2018年高考数学二轮复习专项精练(高考22题)12+4分项练13统计与统计案例理 Word版 含答案
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：(高考22题) 12+4分项练1
12＋4分项练12＋4分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2017·湖北省襄阳四中适应性考试)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则如图所示阴影部分表示的集合为( )A ．[0,1)B ．(0,3]C ．(1,3)D ．[1,3]答案 C解析 B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≥3或x ≤0}，图中阴影部分所表示的集合为A ∩(∁U B )．因为∁U B ＝{x |0<x <3} ，所以A ∩(∁U B )＝{x |1<x <3}＝(1,3)，故选C.2．(2017届安徽省蚌埠市质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2) D ．{－1,0,1} 答案 B解析 集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝2x,0≤x ≤10}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{1,2} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{(1,2)} D ．∅ 答案 C解析 由题意可得，集合A 表示0≤x ≤1时线段y ＝x ＋1上的点，集合B 表示0≤x ≤10时线段y ＝2x 上的点，则A ∩B 表示两条线段的交点坐标，据此可得 A ∩B ＝{(1,2)}．故选C. 4．(2017届江西省南昌市二模)命题“∀x >1，⎝⎛⎭⎫12x <12”的否定是( ) A ．∀x >1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12B ．∀x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12C ．∃x 0>1，011()22x≥ D ．∃x 0≤1，011()22x≥答案 C解析 因为“∀x >1，⎝⎛⎭⎫12x <12”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知，其否定是特称命题(存在性命题)，即“∃x 0>1，011()22x≥”，故选C. 5．(2017届湖南省长沙市一中二模)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝11－2x ，则A ∩B 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <12 B ．{y |0<y <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 12<y <1D ．∅答案 A解析 由题意可得，A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <12. 故选A.6．(2017届上海市宝山区二模)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件．当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.7．(2017届河北省衡水中学二模)已知命题p ：∃x 0>e ，01()2x>ln x 0；命题q ：∀a >1，b >1，log a b ＋2log b a ≥22，则下列命题中为真命题的是( ) A ．(綈p )∧q B ．p ∧q C ．p ∧(綈q ) D ．p ∨(綈q )答案 A解析 根据⎝⎛⎭⎫12x和ln x 的图象可知，当x ＝e 时，ln x >⎝⎛⎭⎫12x ，由两者图象可知当x >e 时，ln x 的图象始终比⎝⎛⎭⎫12x的图象高，故命题p 为假命题；命题q, a >1，b >1，log a b >0,2log b a >0，由基本不等式可得，log a b ＋2log b a ≥22，故命题q 为真命题，故选A.8．(2017届湖南省长沙市一中二模)已知A ＝{y |y ＝12x ，0≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝kx ＋1，x ∈A }，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ＝－1 B ．k <－1 C ．－1≤k ≤0 D ．k ≤－1答案 D解析 由已知可得A ＝{y |y ＝12x ，0≤x ≤1}＝[0,1]， 当k >0时，B ＝[1,1＋k ]； 当k <0时，B ＝[1＋k,1]． 由A ⊆B 知，当k >0时不合题意，当k <0时，则1＋k ≤0，得k ≤－1，故选D.9．(2017届福建省泉州市三模)集合A ＝{x |2x 2－3x ≤0，x ∈Z }，B ＝{x |1≤2x <32，x ∈Z }，集合C 满足A ⊆C ⊆B ，则集合C 的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案 C解析 由题意可得A ＝{0,1}，B ＝{0,1,2,3,4}，集合C ＝A ∪M ，其中M 为集合{2,3,4}的真子集，由子集个数公式可得，C 的个数为23－1＝7. 故选C.10．(2017届黑龙江省双鸭山市第一中学四模)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B 等于( ) A ．{0,1} B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,5}答案 D解析 由题意可得A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}， 结合题中新定义的集合运算可得A －B ＝{0,1,2,5}． 故选D.11．(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)给出下列四个结论： ①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，3x 0≤x 30”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ＝12”；③若“p ∧q ”或“p ∨q ”是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意得，根据全称命题与特称命题(存在性命题)的否定关系，可知①正确； ②中，命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②错误；③中，若“p ∧q ”或“p ∨q ”是真命题，则命题p ，q 都是真命题或一真一假，故③错误；④中，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，则1－m ＝2x >0⇒m <1，而函数y ＝log m x 为减函数，则0<m <1，所以④错误，故选A.12．(2017届辽宁省锦州市质量检测)设命题p ：实数x ，y 满足：(x －1)2＋(y －1)2≤2，命题q ：实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 命题p 表示一个圆及其内部， 命题q 表示一个三角形及其内部，如图，所以p 是q 的必要不充分条件．13．(2017·湖北省黄冈中学三模)若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是__________．答案 (1，＋∞)解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，所以∀x ∈R ，x 2－2x ＋m >0为真命题 ，即Δ＝4－4m <0，m >1，故答案为(1，＋∞)．14．(2017届天津市耀华中学一模)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|－|x －3|>3}，B ＝{x ∈R |x ＝t 2－4t ＋1t ，t ∈(0，＋∞)}，则集合B ∩(∁U A )＝________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－2，32 解析 ∵|x ＋3|－|x －3|>3，当x ≤－3时，－x －3－(3－x )>3，－6>3，无解； 当－3<x <3时，x ＋3－(3－x )>3，解得32<x <3；当x ≥3时，x ＋3－x ＋3>3，解得x ≥3；∴集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32，x ∈R ， ∴∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32，x ∈R ， 对于集合B ，x ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时“＝”成立．即集合B ＝{x |x ≥－2}， 可得B ∩(∁U A )＝⎣⎡⎦⎤－2，32. 15．(2017·北京市朝阳区模拟)已知两个集合A ，B ，满足B ⊆A .若对任意的x ∈A ，存在a i ，a j ∈B (i ≠j )，使得x ＝λ1a i ＋λ2a j (λ1，λ2∈{－1,0,1})，则称B 为A 的一个基集．若A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则其基集B 元素个数的最小值是________． 答案 4解析 若基集B 元素个数为3：a i ，a j ，a k (i ，j ，k 互不相等)，则最多可表示a i ，a j ，a k ，a i ＋a j ，a k ＋a i ，a j ＋a k ，|a i －a j |，|a k －a i |，|a j －a k |九个元素，因此基集B 元素个数的最小值是4，如B ＝{2,3,6,7}．16．(2017·安徽省江淮十校联考)设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 0<a ≤12或a ≥1解析 若p 真：0<a <1.若q 真：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，等价于∀x ∈R ，ax 2－x ＋a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12，故q ：a >12， 若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12，解得0<a ≤12或a ≥1.。
[推荐学习]2018年高考数学二轮复习专项精练高考22题12+4分项练4函数与导数理
