0，即x≤2，②由①②知，x＝2；∴y＝4，∴y x＝42＝16．故选：D．940a-=）A B．C D．±【答案】A【解析】40a-=∴b-3=0,a-4=0∴ab=4223333==故选A.10．已知20n是整数，则正整数n的最小值为___【答案】5【解析】∵20=25n n，且20n是整数，∴25n是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为：5．11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x+=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.【答案】()23a+a+3【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻译为()23a+.∵a＞0，∴()23+3.a a+=故答案为：()23a+；a+3.12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣2a﹣2b．【解析】解：∵从数轴可知：a ＜0＜b ，∴|a|=|a|﹣|a|﹣|b|=﹣|b|=﹣b ．12．已知2(21)0a b -+=4=【答案】6【解析】因为2(21)0a b -+=，根据二次根式和平方的非负性可得21030a b b -+=⎧⎨-=⎩，计算得到53a b =⎧⎨=⎩；因4=，所以64c =，则将53a b =⎧⎨=⎩和64c =。
二次根式的基本定义
知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。
根指数省略不写。
不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。
2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。
但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。
、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。
5、式子(a表示的是非负数。
6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。
二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A D2中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6 B．3 C．48 D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0 B．1 C．2 D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。
(a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子有意义的x 的取值范围是变式练习： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：12()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式知识点总结大全
第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。
八年级数学下册二次根式之化简
八年级数学下册二次根式之化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a （a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
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最简二次根式定义
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来表示一个函数
的图像。
它的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的解法有多种，最常用的是利用平方根法。
根据二次根式的一般形式，可以将其
化为一个二次方程，即ax²+bx+c=0，可以求出x的值，即x=（-b±√（b²-4ac））/2a。
二次根式的应用非常广泛，它可以用来求解复杂的函数，也可以用来求解多元一次方程组。
此外，它还可以用来求解抛物线的焦点和准线，以及求解圆的方程。
二次根式的求解也是数学学习中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，从
而更好地掌握数学知识。
总之，二次根式是一种重要的数学表达式，它可以用来求解复杂的函数，也可以用来求解多元一次方程组，是数学学习中不可或缺的重要内容。