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12＋4分项练4 函数与导数1．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下列四个图象中y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 由函数y ＝xf ′(x )的图象可知，当x <－1时，xf ′(x )<0，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增； 当－1<x <0时，xf ′(x )>0，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当0<x <1时，xf ′(x )<0，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当x >1时，xf ′(x )>0，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． 故符合f (x )的图象大致为C.2．(2017届吉林省实验中学二模)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x 在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，103 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞D ．[2，＋∞)答案 B解析 若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x 在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在[1,2]上恒成立，即a ≥x ＋1x 在[1,2]上恒成立，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝2＋12＝52，即a ≥52，故选B. 3．(2017届山西省太原市模拟)已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1，得f (0)＝1， 且f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，(f ′(x ))′＝e x ＋1>0，则函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．故选A. 4．(2017·山西省实验中学模拟)若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.5．(2017届江西省南昌市三模)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x －2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞) 答案 B 解析 设g (x )＝f (x )ex⇒g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex<0⇒g (x )在R 上是减函数，f (x )<ex －2⇒f (x )ex<1e2⇒f (x )ex<f (1)e1⇒g (x )<g (1)⇒x >1，故选B.6．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现判断函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 答案 A解析 依题意，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 7．(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且当x ∈(0，＋∞)时，xf ′(x )－f (x )＝x ，若f (e)＝e ，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－e)∪(0，e)B ．(－e,0)∪(e ，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(1，＋∞) 答案 D解析 因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )＝x ， 所以xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝1x ，所以f (x )＝x (ln x ＋c )，由f (e)＝e ，解得c ＝0， 所以f (x )＝x ln x (x >0)．因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝x ln|x |， 由于f (x )>0，即x ln|x |>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，ln (－x )<0，解得x >1或－1<x <0，故选D.8．(2017·安徽省蚌埠市质检)已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A.(－e 2，＋∞) B.(－e 2,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 答案 D解析 ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x有两个不同的解，设y ＝(1－x )e－x，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，y ＝(1－x )e －x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝2时，函数取得极小值－e －2，又当x >2时总有y ＝(1－x )e －x<0，∴可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0，故选D.9．(2017·福建省厦门第一中学模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e t m －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24，故选D.10．(2017届辽宁省沈阳市大东区质检)已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0 (a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧exx ，x >0，－exx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x(x －1)x2， 当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，当x <0时，f ′(x )＝－e x(x －1)x2>0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件，故选D.11．(2017·福建省泉州市质检)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2－ax ，若曲线y ＝f (x )上存在两点，这两点关于直线y ＝x 的对称点都在曲线y ＝g (x )上，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 因为f (x )＝e x与t (x )＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以只需g (x )＝ax 2－ax 与t (x )＝ln x 有两个交点，即方程ax 2－ax ＝ln x 有两个根，显然x ＝1是其中一个根，所以只需要ax 2－ax ＝ln x 在x ∈(0,1)或(1，＋∞)有一个根即可，即a ＝ln xx 2－x只有一解，令h (x )＝ln x x 2－x ，则h ′(x )＝x －1－(2x －1)ln x (x 2－x )2，令k (x )＝x －1－(2x －1)ln x ，则k ′(x )＝1x－1－2ln x ，当x ∈(0,1)时，k ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，k ′(x )<0，所以当x ＝1时，k (x )max ＝k (1)＝0，所以h ′(x )<0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )是减函数，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )是减函数，当x →1时，h (x )→1，所以h (x )∈(0,1)∪(1，＋∞)，故a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.12．(2017届河北省石家庄市模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.130 答案 D解析 f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln 3x －3a )2表示点M (x ，ln 3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln 3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以曲线上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，k MN ＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 13．(2017·福建省泉州市质检)已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0,0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．答案 13解析 因为y ′＝2x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝2， 切线方程为y ＝2x ，S ＝ʃ10(x 2＋2x －2x )d x ＝13x 3|10＝13.14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________． 答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.15．(2017·福建省三明市质检)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)时，x 1＋x 2<0，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数： g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 2(x ≠0)，0 (x ＝0)；h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x ＋1)(x ≤0)，2x (x >0)；k (x )＝－x 3＋32x 2；φ(x )＝e x－x －1.则其中“偏对称函数”的函数个数为________． 答案 2解析 由题意可得，“偏对称函数”满足①函数的定义域为R ，且过坐标原点； ②函数在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减； ③若x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|，则f (x 1)<f (x 2)，由函数的解析式可知，则函数φ(x )，h (x )是“偏对称函数”．k (1)＝－1＋32＝12，k (2)＝－8＋32×4<k (1)，不满足②，则函数k (x )不是“偏对称函数”． g (－1)＝－32，g (－2)＝－103<g (－1)，不满足②，则函数g (x )不是“偏对称函数”． 综上可得，“偏对称函数”的个数为2.16．(2017届南京市、盐城市二模)已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________． 答案 －1e解析 因为函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ⇒f ′(x )＝1x＋(e －a )，其中x >0，当a ≤e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )≤0不恒成立；当a >e 时，f ′(x )＝1x ＋e －a ＝0⇒x ＝1a －e ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，所以当x ＝1a －e时，f (x )取得最大值， 因为不等式f (x )≤0恒成立， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1≤0，所以ln(a －e)＋b ＋1≥0， 所以b ≥－1－ln(a －e)， 所以b a ≥－1－ln (a －e )a，a >e ，设F (x )＝－1－ln (x －e )x，x >e ，则F ′(x )＝－1x －e x ＋1＋ln (x －e )x 2＝(x －e )ln (x －e )－e(x －e )x 2， 令H (x )＝(x －e)ln(x －e)－e ⇒H ′(x )＝ln(x －e)＋1，由H ′(x )＝0，解得x ＝e ＋1e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ，＋∞时，H ′(x )>0，H (x )是增函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e ＋1e 时，H ′(x )<0，H (x )是减函数，所以当x ＝e ＋1e 时，H (x )取得最小值，最小值为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ＝－e －1e ， 因为当x →e 时，H (x )→－e ， 当x >2e 时，H (x )>0，H (2e)＝0，所以当x ∈(e,2e)时，F ′(x )<0，F (x )是减函数， 当x ∈(2e ，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )是增函数， 所以当x ＝2e 时，F (x )取最小值F (2e)＝－1－12e ＝－1e，所以b a 的最小值为－1e.。
2018年高考数学二轮复习 专项精练(高考22题)12+480分标准练3 理
12＋4“80分”标准练31．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B 等于( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)．∴A∩B＝[－2,1)，故选D.2．(2017·湖北省黄冈中学三模)复数z1＝2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1·z2等于( )A．－5 B．5C．－3＋4i D．3－4i答案 A解析由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－4＋i2＝－5，故选A.3．(2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错误；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.4．(2017·湖北省黄冈中学三模)已知向量m ＝(－1,2)，n ＝(1，λ)，若m ⊥n ，则m ＋2n 与m 的夹角为( ) A.2π3 B.3π4 C.π3 D.π4答案 D解析 依题意，m·n ＝0，即－1＋2λ＝0， 解得λ＝12，故m ＋2n ＝(1,3)，则m ＋2n 与m 的夹角的余弦值 cos θ＝510·5＝22， 又θ∈[0，π]，故θ＝π4.5．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α，则l 垂直于α内的所有直线； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ④若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l . 其中正确的命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l 平行于α内的所有直线，根据平行公理可知，α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则直线l 与m 无公共点， ∴l 与m 平行或异面，故④错误． 故选C.6．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π4－2B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4＋2C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋2D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12－2 答案 C解析 根据三角函数图象的平移变换可知，将f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再将f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向上平移2个单位长度得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2的图象，因此g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋2.故选C.7．(2017届上海市松江区二模)设a ，b 分别是两条异面直线l 1，l 2的方向向量，向量a ，b 夹角的取值范围为A ，l 1，l 2所成角的取值范围为B ，则“α∈A ”是“α∈B ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 直线的方向向量所成角的范围是[0，π]， 故A ＝[0，π]；异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故B ＝⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故“α∈A ”是“α∈B ”的必要不充分条件．故选C.8．(2017届湖南师大附中模拟)一个算法的程序框图如图所示，若输出的y ＝12，则输入的x可能为( )A ．－1B ．1C ．1或5D ．－1或1答案 B解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 6，x ≤2，2x ，x >2的函数值，输出的结果为12，当x ≤2时，sin πx 6＝12，解得x ＝1＋12k ，或x ＝5＋12k ，k ∈Z ，即x ＝1，－7，－11，…，当x ＞2时，2x＝12，解得x ＝－1(舍去)，则输入的x 可能为1.故选B.9．(2017届山东省济宁市二模)已知点M (x ，y )为平面区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，y －1x ≤0，y ≥a ，0<a <1内的一个动点，若z ＝y ＋1x的最大值为3，则区域D 的面积为( ) A ．ln 2＋58 B ．ln 2－12C ．ln 2＋18D ．ln 2－38答案 D解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，y －1x ≤0，y ≥a ，0<a <1作出可行域如图阴影部分所示，A (a ，a )，z ＝y ＋1x 的最大值为P (0，－1)与A 连线的斜率，即z max ＝k PA ＝a ＋1a ＝3，则a ＝12.∴区域D 的面积为1211221121111()()22111(2)(ln )222x dx dx x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝－18＋14＋ln 2－1－ln 1＋12＝ln 2－38.故选D.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16 3B ．24 3 C.8033 D ．26 3答案 C解析 该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体．所以V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×43×4×4－13⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×4＝8033. 故选C.11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与两条平行直线l 1：y ＝x ＋b 与l 2：y ＝x －b 分别相交于四点A ，B ，D ，C ，且四边形ABCD 的面积为8b23，则椭圆E 的离心率为( )A.22B.32C.23D.33答案 A解析 如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2a 2＋y2b2＝1⇒(a 2＋b 2)x 2＋2ba 2x ＝0， 可得点A 的横坐标为－2ba 2a 2＋b 2.∴|AB |＝2×2ba2a 2＋b2.又∵原点到AB 的距离d ＝b2，∴四边形ABCD 的面积为|AB |×2d ＝2×2ba 2a 2＋b 2×2b ＝8b23. 整理得a 2＝2b 2，椭圆E 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝22.故选A.12．(2017·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C.[]－23，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 答案 A解析 关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23， 当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3.综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.故选A. 13．(2017届山东师大附中模拟)已知点A ，B 为圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意两点，且|AB |>2，若线段AB 的中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 内的概率为________． 答案 34解析 由题意，线段AB 的中点组成的区域M 为以原点为圆心，3为半径的圆内部，由几何概型的公式得到π(3)2π×4＝34，故答案为34.14．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 答案 －8解析 设等比数列{a n }的公比为q . ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，①a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.15．(2017届山东省济宁市二模)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案 1解析 ∵x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线， ∴两圆外切，∴圆心距等于两半径之和，即a 2＋4b 2＝9，∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b 2a 2＋a 2b 2≥19(5＋4)＝1. 当且仅当a 2＝2b 2时取等号， 则1a 2＋1b2的最小值为1.16．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )＝mx －13恰有四个不等的实数根，则实数m 的取值范围是____________．答案 231(,e )3-解析 f (x )＝mx －13恰有四个不等的实数根，可化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1与函数y ＝mx －13恰有四个不同的交点，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1与函数y ＝mx －13的图象，由已知得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，B (1,0)，∴k BC ＝13. 当x ＞1时，f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x，设切点A 的坐标为(x 1，ln x 1)， ln x 1＋13x 1＝1x 1，得231e ,x =故2311e ,ACk x -== 结合图象可得实数m 的取值范围是231(,e ).3-。
2018年高考数学理二轮复习 专项精练：高考22题 124分
12＋4分项练7 数 列1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12.因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 得m ＝5.2．(2017·湖南省衡阳市联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5等于( ) A ．8 B ．－8 C ．64 D ．－64 答案 B解析 由等比数列的通项公式和性质可得a 7a 3＝q 4，q 4＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8.3．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知数列{a n }中的任意一项都为正实数，且对任意m ，n ∈N *，有a m ·a n ＝a m ＋n ，如果a 10＝32，则a 1的值为( ) A ．－2 B ．2C. 2 D ．－ 2答案 C解析 令m ＝1，则a n ＋1a n ＝a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，公比为a 1的等比数列，从而a n ＝a n 1，因为a 10＝32，所以a 1＝ 2.4．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30 答案 C解析 d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，当⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，即前4项和最大，S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.5．(2017届河北省衡水中学押题卷)已知数列a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016) ＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.6．(2017届天津市耀华中学二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝2119132a a a --，则数列{b n }( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 答案 C解析 S 21＝42＝21(a 1＋a 21)2＝21(a 9＋a 13)2＝21×2a 112，∴a 9＋a 13＝4，a 11＝2， ∴a 211－a 9－a 13＝0， ∴b n ＝20＝1，∴数列{b n }既是等差数列又是等比数列， 故选C.7．(2017届湖南省株洲市一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n 等于( )A ．2n －1 B ．2n －1C ．3n －1 D.12(3n －1)答案 D解析 因为a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1， 所以2S n －1＝a n －1，n ≥2，两式相减有2S n －2S n －1＝a n ＋1－a n ，n ≥2， 所以a n ＋1＝3a n ，n ≥2，由2S 1＝2＝a 2－1得，a 2＝3，所以a 2＝3a 1， 则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)，故选D.8．(2017届山西省太原市三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3) (n ∈N *)在函数 y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1 答案 D解析 由题意可得，S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，解得b 1＝1，q ＝2，所以数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式得T n ＝2n －1，考查所给的选项， S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1， 所以A ，B ，C 错误． 故选D.9．(2017届湖南省常德市一模)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( )A ．72.705尺B ．61.395尺C ．61.905尺D ．73.995尺 答案 B解析 因为每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列， 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺， 设从地面往上，每节圈长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，由{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子项，行程是 S 30＝⎝⎛⎭⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎝⎛⎭⎫30×1.3＋30×292×(－0.013)＝61.395， 故选B.10．(2017·湖北省襄阳四中适应性考试)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝(－1)n ＋2 016·a ，b n ＝2＋(－1)n＋2 017n，且a n <b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1，12 B ．[－1,1) C ．[－2,1) D.⎣⎡⎭⎫－2，32 答案 D解析 a n <b n ，可得(－1)n ＋2 016·a <2＋(－1)n＋2 017n，若n 是偶数，不等式等价于a <2－1n恒成立，可得a <2－12＝32，若n 是奇数，不等式等价于－a <2＋1n ，即－a ≤2，a ≥－2，所以－2≤a <32.综上可得实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，32，故选D. 11．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)公差不为零的等差数列{a n }的首项为1，且a 2，a 5，a 14依次构成等比数列，则对一切正整数n ，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的值为( )A.12B.35 C.49 D.512 答案 C解析 设公差为d ，∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 25＝a 2·a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )·(1＋13d )， 化简得d 2－2d ＝0，∵公差不为0，∴公差d ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12. 据此可排除A ，B 选项；方程12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝512没有正整数解，当n ＝4时，12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝49.故选C.12．(2017·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A.12n －1 B.12n －1 C.13n －1 D.12n －1＋1答案 B解析 ∵a n ·a n －1＋2a n ·a n ＋1＝3a n －1·a n ＋1， ∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，1a n ＋1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1， 则1a n ＋1－1a n 1a n －1a n －1＝2， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 1a n ＋1－1a n＝2×2n －1＝2n ， 利用叠加法，1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝1＋2＋22＋…＋2n －1，n ≥2， 1a n ＝2n－12－1＝2n －1，n ≥2，当n ＝1时，1a 1＝1＝21－1，∴1a n ＝2n －1，则a n ＝12n －1.故选B.13．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为________寸． 答案 82解析 由题设等差数列的首项a 1＝130，a 13＝14.8，则公差d ＝a 1－a 131－13＝－9.6，所以a 6＝a 1＋5d ＝130－9.6×5＝82.14．若数列{}a n 是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________. 答案 2n 2＋6n解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)，n ≥2，两式相减，可得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时也成立．则a n ＝(2n ＋2)2，有a nn ＋1＝(2n ＋2)2n ＋1＝4n ＋4，其前n 项和a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝4[2＋3＋4＋…＋(n ＋1)]＝4×n (n ＋3)2＝2n 2＋6n .15．(2017届四川省南充市三诊)已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，若首项a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________. 答案 3n ＋1－32－n解析 因为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，可得a n ＝3n －1，那么数列{a n }的前n 项和分为：{3n}的前n 项和3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，数列{1}的前n 项和n ，所以S n ＝3n ＋1－32－n .16．(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1 (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1 (n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0⇒a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增， 所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0， 所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1，因为a 1＝43，所以a 2＝⎝⎛⎭⎫432－43＋1＝139， a 3＝⎝⎛⎭⎫1392－139＋1＝13381， a 4＝⎝⎛⎭⎫133812－13381＋1>2，…，所以a2 018>a2 017>a2 016>…>a4>2，所以a2 018－1>1，所以0<1a2 018－1<1，所以2<3－1a2 018－1<3，因此m的整数部分是2.。
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[推荐学习]2018年高考数学二轮复习专项精练高考22题12+4分项练5三角函数与解三角形理12＋4分项练5 三角函数与解三角形1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于( )A ．－14B.14 C ．－18D.18答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．(2017届陕西省渭南市二模)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能 答案 C解析 圆心到直线的距离d ＝|2c |a 2＋b 2>2，4．(2017·湖北省武汉市调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14] C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14] D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14] 答案 A解析 由2πω＝2(14－6)＝16，得ω＝π8，A ＝12(30－10)＝10，b ＝20，由y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20过点(14,30)，得30＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×14＋φ＋20，sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋7π4＝1， φ＋7π4＝2k π＋π2，φ＝2k π－5π4，k ∈Z ，取k ＝1，得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，故选A. 5．已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β的值为( )A.3π4B.π4C.π6 D .3π4或π4 答案 B解析 因为锐角α，β，所以cos α＝31010，sin β＝55，因此cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4，故选B.6．(2017届天津市红桥区二模)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A.π8 B .π4 C.3π8 D.π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C.7．(2017·安徽省蚌埠市质检)已知函数f (x )＝cos 2ωx2＋32sin ωx －12(ω>0，x ∈R)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，1112C.⎝⎛⎦⎥⎤0，56 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112答案 D解析 ∵f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2ωx 2－1＋32sin ωx＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，当x ∈(π，2π)时，ωx ＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π6≥k π，2ωπ＋π6≤(k ＋1)π⇒k －16≤ω≤k 2＋512，k ∈Z ，由k2＋512>k －16，可得k <76，k ＝0时，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512，当k ＝1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112，故选D.8．(2017届辽宁省葫芦岛市二模)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A ．6 3 B ．47 C ．87 D ．12 答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 又因为△ABC 的周长为10＋27，所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27， 所以△ABC 的面积为S ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222 ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(27)2×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫(27)2＋42－6222＝63，故选A.9．(2017届北京市朝阳区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增 答案 C解析 2πω＝4π⇒ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6不是奇函数，图象不关于原点对称；当x ＝π3时f (x )＝32不是最值，图象不关于直线x ＝π3对称；图象上所有点向右平移π3个单位长度后得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin 12x 为奇函数，图象关于原点对称；因为x ∈(0，π)⇒12x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，所以函数f (x )在区间(0，π)上有增有减，综上知选C.10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1 ＝25cos 2A －1＝0. ∴cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋62－12b ×15，解得b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.11．(2017·广东省湛江市模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1 (ω>0,0≤φ≤π2)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225 B ．－1225C.2425 D ．－2425 答案 D解析 函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π，说明周期为2π，2πω＝2π，ω＝1，在x＝π3时取得最大值2， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋1＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1＝85，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∵π3<α<5π6，∴π2<α＋π6<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425，故选D.12．(2017届山西省太原市模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256C.⎝ ⎛⎦⎥⎤256，112D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376答案 B解析 函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，由f (x )＝－1有sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12，所以有ωx －π3＝2k π－π6或ωx －π3＝2k π－5π6， 当ωx －π3＝2k π－π6时，ωx ＝2k π＋π6，k ＝0时显然成立，由于方程f (x )＝－1在(0，π)内有四个交点，所以k ＝1时也成立，k ＝2时，x ＝π是第五个交点，但x ∈(0，π)，此时ω＝256，所以ω≤256；当ωx －π3＝2k π－5π6时，ωx ＝2k π－π2，k ＝1或2，且当k ＝2时，ωx ＝7π2，由于0<x <π，所以ω>72，综上有72<ω≤256，故选B.13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，cos B＝12ac，则a ＋c 的值为________．答案 37解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∵sin B ＝513，cos B ＝12ac，∴ac ＝13，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2＋c 2＝37，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37. 14．(2017届江西省新余市第一中学模拟)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，AD ＝70 6 n mile ，D 位于A 的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A 出发沿直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ＝________.答案2 2解析连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC＝802＋(40＋303)2－2×80×(40＋303)×cos 60°＝503，再根据正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，所以sin∠ACB＝45，则显然可求cos∠ACB＝35，于是sin(135°－∠ACB)＝22×35－⎝⎛⎭⎪⎫－22×45＝7210，在△ACD中，根据正弦定理得AC sin D ＝ADsin (135°－∠ACB )， 得sin D ＝12，所以D ＝30°，因此根据题意，θ＝75°－30°＝45°， 所以sin θ＝22.15．(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围是________． 答案 (2,4]解析 因为sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， 由正弦定理可得a 2＋b 2－ab ＝c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.由正弦定理得a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， 所以a ＋b ∈(2,4]．16．(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，ba的值为______．答案 2＋ 3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝csin C ＝433. AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A＝2×433sin B cos A ＝833sin B cos A ， ∵B ＝2π3－A ， AC →·AB →＝833cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝833cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝4cos 2A ＋433sin A cos A ＝2(1＋cos 2A )＋233sin 2A ＝233sin 2A ＋2cos 2A ＋2 ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝433sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2. ∵0<A <2π3，0<2A <4π3，π3<2A ＋π3<5π3， 则当2A ＋π3＝π2， 即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值433＋2，此时△ABC 中，B ＝7π12，a sin π12＝b sin 7π12，b a ＝sin 7π12sin π12＝2(3＋1)42(3－1)4＝2＋ 3.。
【小初高学习]2018年高考数学二轮复习 专项精练(高考22题)12+4分项练6 平面向量 理
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12＋4分项练6 平面向量1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 2．(2017届青海省西宁市二模)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3答案 B解析 由(a －b )⊥b ，有(a －b )·b ＝0，所以a·b －b 2＝0，即(－2＋3m )－(1＋3)＝0，得m ＝23，故选B.3．(2017·山东省日照市二模)已知点P (－3,5)，Q (2,1)，向量m ＝(2λ－1，λ＋1)，若PQ→∥m ，则实数λ等于( )A.113 B ．－113 C.13 D ．－13答案 B解析 PQ →＝(5，－4)，因为PQ →∥m ，所以5λ＋5＝－8λ＋4，解得λ＝－113.故选B. 4．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ．20B ．12C ．4 3D ．2 3答案 D解析 ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2.又|b |＝1，a·b ＝2×1×cos 60°＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝23，故选D.5．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件，使a |a |＝b |b |成立的充要条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝2bC ．a ∥b 且|a |＝|b |D ．a ∥b 且方向相同答案 D解析a |a |表示a 方向的单位向量，因此a |a |＝b |b |成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D.6．(2017届天津市耀华中学一模)已知a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝2|a －b |，则a 在a ＋b 上的投影为( )A.13B.63 C ．－263 D.223答案 B解析 由a ，b 为单位向量，又|a ＋b |＝2|a －b |，则|a ＋b |2＝2|a －b |2，可得a·b ＝13，则|a ＋b |＝263，cos 〈a ，b 〉＝13.又cos 〈a ，a ＋b 〉＝a·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝63.则a 在a ＋b 上的投影为|a |cos 〈a ，a ＋b 〉＝63.故选B. 7．(2017·四川省师范大学附属中学模拟)在△ABC 中角A ＝π3，b ＋c ＝4，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →的最小值为( ) A.932 B.83C.269D ．3 答案 C解析 AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC → ＝29()AB →2＋AC →2＋59AB →·AC → ＝29(c 2＋b 2)＋59bc ×12＝29(b ＋c )2－16bc ≥29(b ＋c )2－16×(b ＋c )24＝269(b ＝c 时等号成立)， 即AE →·AF →的最小值为269，故选C.8．(2017届辽宁省锦州市质检)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A.23B.12C.43D ．1 答案 A解析 由题知AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝－3，又O 为AD 的中点，AO →＝λAB →＋μBC →，则AD →＝2AO →＝2λAB →＋2μBC →，可得AD →·BC →＝(2λAB →＋2μBC →)·BC →＝2λAB →·BC →＋2μBC →2＝－6λ＋18μ.又AD 为BC 边上的高，AD →与BC →互相垂直，则AD →·BC →＝0，即－6λ＋18μ＝0，可得λ＝3μ，又AD →＝2λAB →＋2μBC →，BD →＝AD →－AB →，则BD →＝(2λ－1)AB →＋2μBC →，而BD →与BC →共线，则2λ－1＝0，λ＝12，μ＝16，则λ＋μ＝23.故选A.9．(2017届上海市宝山区二模)如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( )A ．15B ．12C ．10D ．9答案 A解析 如图，过点P 作l 1的垂线为y 轴，以l 1为x 轴，建立平面直角坐标系如图， l 1：y ＝0，l 2：y ＝2，P (0，－1)，设M (a,0)，N (b,2)，所以PM →＝(a,1)，PN →＝(b,3)，PM →＋PN →＝(a ＋b,4)，由|PM →＋PN →|＝8，可知(a ＋b )2＋16＝64，所以a ＋b ＝43或a ＋b ＝－43，而PM →·PN →＝ab ＋3，当a ＋b ＝43时，PM →·PN →＝ab ＋3＝－a 2＋43a ＋3，当a ＋b ＝－43时，PM →·PN →＝ab ＋3＝－a 2－43a ＋3，可知两种情况最大值均为15，故选A.10．(2017届福建省泉州市适应性模拟)如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．[－21，21]C ．[－5,5]D ．[－6,6]答案 C解析 如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同理在与C相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5.故选C.11.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的半圆分别交BA 及其延长线于点M ，N ，点P 在MDN 上运动(如图)．若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－5μ的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2,22]C ．[－22，2]D ．[－22，22]答案 C解析 分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，AB ，AD 方向为正方向建立直角坐标系，则B (2,0)，D (0,1)，E (2,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 设P (cos α，sin α) (0≤α≤π)，由AP →＝λAE →＋μBF →，得(cos α，sin α)＝λ(2,1)＋μ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32， 则2λ－5μ＝2cos α－2sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4， 由0≤α≤π可得3π4≤α＋3π4≤7π4， 则－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4≤2. 则2λ－5μ的取值范围是[－22，2]．故选C.12．(2017届福建省宁德市质检)已知在三角形ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为 ( )A.⎝⎛⎦⎥⎤33，4311 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫39，33 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311 D .⎝ ⎛⎦⎥⎤39，2311 答案 C解析 由题可知AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC 2＝4. 建立如图所示的坐标系，则点A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)．设BF →＝λBC →，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋14BC →， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32. 所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝AB ·AC BC＝3，所以△AEF 的面积S △AEF ＝12EF ·3＝32为定值． 所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ＝12tan θ， 故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF→∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311，故选C. 13．(2017届九江市三模)已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,6)，若向量c 与a 的夹角为60°，且c ·(a ＋b )＝－10，则|c |＝________.答案 210解析 ∵a ＋b ＝(－1,3)，∴a ＋b 与a 互为相反向量，c 与a ＋b 的夹角为120°，∴c ·(a ＋b )＝|c |×|a ＋b |×cos 120°＝－102×|c |＝－10，∴|c |＝210. 14．(2017届福建省宁德市质检)若|a |＝2，b ＝(2，2)，a ·(b －a )＋2＝0，则向量a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 因为b ＝(2，2)，所以|b |＝2.因为|a |＝2，a·(b －a )＋2＝0，所以a·b －a 2＝a·b －22＝－2，所以a·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12， 又因为θ∈[0，π]，所以向量a 与b 的夹角为π3. 15．(2017届山东省烟台市高三适应性考试)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠DAB ＝60°，DM →＝2MB →，则AC →·AM →＝________.答案 4解析 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋23DB → ＝AD →＋23(AB →－AD →)＝23AB →＋13AD →， AC →＝AB →＋AD →，所以AC →·AM →＝(AB →＋AD →)⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AD → ＝23|AB →|2＋AB →·AD →＋13|AD →|2 ＝83＋1＋13＝4. 16．(2017·湖北省武汉市调研)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且∠A ＝60°，若AO →＝αAB →＋βAC →(α，β∈R )，则α＋β的最大值为________．答案 23解析 设△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由于AO →＝αAB →＋βAC →，AB →·AO →＝α|AB →|2＋βAB →·AC →，AC →·AO →＝αAB →·AC →＋β|AC →|2，所以12c 2＝c 2α＋12bc β，12b 2＝12bc α＋b 2β， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ α＝23－b 3c ，β＝23－c 3b ，α＋β＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≤43－23b c ×c b ＝23， 当且仅当b ＝c 时“＝”成立．。
2018年高考数学理二轮复习 专项精练：高考22题 124分
12＋4分项练3 函数的图象与性质1．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a 答案 B解析 由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)， 故选B.2．(2017届安徽省巢湖市柘皋中学模拟)下列函数中，与函数y ＝x 3的单调性和奇偶性一致的函数是( ) A ．y ＝xB ．y ＝tan xC ．y ＝x ＋1xD ．y ＝e x －e －x答案 D解析 函数y ＝x 3既是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；y ＝tan x 为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；y ＝x ＋1x 为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；y ＝e x －e －x 为奇函数，且是R 上的增函数，故选D.3．(2017届河北省唐山市模拟)函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x ＋1(－x )(e －x －1)＝e x ＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →＋∞时，f (x )→0，故选A.4．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x ＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2B ．log 23C ．3D ．－log 25 答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.5．(2017·天津市第一中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.6．(2017届浙江省嘉兴一中适应性考试)设函数f (x )＝(x －a )|x －a |＋b ，a ，b ∈R ，则下列叙述中正确的序号是( )①对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )在R 上是单调函数； ②对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )在R 上都不是单调函数； ③对任意实数a ，b ，函数y ＝f (x )的图象都是中心对称图形； ④存在实数a ，b ，使得函数y ＝f (x )的图象不是中心对称图形． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 A解析 考虑y ＝x |x |，函数f (x )＝(x －a )|x －a |＋b 的图象是由它平移得到的，因此，其单调性和对称性不变．7．(2017届河南省息县第一高级中学适应性考试)若函数f (x )＝t e x －t －2e x －1·ln 1＋x 1－x ＋x 2＋1是偶函数，则实数t 等于( ) A ．－2 B ．2C ．1D ．－1答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x >0，e x －1≠0知定义域为(－1,0)∪(0,1)， 令g (x )＝ln 1＋x 1－x ，h (x )＝t e x －t －2e x －1，则g (－x )＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x1－x ＝－g (x )，∴g (x )＝ln1＋x1－x 是奇函数， 则h (x )＝t e x －t －2e x －1＝t －2e x －1是奇函数，由h (x )＋h (－x )＝0，即t －2e x －1＋t －2e －x －1＝0，整理得2t －2e x －1－2e x1－e x＝0，解得t ＝－1，故选D.8．(2017届江西省重点中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋1，g (x )＝2(log 2x )2－2log 2x ＋t －4，若函数F (x )＝f (g (x ))－1在区间[1,22]上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤52，4 B.⎣⎡⎭⎫52，92 C.⎣⎡⎭⎫4，92 D.⎣⎡⎦⎤4，92 答案 C解析 设u ＝g (x )，则F (x )＝f (u )－1＝0，即f (u )－1＝0，则u ＝0，所以问题转化为g (x )＝0在区间[1,22]上恰有两个不同的根，即2(log 2x )2－2log 2x ＋t －4＝0在区间[1,22]上恰有两个不同的根，设v ＝log 2x ，则v ∈⎣⎡⎦⎤0，32，则问题转化为2v 2－2v ＋t －4＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，32上有两个不同的根，结合二次函数图象可知，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8(t －4)>0，t －4≥0，2×94－2×32＋t －4≥0.解得4≤t <92，故选C.9．(2017届福建省宁德市质量检查)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋2x －a ，则满足f (x 2－3x －1)＋9<0的实数x 的取值范围是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 D解析 因为f (0)＝log 2(0＋1)＋20－a ＝0，所以a ＝1. 由题意可知，当x <0时，f (x )＝－log 2(－x ＋1)－2－x ＋1.又分析知f (x )在R 上单调递增， 所以若f (x )＋9<0，则f (x )<－9＝f (－3)， 所以x <－3.又因为f (x 2－3x －1)＋9<0， 所以x 2－3x －1<－3，解得1<x <2.故选D.10．已知函数f (x )＝e x 2－ae x ，对于任意的x 1，x 2∈[1,2]，且x 1≠x 2，[|f (x 1)|－|f (x 2)|](x 1－x 2)>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－e 24，e 24 B.⎣⎡⎦⎤－e 22，e 22 C.⎣⎡⎦⎤－e 23，e23 D ．[－e 2，e 2] 答案 B解析 设任意的x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，由[|f (x 1)|－|f (x 2)|](x 1－x 2)>0，则函数y ＝|f (x )|为增函数，当a ≥0，f (x )在[1,2]上是增函数，则f (1)≥0，解得0≤a ≤e 22，当a <0时，|f (x )|＝f (x )，令e x 2＝－ae x ，解得x ＝ln －2a ，对勾函数的单调递增区间为[ln －2a ，＋∞)，故ln －2a ≤1，解得－e 22≤a <0，综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－e 22，e 22，故选B.11．(2017·湖北省武汉市调研)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x ＋2(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若g (x )＝f (x )与y ＝f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．a ≤－1C ．0<a ≤4D ．a <0或0<a ≤4 答案 A解析 方法一 排除法：当a ＝1时，令e x ＝t >0，f (t )＝t ＋1t ＋2≥4，当且仅当t ＝1时“＝”成立，值域为[4，＋∞)，f (f (t ))在[4，＋∞)上为增函数，值域为⎣⎡⎭⎫254，＋∞，不合题意舍去，排除C 和D ；当a ＝－12时，f (x )＝t －12t ＋2，f ′(x )＝1＋12t 2>0，函数在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，f (f (x ))的值域也为R ，符合题意，排除B ，故选A. 方法二 当a <0时，令t ＝e x >0，f (t )＝t ＋at＋2，f ′(t )＝1－a t 2＝t 2－at2>0，f (x )的值域为R ，y ＝f (f (x ))的值域也是R ，符合题意，故选A.12．(2017届河北省衡水中学押题卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x ，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－18∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤0，18 C ．(0,8]D.⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x ，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎡⎦⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎡⎦⎤34，98.当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎨⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎨⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14.综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞.故选D.13．(2017·湛江二模)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －2的定义域是____________．答案 (－∞，－1]解析 由⎝⎛⎭⎫12x －2≥0，得2－x≥2，即－x ≥1，x ≤－1， 所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －2的定义域是(－∞，－1]．14．(2017届湖南省株洲市一模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B (x －A )，x >A ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了 答案 11.5解析 由题设可得x ＝C ＝4≤A ，且⎩⎪⎨⎪⎧4＋(25－A )B ＝14，4＋(35－A )B ＝19⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12(x －5)，x >5，则f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.15．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ①中，由于指数函数为单调递增函数，所以m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，①正确；②中，由二次函数的单调性可知g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增， 所以n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2>0不一定成立，②不正确；③中，由m ＝n ，可得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即为g (x 1)－f (x 1)＝g (x 2)－f (x 2)，设h (x )＝x 2＋ax －2x ⇒h ′(x )＝2x ＋a －2x ln 2，当直线2x ＋a 与曲线2x ln 2相切或相离时，h ′(x )≤0，h (x )单调递减，对于此时的a ，不存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ，③不正确； ④中，由于m ＝－n ，可得f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]， 即为g (x 1)＋f (x 1)＝g (x 2)＋f (x 2)，设t (x )＝x 2＋ax ＋2x ⇒t ′(x )＝2x ＋a ＋2x ln 2，对于任意的a ，t ′(x )不恒大于0或小于0，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n ，④正确．故填①④.16．(2017·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，由于f (x )＝x ＋1x ＋a 不单调，故不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数，但在定义域内不存在x 0使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.。
2018届高考数学二轮复习疯狂专练12统计理 Word版 含答案
统计1．[2017·郑州一中]为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1：2，则这四个单位的总人数N 为（ ） A ．96 B ．120C ．144D ．160【答案】B【解析】设甲单位人数为X 甲，乙单位的人数X 乙，丙单位的人数X 丙，丁单位的人数X 丁，由题意得 236X X X X X X X X X X +=⎧⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=⎩甲乙丙甲丁乙丙乙甲丙，解得：1224 3648X X X X ====⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩甲乙丙丁，易得：这四个单位的总人数N 为120，故选B ．2．[2017·成都七中]我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ） A ．164石 B ．178石C ．189石D ．196石 【答案】C【解析】已知抽得样本中含谷27C ．3．[2017·唐山联考]总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90A ．05B ．09C ．11D ．20一、选择题（5分/题）【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，符合条件的数有14，05，11，05，09因为05出现了两次，所以选出来的第4个个体的编号为09．4．[2017·南安一中]某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元【答案】C【解析】设11时到12时的销售额为x万元，依题意有2.50.10.4x=，10x∴=，故选C．5．[2017·云南联考]CPI是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．下面是根据统计局发布的2017年1月—7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2017年2月与2016年2月相比较，叫同比；2017年2月与2017年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（）A．2017年1月—7月分别与2016年1月—7月相比较，CPI有涨有跌B．2017年1月—7月CPI有涨有跌C．2017年1月—7月分别与2016年1月—7月相比较，1月CPI涨幅最大D．2017年2月—7月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳【解析】这是2017年1月—7月中国的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图，2017年1月—7月同期都是正增长，只是增长的幅度有大有小，同期增长最大是1月为2.5%，环比增长幅度不大，1月—7月CPI 变化不大，相对稳定，故选A ．6．[2017·长春一模]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91 【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86．故选B ．7．[2017·衡水中学]甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩方差2s 甲，2s 乙，2s 丙的大小关系是（ ）A ．222s s s <<乙甲丙 B ．222s s s <<甲乙丙 C ．222s s s <<乙甲丙D ．222s s s <<乙甲丙【答案】A【解析】根据方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，甲乙丙三人数据中丙集中在6环，乙平均分散，甲分散在两边，所以丙最稳定，方差最小；甲最不稳定，方差最大；所以选A ． 8．[2017·荆州中学]已知变量x 和y 的统计数据如表：根据上表可得回归直线方程0.7ˆyx a =+，据此可以预测，当14x =时，y =（ ） A ．7.2 B ．7.5C ．7.8D ．8.1【答案】B【解析】 2.3a =-，得0.7.3ˆ2y x =-，代入x =14，得y =7.5，选B ．9．[2017·绵阳中学]以下四个命题中真命题的个数是（ ）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归直线ˆˆˆybx a =+ ③随机变量ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M 和N 满足关系()()()P M N P M P N =+ ，则事件M 和N 对立． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为800÷40=20；故①错误；②线性回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心 ③随机变量ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若在(−∞，1)内取值的概率为0.1，则在(1，2)内取值的概率为0.5−0.1=0.4，则在(2，3)内的概率为在(1，2)内取值的概率为0.4，故③正确；④由互斥事件的定义可得若事件M 和N 满足关系()()()P M N P M P N =+ ，则事件M 和N 互斥，但不一定对立，故④错误．四个命题中其中真命题个数是2个．本题选择C 选项．10．[2017·豪洋中学]某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：。
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12＋4分项练13 统计与统计案例
1．(2017·贵州省贵阳市第一中学适应性考试)从编号为01,02，…，49,50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.14 B ．07 C ．32 D ．43 答案 D
解析 由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于50的跳过、重复的不选取)，前5个个体编号为08、12、14、07、43.故选出来的第5个个体的编号为43，故选D.
2．(2017届河北省衡水中学押题卷)《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
解析 由题得，“诗词达人”有8人，“诗词能手”有16人，“诗词爱好者”有16人，分层抽样抽选10名学生，所以“诗词能手”有10×16
40
＝4(人)．
3．(2017·河北省武邑中学质检)某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[)0，5，[)5，10，…，[]35，40，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图
可能是( )
答案 B
解析 从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间[0,5)，[5,10)内各有0.01×20×5＝1(个)，答案A 被排除；在区间[)10，15内有0.04×20×5＝4(个)；在区间[)15，20内有0.02×20×5＝2(个)；在区间[)20，25内有0.04×20×5＝4(个)，答案C 被排除；在区间[25,30)，[30,35)内各有0.03×20×5＝3(个)，答案D 被排除．依据这些数据信息可推知，应选答案B.
4．(2017·云南省昆明市适应性考试)AQI(Air Quality Index ，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI 共分六级，从一级优(0－50)，二级良(51－100)，三级轻度污染(101－150)，四级中度污染(151－200)，直至五级重度污染(201－300)，六级
严重污染(大于300)．下图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI 茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数(按这个月总共30天计算)为( ) A ．3 B ．4 C ．12 D ．21 答案 C
解析 从茎叶图中知10天中有4天空气质量优，因此空气质量优的概率为410＝2
5，那么4
月份空气质量优的天数为30×2
5＝12.故选C.
5．下列说法错误的是( )
A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C ．在回归直线方程y ^
＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^
平均增加0.2个单位
D ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2
的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 答案 D
解析 根据相关定义分析知A ，B ，C 正确；D 中对分类变量X 与Y 的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故D 不正确，故选D.
6．(2017届广西南宁市金伦中学模拟)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8 则下列判断正确的是( ) A ．甲射击的平均成绩比乙好 B ．乙射击的平均成绩比甲好
C ．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D ．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差 答案 D
解析 由题意得，甲射击的平均成绩为x 甲＝7＋8＋10＋9＋8＋8＋67＝8，众数为8，极差为
4；乙射击的平均成绩为x 乙＝9＋10＋7＋8＋7＋7＋8
7＝8，众数为7，极差为3，故甲射击
的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.
7．(2017届青海省西宁市一模)某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )
A ．20,2
B ．24,4
C ．25,2
D ．25,4 答案 C
解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则所以N ＝2
0.08＝25，根据频率分
布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)内的人数一样，都是2，故选C.
8．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：
则可估计这种产品质量指标值的方差为( ) A ．140 B ．142 C ．143 D ．144
答案 D
解析 x ＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，
所以方差为110
[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2
×3]＝144，故选D.
9．(2017届湖北省稳派教育质检)为了调查中学生课外阅读古典文学名著的情况，某校学生会从男生中随机抽取了50人，从女生中随机抽取了60人参加古典文学名著知识竞赛，统计数据如下表所示，经计算K 2
≈8.831，则测试成绩是否优秀与性别有关的把握为( )
附：K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
A.90% B．95%
C．99% D．99.9%
答案 C
解析因为K2≈8.831>6.635，所以有99%的把握认为测试成绩是否优秀与性别有关，故选C.
10．(2017届辽宁省重点高中期末)如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是 ( )
A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势
B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加
C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加
D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加
答案 B
解析通过图形可以看出，最后三个条形中，白色条形所占的比重明显比前四个条形所占比重要大，即相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加，故选B. 11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确个数为( )。